Bài tập toán cao cấp Tập 1 Nguyễn Thủy ThanhNXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.6 MB, 278 trang )
Bài tập toán cao cấp
Tập 1
Nguyễn Thủy Thanh
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 276 Tr.
Từ khoá: Số phức, Đa thức và hàm hữu tỷ, Ma Trận, Định thức, Hệ phương trình
tuyến tính, Không gian Euclide, Dạng toàn phương.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.
NGUY
ˆ
E
˜
N THUY
’
THANH
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
TO
´
AN CAO C
ˆ
A
´
P
Tˆa
.
p1
D
a
.
isˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh
v`a H`ınh ho
.
c gia
’
it´ıch
NH
`
AXU
ˆ
A
´
TBA
’
NDA
.
IHO
.
CQU
ˆ
O
´
C GIA H
`
AN
ˆ
O
.
I
H`a Nˆo
.
i – 2006
Mu
.
clu
.
c
L`o
.
in´oidˆa
`
u 4
1Sˆo
´
ph´u
.
c6
1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c 6
1.2 Da
.
ng d
a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 8
1.3 Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod
un v`a acgumen . . . . . . . . 13
1.4 Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac . . . . . . . . 23
2D
-
ath´u
.
c v`a h`am h˜u
.
uty
’
44
2.1 D
-
ath´u
.
c 44
2.1.1 D
-
ath´u
.
c trˆen tru
.
`o
.
ng sˆo
´
ph´u
.
c C 45
2.1.2 D
-
ath´u
.
c trˆen tru
.
`o
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c R 46
2.2 Phˆan th´u
.
ch˜u
.
uty
’
55
3 Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th ´u
.
c66
3.1 Ma trˆa
.
n 67
3.1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa ma trˆa
.
n 67
3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe
´
n t´ınh trˆen ma trˆa
.
n 69
3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa
.
n 71
3.1.4 Ph´ep chuyˆe
’
nvi
.
ma trˆa
.
n 72
3.2 D
-
i
.
nh th ´u
.
c 85
3.2.1 Nghi
.
ch thˆe
´
85
3.2.2 D
-
i
.
nh th ´u
.
c 85
3.2.3 T´ınh chˆa
´
tcu
’
ad
i
.
nh th ´u
.
c 88
2MU
.
CLU
.
C
3.2.4 Phu
.
o
.
ng ph´ap t´ınh d
i
.
nh th ´u
.
c 89
3.3 Ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n 109
3.3.1 D
-
i
.
nhngh˜ıa 109
3.3.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap t`ım ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n 109
3.4 Ma trˆa
.
n nghi
.
ch d
a
’
o 118
3.4.1 D
-
i
.
nhngh˜ıa 118
3.4.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap t`ım ma trˆa
.
n nghi
.
ch da
’
o 119
4Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
nt´ınh 132
4.1 Hˆe
.
n phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i n ˆa
’
nc´odi
.
nh th´u
.
c kh´ac 0 . . . . 132
4.1.1 Phu
.
o
.
ng ph´ap ma trˆa
.
n 133
4.1.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . . . 134
4.1.3 Phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.2 Hˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh . . . . . . . . . . 143
4.3 Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t 165
5 Khˆong gian Euclide
R
n
177
5.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆe
`
u v`a mˆo
.
tsˆo
´
kh´ai niˆe
.
mco
.
ba
’
nvˆe
`
vecto
.
177
5.2 Co
.
so
.
’
.D
-
ˆo
’
ico
.
so
.
’
188
5.3 Khˆong gian vecto
.
Euclid. Co
.
so
.
’
tru
.
.
cchuˆa
’
n 201
5.4 Ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tuyˆe
´
nt´ınh 213
5.4.1 D
-
i
.
nhngh˜ıa 213
5.4.2 Ma trˆa
.
ncu
’
a ph´ep bdtt . . . . . . . . . . . . . . 213
5.4.3 C´ac ph´ep to´an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.4.4 Vecto
.
riˆeng v`a gi´a tri
.
riˆeng . . . . . . . . . . . . 216
6Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng d
ˆe
’
nhˆa
.
nda
.
ng du
.
`o
.
ng
v`a m˘a
.
tbˆa
.
c hai 236
6.1 Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 236
6.1.1 Phu
.
o
.
ng ph´ap Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 237
6.1.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 241
MU
.
CLU
.
C3
6.1.3 Phu
.
o
.
ng ph´ap biˆe
´
nd
ˆo
’
i tru
.
.
c giao . . . . . . . . . 244
6.2 D
-
u
.
aphu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at cu
’
ad
u
.
`o
.
ng bˆa
.
c hai v`a m˘a
.
t
bˆa
.
c hai vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c 263
L`o
.
i n´oi d
ˆa
`
u
Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa
.
p to´an cao cˆa
´
p n`ay du
.
o
.
.
c biˆen soa
.
n theo Chu
.
o
.
ng
tr`ınh To´an cao cˆa
´
p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho
.
cTu
.
.
nhiˆen cu
’
a
D
a
.
iho
.
c Quˆo
´
c gia H`a Nˆo
.
iv`ad˜a d u
.
o
.
.
cD
a
.
iho
.
c Quˆo
´
c gia H`a Nˆo
.
i thˆong
qua v`a ban h`anh.
Mu
.
cd
´ıch cu
’
a gi´ao tr`ınh l`a gi´up d˜o
.
sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho
.
c
Tu
.
.
nhiˆen n˘a
´
mv˜u
.
ng v`a vˆa
.
ndu
.
ng du
.
o
.
.
c c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i to´an cao
cˆa
´
p. Mu
.
c tiˆeu n`ay quyˆe
´
tdi
.
nh to`an bˆo
.
cˆa
´
utr´uc cu
’
a gi´ao tr`ınh. Trong
mˆo
˜
imu
.
c, d
ˆa
`
u tiˆen ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a
´
tnh˜u
.
ng co
.
so
.
’
l´y thuyˆe
´
t
v`a liˆe
.
tkˆenh˜u
.
ng cˆong th´u
.
ccˆa
`
n thiˆe
´
t. Tiˆe
´
pd´o, trong phˆa
`
n C´ac v´ı du
.
ch´ung tˆoi quan tˆam d˘a
.
cbiˆe
.
tt´o
.
iviˆe
.
c gia
’
i c´ac b`ai to´an mˆa
˜
ub˘a
`
ng c´ach
vˆa
.
ndu
.
ng c´ac kiˆe
´
nth´u
.
cl´y thuyˆe
´
td˜a tr`ınh b`ay. Sau c`ung, l`a phˆa
`
n B`ai
tˆa
.
p.O
.
’
d
ˆay, c´ac b`ai tˆa
.
pdu
.
o
.
