chủ đề 28 bí quyết tìm góc trong không gian

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>CHỦ ĐỀ 28: BÍ QUYẾT TÌM GĨC TRONG KHƠNG GIANA. KIẾN THỨC NỀN TẢNG</b>

<b>1. Góc giữa 2 đường thẳng </b><i>d</i><b> và </b>Δ<b> chéo nhau</b>

<i>Chọn 1 điểm I thuộc đường thẳng d kẻ </i>Δ //Δ .Khi đó 



<i>d ,</i>Δ







<i>d ,</i> Δ



 và 0   90

<b>2. Góc giữa 2 đường thẳng </b><i>d</i><b> và (P) cắt nhau</b>

<i>Tìm giao điểm I của d và </i>

 

<i>P . Lấy 1 điểm M thuộc</i>

<b>Chú ý:</b> Nếu ∆ là 1 đường thẳng thuộc đáy thì <i>d là</i><small>1</small>

đường thẳng nối từ chân đường cao của chóp (lăngtrụ) đến giao tuyến.

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<b>B. VÍ DỤ MINH HỌA</b>

<b>Dạng 1: Góc giữa hai đường thẳng</b>

<b>Ví dụ 1: (Chun Hùng Vương – Năm 2018). Cho hình lập phương </b><i>ABCD.A B C D</i>   . Góc giữa haiđường thẳng <i>BA</i> và <i>CD</i> bằng

Vì <i>CDC D</i>  là hình bình hành 

<i>BA B</i> 

<b>  Chọn A.Mở rộng</b>

<i>Có rất nhiều cách để xác định góc ví dụ như: </i>



<i>A B;CD</i>







<i>D C;CD</i>



1 4 (1

<i>z</i>  <i>i</i>  <i> hoặc </i>



<i>A B;CD</i>







<i>A B; AB</i>



<i>ABA</i>45

<b>Ví dụ 2: (Chuyên Hùng Vương – Năm 2018). Cho hình chóp </b><i>S.ABCD</i> có đáy <i>ABCD</i> là hình vng,

<i>cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng </i>



<i>SAB một góc </i>



45. Gọi

<i>I là trung điểm của cạnh CD. Góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng (Số đo góc được làm trịn đến hàng</i>

 

Khi đó:



^<i>DS; SAB</i>





<i>DSA</i> 45.

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<i>Trong hình vẽ của VD2 này chưa có sẵn đường nào // BI hoặc SD. Vậy ta sẽ tiến hành kẻ thêm hình. Ưutiên kẻ thêm đường thẳng // với đường thẳng ở đáy là BI tránh kẻ // SD sẽ khó tính.</i>

<b>Ví dụ 3: (Chun ĐH Vinh – Năm 2018). Cho hình chóp </b><i>S.ABCD</i> có đáy <i>ABCD</i> là hình chữ nhật với2

<i>AB</i> <i>a,BC a</i> . Các cạnh bên của hình chóp cùng bằng <i>_a</i> ₂<i>. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.</i>

Do <i>SA SB SC SD</i>   nên hình chiếu vng góc của

<i>S trên mặt phẳng đáy trùng với tâm hình chữ nhật</i>

<i><b>Ví dụ 5: (THPT Đồn Thượng – Năm 2018). Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC.</b></i>

Khi đó cosin của góc giữa hai đường thẳng nào sau đây có giá trị bằng ³6 ^.

<b>=> Chọn A.</b>

<b>Dạng 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<i><b>Ví dụ 6: (THPT ĐH Vinh). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, </b>SD a</i> <i> và SDvng góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng </i>



<i><b>SBD . </b></i>



<b>Ví dụ 7: (Chun Thái Bình – Năm 2018). Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh 3,</b>

cạnh bên 2 3 và tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 . Khi đó thể tích khối lăng trụ là

Dựng <i>C H</i> 



<i>ABC</i>



<i> khi đó H là hình chiếu vng</i>

góc của <i>C</i> lên



<i>ABC</i>

  

1Lại có <i>C C</i> 



<i>ABC</i>



<i>C</i> 2

 

Từ

 

1 và

 

2  góc giữa cạnh bên và mặt đáy là



<i>C C; ABC</i>



<i>C CH</i> 30Do đó <i>_{C H CC sin}</i>   ₃₀  ₃.

