skkn cấp tỉnh phương pháp giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất bằng tọa độ véc tơ trong không gian

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>1. MỞ ĐẦU</b>

<b>1.1. Lí do chọn đề tài</b>

Trong chương trình hình học, véc tơ là một phạm trù kiến thức cơ bản và quantrọng xuyên suốt trong tồn bộ chương trình. Khái niệm về phương pháp tọa độtrong khơng gian được trình bày và xây dựng trên khái niệm véc tơ, điều đó cónghĩa là véc tơ và phương pháp tọa độ trong không gian có mối quan hệ mật thiếtvới nhau. Tuy nhiên học sinh không dễ dàng tiếp cận được khái niệm này, đa sốcác em đều không nhận thấy được mối quan hệ giữa các khái niệm trên. Các emthường gặp khó khăn trong giaie các bài tốn về hình học tọa độ trong không gianbằng phương pháp véc tơ, đặc biệt là sử dụng véc tơ vào giải bài toán về tìm giátrị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hình học tọa độ trong khơng gian.

Trong thực tế dạy học mơn tốn ở trường THPT, việc làm cho học sinh nắmvững các kiến thức về véc tơ và vận dụng vào giải các bài tốn về tìm giá trị lớnnhất và giá trị nhỏ nhất của hình học tọa độ trong không gian là một vấn đề quantrọng. Do đó để nâng cao chất lượng dạy và học đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục

<i><b>hiện nay tôi đã quyết định lấy đề tài: “Phương pháp giải một số bài tốn tìm giá</b></i>

<i><b>trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng tọa độ véc tơ trong không gian”. Mong rằng</b></i>

đề tài này sẽ giúp học sinh học tốt hơn, tạo hứng thú và say mê cho học sinh đốivới việc học mơn tốn.

Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay, mức độ khó của các câu hỏi liênquan đến tọa độ khơng gian Oxyz ngày càng khó lên, trong khi kiến thức trongsách giáo khoa vẫn chỉ giới hạn ở mức độ giới thiệu, những bài tập chủ yếu là tínhtốn, chủ yếu là ở mức độ 2, kiến thức chưa sâu. Vì vậy rất khó khăn cho học sinhkhi gặp các bài tập về cực trị hình học tọa độ không gian Oxyz ở mức độ cao hơn,đặc biệt là đối với học sinh của trường THPT Hậu Lộc I ,với vùng tuyển sinh củanhà trường là vùng thuần nơng, điều kiện kinh tế, văn hóa xã hội còn hạn chế sovới nhiều địa phương khác, điểm đầu vào tuyển sinh 10 chỉ dao động 22 điểm đến

<i>23 điểm (văn – toán đã nhân hệ số 2).</i>

Với lý do trên, tôi thấy cần thiết phải giúp học sinh biết vận dụng kiến thức vềvéc tơ vào giải các bài tốn về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hình họctọa độ trong khơng gian. Bởi vậy tôi đã mạnh dạn đưa ra phương pháp hướng dẫnhọc sinh vận dụng các kiến thức véc tơ vào giải các bài tốn về tìm giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất của hình học tọa độ trong khơng gian với mong muốn họcsinh nắm được hệ thống các kiến thức cơ bản vững chắc về véc tơ, về phươngpháp tọa độ trong không gian, biết vận dụng các kiến thức véc tơ vào giải các bàitốn hình học nói chung và giải các bài tốn về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất của hình học tọa độ trong khơng gian.

<b>1.2. Mục đích nghiên cứu.</b>

Mục đích nghiên cứu của đề nhằm hoàn thiện hơn nữa kinh nghiệm giảng dạycủa bản thân, làm tư liệu để đồng nghiệp có thể tham khảo và trên hết là để học

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

sinh có tài liệu nhằm mở rộng kiến thức, hoàn thành tốt các đề thi tốt nghiệmTHPT và xét đại học.

Từ đây, có thể hình thành cho học sinh tư duy liên môn, thấy được các mốiquan hệ liên môn giữa các môn học mà lâu nay học sinh khơng để ý tới, từ đó giúphọc sinh có kỹ năng tốt hơn để giải quyết tốt các bài tốn ở mơn khác, ở thực tiễnđời sống sau này.