.
cgˆo
.
p th`anh t`u
.
ng nh´om theo t`u
.
ng chu
’
d
ˆe
`
v`a d
u
.
o
.
.
cs˘a
´
pxˆe
´
p theo th´u
.
tu
.
.
t˘ang dˆa
`
nvˆe
`
dˆo
.
kh´o v`a mˆo
˜
i nh´om dˆe
`
u
c´o nh˜u
.
ng chı
’
dˆa
˜
nvˆe
`
phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i. Ch´ung tˆoi hy vo
.
ng r˘a
`
ng viˆe
.
c
l`am quen v´o
.
il`o
.
i gia
’
i chi tiˆe
´
t trong phˆa
`
n C´ac v´ı du
.
s˜e gi´up ngu
.
`o
.
iho
.
c
n˘a
´
md
u
.
o
.
.
c c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i to´an co
.
ba
’
n.
Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa
.
p n`ay c´o thˆe
’
su
.
’
du
.
ng du
.
´o
.
isu
.
.
hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
ncu
’
a
gi´ao viˆen ho˘a
.
ctu
.
.
m`ınh nghiˆen c´u
.
u v`ı c´ac b`ai tˆa
.
pdˆe
`
uc´od´ap sˆo
´
,mˆo
.
t
sˆo
´
c´o chı
’
dˆa
˜
n v`a tru
.
´o
.
c khi gia
’
i c´ac b`ai tˆa
.
pn`ayd˜a c´o phˆa
`
n C´ac v´ı du
.
tr`ınh b`ay nh ˜u
.
ng chı
’
dˆa
˜
nvˆe
`
m˘a
.
tphu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i to´an.
T´ac gia
’
gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca
’
mo
.
n c´ac thˆa
`
y gi´ao: TS. Lˆe D
`ınh
Ph `ung v`a PGS. TS. Nguyˆe
˜
n Minh Tuˆa
´
nd˜ado
.
ck˜yba
’
n tha
’
ov`ad´ong
Co
.
so
.
’
l´y thuyˆe
´
t h`am biˆe
´
nph´u
.
c5
g´op nhiˆe
`
u´ykiˆe
´
n qu´y b´au vˆe
`
cˆa
´
utr´uc v`a nˆo
.
i dung v`a d˜a g´op ´y cho t´ac
gia
’
vˆe
`
nh˜u
.
ng thiˆe
´
u s´ot cu
’
aba
’
n tha
’
o gi´ao tr`ınh.
M´o
.
i xuˆa
´
tba
’
nlˆa
`
ndˆa
`
u, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho
’
i sai s´ot. Ch´ung
tˆoi rˆa
´
t chˆan th`anh mong du
.
o
.
.
cba
.
ndo
.
c vui l`ong chı
’
ba
’
o cho nh˜u
.
ng
thiˆe
´
u s´ot cu
’
a cuˆo
´
n s´ach dˆe
’
gi´ao tr`ınh ng`ay du
.
o
.
.
c ho`an thiˆe
.
nho
.
n.
H`a Nˆo
.
i, M `ua thu 2004
T´ac gia
’
Chu
.
o
.
ng 1
Sˆo
´
ph´u
.
c
1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c 6
1.2 Da
.
ng d
a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 8
1.3 Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod
un v`a acgumen . 13
1.4 Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac . 23
1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c
Mˆo
˜
ic˘a
.
psˆo
´
thu
.
.
c c´o th ´u
.
tu
.
.
(a; b) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a mˆo
.
tsˆo
´
ph´u
.
cnˆe
´
u trˆen tˆa
.
pho
.
.
p c´ac c˘a
.
pd´o quan hˆe
.
b˘a
`
ng nhau, ph´ep cˆo
.
ng v`a
ph´ep nhˆan du
.
o
.
.
cdu
.
a v`ao theo c´ac di
.
nh ngh˜ıa sau dˆay:
(I) Quan hˆe
.
b˘a
`
ng nhau
(a
1
,b
1
)=(a
2
,b
2
) ⇐⇒
a
1
= a
2
,
b
1
= b
2
.
(I I) Ph´ep cˆo
.
ng
1.1. D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c 7
(a
1
,b
1
)+(a
2
,b
2
)
def
=(a
1
+ a
2
,b
1
+ b
2
).
1
(I II) Ph´ep nhˆan
(a
1
,b
1
)(a
2
,b
2
)
def
=(a
1
a
2
− b
1
b
2
,a
1
b
2
+ a
2
b
1
).
Tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
cdu
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`aC. Ph´ep cˆo
.
ng (II) v`a ph´ep nhˆan
(I II) trong C c´o t´ınh chˆa
´
t giao ho´an, kˆe
´
tho
.
.
p, liˆen hˆe
.
v´o
.
i nhau bo
.
’
i
luˆa
.
t phˆan bˆo
´
v`a mo
.
i phˆa
`
ntu
.
’
=(0, 0) dˆe
`
u c´o phˆa
`
ntu
.
’
nghi
.
ch d a
’
o.
Tˆa
.
pho
.
.
p C lˆa
.
p th`anh mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng (go
.
i l`a tru
.
`o
.
ng sˆo
´
ph´u
.
c) v´o
.
i phˆa
`
n
tu
.
’
khˆong l`a c˘a
.
p (0; 0) v`a phˆa
`
ntu
.
’
d
o
.
nvi
.
l`a c˘a
.
p (1; 0).
´
Ap du
.
ng quy
t˘a
´
c (II I) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆe
´
uk´yhiˆe
.
u i =(0,1) th`ı
i
2
= −1
Dˆo
´
iv´o
.
i c´ac c˘a
.
pda
.
ng d
˘a
.
cbiˆe
.
t(a, 0), ∀a ∈ R theo (II) v`a (III) ta
c´o
(a, 0) + (b, 0)=(a + b, 0),
(a, 0)(b, 0) = (ab, 0).
T`u
.
d´ovˆe
`
m˘a
.
tda
.
isˆo
´
c´ac c˘a
.
pda
.
ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe
.
t
v´o
.
isˆo
´
thu
.
.
c R:v`ıch´ung du
.
o
.
.
ccˆo
.
ng v`a nhˆan nhu
.
nh˜u
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c. Do
vˆa
.
y ta c´o thˆe
’
dˆo
`
ng nhˆa
´
t c´ac c˘a
.
pda
.
ng (a; 0) v´o
.
isˆo
´
thu
.
.
c a:
(a;0)≡ a ∀a ∈ R.
D
˘a
.
cbiˆe
.
t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1.
Dˆo
´
iv´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z =(a, b):
1
+
Sˆo
´
thu
.
.
c a d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a phˆa
`
n thu
.
.
c a =Rez,sˆo
´
thu
.
.
c b go
.
i l`a phˆa
`
n
a
’
ov`ak´yhiˆe
.
ul`ab =Imz.