<i>Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc xuất phát từ đỉnh A tới giao điểm S đến chân đường vng</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<i>góc O  ASO </i>

<i>(Nhiều bạn nhầm thành SAO là sai</i>

<i><b>Ví dụ 8: (THPT Việt Trì – Năm 2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A</b></i>

<i>và B, AB BC a, AD</i>  2<i>a</i>. Cạnh bên <i>SA a</i> <i> vng góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trungđiểm của SB và CD. Tính cosin góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng </i>



<i>SAC . </i>



<i>tọa độ hóa để giải quyết. Luôn ưu tiên giao điểm A la gốc tọa độ </i>



0;0;0



<b>Ví dụ 9: (Chuyên ĐH Vinh – Năm 2018). Cho hình hộp đứng </b><i>ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình</i><small>1 1 11</small>

<i>vng cạnh a, đường thẳng DB tạo với mặt phẳng </i><small>1</small>



<i>BCC B góc </i><small>1 1</small>



30 . Tính thể tích khối hộp

<b>Ví dụ 10: (THPT Kim Liên – Năm 2018). Một kim tự tháp Ai Cập có hình dạng là một khối chóp tứ</b>

<i>giác đều có độ dài cạnh bên là một số thực dương khơng đổi. Gọi α là góc giữa cạnh bên của kim tự tháp</i>

với mặt đáy. Khi thể tích của kim tự tháp lớn nhất, tính sin.

<b>A. </b>sin ⁶3

<b>=> Chọn D.</b>

<b>Dạng 3: Góc giữa hai mặt phẳng</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<i><b>Ví dụ 11: (Chuyên Vĩnh Phúc). Cho hình chóp S.ABCD có </b>SA</i>



<i>ABCD</i>



<i>, ABCD là hình chữ nhật.</i>

Từ (1) và (2) 

 

^<i>SAB ; ABCD</i>

  





<i>SB; AB</i>



<i>SAB</i> 60

 . <b>B. </b>arcsin ⁴15  

 . <b>C. </b>arcsin ⁴5  

 . <b>D. </b>arccos ⁴5   .



</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

 

<b>=> Chọn C.Phân tích</b>

<i>thành phần V<small>ABCD</small>_{và diện tích đáy}S_ΔBCD_{sẽ tính được AH.}</i>

<i><b>Ví dụ 13: (Chuyên Bắc Ninh – Năm 2018). Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O,</b></i>

<i>đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng </i>



<i>ABCD . Biết </i>



⁶

<i>Tam giác SAB cân tại B suy ra BM</i> <i>SA</i> 1

 

<i>Tam giác SAD cân tại z suy ra DM</i> <i>SA</i> 2

 

Từ (1) và (2) suy ra <i>SA</i>



<i>BMD</i>





 

^<i>SAB ; SAD</i>

  

<i>BMD</i>

<i>Tam giác SBO vuông tại O, có</i>

Vậy

 

^<i>SAB ; SAD</i>

  

<i>BMD</i> 90.

<b>=> Chọn D.Bình luận</b>

<i>Ta nhận thấy tính chất đối xứng của hình chóp khi Im(z) chia hình thành 2 phần giống hệt nhau. Nếu</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<b>Ví dụ 14: (THPT Yên Lạc – Năm 2018). Cho lăng trụ </b><i>ABC.A B C</i>  <i> có đáy ABC là tam giác đều cạnh a.</i>

Hình chiếu vng góc của <i>A</i> xuống mặt



<i>ABC là trung điểm của AB. Mặt bên </i>



<i>ACC A</i> 



tạo với đáygóc 45<i><b>. Thể tích khối lăng trụ này theo a là </b></i>

<b>A. </b>

<b>Ví dụ 15: (Sở GD-ĐT Bắc Giang). Cho lăng trụ đứng </b><i>ABC.A B C</i>  có <i>AB AC BB</i>  <i>a,BAC</i> 120 .

<i>Gọi I là trung điểm của CC</i>. Ta có cosin của góc giữa hai mặt phẳng



<i>ABC và </i>



<i>AB I bằng </i>



<b>=> Chọn B.</b>

<b>C. BÀI TẬP VẬN DỤNG</b>

<i><b>Câu 1 (Chuyên Bắc Ninh - 2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,</b></i>

mặt phẳng



<i>ABCD bằng </i>



60<i>. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.</i>

<i><b>Câu 2 (THPT Lương Thế Vinh – Năm 2018). Cho hình chóp S.ABCD có </b>SA</i>



<i>ABCD</i>



<i>, ABCD là</i>

hình chữ nhật. <i>SA AD</i> 2<i>a</i>. Góc giữa



<i>SBC và mặt đáy </i>



<i>ABCD là </i>



60. Gọi G là trọng tâm tam

<i>giác SBC. Thể tích khối chóp S.AGD là</i>

<b>A. </b>

32 327

<i>aV </i>

<b>Câu 4 (THPT C- Nghĩa Hưng - 2018). Cho hình hộp </b><i>ABCD.A B C D</i>    có <i>AB a, B C</i>  <i>a</i> 5, cácđường thẳng <i>A B</i> và <i>B C</i> cùng tạo với mặt phẳng



