skkn cấp tỉnh nâng cao năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc giải quyết các bài toán cực trị h̀inh toạ độ trong không gian

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

<b>TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II</b>

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

<b>PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY </b>

<b>CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC GIẢI QUYẾTCÁC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH </b>

<b>TRONG KHƠNG GIAN </b>

<b>Người thực hiện: Đỗ Thị ThủyChức vụ: Giáo viên</b>

<b> Đơn vị công tác: Trường THPT Quảng Xương II</b>

<b>SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Tốn</b>

THANH HĨA NĂM 2024

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<b>MỤC LỤCTrang</b>

2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 3 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo 17dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

<b> Các SKKN đã được Sở GD&ĐT Thanh Hóa xếp loại</b> 20

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<b>1. MỞ ĐẦU1.1. Lí do chọn đề tài. </b>

Trong việc dạy học tốn ta ln coi mục đích chủ yếu của bài tập tốnlà hình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến thức vào thực tiễn . Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán để nâng cao năng lực tư duy cho học sinh là hết sức cần thiết.

Khoảng cách trong không gian là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình lớp 11 và nó ln xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia, kỳ thihọc sinh giỏi hằng năm. Để lĩnh hội kiến thức của phần này được dễ dàng thì địihỏi người học phải có tư duy tốt các tính chất hình học thuần t trong khơng gian. Đối với học sinh, đa số các em rất ngại học mơn hình học, đặc biệt là mơn hình học khơng gian. Bởi vì, đây là mơn học địi hỏi trí tưởng tượng, óc thẩm mỹ và tính tư duy cao, không phải học sinh nào cũng học tốt được. Đối với giáo viên, nếu người dạy khơng có tầm nhìn sâu rộng, khả năng bao quát, liên kết vớicác phần kiến thức tốn học khác thì học sinh sẽ thấy rất nhàm chán, khó nâng cao được chất lượng học tập. Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh lớp 11 rất sợ khi gặp những câu liên quan đến khoảng cách trong không gian, các em cảm thấy bế tắc, trừu tượng, thiếu tính thực tế, khơng có phương hướng để làm. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh khơng làm được phần này, về phần giáo viên cũng mong muốn truyền đạt đến học sinh một số phương pháp nhất định để các em khơng cịn e ngại khi gặp các bài tốn về khoảng cách trongkhơng gian.

Với những lí do như trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được,

<b>tôi đã tiến hành thực hiện đề tài sáng kiến cho năm 2024 với nội dung: “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thơng qua việc giải quyết các bài tốn khoảng cách trong khơng gian”</b>

<b>1.2. Mục đích nghiên cứu. </b>

- Với việc nghiên cứu đề tài sẽ giúp học sinh, đặc biệt là đối tượng họcsinh học ở mức độ khá, giỏi có thể giải được các bài tốn về khoảng cách thơngqua các kiến thức hình học khơng gian ở lớp 11 mà các em đã học.

- Thông qua SKKN này sẽ bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹnăng giải toán, học sinh sẽ biết liên kết các nội dung kiến thức tốn học vớinhau, có năng lực tư duy, tìm tịi sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bàitoán mới.

- Kết hợp giữa định tính và định lượng nhằm giúp các em hệ thống tốthơn kiến thức đã học và giúp các em hứng thú hơn trong việc học môn HHKG.

- Hy vọng đề tài ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinhcó một cái nhìn tồn diện hơn về một lớp các bài tốn khoảng cách trong khônggian.

<b>1.3. Đối tượng nghiên cứu.</b>

- Các bài tốn khoảng cách trong khơng gian ở mức độ vận dụng trongcác đề thi.

- Các học sinh có trình độ khá, giỏi lớp 11 trường THPT Quảng Xương

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<b>II-1.4. Phương pháp nghiên cứu.</b>

- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài.- Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).

- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn,…).- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS). - Phương pháp thực nghiệm sư phạm (tổ chức một số tiết dạy).

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu (thống kê điểm kiểm tra của họcsinh và đối chứng).