2
+
Sˆo
´
ph´u
.
c
z =(a, −b)go
.
il`asˆo
´
ph´u
.
c liˆen ho
.
.
pv´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z
1
def. l`a c´ach viˆe
´
tt˘a
´
tcu
’
at`u
.
tiˆe
´
ng Anh definition (di
.
nh ngh˜ıa)
8Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
1.2 Da
.
ng da
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c
Mo
.
isˆo
´
ph´u
.
c z =(a; b) ∈ C d
ˆe
`
u c´o thˆe
’
viˆe
´
tdu
.
´o
.
ida
.
ng
z = a + ib. (1.1)
Thˆa
.
tvˆa
.
y, z =(a, b)=(a, 0) + (0,b)=(a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib
Biˆe
’
uth´u
.
c (1.1) go
.
i l`a da
.
ng d
a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z =(a, b). T`u
.
(1.1)
v`a d
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c liˆen ho
.
.
p ta c´o z = a −ib.
Du
.
´o
.
ida
.
ng d
a
.
isˆo
´
c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
cd
u
.
o
.
.
c thu
.
.
c
hiˆe
.
n theo c´ac quy t˘a
´
c sau.
Gia
’
su
.
’
z
1
= a
1
+ ib
1
, z
2
= a
2
+ ib
2
. Khi d´o
(I) Ph´ep cˆo
.
ng: z
1
± z
2
=(a
1
± a
2
)+i(b
1
±b
2
).
(I I) Ph´ep nhˆan: z
1
z
2
=(a
1
a
2
− b
1
b
2
)+i(a
1
b
2
+ a
2
b
1
).
(I II) Ph´ep chia:
z
2
z
1
=
a
1
a
2
+ b
1
b
2
a
2
1
+ b
2
1
+ i
a
1
b
2
− a
2
b
1
a
2
1
+ b
2
1
·
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. 1
+
T´ınh i
n
.T`u
.
d´och´u
.
ng minh r˘a
`
ng
a) i
n
+ i
n+1
+ i
n+2
+ i
n+3
=0;
b) i ·i
2
···i
99
· i
100
= −1.
2
+
T`ım sˆo
´
nguyˆen n nˆe
´
u:
a) (1 + i)
n
=(1−i)
n
;
b)
1+i
√
2
n
+
1 − i
√
2
n
=0.
Gia
’
i. 1
+
Ta c´o i
0
=1,i
1
= i, i
2
= −1, i
3
= −i, i
4
=1,i
5
= i v`a
gi´a tri
.
l˜uy th`u
.
ab˘a
´
td
ˆa
`
ul˘a
.
pla
.
i. Ta kh´ai qu´at h´oa. Gia
’
su
.
’
n ∈ Z v`a
n =4k + r, r ∈ Z,0 r 3. Khi d
´o
i
n
= i
4k+r
= i
4k
· i
r
=(i
4
)
k
i
r
= i
r
1.2. Da
.
ng da
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 9
(v`ı i
4
= i). T`u
.
d
´o, theo kˆe
´
t qua
’
trˆen ta c´o
i
n
=
1nˆe
´
u n =4k,
i nˆe
´
u n =4k +1,
−1nˆe
´
u n =4k +2,
−i nˆe
´
u n =4k +3.
(1.2)
T`u
.
(1.2) dˆe
˜
d`ang suy ra a) v`a b).
2
+
a) T`u
.
hˆe
.
th ´u
.
c(1+i)
n
=(1−i)
n
suy ra
1+i
1 −i
n
=1.
Nhu
.
ng
1+i
1 −i
= i nˆen
1+i
1 − i
n
= i
n
=1⇒ n =4k, k ∈ Z.
b) T`u
.
d˘a
’
ng th ´u
.
c
1+i
√
2
n
+
1 −i
√
2
n
= 0 suy r˘a
`
ng
1+i
1 −i
n
= −1
v`a do d´o i
n
= −1 ⇒ n =4k +2,k ∈ Z.
V´ı du
.
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u n l`a bˆo
.
icu
’
a3th`ı
−1+i
√
3
2
n
+
−1 − i
√
3
2
n
=2
v`a nˆe
´
u n khˆong chia hˆe
´
t cho 3 th`ı
−1+i
√
3
2
n
+
−1 − i
√
3
2
n
= −1.
Gia
’
i. 1
+
Nˆe
´
u n =3m th`ı
S =
−1+i
√
3
2
3
m
+
−1 −i
√
3
2
3
m
=
−1+3i
√
3+9−3i
√
3
8
m
+
−1 − 3i
√
3+9+3i
√
3
8
m
=1
m
+1
m
=2.
10 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
2
+
Nˆe
´
u n =3m +1th`ı
S =
−1+i
√
3
2
3
m
−1+i
√
3
2
+
−1 − i
√
3
2
3
m
1 −i
√
3
2
=
−1+i
√
3
2
+
−1 − i
√
3
2
= −1.
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
nˆe
´
u n =3m +2tac˜ung c´o S = −1.
V´ı d u
.
3. T´ınh biˆe
’
uth´u
.
c
σ =
1+
1+i
2
1+
1+i
2
2
1+
1+i
2
2
2
···
1+
1+i
2
2
n
.
Gia
’
i. Nhˆan v`a chia biˆe
’
uth´u
.
cd˜achov´o
.
i1−
1+i
2
ta c´o
σ =
1 −
1+i
2
2
n
2
1 −
1+i
2
=
1 −
1+i
2
2
n+1
1 −
1+i
2
·
Ta cˆa
`
n t´ınh
1+i
2
2
n+1
=
1+i
2
2
2
n
=
i
2
2
n
=
i
2
n
2
2
n
=
1
2
2
n
·
Do d
´o
σ =
1 −
1
2
2
n
1 −
1+i
2
=
2
1 −
1
2
2
n
1 −i
×
1+i
1+i
=
1 −
1
2
2
n
(1 + i)
V´ı d u
.
4. Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
c
√
4 − 3i du
.
´o
.
ida
.
ng da
.
isˆo
´
.
Gia
’
i. Theo di
.
nh ngh˜ıa ta cˆa
`
nt`ımsˆo
´
ph´u
.
c w sao cho w
2
=4− 3i.
Nˆe
´
u w = a + bi, a, b ∈ R th`ı
4 − 3i =(a + bi)
2
= a
2
− b
2
+2abi.
1.2. Da
.
ng da
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 11
T`u
.
d
´o
a
2
− b
2
=4, (1.3)
2ab = −3. (1.4)
T`u
.
(1.4) ta c´o b = −
3
2a
.Thˆe
´
v`ao (1.3) ta thu du
.
o
.