<b>1.3. Đối tượng nghiên cứu</b>

Với tính cấp thiết của đề tài, giới hạn của đề tài, đối tượng nghiên cứu của đềtài là các kỹ năng, kỹ thuật sử dụng tích chất tọa độ véc tơ để giải một số dạngtốn tìm Giá trị nhỏ nhất, Giá trị lớn nhất trong khơng gian.

Vì giới hạn của đề tài, đề tài chủ yếu tập trung vào một số bài tốn tìm GTLN,GTNN bằng tọa độ véc tơ trong khơng gian.

<b>1.4. Phương pháp nghiên cứu</b>

Để xây dựng đề tài, tôi đã sử dụng các phương pháp sau:

+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: GV cung cấp cho họcsinh các kiến thức hình học cần thiết cho từng dạng bài tập, chỉ ra những điểm lưuý, nhấn mạnh những ưu điểm, chỉ ra các sai lầm hay mắc phải của học sinh.

+ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Các kỹ năng, kỹthuật sử dụng tính chất hình học giải một số bài toán số phức đã được triển khaithực hiện với nhiều đối tượng học sinh (Giỏi, khá, trung bình, yếu - kém), nhiềuhình thức giảng dạy (Trực tiếp, trực tuyến, từ xa). Tiếp nhận các phản hồi từ họcsinh, từ đó điều chỉnh, hồn thiện phương pháp giảng dạy phù hợp.

+ Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Để đánh giá sự hiệu quả của đề tài,phương pháp thống kê, xử lý số liệu cũng được bản thân sử dụng hiệu quả nhằmso sánh kết quả của triển khai đề tài giữa các lớp, giữa các năm và giữa lớp cótriển khai đề tài và lớp khơng triển khai đề tài.

<b>2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm</b>

<b>2.1. Cở sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.</b>

Chương trình giáo dục phổ thơng phái phát huy tính tích cực, tự giác, chủđộng, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc trung môn học, đặc điểm đối tượnghọc sinh, điều kiện của từng lớp học, bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khảnăng hợp tác, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đếntình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.

Kiến thức vận dụng:

<b>+ Để giải quyết các bài toán liên quan đến véc tơ thì các sẽ sử dụng các kiến</b>

thức về quy tắc về véc tơ như:

*) Quy tắc ba điểm: <i>^{AB BC}</i>  <i>^AC</i>

, *) Quy tắc hiệu: <i>^{AB AC CB}</i>  

.

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

+ Để giải quyết các bài toán liên quan đến véc tơ thì các sẽ sử dụng các kiếnthức biểu thức tọa độ của véc tơ và tọa độ điểm như:

<i><b>2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng đề tài.</b></i>

Toán học là mơn học khó, khi học sinh tiếp cận bài học và vận dụng lý thuyếtvào giải bài tập thì địi hỏi học sinh cần phải linh hoạt, hiểu rõ bản chất của kiếnthức trong từng trường hợp của chương trình. Véc tơ là một mảng kiến thức rộngtrong toán học nhưng các dạng bài tập vận dụng kiến thức về véc tơ vào giải cácbài tốn về tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hình học tọa độ trong khơnggian thì khơng nhiều. Do đó sẽ khơng đáp ứng được u cầu học tập và rèn luyệncủa học sinh. Khi gặp các dạng toán này học sinh không biết nên xoay sở thế nàođể tìm ra cách giải, dẫn đến làm cho học sinh chán nản, khơng muốn tự mình tìmtịi và suy luận ra cách giải.

Chính vì vậy, vấn đề đặt ra trong mỗi tiết dạy về véc tơ hay phương pháp tọađộ trong khơng gian thì giáo viên cần khắc sâu cho học sinh các kiến thức trọngtâm, giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản và hiểu được mối quan hệ giữavéc tơ với phương pháp tọa độ trong khơng gian. Do đó trong các tiết học giáo

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

viên nên đưa ra nhiều dạng bài tập và định hướng phương pháp giải để học sinh cóthể tự tìm tịi ra cách giải các bài tốn để tiết học được phong phú và đạt hiệu quảcao hơn.