<b>2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.</b>

Các kiến thức được sử dụng trong sáng kiến này thuộc phạm vi kiến thứchình học khơng gian lớp 11 theo chương trình mới, các ví dụ được tổng hợp từcác bài tốn lấy từ các đề thi thử THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi các cấp.

 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

<i>Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng </i>

 

 song song với nhau là

<i>khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến mặt thẳng .</i>

 



;



;

     

<i>d a</i>  <i>d M</i>  <i>MH M</i>  .

 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng kia.

   



;



;

  

;

    

,



<i>d</i>   <i>d a</i>  <i>d A</i>  <i>AH a</i>  <i>A a</i>

<b>iii) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau</b>

- Đường thẳng <i> cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vng góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vng góc chung của a và b.</i>

- Đường thẳng vng góc chung <i> cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.</i>

<b>2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.</b>

<i><b>Về phía học sinh.</b></i>

Trong q trình giảng dạy bộ mơn tốn hình học lớp 11, tơi nhận thấy khidạy về các bài tốn khoảng cách trong khơng gian, những câu ở mức độ nhậnbiết, thông hiểu đơn giản học sinh đều nắm được cách giải. Tuy nhiên, khi gặpnhững câu vận dụng, vận dụng cao thì học sinh bị bế tắc, không định hướngđược cách giải. Các câu dạng này, phần lớn là phức tạp và hầu như khơng nhìnthấy ngay được trên hình, địi hỏi học sinh phải có tư duy tốt mới phát hiện đượcvấn đề để giải.

<i><b>Về sách giáo khoa.</b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<i><b> Sách giáo khoa chỉ đưa ra các ví dụ về các câu khoảng cách ở mức độ đơn</b></i>

giản, ít đề cập đến những câu vận dụng, vận dụng cao, vì vậy học sinh gặp rấtnhiều khó khăn khi đối mặt với những câu này trong các đề thi thử tốt nghiệphoặc thi học sinh giỏi. Đặc biệt tài liệu chuyên sâu về dạng tốn này ít, khơng hệthống, khơng chỉ rõ các dạng tốn thường gặp, các hướng đề thi có thể ra...

<i><b>Về phía giáo viên.</b></i>

Với sức ép của chương trình, qui chế chun mơn, thời lượng thực hiệnchương trình sát sao, đã làm cho giáo viên chỉ đủ thời gian truyền tải các nộidung trong sách giáo khoa, ít có thời gian mở rộng kiến thức cho học sinh, phầnmở rộng chủ yếu ở các tiết phụ đạo, bồi dưỡng.

Trước khi tôi thực hiện đề tài này thì kết quả các bài kiểm tra chuyên đề“Khoảng cách trong không gian” của học sinh lớp 11 trong hai năm học liên tiếpcủa trường THPT Quảng Xương II được thể hiện qua bảng sau:

<b>2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.</b>

<b>2.3.1. Các giải pháp: Trong giảng dạy tôi thực hiện như sau:</b>

- Dùng hệ thống câu hỏi gợi ý phương pháp tìm tịi lời giải cũng nhưphương pháp tổng qt hóa bài tốn.

- Khai thác, phát triển tính chất của bài tốn tương tự.

- Ra đề toán theo hướng mở với kiểu câu phát hiện sáng tạo, học sinh cóthể trên cơ sở bài tốn tổng qt tự mình tìm ra được những bài tốn khác nhau.