.
c
4u
2
− 16u −9=0,u= a
2
⇐⇒
u
1
=
8+
√
100
4
=
8+10
4
=
18
4
=
9
2
,
u
2
=
8 −
√
100
4
=
8 − 10
4
= −
1
2
·
V`ı a ∈ R nˆen u 0 ⇒ u =
9
2
v`a do vˆa
.
y
a = ±
3
√
2
⇒ b = ∓
1
√
2
·
T`u
.
d
´o ta thu du
.
o
.
.
c
w
1,2
= ±
3
√
2
−
1
√
2
i
V´ı du
.
5. Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
c
z =
√
5+12i −
√
5 − 12i
√
5+12i +
√
5 −12i
v´o
.
idiˆe
`
ukiˆe
.
n l`a c´ac phˆa
`
n thu
.
.
ccu
’
a
√
5+12i v`a
√
5 −12i dˆe
`
u ˆam.
Gia
’
i.
´
Ap du
.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i trong v´ıdu
.
4 ta c´o
√
5+12i = x + iy ⇒ 5+12i = x
2
−y
2
−2xyi
⇐⇒
x
2
− y
2
=5,
2xy =12.
12 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
Hˆe
.
n`ay c´o hai nghiˆe
.
m l`a (3; 2) v`a (−3; −2). Theo diˆe
`
ukiˆe
.
n, phˆa
`
n
thu
.
.
ccu
’
a
√
5+12i ˆam nˆen ta c´o
√
5+12i = −3 − 2i.Tu
.
o
.
ng tu
.
.
ta
t`ım d
u
.
o
.
.
c
√
5 −12i = −3+2i.Nhu
.
vˆa
.
y
z =
−3 − 2i − (−3+2i)
−3 −2i +(−3+2i)
=
2
3
i
V´ı du
.
6. Gia
’
su
.
’
z = a + ib, z = ±1. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng w =
z − 1
z +1
l`a
sˆo
´
thuˆa
`
na
’
o khi v`a chı
’
khi a
2
+ b
2
=1.
Gia
’
i. Ta c´o
w =
(a − 1) + ib
(a +1)+ib
=
a
2
+ b
2
− 1
(a +1)
2
+ b
2
+ i
2b
(a +1)
2
+ b
2
·
T`u
.
d´o suy r˘a
`
ng w thuˆa
`
na
’
o khi v`a chı
’
khi
a
2
+ b
2
− 1
(a +1)
2
+ b
2
=0⇐⇒ a
2
+ b
2
=1.
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
T´ınh
1.
(1 + i)
8
− 1
(1 − i)
8
+1
· (DS.
15
17
)
2.
(1+2i)
3
+(1−2i)
3
(2 − i)
2
− (2 + i)
2
· (DS. −
11
4
i)
3.
(3 − 4i)(2 −i)
2+i
−
(3+4i)(2 + i)
2 −i
· (D
S. −
14
5
)
4.
1+
1 −i
√
2
1+
1 −i
√
2
2
1+
1 −i
√
2
2
2
···
1+
1 −i
√
2
2
n
.
(D
S. 0)
Chı
’
dˆa
˜
n.
´
Ap du
.
ng c´ach gia
’
iv´ıdu
.
3.
5. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
a)
z
1
+ z
2
= z
1
+ z
2
;b)z
1
z
2
= z
1
· z
2
;c)
z
1
z
2
=
z
1
z
2
;
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod un v`a acgumen 13
d) z
n
= ( z)
n
;e)z + z = 2Re z;g)z −z = 2Im z.
6. V´o
.
i gi´a tri
.
thu
.
.
c n`ao cu
’
a x v`a y th`ı c´ac c˘a
.
psˆo
´
sau dˆay l`a c´ac c˘a
.
p
sˆo
´
ph´u
.
c liˆen ho
.
.
p:
1) y
2
− 2y + xy − x + y +(x + y)i v`a −y
2
+2y +11−4i;
2) x + y
2
+1+4i v`a ixy
2
+ iy
2
− 3?
(DS. 1) x
1
=1,y
1
=3;x
2
=9,y
2
= 5; 2) x
1,2
= −5, y
1,2
= ±5)
7. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng z
1
v`a z
2
l`a nh˜u
.
ng sˆo
´
ph´u
.
c liˆen ho
.
.
p khi v`a chı
’
khi z
1
+ z
2
v`a z
1
z
2
l`a nh˜u
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c.
8. T´ınh:
1)
√
−5 − 12i.(DS. ±(2 − 3i))
2)
√
24 + 10i.(DS. ±(5 + i))
3)
√
24 −10i.(DS. ±(5 − i))
4)
1+i
√
3+
1 −i
√
3. (DS. ±
√
6, ±i
√
2)
9. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
1) 1 − C
2
8
+ C
4
8
− C
6
8
+ C
8
8
= 16;
2) 1 − C
2
9
+ C
4
9
− C
6
9
+ C
8
9
= 16;
3) C
1
9
−C
3
9
+ C
5
9
− C
7
9
+ C
9
9
= 16.
Chı
’
dˆa
˜
n.
´
Ap du
.
ng cˆong th´u
.
c nhi
.
th ´u
.
c Newton dˆo
´
iv´o
.
i(1+i)
8
v`a
(1 + i)
9
.
1.3 Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆodun v`a acgu-
men
Mˆo
˜
isˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib c´o thˆe
’
d
˘a
.
ttu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
id
iˆe
’
m M(a; b)cu
’
a
m˘a
.
t ph˘a
’
ng to
.
adˆo
.
v`a ngu
.
o
.
.
cla
.
imˆo
˜
idiˆe
’
m M(a; b)cu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng dˆe
`
u
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib. Ph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng du
.
o
.
.
c x´ac lˆa
.
pl`a
do
.
n tri
.
mˆo
.
t-mˆo
.
t. Ph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d´o cho ph´ep ta xem c´ac sˆo
´
ph´u
.
c
nhu
.
l`a c´ac d
iˆe
’
m cu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng to
.
ad
ˆo
.
.M˘a
.
t ph˘a
’
ng d
´odu
.
o
.
.
cgo
.
il`a
m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c. Tru
.
c ho`anh cu
’
an´odu
.
o
.
.
cgo
.
il`aTru
.
c thu
.
.
c, tru
.
c tung
14 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
du
.
o
.
.
cgo
.
il`aTru
.
ca
’
o. Thˆong thu
.
`o
.
ng sˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib c´o thˆe
’
xem
nhu
.
vecto
.
−→
OM.Mˆo
˜
i vecto
.
cu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng v´o
.
id
iˆe
’
mdˆa
`
u O(0, 0) v`a
diˆe
’
m cuˆo
´
ita
.
idiˆe
’
m M(a; b)dˆe
`
utu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib v`a
ngu
.
o
.
.
cla
.
i.
Su
.
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
u
.
o
.