<b>2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.</b>

Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh, tác giả đã giúp học sinh nhận dạngbài toán và phương pháp giải các dạng toán theo hệ thống bài tập được sắp xếptheo một trình tự logic.

<b>Dạng 1: Tìm điểm </b><i><small>M</small></i> <b> thuộc đường thẳng </b><small></small><b> sao cho </b><small></small><i>^MA</i>² <small></small><i>^MB</i>²<b> đạt giá</b>

<b>trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.</b>

<b>Bài toán: Cho các điểm </b><i><small>A x y z</small></i><small>1</small>

^

<small>1; ;11</small>

^

<small>,</small><i><small>A x y z</small></i><small>2</small>

^

<small>2; ;22</small>

^

<small>,</small><i><small>A x y z</small></i><small>3</small>

^

<small>3; ;33</small>

^

<small>,...,</small><i><small>A x y z</small>_n</i>

^

<i>_n</i><small>; ;</small><i>_n_n</i>

^

và

đường thẳng

+ Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thức từ đó suy ra giá trị

<b>Bài tập áp dụng:</b>

<b>Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ </b><i>^Oxyz</i> cho hai điểm <i>^A</i>

^

^{1;1;0 ,}

^

<i>^{B }</i>

^

^2;1;3

^

và đường thẳng

<i><small>t</small></i><small>   </small><i><small>t</small></i>

<small>14 1;;33 3</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">



<small>1;0; 1</small>



<i><small>x t</small></i>

<small>  </small>

<small>  </small>

<b> đạt giá</b>

<b>trị nhỏ nhất.</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<b>Bài toán: Cho các điểm </b><i><small>A x y z</small></i><small>1</small>

^

<small>1; ;11</small>

^

<small>,</small><i><small>A x y z</small></i><small>2</small>

^

<small>2; ;22</small>

^

<small>,</small><i><small>A x y z</small></i><small>3</small>

^

<small>3; ;33</small>

^

<small>,...,</small><i><small>A x y z</small>_n</i>

^

<i>_n</i><small>; ;</small><i>_n_n</i>

^

và

đường thẳng

<b>Lời giải</b>

<i><small>z t</small></i>

<small> </small>

<small> </small>Vì <i><small>M</small></i><small></small><i><small>d</small></i> nên gọi tọa độ điểm <i>^M</i>

^

^{2 ; 1 ;}<i>^t</i> ^{ }<i>^{t t}</i>

^

.Ta có: <i>^MA</i>^

^

^{4 2 ; 2}^ <i>^t</i> ^ <i>^t</i>^{; 2}^{ } <i>^t</i>

^

là <small>30</small>

<small>;;99 9</small>

<small></small> _ <small></small> _<small></small>.

<b>Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ </b><i>^Oxyz</i> cho hai điểm <i>^A</i>

^

^{1; 1;2 ,}^

^



<small>1; 2; 3 ,</small>



<small>1;1;1</small>



<i><small>z t</small></i>

<small> </small>

<small> </small>

đạt giá trị nhỏ nhất.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<small></small> _ <small></small> _ <small></small>

<small>  </small>

là <small>2 141</small>

<small>  </small>

<small> </small>

<small> </small>

đạt giá trị nhỏ nhất.

<b>Dạng 3: Tìm điểm </b><i><small>M</small></i> <b> thuộc mặt phẳng </b>

^{ }

<i>^P</i> <b> sao cho </b><small></small><i>^MA</i>²<small></small><i>^MB</i>²<b> đạt giá</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<b>trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.</b>

<b>Bài toán: Cho các điểm </b><i><small>A x y z</small></i><small>1</small>

^

<small>1; ;11</small>

^

<small>,</small><i><small>A x y z</small></i><small>2</small>

^

<small>2; ;22</small>

^

<small>,</small><i><small>A x y z</small></i><small>3</small>

^

<small>3; ;33</small>

^

<small>,...,</small><i><small>A x y z</small>_n</i>

^

<i>_n</i><small>; ;</small><i>_n_n</i>

^

và

+ Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thức từ đó suy ra giá trị

<b>Bài tập áp dụng:</b>

<b>Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ </b><i>^Oxyz</i> cho hai điểm <i>^A</i>

^

^{1;1;0 ,}

^

<i>^{B }</i>

^

^2;1;3

^

phương là <i><small>u</small></i>^<small></small><i><small>n</small></i>^<small> </small><i><small>P</small></i> <small></small>



<small>1;1; 1</small>



.

