đường tròn lester và một số vấn đề liên quan

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„I HÅC THI NGUY–N

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅCo0o

PH„M V‹N M„NH

×ÍNG TRÁN LESTER V€ MËT SÈV‡N — LIN QUAN

Chuyản ngnh: Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐpMÂ số: 8 46 01 13

LUN VN THC S TON HC

GIO VIN HìẻNG DˆN

PGS.TS. NGUY™N VI›T HƒITS. O€N QUANG M„NH

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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54Duong tron Lester va mot so van de lien quanWednesday, June 12, 2024

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Líi c£m ỡn

Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn Phỏng o tÔo trữớng Ôi Hồc Khoa Hồc v cĂc quỵ thƯycổ giÊng dÔy lợp cao hồc K12B (2018 - 2020) trữớng Ôi Hồc Khoa Hồc - Ôi Hồc ThĂiNguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cừa cĂc mổn hồc cụng nhữ tÔoiÃu kiằn cho tổi hon thnh khõa hồc.

 hon thnh ữủc luên vôn mởt cĂch hon chnh, tổi  luổn nhên ữủc sỹ hữợngdăn nhiằt tẳnh cừa PSG.TS. Nguyạn Viằt HÊi v TS. on Quang MÔnh l cĂc giÊngviản Trữớng Ôi Hồc HÊi Phỏng. Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn sƠu sưc án cĂc thƯy vợinhỳng iÃu m cĂc thƯy  dnh cho tổi.

Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh tợi cĂc ỗng chẵ trong ban giĂm hiằu trữớng THCSLả Lủi - Quên HÊi An v gia ẳnh, bÔn b cừa tổi. õ l nhỳng ngữới  luổn ởng viản,hộ trủ v tÔo mồi iÃu kiằn cho tổi trong suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn.Xin trƠn trồng cÊm ỡn!

HÊi Phỏng, thĂng 01 nôm 2021Ngữới viát Luên vôn

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54Duong tron Lester va mot so van de lien quanWednesday, June 12, 2024

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Danh mưc c¡c h¼nh

1.1 M v  M⁰ èi xùng nhau qua (O, R) . . . . 5

1.2 Tẵnh chĐt cõa ph²p èi xùng qua (O, R) . . . . 6

1.3 Cæng thùc Conway . . . . 10

1.4 V½ dư 1.2.6 . . . . 11

1.5 Hai iºm Torricelli-Fermat . . . . 12

2.1 Hai iºm Torricelli-Fermat . . . . 20

2.2 F A + F B + F C cüc tiºu . . . . 21

2.3 Ba ữớng thng k_a, k_b, k_c ỗng quy . . . . 23

2.4 F v  J<small>+</small> l  2 iºm ¯ng gi¡c . . . . 24

2.5 iºm Fermat thù nh§t v  iºm Fermat thù hai . . . . 25

2.6 ÷íng th¯ng Fermat i qua trung iºm cõa HG . . . . 27

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MËT SÈ KÞ HI›U TRONG LUŠN V‹N

13F

<small>+</small>

, F

<small>−</small>

Hai iºm Torricelli-Fermat29

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Giợi thiằu luên vôn 1. Mửc ẵch cừa à ti luên vôn

Liản quan án hai im Torricelli-Fermat nời tiáng l mởt hồ cĂc ữớng trán trong âcâ nhúng ÷íng trán x¡c ành bði iºm thù ba trong tam gi¡c, iºm thù ba â câ thl tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp, tƠm ữớng trỏn nởi tiáp, trỹc tƠm, trồng tƠm,... ChẵnhLester  nh nghắa ữớng trỏn mang tản ổng bơng cĂch nhữ vêy. ữớng trỏn Lestercõ nhỳng tẵnh chĐt gẳ? KhÊo sĂt ữớng trỏn ny bơng phữỡng phĂp tồa ở (barycentric)cho ta nhỳng kát quÊ gẳ? Cõ nhỳng vĐn à gẳ liản quan án cĂc im Torricelli-Fermatv ữớng trỏn Lester?... õ l lỵ do m chóng tỉi chån · t i " ÷íng trán Lester v mët số vĐn à liản quan".

Mửc ẵch cừa à ti l:

- Trẳnh by nhỳng c trững cừa im Torricelli-Fermat F₊, F trong tam giĂc. Tứ õgiợi thiằu ữớng trỏn Lester l ữớng trỏn i qua 3 im F₊, F, O vợi (O l tƠm ữớngtrỏn ngoÔi tiáp). Ti liằu tham khÊo chẵnh Ơy l [1], [8].