.
c x´ac lˆa
.
pgi˜u
.
atˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
c C v´o
.
itˆa
.
pho
.
.
p
c´ac d
iˆe
’
m hay c´ac vecto
.
m˘a
.
t ph˘a
’
ng cho ph´ep go
.
i c´ac sˆo
´
ph´u
.
cl`adiˆe
’
m
hay vecto
.
.
V´o
.
i ph´ep biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
csˆo
´
ph´u
.
c, c´ac ph´ep to´an cˆo
.
ng v`a tr`u
.
c´ac sˆo
´
ph´u
.
cdu
.
o
.
.
c thu
.
.
chiˆe
.
n theo quy t˘a
´
ccˆo
.
ng v`a tr`u
.
c´ac vecto
.
.
Gia
’
su
.
’
z ∈ C. Khi d´odˆo
.
d`ai cu
’
a vecto
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z
du
.
o
.
.
cgo
.
il`amˆodun cu
’
a n´o.
Nˆe
´
u z = a + ib th`ı
r = |z| =
√
a
2
+ b
2
=
√
z z.
G´oc gi˜u
.
ahu
.
´o
.
ng du
.
o
.
ng cu
’
a tru
.
c thu
.
.
c v`a vecto
.
z (d
u
.
o
.
.
c xem l`a g´oc
du
.
o
.
ng nˆe
´
u n´o c´o d
i
.
nh hu
.
´o
.
ng ngu
.
o
.
.
c chiˆe
`
u kim d
ˆo
`
ng hˆo
`
)du
.
o
.
.
cgo
.
il`a
acgumen cu
’
asˆo
´
z =0. D
ˆo
´
iv´o
.
isˆo
´
z = 0 acgumen khˆong x´ac di
.
nh.
Kh´ac v´o
.
i mˆodun, acgumen cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c x´ac di
.
nh khˆong do
.
n tri
.
,n´o
x´ac di
.
nh v´o
.
isu
.
.
sai kh´ac mˆo
.
tsˆo
´
ha
.
ng bˆo
.
i nguyˆen cu
’
a2π v`a
Arg z = arg z +2kπ, k ∈ Z,
trong d
´o arg z l`a gi´a tri
.
ch´ınh cu
’
a acgumen du
.
o
.
.
c x´ac di
.
nh b o
.
’
idiˆe
`
u
kiˆe
.
n −π<arg z π ho˘a
.
c0 arg z<2π.
Phˆa
`
n thu
.
.
c v`a phˆa
`
na
’
ocu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib du
.
o
.
.
cbiˆe
’
udiˆe
˜
n qua
mˆod
un v`a acgument cu
’
a n´o nhu
.
sau
a = r cos ϕ,
y = r sin ϕ.
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod un v`a acgumen 15
Nhu
.
vˆa
.
y, acgumen ϕ cu
’
asˆo
´
ph´u
.
cc´othˆe
’
t`ım t`u
.
hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
cos ϕ =
a
√
a
2
+ b
2
,
sin ϕ =
b
√
a
2
+ b
2
·
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı du
.
1. T`ım mˆod
un cu
’
asˆo
´
z =
x
2
− y
2
+2xyi
xy
√
2+i
x
4
+ y
4
·
Gia
’
i. Ta c´o
|z| =
(x
2
−y
2
)
2
+(2xy)
2
(xy
√
2)
2
+(
x
4
+ y
4
)
2
=
x
2
+ y
2
x
2
+ y
2
=1.
V´ı du
.
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng ∀z
1
,z
2
∈ C ta dˆe
`
u c´o:
(i) |z
1
+ z
2
| |z
1
| + |z
2
|; (ii) |z
1
− z
2
| |z
1
| + |z
2
|;
(iii) |z
1
+ z
2
| |z
1
|−|z
2
|; (iv) z
1
− z
2
| |z
1
|−|z
2
.
Gia
’
i. (i) Ta c´o
|z
1
+ z
2
|
2
=(z
1
+ z
2
)(z
1
+ z
2
)=|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
+ 2Re(z
1
z
2
).
V`ı −|z
1
z
2
| Re(z
1
z
2
) |z
1
z
2
| nˆen
|z
1
+ z
2
|
2
|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
+2|z
1
||z
2
| =(|z
1
| + |z
2
|)
2
⇒|z
1
+ z
2
| |z
1
| + |z
2
|.
(ii) V`ı |z
2
| = |−z
2
| nˆen
|z
1
−z
2
| = |z
1
+(−z
2
)|≤|z
1
| + |−z
2
| = |z
1
| + |z
2
|.
(iii)
´
Ap du
.
ng (ii) cho z
1
=(z
1
+ z
2
) − z
2
v`a thu du
.
o
.
.
c
|z
1
| |z
1
+ z
2
| + |z
2
|→|z
1
+ z
2
| |z
1
|−|z
2
|.
16 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
(iv) |z
1
− z
2
| = |z
1
+(−z
2
)|≥|z
1
|−|−z
2
| = |z
1
|−|z
2
|.
Nhˆa
.
nx´et. C´ac bˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c (iii) v`a (iv) c`on c´o thˆe
’
viˆe
´
tdu
.
´o
.
i
da
.
ng
(iii)
∗
. |z
1
+ z
2
|
|z
1
|−|z
2
|
; (iv)
∗
. |z
1
−z
2
|
|z
1
|−|z
2
|
.
Thˆa
.
tvˆa
.
y ta c´o |z
1
+ z
2
| |z
1
|−|z
2
| v`a |z
1
+ z
2
| |z
2
|−|z
1
|. C´ac
vˆe
´
pha
’
i kh´ac nhau vˆe
`
dˆa
´
udod
´onˆe
´
ulˆa
´
yvˆe
´
pha
’
idu
.
o
.
ng th`ı thu d
u
.
o
.
.
c
(iii)
∗
.Bˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c (iv)
∗
thu du
.
o
.
.
ct`u
.
(iii)
∗
b˘a
`
ng c´ach thay z
2
bo
.
’
i
−z
2
.
V´ı d u
.
3. Ch´u
.
ng minh dˆo
`
ng nhˆa
´
tth´u
.
c
|z
1
+ z
2
|
2
+ |z
1
− z
2
|
2
=2(|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
).
Gia
’
i th´ıch ´y ngh˜ıa h`ınh ho
.
ccu
’
ahˆe
.
th ´u
.
cd
˜ach´u
.
ng minh.
Gia
’
i. Gia
’
su
.
’
z
1
= x
1
+ iy
1
, z
2
= x
2
+ iy
2
. Khi d´o
z
1
+ z
2
= x
1
+ x
2
+ i(y
1
+ y
2
),
z
1
− z
2
= x
1
− x
2
+ i(y
1
−y
2
),
|z
1
+ z
2
|
2
=(x
1
+ x
2
)
2
+(y
1
+ y
2
)
2
,
|z
1
− z
2
|
2
=(x
1
− x
2
)
2
+(y
1
−y
2
)
2
.