<b>2.3.2. Nội dung: Tơi xin trình bày hai vấn đề lớn cùng một số ví dụ và các bàitập tự luyện. </b>

<b>Vấn đề 1: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.</b>

<b> Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao</b>

<i><b>Xét bài tốn: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vng góc lên mặt đáy là </b></i>

<i>H. Tính khoảng cách từ điểm A bất kì đến mặt bên </i>



<i>SHB .</i>



Kẻ <i>AK</i> <i>HB</i> ta có:



</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<i><b>Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích </b></i>

bằng 2, <i>AB</i> 2,<i>BC . Gọi M là trung điểm của CD, hai mặt phẳng </i>2



<i>SBD </i>



và



<i>SAM cùng vng góc với đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng</i>



<i>SSBK AMBK</i>

<b>Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ </b><i>ABCD A B C D</i>. ' ' ' '<i> có đáy là hình chữ nhật ABCD có </i>

hai đường chéo <i>AC BD</i> 2<i>a. Tam giác A’BD vuông cân tại A’ và nằm trong </i>

mặt phẳng vng góc với đáy. Mặt phẳng



<i>A AB tạo với đáy một góc </i>'



60 . Tính khoảng cách <i>d B A BD .</i>



';



'

 

<i><b>Lời giải</b></i>

<i>Gọi H là tâm hình chữ nhật ABCD</i>

Do



<i>A BD</i>'

 

 <i>ABCD</i>



 <i>A H</i>' 



<i>ABCD</i>



.Ta có: ' ¹

<i>A H</i>  <i>BD a</i> (trong tam giác vuông đườngtrung tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).

Dựng <i>HM</i> <i>AB</i> <i>AB</i>



<i>A HM</i>'



 ^<i>A MH</i>' 60+) Khi đó: ^{tan 60} ^'

<i>aHM</i>  <i>A H</i>  <i>HM</i> 

Do: <i>A D</i>' / / '<i>B C</i> <i>B C</i>' / /



<i>A BD</i>'



 <i>d B A BD</i>



';



'





<i>d C A BD</i>



;



'





.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Ta có: ^. ² ²3

<i>CD CBaCE</i>

<i>ad B A BD </i> .

 Dạng 2: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên.

<i><b>Xét bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vng góc lên mặt đáy là </b></i>

<i>H. Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt bên</i>

<i><b>Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD </b></i>

<i>là tam giác vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vng góc với đáy. Biết</i>

<i>SA a</i> <i> và SB tạo với đáy một góc </i>30 <i>. Gọi H là trung điểm của AD. Tính </i>

các khoảng cách sau:a) <i>d H SBC</i>



;

 

b) <i>d H SAC</i>



;

 

<i>SBH</i>    <i>HB</i>  <i>SH</i>  <i>aHB a</i>Khi đó: <i>AB</i> <i>HB</i><small>2</small>  <i>AH</i><small>2</small> <i>a</i> 2

<i>HFd H SBCHF</i> ^<i>SH</i> ^ <i>HE</i> ^ ^ ^ ^.

b) Dựng <i>HN</i>  <i>AC</i> <i>AC</i> 



<i>SHN</i>



, dựng <i>HI</i> <i>SN</i>  <i>HI</i> 



<i>SAC</i>



</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Dựng ² ² ₂^. ₂2

<b>Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng </b><i>ABC A B C</i>. ' ' 'có đáy là tam giác đều cạnh <i>^a</i>,

<i>gọi I là trung điểm cạnh BC, đường thẳng A’C tạo với đáy một góc </i>60 .

<i>A CA</i>   <i>AA</i> <i>AC</i>  <i>a</i>

Dựng <i>AI</i> <i>BC</i> <i>BC</i> 



<i>A AI</i>'



và3

<i>aAI </i>

Dựng <i>AH</i> <i>A I</i>'  <i>d A A BC</i>



;



'

 

<i>AH</i>

<i>AI AAaAH</i>

Khi đó: <i>d A</i>



;

 





<i>d A A Ix</i>



;



'

 

<i>, Ix cắt AB tại trung điểm M và AB.</i>

<i>AK A Aad A A IKAE</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

 Nếu AB cắt   tại I thì ta có:

   

 

<i>d A_AId BBI</i>

<i>d C SAB_CICHSABI</i>

<i>d H SABHI</i>

<i>Quay trở về bài tốn tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt phẳng bên.</i>

<b>Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O, </b><i>SA</i>2<i>a</i> 2. Hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh OA, biết tam giác SBD vng tại S. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

với trọng tâm G của tam giác ABC. Biết mặt phẳng



<i>B C CB tạo với đáy một </i>' '



góc 60 . Tính các khoảng cách:

a) <i>d A A BC .</i>



;



'

 

b) <i>d C ABB A</i>



;



' '

 

_.