- Tẳm thảm cĂc tẵnh chĐt hẳnh hồc cừa cĂc im Torricelli-Fermat bơng cĂc tẵnh toĂnÔi số trản tồa ở barycentric. Ngoi ữớng trỏn Lester, chúng tổi cụng muốn khÊo sĂtthảm cĂc ữớng trỏn khĂc trong chịm ÷íng trán i qua 2 iºm Torricelli-Fermat.

- · cêp án cĂc chuyản à mợi, hay v khõ chữa ữủc giợi thiằu trong chữỡng trẳnhHẳnh hồc phờ thổng, trong cĂc giĂo trẳnh Hẳnh hồc sỡ cĐp.

2. Nởi dung cừa à ti, nhỳng vĐn à cƯn giÊi quyát

Dỹa vo cĂc ti liằu chẵnh [1], [2] v [8], luên vôn nhưc lÔi v bờ sung cĂc nhnghắa, tẵnh chĐt cừa tồa ë barycentric, c¡c iºm Torricelli-Fermat. Tø â x¥y düngkh¡i ni»m v cĂc tẵnh chĐt c trững cừa ữớng trỏn Lester trong tam giĂc. Ba vĐn Ãliản quan cụng l nhỳng ùng dưng v  ph¡t triºn th¶m tø c¡c nëi dung trản. Nởi dungcừa luên vôn gỗm 3 chữỡng:

123docz.net - File bi loi xin lienhe:

<small>Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan542412065:44:17 PM5:44:17 PM542412065:44:17 PM5:44:17 PM542412065:44:17 PM5:44:17 PM</small>

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan54Wednesday, June 12, 20245:44:17 PM5:44:17 PM54Wednesday, June 12, 20245:44:17 PM5:44:17 PM54Wednesday, June 12, 20245:44:17 PM5:44:17 PM

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Chữỡng 1.Kián thực chuân b

Trẳnh by tõm tưt hai nởi dung "Php ối xựng qua ữớng trỏn", thỹc chĐt lPhp nghch Êo dữỡng, v "Tồa ở barycentric thuƯn nhĐt". Mởt số chựng minh trongphƯn ny rĐt cõ ẵch và m°t ph÷ìng ph¡p cho c¡c ch÷ìng sau.

1.1. Ph²p èi xùng qua ữớng trỏn1.2. Tồa ở barycentric thuƯn nhĐt

Chữỡng 2. im Torricelli-Fermat v  ÷íng trán Lester

Ch÷ìng n y l  nëi dung trång tƠm cừa luên vôn: im Torricelli-Fermat v ữớngtrỏn Lester. Trong õ trẳnh by chi tiát cĂc tẵnh chĐt cừa im Torricelli-Fermat v ữớngtrỏn Lester, cĂc biu diạn tồa ở v phữỡng trẳnh cừa chúng trong tồa ở barycenteric.Mối quan hằ °c bi»t giúa ÷íng trán Lester v  c¡c iºm v  ÷íng trán kh¡c cho tamët sè c¡ch düng ÷íng trán Lester kh¡c ngo i c¡ch düng thỉng th÷íng.

Ch÷ìng n y câ tham kh£o, chån låc trong c¡c t i li»u [3], [8] v  bờ sung cĂc chựngminh chi tiát. Nởi dung bao gỗm

2.1. iºm Torricelli-Fermat2.2. ÷íng trán Lester

2.3. C¡c ÷íng trán trüc giao vợi ữớng trỏn Lester2.4. Tồa ở tƠm Lester.

Chữỡng 3. Mởt số vĐn à liản quan

Dỹa vo cĂc tẵnh chĐt c tr÷ng cõa iºm Torricelli-Fermat v  ÷íng trán Lesterchóng tỉi ÷a ra ùng dưng v  giỵi thi»u c¡c mð rëng v· hai ÷íng trán (F<small>+</small>F₋G) v (F₊F₋H). Nëi dung ÷đc tham kh£o chẵnh trong [2], [8]. Chữỡng 3 bao gỗm

3.1. Dỹng nhanh mởt số tƠm tam giĂc

3.2. CĂc ữớng trỏn khĂc liản quan án 2 im Fermat3.3. im Clawson v ữớng trỏn Lester thù hai

123docz.net - File bi loi xin lienhe:

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Chữỡng 1

Kián thực chuân b

Trong chữỡng ny chúng tổi nhưc lÔi hai nởi dung chẵnh dũng cho cĂc chữỡng sau.õ l mởt phƯn quan trồng cừa php nghch Êo dữợi tản gồi l "php èi xùng qua÷íng trán" v  tåa ë barycentric. Nhúng nëi dung ny ẵt nhiÃu  cõ trong cĂc giĂotrẳnh hẳnh hồc sỡ cĐp.