T`u
.
d´othudu
.
o
.
.
c
|z
1
+ z
2
|
2
+ |z
1
− z
2
|
2
=2(x
2
1
+ y
1
)
2
+2(x
2
2
+ y
2
2
)=2(|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
).
T`u
.
hˆe
.
th ´u
.
cd
˜a c h ´u
.
ng minh suy r˘a
`
ng trong mˆo
˜
ih`ınh b`ınh h`anh tˆo
’
ng c´ac
b`ınh phu
.
o
.
ng dˆo
.
d`ai cu
’
a c´ac du
.
`o
.
ng ch´eo b˘a
`
ng tˆo
’
ng c´ac b`ınh phu
.
o
.
ng
dˆo
.
d`ai cu
’
a c´ac ca
.
nh cu
’
a n´o.
V´ı d u
.
4. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u |z
1
| = |z
2
| = |z
3
| th`ı
arg
z
3
− z
2
z
3
− z
1
=
1
2
arg
z
2
z
1
·
Gia
’
i. Theo gia
’
thiˆe
´
t, c´ac d
iˆe
’
m z
1
, z
2
v`a z
3
n˘a
`
m trˆen du
.
`o
.
ng tr`on
n`ao d
´o v ´o
.
i tˆam ta
.
igˆo
´
cto
.
ad
ˆo
.
.Tax´et c´ac vecto
.
z
3
−z
2
; z
3
−z
1
, z
1
v`a
z
2
(h˜ay v˜e h`ınh).
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod un v`a acgumen 17
B˘a
`
ng nh˜u
.
ng nguyˆen do h`ınh ho
.
c, dˆe
˜
thˆa
´
yr˘a
`
ng
arg
z
3
− z
2
z
3
− z
1
= arg (z
3
−z
2
) − arg(z
3
− z
1
)
v`a g´oc n`ay nh`ın cung tr`on nˆo
´
id
iˆe
’
m z
1
v`a z
2
v`a g´oc o
.
’
tˆam
arg
z
2
z
1
= argz
2
− argz
1
c˜ung ch˘a
´
nch´ınh cung tr`on d´o. Theo di
.
nh l´y quen thuˆo
.
ccu
’
ah`ınh ho
.
c
so
.
cˆa
´
p ta c´o
arg
z
3
−z
2
z
3
−z
1
=
1
2
arg
z
2
z
1
·
V´ı d u
.
5. Ch ´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u |z
1
| = |z
2
| = |z
3
| =1v`az
1
+z
2
+z
3
=0
th`ı c´ac diˆe
’
m z
1
, z
2
v`a z
3
l`a c´ac dı
’
nh cu
’
a tam gi´ac dˆe
`
unˆo
.
itiˆe
´
p trong
du
.
`o
.
ng tr`on do
.
nvi
.
.
Gia
’
i. Theo gia
’
thiˆe
´
t, ba diˆe
’
m z
1
, z
2
v`a z
3
n˘a
`
mtrˆendu
.
`o
.
ng tr`on
d
o
.
nvi
.
.Tat`ımd
ˆo
.
d`ai cu
’
a c´ac ca
.
nh tam gi´ac.
1
+
T`ım dˆo
.
d`ai |z
1
− z
2
|.Tac´o
|z
1
− z
2
|
2
=(x
1
− x
2
)
2
+(y
1
− y
2
)
2
= x
2
1
+ y
2
1
+ x
2
2
+ y
2
2
− (2x
1
x
2
+2y
1
y
2
)
=2(x
2
1
+ y
2
1
)+2(x
2
2
+ y
2
2
) − [(x
1
+ x
2
)
2
+(y
1
+ y
2
)
2
]
=2|z
1
|
2
+2|z
2
|
2
−2|z
1
+ z
2
|
2
.
Nhu
.
ng z
1
+ z
2
= −z
3
v`a |z
1
+ z
2
| = |z
3
|.Dod´o
|z
1
− z
2
|
2
=2|z
1
|
2
+2|z
2
|
2
−|z
3
|
2
=2· 1+2·1 −1=3
v`a t`u
.
d
´o
|z
1
− z
2
| =
√
3 .
2
+
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
ta c´o |z
2
− z
3
| =
√
3, |z
3
− z
1
| =
√
3. T`u
.
d
´o suy ra
tam gi´ac v´o
.
idı
’
nh z
1
, z
2
, z
3
l`a tam gi´ac dˆe
`
u.
18 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
V´ı d u
.
6. V´o
.
id
iˆe
`
ukiˆe
.
n n`ao th`ı ba diˆe
’
m kh´ac nhau t`u
.
ng d
ˆoi mˆo
.
t z
1
,
z
2
, z
3
n˘a
`
m trˆen mˆo
.
tdu
.
`o
.
ng th˘a
’
ng.
Gia
’
i. 1
+
Nˆe
´
u c´ac diˆe
’
m z
1
, z
2
, z
3
n˘a
`
m trˆen du
.
`o
.
ng th˘a
’
ng cho tru
.
´o
.
c
th`ı vecto
.
d
it`u
.
z
2
dˆe
´
n z
1
c´o hu
.
´o
.
ng nhu
.
cu
’
a vecto
.
d
it`u
.
d
iˆe
’
m z
3
dˆe
´
n
z
1
ho˘a
.
cc´ohu
.
´o
.
ng ngu
.
o
.
.
cla
.
i. Diˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a c´ac g´oc nghiˆeng cu
’
a
c´ac vecto
.
n`ay dˆo
´
iv´o
.
i tru
.
c thu
.
.
c ho˘a
.
cnhu
.
nhau ho˘a
.
c sai kh´ac g´oc π.
Nhu
.
ng khi d´o ta c´o
arg(z
1
−z
2
) = arg(z
1
−z
3
)+kπ, k = 0, 1.
T`u
.
d
´o suy ra
arg
z
1
− z
2
z
1
− z
3
= arg(z
1
−z
2
) − arg(z
1
− z
3
)=kπ, k = 0, 1.
Nhu
.
vˆa
.
ysˆo
´
ph´u
.
c
z
1
− z
2
z
1
− z
3
c´o acgumen b˘a
`
ng 0 ho˘a
.
cb˘a
`
ng π,t´u
.
cl`asˆo
´
z
1
− z
2
z
1
− z
3
l`a sˆo
´
thu
.
.
c. Diˆe
`
ukiˆe
.
nthudu
.
o
.
.
cl`adiˆe
`
ukiˆe
.
ncˆa
`
n.
2
+
Ta ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d
´oc˜ung l`a diˆe
`
ukiˆe
.
ndu
’
. Gia
’
su
.