<i>aA G GE</i>

<i>GI A GGKA Id G A AB</i>

Trong mặt phẳng



<i>A OM</i>



: kẻ <i>OH</i> <i>A M</i> .

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Ta có: <i>AB</i>



<i>A OM</i>



(vì <i>AB OM</i> và <i>AB</i><i>A O</i> ). Suy ra <i>AB OH</i> .Vì <i>^OH^{A M}OH</i>



<i>ABB A</i>



<i>d D ABB A</i>   <i>hOH</i>  .

 Dạng 4: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

<b>Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song</b>

Cho đường thẳng <small></small> và mặt phẳng  <small></small> song song với nhau. Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì trên <small></small> đến mặt phẳng  <small></small> được gọi là khoảng cách giữađường thẳng <small></small> và mặt phẳng  <small></small> .

<i><b><small>βα</small>^M</b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Ta có: 22

<i>OA</i> <i>a</i>  <i>SO</i> <i>SA</i><small>2</small>  <i>OA</i><small>2</small> <i>a</i> 3Mặt khác <i>d CD SAB</i>



;

 

<i>d D SAB</i>



;

 

<i>d D SAB_DBd O SAB</i> ^<i>OB</i> ^

Dựng <i>OE</i><i>AB</i>,OF SE ta có:

<i>ADOE</i>  <i>a</i>

Khi đó: <i>d D SAB</i>



;

 

2<i>OF</i> 2. <i>^{SO OE}</i>₂^. ₂ <i>a</i> 3

<b>Ví dụ 9: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, </b>

N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC và A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng



MNP và

_

ACC' .

_

<i><b> Lời giải</b></i>

Ta có:

MN / /AC, NP / / A A' MNP / / ACC'A 'Gọi O là tâm hình vng ABCD và <small>I DO MN</small>

Ta có: ^{IO AC} IO



ACC'A'



IO AA '

Do đó d MNP ; ACC'A '

   

d I; ACC'A'

  

IOLại có: IO ^OD ^BD ^{a 2}

<b>Vấn đề 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau</b>

 Cách xác định đoạn vng góc chung của 2 đường chéo nhau.

<i>Cho 2 đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi </i>

 

 là mặt

<i>phẳng chứa b và song song với a, a’ là hình chiếu vnggóc của a trên </i> <i>CD</i>(<i>SHC</i>) <i>SCH</i>^ 60^.

Vì <i>a</i>/ /

 

 nên <i>a a</i>/ / '. Gọi <i>N a</i> ' <i>b</i> và

 

 là mặt

<i>phẳng chứa a và a’. Dựng đường thẳng </i><i> qua N vàvng góc chung và MN là đoạn vng góc chung của avà b.</i>

<b>Nhận xét:</b>

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng cịn lại

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

 Dạng 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

<b>nhau và vng góc với nhau.</b>

<i>Phương pháp giải: Dựng đường vng góc chung. Khảo</i>

<i>sát khối chóp đỉnh S có đường cao SH, u cầu tính</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

<i>khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau d (thuộc mặt đáy) và đường thẳng SC </i>

thuộc bên khối chóp trong trường hợp <i>d</i> <i>SC</i>.