1.1 Php ối xựng qua ữớng trỏn1.1.1 nh nghắa v tẵnh chĐt

nh nghắa 1.1. Cho ữớng trỏn tƠm O, bĂn kẵnh R. Php bián hẳnh bián mồi imM 6= O th nh iºm M⁰ thäa m¢n: M, O, M⁰ th¯ng h ng v  OM.OM⁰ = R² ÷đc gåi l ph²p èi xùng qua ÷íng trán hay ph²p nghich £o. Khi â ÷íng trán (O, R) ÷đc gåil  ÷íng trán nghàch £o.

Ta câ ngay c¡c nhªn x²t sau:

- Ph²p èi xùng qua ữớng trỏn (O, R) l trữớng hủp c biảt cừa php nghch Êo cỹcl O, phữỡng tẵch R². Ơy l ph²p nghàch £o d÷ìng. ƒnh èi xùng cõa iºm ÷đc dỹngtrản hẳnh 1.1 a), b).

- Php ối xựng qua ữớng thng cõ th coi l trữớng hủp riảng cừa php ối xựng quaữớng trỏn (khi bĂn kẵnh R lợn tũy ỵ), do vêy s cõ nhiÃu tẵnh chĐt tữỡng tỹ giỳa haiphp ối xựng ny.

Tứ tẵnh chĐt cừa php nghch Êo cỹc O, phữỡng tẵch p tũy ỵ ta suy ra cĂc tẵnh chĐtcừa php ối xựng qua ữớng trỏn:

(a) Php ối xựng qua ữớng trỏn cõ tẵnh chĐt ối hủp. Nghắa l náu A ối xựng vợi

<small>Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan542412065:44:17 PM5:44:17 PM542412065:44:17 PM5:44:17 PM542412065:44:17 PM5:44:17 PM</small>

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan54Wednesday, June 12, 20245:44:17 PM5:44:17 PM54Wednesday, June 12, 20245:44:17 PM5:44:17 PM54Wednesday, June 12, 20245:44:17 PM5:44:17 PM

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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<small>H¼nh 1.1: M v  M0èi xùng nhau qua (O, R)</small>

A⁰ thẳ A⁰ ối xựng vợi A qua ÷íng trán (O, R).

(b) Ph²p èi xùng qua ÷íng trán (O, R) bi¸n nhúng iºm ð trong (O, R) th nh nhỳngim ngoi v ngữủc lÔi, Hẳnh 1.1 a), b).

(c) P v  Q èi xùng vỵi nhau qua (O, R)khi v  ch¿ khi måi ÷íng trán C i qua P, trücgiao vỵi (O, R) ph£i i qua Q.

(d) Trong ph²p ối xựng qua ữớng trỏn, (O, R)l hẳnh kp tuyằt èi. Måi ÷íng th¯ngi qua O v  måi ÷íng trüc giao vợi (O, R) Ãu l cĂc hẳnh kp tữỡng ối.

(e) Php ối xựng qua ữớng trỏn bián mồi ữớng trán i qua O th nh ÷íng th¯ngkhỉng i qua O, bián mồi ữớng thng khổng i qua O thnh ữớng trỏn i qua Ov bián mồi ữớng trỏn khổng i qua O th nh ÷íng trán khỉng i qua O. ÷íngth¯ng qua O bián thnh chẵnh nõ.

Hằ quÊ 1.1.1. Ba ữớng trỏn i qua O bián thnh ba ữớng thng v ba ữớng thngny s ỗng quy tÔi mởt im.

Hằ quÊ 1.1.2. Ba ữớng thng ỗng quy (khổng qua O) s bián thnh ba ữớng trỏn cõhai im chung, trong õ mët iºm l  iºm O

H» qu£ 1.1.3. Ph²p èi xùng qua ữớng trỏn bÊo ton sỹ tiáp xúc, song song v  trücgiao giúa c¡c ÷íng th¯ng ho°c ÷íng trán.

<small>Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan542412065:44:17 PM5:44:17 PM542412065:44:17 PM5:44:17 PM542412065:44:17 PM5:44:17 PM</small>

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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<small>Hẳnh 1.2: Tẵnh chĐt cừa php ối xựng qua (O, R)</small>

nh lỵ 1.3. Php ối xựng qua ÷íng trán b£o to n t sè k²p cõa 4 im

1.2 Tồa ở barycentric thuƯn nhĐt

Tồa ở barycentric thuƯn nhĐt  ữủc trẳnh by chi tiát trong [6]. é Ơy chúng tổihằ thống lÔi mởt số kát quÊ cƯn thiát º sû dưng v o ch÷ìng 2 v  ch÷ìng 3. Mët số tẵnhtoĂn s ữủc lm chi tiát hỡn  lm quen vợi phữỡng phĂp tồa ở.