<small> </small>

<small>   </small>

Vì <i>^M</i> ^{ }

^{ }

<i>^P</i> ^ <i>^M</i>

^

^{ }¹ <i>^t</i>^;1^<i>^t</i>^;2^ <i>^t</i>

^

và <i>^M</i>^

^{ }

<i>^P</i> nên:

<small>1</small> <i><small>t</small></i> <small>1</small> <i><small>t</small></i> <small>2</small> <i><small>t</small></i> <small>1 0</small> <i><small>t</small></i> <small>1</small> <i><small>M</small></i> <small>0; 2;1      </small> .

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Vậy giá trị nhỏ nhất của <i><small>MA</small></i><small>22</small><i><small>MB</small></i><small>2</small> là <small>3</small><i><small>ME </small></i>² <small>12 18</small> khi <i>^M</i>

^

^0;2;1

^

.

<b>Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ </b><i>^Oxyz</i> cho hai điểm <i>^{A }</i>

^

^{1;2; 2 ,}

^



<small>2; 1; 3 ,</small>



<i><small>B</small></i> <small></small> <i><small>C</small></i>



<small>1;0;2</small>



và mặt phẳng

^{ }

<i>^{P x y z}</i>^: ^ ^{ } ^{2 0}^ . Tìm tọa độ điểm

 

<small></small> _ _<small></small>

phương là <i><small>u</small></i>^<small></small><i><small>n</small></i>^<small> </small><i><small>P</small></i> <small></small>



<small>1; 1;1</small>



.

<small> </small>

<small> </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<b>Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ </b><i>^Oxyz</i> cho hai điểm <i>^A</i>

^

^{5;1;0 ,}

^

<i>^{B }</i>

^

^2;0;1

^

<b> đạt giá</b>

<b>trị nhỏ nhất.</b>

<b>Bài toán: Cho các điểm </b><i><small>A x y z</small></i><small>1</small>

^

<small>1; ;11</small>

^

<small>,</small><i><small>A x y z</small></i><small>2</small>

^

<small>2; ;22</small>

^

<small>,</small><i><small>A x y z</small></i><small>3</small>

^

<small>3; ;33</small>

^

<small>,...,</small><i><small>A x y z</small>_n</i>

^

<i>_n</i><small>; ;</small><i>_n_n</i>

^

và

theo <i><small>ME</small></i><small></small>

và <small>             </small><i><small>EA EA</small></i><small> 1;2;...;</small><i><small>EA</small>_n</i>

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức từ đó suy ra giá trị

<b>Bài tập áp dụng:</b>

<b>Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ </b><i>^Oxyz</i> cho hai điểm <i>^A</i>

^

^{1;1;2 ,}

^

<i>^{B }</i>

^

^{2;1; 1}^

^

<small></small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Gọi <small></small> là đường thẳng đi qua <i><small>E</small></i> và vng góc với

^{ }

<i>^P</i> . Khi đó <small></small> có véc tơ chỉphương là <i><small>u</small></i><small></small><i><small>n</small></i><small> </small><i><small>P</small></i> <small></small>



<small>1;1;1</small>



<i><small>ytz t</small></i>

<small> </small>

<small>  </small>

Vì <i>^M</i> ^{ }

^{ }

<i>^P</i> ^ <i>^M</i>

^

^{ }¹ <i>^t</i>^;1^<i>^{t t}</i>^;

^

và <i>^M</i>^

^{ }

<i>^P</i> nên:



<small>1</small> <i><small>t</small></i> <small>1</small> <i><small>t t</small></i> <small>3 0</small> <i><small>t</small></i> <small>1</small> <i><small>M</small></i> <small>0;2;1       </small> .