 Dựng hình: Hình chiếu vng góc của SC trên mặt phẳng đáy là HCMặt khác: <i>^SC^dd</i>



<i>SHC</i>



Gọi <i>M</i>  <i>dHC</i>, dựng <i>MK</i> <i>SC</i> khi đó MK là đoạn vng góc chung của AC và SC

 Cách tính: Dựng <i>HE</i> <i>SC</i> khi đó <i>^MK^MCMK^MC</i>.<i>HEHE</i> ^<i>HC</i> ^ ^<i>HC</i>

Xét tam giác vng SHC ta có: ¹ ₂ ¹₂ ¹ ₂ <i>HE MK d d SC</i>



;



Dựng <i>AH</i> <i>SD</i> suy ra AH là đoạn vng góc chung của ABvà SD

<i>SA ABaSA</i>  <i>AB</i> ^

<i><b>Ví dụ 11: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vng cân AB = BC = 3a, </b></i>

<i>hình chiếu vng góc của B’ lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, mặtphẳng (ABB’A’) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60°. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và B’C.</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

<i>aB G GI</i>

<i>B G IIHB Cd AB B CIH</i>

<i>B G GCGKIHIHGK</i>

<i>Phương pháp giải : Dựng đường thẳng chứa a và song song với b (hoặc đường </i>

<i>thẳng chứa b và song song với a) để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng </i>

chéo nhau.

<i>Khảo sát khối chóp đỉnh S có đường cao SH, yêu cầu tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d (thuộc mặt đáy) và đường thẳng SC thuộc mặt bên củakhối chóp trong trường hợp d khơng vng góc với SC.</i>

 Dựng hình: Tìm giao điểm C của cạnh bên SC và mặt đáy (giao điểm của

<i>cạnh thuộc mặt bên và mặt đáy). Từ C ta dựng đườngthẳng xCy d</i>

<i>Khi đó d(d;SC) = d(d;(Sxy))</i>

Gọi <i>^M</i>  <i>^d^HC</i> <i>^{d d M Sxy}</i> ^{( ;(} ⁾⁾Ta có :

 Chú ý: Để tính d(d;(Sxy)) ta có thể lấy bất kỳ điểm

<i>nào thuộc d (không nhất thiết là điểm M) sao cho việc</i>

quy đổi khoảng cách cần tìm về khoảng cách từ chân

<i>đường cao H đến mặt phẳng (Sxy) dễ dàng nhất.</i>

<i><b>Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu </b></i>

<i>vng góc của B’ lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB, góc giữa mặt phẳng (BCC’B’) và mặt phẳng đáy bằng </i>₆₀<small></small>. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

<i>aB HHK</i>

Do AA'/ / BB' ^{d(AA';BC) d(AA';( ' ' ))} <i>^{B C C}</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

(A;(B'C'CB)) 2 ( ;( ' ' )) 2

<i>d</i>  <i>d H B C CB</i>  <i>HE</i>

<i>HK B HaHE</i>

<i><b>Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A, </b>AB a</i> 3<i>, AC = </i>

<i>a, tam giác SBC là tam giác vuông cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vng góc với </i>

<i>mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và AC.</i>

<i><b>Lời giải</b></i>

<i>Gọi H là trung điểm của BC. Ta có SH</i> <i>BC</i>

Mặt khác (<i>^SBC</i>^{) (} <i>^ABC</i>⁾ <i>^SH</i> ⁽<i>^ABC</i>⁾Ta có :

<i>BC</i>  <i>AB</i> <i>AC</i>  <i>a</i> <i>SH</i>  <i>BC a</i>Dựng <i>^Bx</i>^{/ /}<i>^AC</i> <i>^{d AC SB}</i>⁽ ^; ⁾<i>^{d AC SBx}</i>⁽ ^;( ⁾⁾

( ;( ))

<i>d C SBxd</i>

Dựng : <i>^HK</i> <i>^{Bx HE}</i>^, <i>^SK</i>  <i>^HE</i>⁽<i>^SBx</i>⁾( ;( )) 2 ( ;( )) 2

<i>ad</i>  <i>d H SBK</i> 

<i><b>Ví dụ 14: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính d là khoảng </b></i>

<i>BO BBaHB ACh BH</i>

<i><b>Ví dụ 15: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a. Hình chiếu </b></i>

<i>vng góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 3HB.Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng </i>₄₅<small></small>. Tính khoảng cách giữa 2

<i>đường thẳng SA và BD.</i>

<i><b>Lời giải</b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<i>d SA BD</i> <i>d BD SAx</i> <i>d H SAx</i>