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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dữỡng náu hữợng i X, Y, Z l chiÃu quay ngữủc kim ỗng hỗ, mang dĐu Ơm náu X, Y, Zi theo hữợng ngữủc lÔi. Ta cõ nh ngh¾a

ành ngh¾a 1.2. Chån ∆ABC l  tam gi¡c cì sð, hữợng A, B, C ngữủc chiÃu kim ỗnghỗ. Tồa ở barycentric cõa iºm M èi vỵi ∆ABC l  bë ba sè (x : y : z) sao cho

x : y : z = M BC : M CA : M AB.

Tứ nh nghắa ta nhên thĐy náu M = (x : y : z) th¼ cơng câ M = (kx : ky : kz), k 6= 0B¡ch khoa to n th÷ và cĂc tƠm cừa tam giĂc (Encyclopedia of Triangle Centers,viát t­t: ETC) l  mët tø iºn trüc tuy¸n v· c¡c iºm °c bi»t trong tam gi¡c. Tø iºnn y do Clark Kimbering, mởt giĂo sữ toĂn hồc trữớng Ôi hồc Evansville chừ biản, [5].CĂc im cõ tẵnh chĐt c biằt trong tam giĂc cỏn ữủc gồi l tƠm tam giĂc. Tẵnh ánngy 12 thĂng 3 nôm 2017,  cõ hỡn 1600 tƠm tam giĂc ữủc liằt kả trong [5]. MộitƠm tam giĂc ữủc gĂn nhÂn X(n), chng hÔn, X(1) l tƠm I ữớng trỏn nởi tiáp, X(4)l trỹc tƠm. CĂc thổng tin và mội im bao gỗm tồa ở tam tuyán tẵnh (trilinear), tồaở barycentric v nhỳng thổng tin liản quan nhữ: nơm trản ữớng thng no, liản hằnhữ thá no vợi cĂc im khĂc... Mội tƠm tam giĂc trong tứ in ữủc gĂn mởt tản duynhĐt, trong mởt số trữớng hủp c biằt tản cừa nhỳng im ny ữủc gĂn theo tản cừangữới phĂt hiằn hoc t theo tản cừa mởt ngổi sao trản bƯu trới mợi tẳm thĐy vẵ dưX(770) ÷đc gåi l  iºm Acamar. Acamar cán ÷đc gåi l Theta Eridani, l mởt hằ saonh phƠn nơm trong chỏm sao Eridanus. Ngữới ta cho rơng Acamar tữủng trững cho sỹkát thúc cừa dỏng sổng thiản th cho án khi mët ngỉi sao s¡ng hìn câ Achernar ÷đcph¡t hi»n. Cho tam giĂc ABC,nhữ thổng thữớng, kỵ hiằu G, I, O, H, O_A, O_B, O_C lƯn lữủtl trồng tƠm, tƠm ữớng trỏn nởi tiáp, tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp, trỹc tƠm, tƠm ữớngtrỏn bng tiáp trong cĂc gõc A, B, C. Khi â:

V½ dư 1.2.1. Ta câ tåa ë barycentric cõa mët sè iºm °c bi»t trong tam gi¡c ABC :• I = (a : b : c) ≡ X (1) ,

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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V½ dư 1.2.2. CĂc im trản BC cõ tồa ở dÔng (0 : y : z). Tữỡng tỹ cĂc im trảnCA, AB lƯn lữủt cõ tồa ở (x : 0 : z), (x : y : 0). Khi M = (x : y : z)m  x + y + z 6= 0ta thu÷đc tåa ë barycentric tuy»t èi cõa M :

xx + y + z ^:

yx + y + z ^:

zx + y + z

.- N¸u x + y + z = 1 thẳ (X : Y : Z) ữủc gồi l tồa ở barycentric chuân cừa M.

- Náu P (u : v : w), Q(u⁰, v⁰, w⁰) thäa m¢n u + v + w = u⁰+ v⁰+ w⁰ th¼ iºm X chia P Q theot sè P X : XQ = p : q câ tåa ë l  (qu + pu⁰: qv + pv⁰ : qw + pw⁰).

Vẵ dử 1.2.3. Tẳm tåa ë c¡c iºm V, V⁰, t¥m và tü trong v ngoi cừa ữớng trỏn ngoÔitiáp ABC.

Lới giÊi. Ta cõ V, V⁰ chia iÃu hỏa oÔn OI, v dạ thĐy c¡c t sèR

r ⁼abc

2σ ^:σ2s ⁼

σ<small>2</small> , trong â σ = 2S_ABC v  s = ^{a + b + c}2 ^.Vẳ O = a² b²+ c² a<small>2</small>

thọa mÂn tờng cĂc tồa ở bơng nhau. p dửng cĂch tẵnh trản vợiOV

V I ⁼R

r ta câ tåa ë cõa V l  (σ².sa²(b²+ c²− a²) + abcs.2σ²a : ... : ...).Rót gån biºu thùc:

σ².sa² b²+ c²− a<small>2</small>

+ abcs.2σ²a = sσ²a² b²+ c²− a<small>2</small>+ 2bc= sσ²a² (b + c)²− a<small>2</small>
= sσ²a²(b + c + a) (b + c a) .