’
z
1
−z
2
z
1
−z
3
= α, α ∈ R.
Khi d
´oIm
z
1
− z
2
z
1
− z
3
=0. Hˆe
.
th ´u
.
c n`ay tu
.
o
.
ng du
.
o
.
ng v´o
.
ihˆe
.
th ´u
.
c
y
1
− y
3
y
1
− y
2
=
x
1
− x
3
x
1
− x
2
· (1.5)
Phu
.
o
.
ng tr`ınh du
.
`o
.
ng th˘a
’
ng qua diˆe
’
m(x
1
,y
1
)v`a(x
2
,y
2
) c´o da
.
ng
y −y
1
y
2
− y
1
=
x − x
1
x
2
− x
1
· (1.6)
T`u
.
(1.5) v`a (1.6) suy ra diˆe
’
m(x
3
,y
3
)n˘a
`
m trˆen du
.
`o
.
ng th˘a
’
ng d´o.
V´ı du
.
7. X´ac d
i
.
nh tˆa
.
pho
.
.
pd
iˆe
’
m trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c tho
’
a m˜an c´ac
d
iˆe
`
ukiˆe
.
n:
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod un v`a acgumen 19
1) |z −2| + |z +2| =5;
2) |z −2|−|z +2| > 3;
3) Re z c;
4) Im z<0.
Gia
’
i. 1) D
˘a
’
ng th´u
.
c |z − 2| + |z +2| =5x´acdi
.
nh qu˜y t´ıch nh˜u
.
ng
d
iˆe
’
mcu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng m`a tˆo
’
ng khoa
’
ng c´ach t`u
.
d
´odˆe
´
n hai diˆe
’
mcho
tru
.
´o
.
c F
1
= −2v`aF
2
= +2 l`a h˘a
`
ng sˆo
´
b˘a
`
ng 5. Theo di
.
nh ngh˜ıa trong
h`ınh ho
.
c gia
’
it´ıchd´o l `a d u
.
`o
.
ng ellip v´o
.
i b´an tru
.
cl´o
.
nb˘a
`
ng
5
2
v`a tiˆeu
diˆe
’
m ±2.
2) Qu˜y t´ıch c´ac d
iˆe
’
mcu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng C tho
’
a m˜an diˆe
`
ukiˆe
.
n
|z − 2|−|z +2|
=3l`adu
.
`o
.
ng hypecbˆon. D˘a
’
ng th ´u
.
c
|z −2|−|z +2| =3
x´ac d
i
.
nh nh´anh bˆen tr´ai cu
’
adu
.
`o
.
ng hypecbˆon v`a bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c
|z −2|−|z +2| > 3 x´ac d
i
.
nh phˆa
`
n trong cu
’
a nh´anh d´o.
3) Rez c ⇒ x c.D
´ol`anu
.
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng bˆen pha
’
idu
.
`o
.
ng th˘a
’
ng
x = c (kˆe
’
ca
’
du
.
`o
.
ng th˘a
’
ng x = c).
4) V`ıImz = y ⇒ Im z<c⇒ y<c.D
´ol`anu
.
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng du
.
´o
.
i
du
.
`o
.
ng th˘a
’
ng y = c (khˆong kˆe
’
du
.
`o
.
ng th˘a
’
ng d´o).
V´ı d u
.
8. X´ac di
.
nh tˆa
.
pho
.
.
pd
iˆe
’
m trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c C d
u
.
o
.
.
ccho
bo
.
’
id
iˆe
`
ukiˆe
.
n:
1) |z| =Rez +1;
2) |z −1| 2|z − i|;
3) |z −2+i|u
2
− 2|z − 2+i|u +1> 0 ∀u ∈ R.
4) log
3
(2 + |z
2
+ i|)+log
27
1
(2 + |z
2
− i|)
3
=0.
Gia
’
i. 1) Gia
’
su
.
’
z = x + iy. Khi d´ot`u
.
diˆe
`
ukiˆe
.
n
|z| =Rez +1⇒
x
2
+ y
2
= x +1⇒ y
2
=2x +1.
20 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
D´o l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh parabˆon v´o
.
id
ı
’
nh ta
.
idiˆe
’
m
−
1
2
;0
v´o
.
i tru
.
cd
ˆo
´
i
x´u
.
ng l`a tia
γ =
(x, y) ∈ R
2
: x −
1
2
,y =0
.
2) Gia
’
su
.
’
z = x + iy. Khi d
´ot`u
.
d
iˆe
`
ukiˆe
.
nd˜a cho suy ra:
|x − 1+iy| 2|x + i(y − 1)|
⇒
(x − 1)
2
+ y
2
≥ 2
x
2
+(y − 1)
2
⇒
x +
1
3
2
+
y −
4
3
2
8
9
·
T`u
.
d´o suy ra r˘a
`
ng diˆe
`
ukiˆe
.
nd˜a cho x´ac di
.
nh h`ınh tr`on tˆam z
0
= −
1
3
+i
4
3
v`a b´an k´ınh
2
√
2
3
.
3) V`ı tam th´u
.
cbˆa
.
c hai (dˆo
´
iv´o
.
i u)o
.
’
vˆe
´
tr´ai cu
’
adiˆe
`
ukiˆe
.
nd˜acho
du
.
o
.
ng ∀u ∈ R nˆen biˆe
.
tsˆo
´
cu
’
a n´o ˆam, t´u
.
cl`a
|z −2+i|
2
−|z − 2+i| < 0
⇒|z −2+i| < 1.
D
´o l`a h`ınh tr`on v´o
.
i tˆam ta
.
i z
0
=2−i v`a b´an k´ınh b˘a
`
ng 1.
4) T`u
.
diˆe
`
ukiˆe
.
nd˜a cho ta thu du
.
o
.
.
c
log
3
2+|z
2
+ i|
2+|z
2
−i|
=0
⇒
2+|z
2
+ i|
2+|z
2
− i|
=1 v`a |z
2
+ i| = |z
2
−i|.
T`u
.
d´o suy r˘a
`
ng z
2
l`a sˆo
´
thu
.
.
cbˆa
´
tk`y. Nhu
.
ng khi d´o z l`a sˆo
´
thu
.
.
cbˆa
´
t
k`y ho˘a
.
csˆo
´
thuˆa
`
na
’
obˆa
´
tk`y. Nhu
.
vˆa
.
ychı
’
c´o c´ac d
iˆe
’
mn˘a
`
m trˆen c´ac
tru
.
cto
.
adˆo
.
l`a tho
’
am˜andiˆe
`
ukiˆe
.
nd˜a cho.
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod un v`a acgumen 21
1. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
1) |z
1
· z
2
| = |z
1
|·|z
2
|;
2) |z
1
±z
2
| |z
1
| + |z
2
|;
3) |z
1
±z
2
|
|z
1
|−|z
2
|
.