<i>ABCD một góc </i>



45, tam giác <i>A CB</i> <i> vuông tại B,</i>

tam giác <i>A CD</i> <i> vng tại D. Tính thể tích của khối hộp ABCD.A B C D</i>   <i>theo a.</i>

<i><b>Câu 5 (Chun Hùng Vương - 2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, cạnh bên</b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<i>trung điểm của cạnh z  . Góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng (Số đo góc được làm trịn đến</i>

<i><b>Câu 8 (THPT Yến Lạc 2 - 2018). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tất cả các</b></i>

<i>cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Thể tích của khối chóp S.ABCD là:</i>

<b>A. </b>

<b>Câu 9 (THPT Yến Lạc 2 - 2018). Cho lăng trụ đứng </b><i>ABC.A B C</i>  <i> có đáy là tam giác vuông tại A,</i>

<i>AC a, ACB</i>   . Đường chéo <i>BC</i> của một mặt bên



<i>BCC B</i> 



tạo với mặt phẳng



<i>AA C C</i> 



một

<i>góc 30 . Tính thể tích của khối lăng trụ theo a.</i>

<b>Câu 10 (THPT Yến Lạc 2 - 2018). Cho lăng trụ </b><i>ABC.A B C</i>  <i> có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình</i>

chiếu vng góc <i>A</i> xuống mặt phẳng



<i>ABC là trung điểm của AB. Mặt bên </i>



<i>ACC A</i> 



tạo với đáy một

<i>góc 45 . Thể tích khối lăng trụ này theo a là</i>

<b>A. </b>

<i><b>Câu 12 (THPT Phạm Cơng Bình - 2018). Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, hình</b></i>

<i>chiếu vng góc của S trên mặt phẳng </i>



<i>ABCD trùng với trung điểm AD; M trung điểm CD; cạnh bên</i>



<i>SB hợp với đáy góc 60 . Thể tích của khối chóp S.ABM là</i>

<i><b>Câu 13 (THPT Phạm Cơng Bình - 2018). Cho hình chóp đều S.ABCD có </b>AC</i>2<i>a</i>, mặt bên



<i>SBC</i>



tạo với mặt đáy



<i>ABCD một góc 45 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.</i>



</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<b>Câu 16 (THPT Sơn Tây - 2018). Cho hình lăng trụ tam giác đều </b><i>ABC.A B C</i>  <i>có cạnh đáy bằng a, góc</i>

giữa đường thẳng <i>A C</i> và mặt phẳng đáy bằng 60 . Tính thể tích khối lăng trụ <i>ABC.A B C</i>  <i>theo a.</i>

<b>A. </b>

<i><b>Câu 17 (THPT Sơn Tây - 2018). Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA</b></i>

vng góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng



<i>SBC và </i>



<i>ABCD bằng 45 . Gọi M, N lần lượt là trung</i>



<i>điểm của AB, AD. Tính thể tích của khối chóp S.CDMN.</i>

<b>A. </b>

<i><b>Câu 18 (THPT Sơn Tây - 2018). Cho hình chóp S.ABC có </b>AB AC,SAC SAB</i>   . Tính số đo của góc

<i>giữa hai đường thẳng SA và BC.</i>

<i><b>Câu 21 (THPT Lê Hồng Phong - 2018). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Góc</b></i>

<i>hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Thể tích của khối chóp S.ABCD theo a bằng</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<i><b>Câu 22 (Chun ĐH Vinh - 2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác</b></i>



<i>SBC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Thể tích khối chóp S.ABCD là</i>



<b>A. </b>

<b>Câu 23 (Chun ĐH Vinh - 2018). Cho hình lăng trụ </b><i>ABC.A B C</i>  <i>có đáy ABC là tam giác vng tại B,</i>

<i>AB a,BC a</i>  . Góc giữa đường thẳng <i>AA</i> và mặt phẳng



<i>A B C</i>  



bằng 45 . Hình chiếu của <i>B</i>

trên mặt phẳng



<i>ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ </i>



<i>ABC.A B C</i>  .

<b>A. </b>

<i><b>Câu 24 (THPT Bình Xuyên - 2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và</b></i>

hai mặt phẳng



<i>SAC , SBD cùng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng </i>

 

<i>ABCD</i>



là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây.