Vêy tƠm v tỹ trong V = a²(b + c − a) : b²(a + c − b) : c²(a + b − c) Tữỡng tỹ tƠm vtỹ ngoi: V⁰=

 a²b + c a ^:

b²c + a − b ^:

c²a + b − c

Trong [5] V X(55), V⁰ = X(56). Chú ỵ rơng k thuêt ny s ữủc lp lÔi trong mởtsố nởi dung Chữỡng 2.

Vẵ dử 1.2.4. Tồa ở barycentric cừa tƠm ữớng trỏn chẵn im

O₉ = (a cos (B − C) : b cos (C − A) : c cos (A − B)) ≡ X (5)

Chùng minh. â l  do ta cõ tỵ số OO<small>9</small> : O<small>9</small>G = 3 : 1 Hai im P, Q(khổng nhĐt thiát trản cÔnh cõa tam gi¡c) ÷đc gåi l  hai iºm ¯ng cü náu cĂc vát tữỡng ựng cừa chúng ốixựng qua trung im cÔnh tữỡng ựng. Nhữ vêy,BAp = A_QC, CBp = B_QA, ACp = C_QB.

<small>Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan542412065:44:17 PM5:44:17 PM542412065:44:17 PM5:44:17 PM542412065:44:17 PM5:44:17 PM</small>

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Ta s kỵ hiằu im ng cỹ cừa P l P th¼ khi â P (x : y : z) ⇔ P^∗

1x ^:

1y ^:

. Haiiºm Gergone G_e v  Nagel N_a l  v½ dư v· hai iºm ¯ng cü.

4R^.cos Asin A ⁼

<small>2</small>+ c²− a<small>2</small>

2 ^,σ_B = ca cos B = ^c

<small>2</small>+ a²− b<small>2</small>

2 ^,σ_C = ab cos C = ^a

<small>2</small>+ b²− c²2 ^,(b) σ_A+ σ_B+ σ_C = ^a

<small>2</small>+ b²+ c²2

(c) σ_B + σ_C = a², σ_C + σ_A = b², σ_A+ σ_B = c²,(d) σ_AB + σ_BC + σ_CA = σ².

Chùng minh. CĂc ng thực Ãu hin nhiản, ta ch cƯn chựng minh ¯ng thùc cuèi. V¼A + B + C = 180⁰ nản cot (A + B + C)l. Mău số cõa nâ b¬ng cot A cot B + cot B cot C +cot C cot A − 1 = 0. Tø â, σ_AB + σ_BC + σ_CA = σ²(cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A)σ_AB + σ_BC + σ_CA = σ².

V½ dư 1.2.5. Tồa ở trỹc tƠm H v tƠm ngoÔi tiáp O theo-Tåa ë trüc t¥m H( ¹

σ_A ^:1σ_B ^:

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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54Duong tron Lester va mot so van de lien quanWednesday, June 12, 2024

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2⁾ v  gâc θ d÷ìng hay Ơm tũy theo cĂc gõc [CBP v[

CBA khĂc hữợng hay cũng hữợng.Chựng minh. Ta cõ (hẳnh 1.3)

P ABP BC ⁼

CP.CA. sin−→

CP.CB sin^−→

CP ,−→CB^

= −^{b sin (C + ϕ)}a sin ϕ

T÷ìng tü, ^{P AB}P BC ^{= −}

c sin (B + θ)

a sin θ . Tø â suy ra:P = P BC : P CA : P AB

P BC : −^{B sin (C + ϕ)}

a sin ϕ ^{.P BC : −}

c sin (B + θ)a sin θ ^{.P BC}

−1 : ^{B sin (C + ϕ)}a sin ϕ ^:

c sin (B + θ)a sin θ

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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54Duong tron Lester va mot so van de lien quanWednesday, June 12, 2024

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2 n¶n ¡p dưng cỉng thùc (1.1) ta câ:X₁ = −a² : σ_C+ σ₉₀<small>0</small> : σ_B + σ₄₅<small>0</small>

= −a² : σ_C : σ_B + σ. T÷ìng tü,X₂ = −a² : σ_C+ σ : σ_B.M»nh · 1.2.3. Gi£ sû X, Y, Z l  c¡c iºm m  tåa ë cõa chóng ta câ thº viát ữủcdÔng:

X = ? ? ? : y : zX = x : ? ? ? : zX = x : y : ? ? ?

Vêy cĂc ữớng thng AX, BY, CZ ỗng quy tÔi im P = (x : y : z).