<small>11 1 1</small>

<small></small> _{ }

<small></small> _{ }<small></small>

phương là <i><small>u</small></i>^<small></small><i><small>n</small></i>^<small> </small><i><small>P</small></i> <small></small>



<small>1; 2;1</small>



.

<small> </small>

là <i>^{ME }</i> ¹²<small></small>²²<small></small>¹² <small></small> ⁶ khi

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

<b>Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ </b><i>^Oxyz</i> cho hai điểm <i>^A</i>

^

^{5;1;0 ,}

^

<i>^{B }</i>

^

^2;0;1

^

<i><small>2MA MB</small></i><small> </small>

+ Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thức từ đó suy ra giá trị

<b>Bài tập áp dụng:</b>

<b>Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ </b><i>^Oxyz</i> cho hai điểm <i>^A</i>

^

^{1;1;0 ,}

^

<i>^{B }</i>

^

^2;1;3

^

<small>222</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

<b>Lời giải</b>

Mặt cầu

^{ }

<i>^{S x}</i>^: ²^<i>^y</i>²^

^

<i>^z</i>^¹

^

² ^¹ có tâm <i>^I</i>

^

^0;0;1

^

, bán kính <i><small>R </small></i><small>1</small>.Gọi <i><small>E</small></i> là điểm sao cho: <small></small><i><small>EA</small></i><small>2</small><i><small>EB</small></i><small>0</small>

<i><small>x tytzt</small></i>

<small>  </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

<small>03;0;31 2 1</small>

<small></small> _ _<small></small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">



<small>3; 1;3</small>



<small>  </small>

<small>2</small><i><small>M E</small></i> <small>60106 8 19</small>

<small>;1;191919</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<b>Dạng 6: Tìm điểm </b><i><small>M</small></i> <b> thuộc mặt phẳng </b>

^{ }

<i>^P</i> <b> sao cho </b>^<i>^MA</i>^^<i>^MB</i>

theo <i><small>ME</small></i><small></small>

và <small>             </small><i><small>EA EA</small></i><small> 1;2;...;</small><i><small>EA</small>_n</i>

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức từ đó suy ra giá trị

Ta có: <small></small><i><small>MA</small></i><small>2</small><i><small>MB</small></i><small></small> <i><small>ME EA</small></i><small>2</small>



<i><small>ME EB</small></i><small></small>



<small>3</small><i><small>ME</small></i><small></small>



<i><small>EA</small></i><small>2</small><i><small>EB</small></i>



<small>3</small><i><small>ME</small></i>

.

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

a) Khi đó <i>^MA</i>^²<i>^MB</i><small></small>

đạt giá trị nhỏ nhất khi <i><small>ME</small></i> đạt giá trị nhỏ nhất



<small>1</small>



² <small>120212 1</small>



<small>1; 1;0</small>



<i><small>x tytz</small></i>

<small> </small> .Vì <i>^M</i> ^{ }

^{ }

<i>^S</i> ^ <i>^M</i>

^

^{3 ;1 ;3}<i>^t</i> ^ <i>^{t t}</i>

^

và <i>^M</i>^

^{ }

<i>^S</i> nên:

là <small>3</small><i><small>M E </small></i><small>13 2 3</small> khi

đạt giá trị nhỏ nhất.<small>)</small>

<i><small>b MA MB MC</small></i><small></small>

đạt giá trị lớn nhất.

<b>Lời giải</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

<small>11 1 1</small>

<small></small> _{ }

<small></small> _{ }<small></small>

<i><small>xtytz t</small></i>

<small>  </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

cho: <i>^{a MA MB}</i>⁾ ^ ^²<i>^MC</i><small></small>

đạt giá trị nhỏ nhất.<small>)</small>

Việc áp dụng các dạng toán trong đề tài vào dạy học tôi nhận thấy học sinhđã biết định hướng và tự giải được các bài tập tương tự. Qua giảng dạy theo tinhthần của đề tài trên học sinh đã có tiến bộ rõ rệt thể hiện ở các điểm sau:

- Học sinh nắm được mối quan hệ mật thiết giữa các véc tơ và phương pháptọa độ trong khơng gian, hiểu rõ được vai trị của việc vận dụng các tínhchất của hàm số vào giải tốn hình học nói chung và giải các bài tốn tìmgiá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hình học trong khơng gian nói riêng.