<i><b>Câu 25 (THPT C Bình Lục - 2018). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh</b></i>

<i>bên SA vng góc với đáy, mặt bên </i>



<i>SBC tạo với đáy 1 góc bằng 60 . Gọi M, N lần lượt là trung</i>



<i>điểm của SB và SC. Thể tích V của khối chóp S.AMN ?</i>

<i>AB BC a, AD</i>   <i>a</i>. Cạnh bên <i>SA a</i> <i> vng góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm</i>

<i><b>Câu 29 (THPT Ngô Gia Tự - 2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật</b></i>

<i>Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Biết </i>cos ^{2 5}5

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

<b>Câu 31 (THPT Vĩnh Yên - 2018). Cho khối lăng trụ tam giác </b><i>ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh</i><small>1 1 1</small>

<i>a, A A a</i>₁  2 và <i>A A tạo với mặt phẳng </i><small>1</small>



<i>ABC một góc </i>



30 . Tính thể tích khối tứ diện <i>A B CA là</i><small>1 1</small>

<i><b>Câu 32 (THPT Đội Cấn - 2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, </b>SA a</i> 3

<i>và vng góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng </i>



<i>ABCD bằng</i>



<i><b>Câu 34 (THPT Lục Ngạn 1 - 2018). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với</b></i>

<i>BA BC a,SA a</i>   vng góc với đáy, cosin góc giữa hai mặt phẳng



<i>SAC và </i>



<i>SBC bằng</i>



<b>Câu 35 (THPT Lục Ngạn 1 - 2018). </b> Cho lăng trụ <i>ABC.A B C</i>   có

<i>trùng với trung điểm M của AB. Tính góc tạo bởi đường thẳng C M</i> với mặt phẳng



<i>ACC A</i> 



.

<i><b>Câu 37 (THPT Kim Liên - 2018). Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy AD</b></i>

<i>và BC. Biết AD</i>2 <i>a, AB BC CD a</i>   <i>. Hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng </i>



<i>ABCD là</i>



<i>điểm H thuộc đoạn AD thỏa mãn HD</i>3<i>HA, SD tạo với đáy một góc </i>45<i>. Tính thể tích V của khốichóp S.ABCD.</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

<b>A. </b>

3 34

<i><b>Câu 41 (THPT Yên Lạc 2 - 2018). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C,</b></i>



<i>SAB</i>

 

 <i>ABC , SA SB</i>



 <i>, I là trung điểm AB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng </i>



<i>ABC là:</i>



<i><b>A. Góc SCI .B. Góc SCA .C. Góc ISC .D. Góc SCB .</b></i>

<i><b>Câu 42 (THPT n Lạc 2 - 2018). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, SA</b></i>

vng góc với đáy. Biết <i>SA a, AB a, BC a</i>   2<i>. Gọi I là trung điểm của BC. Cosin của góc giữa 2đường thẳng AI và SC là:</i>

<i><b>Câu 43 (THPT Lương Văn Tụy - 2018). Cho S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật</b></i>

phẳng. Biết <i>_{ASB }</i>₁₂₀_{ , góc giữa hai mặt phẳng}



<i>SAD và </i>



<i>SBC bằng:</i>



<i><b>Câu 44 (THPT Ba Đình - 2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, các mặt</b></i>

bên



<i>SAB , </i>



<i>SAD cùng vng góc với mặt phẳng đáy, </i>



<i>SA a</i> <i>; góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng</i>



<i>SAB bằng α. Khi đó </i>



tan nhận giá trị nào trong các giá trị sau:

<b>A. </b>^tan ¹

  . <b>B. </b>tan 1. <b>C. </b>tan 3. <b>D. tan</b>  2.

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

<i><b>Câu 45 (THPT Đoàn Thượng - 2018). Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó</b></i>

cosin của góc giữa hai đường thẳng nào sau đây có giá trị bằng ³6 ^.

<i><b>Câu 46 (THPT Lương Tài - 2018). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh</b></i>

<i>AB a</i> , cạnh <i>SC</i>4 3<i>a</i>. Hai mặt phẳng



<i>SAD và </i>



<i>SAC cùng vng góc với mặt phẳng </i>



<i>ABCD</i>



<i>và M là trung điểm của SC. Tính góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng </i>



<i>ACD</i>



<i><b>Câu 47 (THPT Trần Nhật Duật - 2018). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình</b></i>

<i>chiếu của S trên </i>



<i>ABC thuộc cạnh AB sao cho </i>



<i>HB</i>2<i>AH</i> , biết mặt bên



<i>SAC hợp với đáy một góc</i>



</div>