<small>Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan542412065:44:17 PM5:44:17 PM542412065:44:17 PM5:44:17 PM542412065:44:17 PM5:44:17 PM</small>

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan54Wednesday, June 12, 20245:44:17 PM5:44:17 PM54Wednesday, June 12, 20245:44:17 PM5:44:17 PM54Wednesday, June 12, 20245:44:17 PM5:44:17 PM

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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54Duong tron Lester va mot so van de lien quanWednesday, June 12, 2024

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Chùng minh. Giao cừa AX v BG l vát cừa X trản BC, â l  iºm (0 : y : z). T÷ìngtü, c¡c giao iºm cõa BY vỵi CA v  CZ vỵi AB t÷ìng ùng l  (x : 0 : z) v  (x : y : 0). C¡ciºm v¸t cõa iºm P = (x : y : z).

Trong tr÷íng hđp n y ta nâi ∆XY Z phèi c£nh vỵi ∆ABC v  P l  tƠm phối cÊnh cừaXY Z.

Vẵ dử 1.2.7. Xt tam giĂc Ãu BCX dỹng trản cÔnh BC ra phẵa ngoi ABCTa câ c¡c gâc [CBX =BCX = 60[ ⁰ V¼ cot 60⁰ = ¹

3, nản theo cổng thực (1.1) thẳ ta câX =

−a²: σ_C +√^σ

3 ^{: σ}^B⁺σ√3

Chia c£ 3 tåa ë cho

σ_B +√^σ3

 

σ_C +√^σ3

 

σ_C+ √^σ3

 : _ ¹σ_B + 

 : _ ¹_C +

Tữỡng tỹ, ta viát ữủc tồa ë cõa Y v  Z ùng vỵi c¡c tam gi¡c ·u CAY v  ABZ:

<small>H¼nh 1.5: Hai iºm Torricelli-Fermat</small>

<small>Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan542412065:44:17 PM5:44:17 PM542412065:44:17 PM5:44:17 PM542412065:44:17 PM5:44:17 PM</small>

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan54Wednesday, June 12, 20245:44:17 PM5:44:17 PM54Wednesday, June 12, 20245:44:17 PM5:44:17 PM54Wednesday, June 12, 20245:44:17 PM5:44:17 PM

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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54Duong tron Lester va mot so van de lien quanWednesday, June 12, 2024

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Y =

1σ_A +√^σ

: ? ? ? : ¹σ_C +√^σ

Z =

: ¹σ_B + √^σ

: ? ? ?

Tø ¥y ta khng nh ữủc rơng tam giĂc XY Z tÔo bi ba nh cĂc tam giĂc Ãu dỹngtrản cĂc cÔnh ABC phối cÊnh vợi tƠm phối cÊnh l im

T = ¹σ_A+<small>√</small>^σ

: ¹σ_B +<small>√</small>^σ

: ¹σ_C+ <small>√</small>^σ

T =

3σ_A+ σ ^:1√

3σ_B + σ ^:1

3_C+ 

Náu cĂc tam giĂc Ãu dỹng trản cÔnh vo phẵa trong tam giĂc, lỵ luên tữỡng tỹ nhữtrản ta câ t¥m phèi c£nh thù hai

3σ_A− σ ^:

3σ_B− σ ^:1√

3σ_C − σ

1σ_A+ σ_θ ^:

1σ_B + σ_θ ^:

1σ_C + σ_θ

Ta gåi tam gi¡c XY Z l  tam gi¡c Kiepert v  K(θ) l tƠm phối cÊnh Kiepert tham số Vẵ dử 1.2.8. (im Napoleon). nh lỵ nời tiáng cừa Napoleon khng nh rơng:" BatƠm cừa tam giĂc Ãu dỹng trản ba cÔnh tÔo thnh mởt tam giĂc Ãu. CĂc tam giĂc nyữủc coi l nh cĂc tam giĂc cƠn dỹng trản cĂc cÔnh vợi gõc Ăy bơng 

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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t¥m phèi c£nh Kiepert Kπ

6, hayN₁ =

3σ ^:1σ_B +√

3σ ^:1σ_C +√

.â l  iºm Napoleon (d÷ìng). T÷ìng tü ta cõ im Napoleon (Ơm)

1_A3 ^:

1_B 3 ^:

Phữỡng trẳnh ữớng thng i qua hai im.

Phữỡng trẳnh ữớng thng i qua 2 iºm (x₁ : y₂ : z₂), (x₂: y₂: z₂)

x y zx<small>1</small> y<small>1</small> z<small>1</small>

x₂ y₂ z₂

= 0 ⇔ (y₁z₂− y₂z₁)x + (z₁x₂− z₂x₁)y + (x₁y₂− x₂y₁)z = 0.Vẵ dử 1.2.9. Mởt số trữớng hủp c biằt:

- Phữỡng trẳnh cĂc cÔnh BC, CA, AB lƯn lữủt l  x = 0, y = 0, z = 0.