- Học sinh nắm vững định nghĩa về hàm số, các tính chất của véc tơ cũngnhư các phương pháp sử dụng véc tơ vào giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hình học trong khơng gian.

- Góp phần phát triển năng lực tư duy cho học sinh. Đặc biệt phát triển cáctư duy logic, tư duy thuật tốn. Phát huy tính sáng tạo, thơng minh, linhhoạt của học sinh. Rèn luyện cách trình bày bài tốn tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hình học trong không gian.

- Chưa áp dụng đề tài trên vào giảng dạy tôi đã khảo sát chất lượng học tậpcủa học sinh với kết quả sau:

%

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

2 9 1 8 7 412A

<i><b>Đề tài đã trình bày được các kiến thức và kỹ năng “Phương pháp giải một số</b></i>

<i><b>bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng tọa độ véc tơ trong không gian”</b></i>

thông qua 12 bài tập minh họa, 22 bài tập vận dụng. Một số ví dụ đã có những lờinhận xét và lời bình, qua đó ta nhận thấy được sự đơn giản, tính hiệu quả khi triểnkhai đề tài đến học sinh.

Nội dung của đề tài cũng sẽ là một tài liệu tốt cho đồng nghiệp tham khảo,học sinh học tập, phù hợp với đại đa số học sinh có kiến thức từ mức độ trungbình trở lên. Đặc biệt là với những lớp tôi đã và đang trực tiếp giảng dạy tạitrường THPT Hậu Lộc I.

Thời gian áp dụng thì dài nhưng thời gian trình bày đề tài thì ngắn nên khơngtránh khỏi những sai sót. Tơi rất mong và vui mừng xin được sự góp ý của Bangiáo khảo, đồng nghiệp và bạn đọc. Trân trọng cảm ơn!

<b>3.2. Kiến nghị:</b>

Mỗi đề tài sáng kiến kinh nghiệm là tâm huyết, trí tuệ và được thực nghiệmqua nhiều thế hệ học sinh của mỗi giáo viên. Vì vậy rất mong được triển khai rộngrãi để đồng nghiệp tham khảo, nghiên cứu, học sinh học tập.

Qua mỗi năm học, rất mong Sở giáo dục và Đào tạo tập hợp các Đề tài sángkiến kinh nghiệm đạt giải, gửi file word về cho các nhà trường tự in hoặc Sở xuấtbản thành sách, các nhà trường mua về, để thư viện làm tài liệu tham khảo chogiáo viên và học sinh

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

<i> Thanh Hóa, Ngày 10 tháng 06 năm 2024</i>

<b>XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG</b>

<b>Phạm Hùng Bích</b>

CAM KẾT KHƠNG COPYNgười thực hiện

<b>Mai Thị Hà</b>

<b><small>TÀI LIỆU THAM KHẢO</small></b>

1. Hình học 12 (Nâng cao), NXB Giáo Dục, Chủ biên: Đoàn Quỳnh – Văn NhưCương – Phạm Khắc Ban – Lê Huy Hùng – Tạ Mẫn.

2. Phân dạng và phương pháp giải tốn hình học 12, NXB Đại học quốc gia HàNội, Chủ biên: Trần Thị Thanh Vân – Lâm Thị Hồng Liên.

<i>3. Nguyễn Bảo Vương (Năm 2017), Tài liệu ôn tập và giảng dạy học sinh khá giỏi.</i>

-4. Các Đề thi khảo sát lớp 12 của một số trường THPT, THPT chuyên trên toànquốc, đề tham khảo của Bộ GD&ĐT từ các năm 2017 đến 2022.

5. Các tài liệu, đề thi thử của các Nhóm toán, Diễn đàn toán học như: CLB-CMToán THPT – Thanh Hóa, Tailieutoan.vn, Diễn đàn tốn học maths, Nhómfacebook Strong team toan VD-VDC,…

</div>