2. Xuˆa
´
t ph´at t`u
.
c´ac biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c, ch´u
.
ng minh:
1)
z
|z|
−1
|argz|;
2) |z −1|
|z|−1
+ |z||argz|.
3. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u gi´a tri
.
ch´ınh argz = arg(a + ib) tho
’
a m˜an
d
iˆe
`
ukiˆe
.
n −π<argz π th`ı n´o du
.
o
.
.
c t´ınh theo cˆong th´u
.
c
arg(a + ib)=
arctg
b
a
nˆe
´
u a>0,
arctg
b
a
+ π nˆe
´
u a<0,b 0,
arctg
b
a
− π nˆe
´
u a<0,b<0.
4. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u gi´a tri
.
ch´ınh arg(a + ib) tho
’
a m˜an diˆe
`
ukiˆe
.
n
0 arg(a + ib) < 2π th`ı
arg(a + ib)=
arctg
b
a
nˆe
´
u a>0,b>0,
arctg
b
a
+2π nˆe
´
u a>0,b<0,
arctg
b
a
+ π nˆe
´
u a<0.
Chı
’
dˆa
˜
n. Lu
.
u´yr˘a
`
ng gi´a tri
.
ch´ınh cu
’
a arctg
b
a
∈
−
π
2
,
π
2
.
5. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng |a + b|
2
+ |a −b|
2
=4|a|
2
nˆe
´
u |a| = |b|.
6. Ch´u
.
ng minh dˆo
`
ng nhˆa
´
tth´u
.
c
|1 −ab|
2
−|a −b|
2
=(1+|ab|)
2
−(|a| + |b|)
2
,a∈ C,b∈ C.
Chı
’
dˆa
˜
n. Su
.
’
du
.
ng hˆe
.
th ´u
.
c |z|
2
= zz.
22 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
7. Ch´u
.
ng minh d
ˆo
`
ng nhˆa
´
tth´u
.
c
1) |a + b|
2
=(|a| + |b|)
2
− 2
|ab|−Re(ab)
.
2) |ab +1|
2
+ |a −b|
2
=(|a|
2
+ 1)(|b|
2
+ 1).
8. Ch ´u
.
ng minh r˘a
`
ng mo
.
isˆo
´
ph´u
.
c z = −1v`a|z| =1dˆe
`
u c´o thˆe
’
biˆe
’
u
diˆe
˜
ndu
.
´o
.
ida
.
ng
z =
1+ti
1 − ti
,t∈ R.
Chı
’
dˆa
˜
n. Biˆe
’
udiˆe
˜
n t qua z v`a ch´u
.
ng minh t = t.
9. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
uRea 0th`ı|1+a|
1+|a|
√
2
·
Chı
’
dˆa
˜
n. C´o thˆe
’
ch´u
.
ng minh b˘a
`
ng pha
’
nch´u
.
ng.
10. Trong c´ac sˆo
´
ph´u
.
c tho
’
am˜andiˆe
`
ukiˆe
.
n
|z −25i| 15
h˜ay t`ım sˆo
´
c´o acgument du
.
o
.
ng nho
’
nhˆa
´
t.
11. T`ım acgumen cu
’
a c´ac sˆo
´
ph´u
.
csaud
ˆay
1) cos
π
6
− i sin
π
6
· (DS. −
π
6
)
2) −cos
π
3
+ i sin
π
3
· (DS.
2π
3
)
3) cos ϕ − i sin ϕ.(D
S. −ϕ)
4) −cos ϕ − i sin ϕ.(DS. π + ϕ)
5) sin ϕ + i cos ϕ.(D
S.
π
2
− ϕ)
6) sin ϕ − i cos ϕ.(D
S. ϕ −
π
2
)
7) −sin ϕ − i cos ϕ.(D
S.
−
π
2
−ϕ
)
1.4. Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac 23
1.4 Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng
gi´ac
Mo
.
isˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib =0d
ˆe
`
ubiˆe
’
udiˆe
˜
ndu
.
o
.
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng
z = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ) (1.7)
trong d
´o r = |z| =
√
a
2
+ b
2
, ϕ l`a mˆo
.
t trong c´ac acgumen cu
’
a n´o.
Ph´ep biˆe
’
udiˆe
˜
nd
´o d u
.
o
.
.
cgo
.
il`ada
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z.D
ˆe
’
chuyˆe
’
nt`u
.
da
.
ng da
.
isˆo
´
sang da
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac ta chı
’
cˆa
`
nt`ım mˆodun
v`a mˆo
.
t trong c´ac acgument cu
’
a n´o. V`ı mˆod
un v`a acgumen cu
’
atˆo
’
ng
(hiˆe
.
u) hai sˆo
´
ph´u
.
c kh´o c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
n qua mˆodun v`a acgumen cu
’
a
c´ac sˆo
´
ha
.
ng nˆen ph´ep cˆo
.
ng v`a ph´ep tr`u
.
du
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac l`a khˆong
kha
’
thi. Ngu
.
o
.
.
cla
.
i, ph´ep nhˆan, ph´ep chia, ph´ep nˆang lˆen l˜uy th`u
.
av`a
khai c˘an d
u
.
o
.
.
c thu
.
.
chiˆe
.
nrˆa
´
ttiˆe
.
nlo
.
.
idu
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac.
Gia
’
su
.
’
z
1
= r
1
(cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
), z
2
= r
2
(cos ϕ
2
+ i sin ϕ
2
),
z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi d´o
1
+
z
1
z
2
= r
1
r
2
[cos(ϕ
1
+ ϕ
2
)+i sin( ϕ
1
+ ϕ
2
)]
2
+
z
1
z
2
=
r
1
r
2
[cos(ϕ
1
− ϕ
2
)+i sin(ϕ
1
− ϕ
2
)], r
2
=0.
3
+
z
n
= r
n
[cos nϕ + i sin nϕ], n ∈ Z.
4
+
w
k
=
n
√
r
cos
ϕ +2kπ
n
+ i sin
ϕ +2kπ
n
, k =
0,n−1.
T`u
.
3
+
suy ra
[cos ϕ + i sin ϕ]
n
= cos nϕ + i sin nϕ. (1.8)
Cˆong th´u
.
c (1.8) du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a cˆong th´u
.
c Moivre.
Ph´ep to´an nˆang sˆo
´
e lˆen lu˜yth`u
.
aph´u
.
c z = x + iy du
.
o
.
.
cdi
.
nh ngh˜ıa
bo
.
’
i cˆong th ´u
.
c
e
z
= e
x+iy
def
= e
x
(cos y + i sin y). (1.9)
Ch˘a
’
ng ha
.
n