- Trung trỹc cÔnh BC l ữớng thng nối tƠm O a²σ_A : b²σ_B : c²σ_C vỵi trung iºmI(0 : 1 : 1) nản cõ phữỡng trẳnh b²_B c<small>2</small>_Cx a²σ_Ay + a²σ_Az = 0.

V¼ b²σ_B − c²σ_C = .... = σ_A(σ_B − σ_C) = −σ_A b²− c²<sup>

</sup> n¶n b²− c²x + a²(y − z) = 0- ÷íng th¯ng Euler l ữớng nối trồng tƠm G(1 : 1 : 1)vợi trüc t¥m H (σ_BC : σ_CA : σ_AB)

x y z1 1 1σ_BC σ_CA σ_AB

= 0,khai triºn ành thùc ta ÷đc.

(σ_AB − σ_CA) x + (σ_BC− σ_AB) y + (σ_CA− σ_BC) z = 0.Cõ th viát tưt phữỡng trẳnh ữớng thng Euler th nh: P

σ_A(σ_B − σ_C) x = 0. - T÷ìngtü ÷íng th¯ng OI nèi iºm O a²σ_A : b²σ_B : c²_C vợi im I(a : b : c) cõ phữỡng tr¼nhP

bc (bσ_B − cσ_C) x =^P

b²cσ_B − c²bσ_Cx = 0. V¼ (bσ_B − cσ_C) = ... = −2 (b − c) s (s a),Phữỡng trẳnh tr thnh P

bc (b − c) s (s − a) x = 0 hay P

(b − c) (s − a)a ^{x =0.}iºm vỉ tªn v  ÷íng th¯ng song song.

iºm (x<small>0</small> : y<small>0</small>: z<small>0</small>) l  im vổ tên, náu nõ khổng cõ tồa ở barycentric tuy»t èi, tùcl  x₀+ y₀+ z₀= 0. Ta th§y t§t cÊ cĂc im vổ tên nơm trản mởt ữớng thng L, cõphữỡng trẳnh x + y + z = 0.

<small>Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan542412065:44:17 PM5:44:17 PM542412065:44:17 PM5:44:17 PM542412065:44:17 PM5:44:17 PM</small>

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan54Wednesday, June 12, 20245:44:17 PM5:44:17 PM54Wednesday, June 12, 20245:44:17 PM5:44:17 PM54Wednesday, June 12, 20245:44:17 PM5:44:17 PM

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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V½ dư 1.2.10. C¡c iºm vổ tên trản ữớng cao i qua A l:(0 : σ_C : σ_B) − a²(1 : 0 : 0) = a² : _C : _B.

Tờng quĂt, im vổ tên trản ÷íng th¯ng px + qy + rz = 0 l  (q − r : r − p : p − q).Vẵ dử 1.2.11. im vổ tên trản ữớng thng Euler l 

3 (σ_BC : σ_CA : σ_AB) − σ²(1 : 1 : 1) . (1.7)Chựng minh. Vẳ ữớng thng ny cõ phữỡng trẳnh

(_AB _CA)x + (_BC _AB)y + (_CA _BC)z = 0nản nõ cõ im vổ tên l:

(_BC _AB (σ_CA− σ_BC)) : (σ_CA− σ_BC− (σ_AB− σ_CA)) : (σ_AB− σ_CA− (σ_BC − σ_AB))hay−(2σ_BC − σ_AB − σ_CA: 2σ_CA− σ_BC − σ_AB : 2σ_AB − σ_CA− σ_BC) =

= (3σ_BC− σ<small>2</small>: 3σ_CA− σ<small>2</small>: 3σ_AB− σ<small>2</small>) = = 3(σ_BC : σ_CA : σ_AB) − σ²(1 : 1 : 1).

C¡c ÷íng th¯ng song song cõ cũng im vổ tên. ữớng thng qua im P (u : v : w)song song vợi ữớng thng L : px + qy + rz = 0, câ ph÷ìng tr¼nh.

q − r r − p p − q

q₁ r₁q₂ r₂

r₁ p₁r₂p₂

p₁ q₁p₂ q₂

p₁ q₁ r₁p₂ q₂ r₂p₃ q₃ r₃

= 0.

÷íng th¯ng vng gâc.