Dựng <i>_HE</i>_<i>_Ax</i>_ <i>_{HE OA a}</i>_ _ ₂Dựng <i>^HF</i> <i>^SE</i> <i>^HF</i> ⁽<i>^SAx</i>⁾

<i><b>Ví dụ 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng có AB = </b></i>

<i>BC = a, A’B = a</i> 3<i>. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai </i>

<i>đường thẳng AM và B’C.</i>

<i><b>Lời giải</b></i>

Ta có: AA' <i>A B</i>' <small>2</small> <i>AB</i><small>2</small> <i>a</i> 2Dựng <i>Cx</i>/ /<i>AM</i> khi đó

<i>d AM B C</i> <i>d AM B Cx</i>

( ;( ' )) ( ;( ' ))2

<i>d M B Cxd B B Cx</i>

( 'Cx) d(B;(B'Cx)) BF'

<i>BFBBFB E</i>

Lại có BE 2BP , trong đó

<i><b>Ví dụ 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vng tại A và B, </b>^SA</i>⁽<i>^ABCD</i>⁾

<i>. Biết AD = 2a, AB = BC = a và SD tạo với đáy một góc </i>₃₀<small></small><i>. Gọi K là trung điểm của </i>

<i>SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AK.</i>

<i><b>Lời giải</b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

  2

<i>aSA</i> <i>ABCD</i>  <i>SD ABCD</i> <i>SDA</i> ^ <i>SA AD</i> ^ Ta có: <i>^BA^ADBA</i> (<i>SAD</i>)

<i>BA SA</i>

<b>Câu 2: Cho hình chóp </b><i>S ABCD</i>. có đáy là hình vng cạnh <i>a</i>_{, mặt bên}<i>_SAB</i>_là

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tínhkhoảng cách từ <i>D</i> đến mặt phẳng



<i>SAC .</i>



<b>Câu 3: (Thpt Cẩm Giàng 2 2019) Cho hình chóp </b><i>S ABCD</i>. có đáy <i>ABCD</i> là hình thoi cạnh <i>a</i>_{, }<i>_{ABC   . Cạnh bên}</i>₆₀ <i>_SA</i><b>_{vng góc với đáy,}</b><i>_SC</i> _₂<i>_a</i>_{. Tính}

khoảng cách từ <i>B</i> đến mặt phẳng



<i>SCD .</i>



<b>Câu 4: (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hình hộp </b><i>ABCD A B C D</i>.     cóđáy <i>ABCD</i> là hình vng cạnh <i>^a</i>, tâm <i>O</i>. Hình chiếu vng góc của <i>A</i> lênmặt phẳng



<i>ABCD trùng với </i>



<i>O</i>. Biết tam giác <i>AA C</i> vng cân tại <i>A</i>. Tínhkhoảng cách <i>h</i> từ điểm <i>D</i> đến mặt phẳng



<i>ABB A</i> 



.

<b>Câu 5: Cho hình chóp </b><i>S ABC</i>. có đáy <i>ABC</i> là tam giác vng cân tại <i>A</i>.

<i>AB a</i> , <i>SA</i> vng góc với mặt phẳng đáy và <i>_{SA a}</i>_ ₃. Gọi <i>M</i> là trung điểm của <i>BC</i> . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng <i>AC</i> và <i>SM</i> .

<b>Câu 6: (THPT Việt Đức Hà Nội 2023) Cho lăng trụ đứng </b><i>ABC A B C</i>.    có đáy

<i>ABC</i> là tam giác vuông tại <i>A</i> với <i>AC a</i> 3. Biết <i>BC</i> hợp với mặt phẳng



<i>AA C C</i> 



một góc ₃₀<i><small>o</small></i> và hợp với mặt phẳng đáy góc  sao cho _sin ⁶

Gọi <i>M N</i>, _{lần lượt là trung điểm cạnh}<i>_BB</i>_và<i>_{A C}</i> . Tính khoảng cách giữa <i>MN</i>

và <i>AC</i>.

</div>