Cho ÷íng th¯ng L : px + qy + rz = 0. Ta x¡c ành iºm væ tên trản ữớng thngvuổng gõc vợi L. L CA = Y (−r : 0 : p); L ∩ AB = Z(q : p : 0).  tẳm ữớng thng

<small>Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan542412065:44:17 PM5:44:17 PM542412065:44:17 PM5:44:17 PM542412065:44:17 PM5:44:17 PM</small>

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan54Wednesday, June 12, 20245:44:17 PM5:44:17 PM54Wednesday, June 12, 20245:44:17 PM5:44:17 PM54Wednesday, June 12, 20245:44:17 PM5:44:17 PM

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

54Wednesday, June 12, 20245:44:18 PM5:44:18 PM54Wednesday, June 12, 20245:44:18 PM5:44:18 PM54Wednesday, June 12, 20245:44:18 PM5:44:18 PM

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

54Wednesday, June 12, 20245:44:18 PM5:44:18 PM54Wednesday, June 12, 20245:44:18 PM5:44:18 PM54Wednesday, June 12, 20245:44:18 PM5:44:18 PM

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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54Duong tron Lester va mot so van de lien quanWednesday, June 12, 2024

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vuæng gâc tø A xuèng L, Ưu tiản ta tẳm phữỡng trẳnh 2 ữớng thng: ữớng thng quaY, vuổng gõc vợi AB v qua Z, vng gâc vỵi CA. â l :

σ_B σ_A − c<small>2</small>

−r 0 px y z

= 0 v 

σ_B − b<small>2</small> σ_Aq − p 0x y z

= 0.

T½nh nh thực ta cõ 2 phữỡng trẳnh

_Apx + c²r σ_Bpy + σ_Arz = 0σ_Apx + σ_Aqy + b²q − _Cpz = 0.

Hai ữớng vuổng gõc ny cưt nhau tÔi iºm trüc t¥m ∆AY Z, câ tåa ëX⁰ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ : σ_Ap(σ_Ar − b²q + σ_Cp) : σ_Ap(σ_Aq + σ_Bp − c²r

= (∗ ∗ ∗ ∗ ∗ : σ_C(p − q) − σ_A(q − r) : σ_A(q − r) − σ_B(r − p)).÷íng th¯ng qua A, vuổng gõc vợi AX⁰ cõ phữỡng trẳnh:

∗ σ_C(p − q) − σ_A(q − r) σ_A(q − r) _B(r p)

-Phữỡng trẳnh ữớng trỏn ngoÔi tiáp ∆ABC l  a²yz + b²zx + c²xy = 0.

- Ph÷ìng trẳnh ữớng trỏn chẵn im cừa tam giĂc ABC. p dửng php v tỹ tƠm G, tsố ¹

2 bián ữớng trỏn ngoÔi tiáp thnh ữớng trỏn chẵn im. Náu P (x : y : z) l  iºm

<small>Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan542412065:44:17 PM5:44:17 PM542412065:44:17 PM5:44:17 PM542412065:44:17 PM5:44:17 PM</small>

Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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Duong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quanDuong tron Lester va mot so van de lien quan

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trản ữớng trỏn chẵn im thẳ:

Q = 3G − 2P = (x + y + z) (1 : 1 : 1) − 2 (x : y : z)= (y + z − x : z + x − y : x + y z)thuởc ữớng trỏn ngoÔi ti¸p, tùc l 

a²(z + x − y) (x + y − z) + b²(x + y − z) (y + z − x) + c²(y + z − x) (z + x y) = 0.Rút gồn lÔi theo kỵ hiằu ta cõ phữỡng trẳnh ữớng trỏn chẵn im

= a²σ_A+ σ_B(r − p) − σ_C(p − q)β = b²σ_B + σ_C(p − q) − σ_A(r − p)γ = c²σ_C + σ_A(q − r) − σ_B(r − p) .B¡n k½nh ρ ÷đc cho bði ρ² = ^a

<small>2</small>b²c²− 2 a<small>2</small>σ_Ap + b²σ_Bq + c²σ_Cr+ ξ

Vỵi ξ = σ_A(q − r)²+ σ_B(r p)²+ _C(p q)².

ữớng trỏn tƠm (u : v : w) bĂn kẵnh cõ phữỡng trẳnha²yz + b²zx + c²xy − (x + y + z)^X

c²v²+ 2σ_Avw + b²w²(u + v + w)<small>2</small>

Hai iºm P (x₁ : y₁: z₁) , Q (x₂ : y₂ : z₂) li¶n hđp ng giĂc vợi nhau khi v ch khi tỗntÔi số K ∈ R^∗ º câ x₁x₂ = ka²; y₁y₂= kb²; z₁z₂= kc².

Di»n t½ch tam gi¡c.

Gi£ sû P (p₁: p₂ : p₃) , Q (q₁ : q₂ : q₃) , R (r₁ : r₂: r₃) câ tåa dë t cü chu©n hâa theo tamgi¡c ABC. Khi â ta câ:

P QR =