Phương trình - Bất phương trình cơ bản doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (368.77 KB, 29 trang )
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 1
1.phơng trình
1.phơng trình 1.phơng trình
1.phơng trình bất phơng trình cơ bản
bất phơng trình cơ bảnbất phơng trình cơ bản
bất phơng trình cơ bản
a.phơng trình cơ bản
:
Dạng phơng trình:
=
)()(
0)(
)()(
2
xgxf
xg
xgxf
(nếu g(x) có TXĐ là R)
b.Bất phơng trình cơ bản:
Dạng 1
:
<
>
)()(
0)(
0)(
0)(
)()(
2
xgxf
xg
xg
xf
xgxf
Dạng 2
:
(
)
( )
( ) ( )
<
>
<
xgxf
xf
xg
xgxf
2
0
0
)()(
Chú ý
: Khi hệ chứa từ hai biểu thức căn bậc hai trở lên , để có thể đa về dạng cơ bản
, ta làm nh sau:
+ Đặt một hệ điều kiện cho tất cả các căn đều có nghĩa .
+ Chuyển vế hoặc đặt điều kiện để hai vế đều không âm .
+ Bình phơng hai vế .
+ Tiếp tục cho đến khi hết căn .
bài tập áp dụng
Bài
1
.
1: Giải các phơng trình sau:
)1(3253.1 =+ xx
)2(632.2 xx =+
Giải1:
Phơng trình đ cho tơng đơng với:
=
=
=+
2
7
2
014154
2
3
2
x
x
xx
x
Giải2:
Phơng trình đ cho tơng đơng với:
3
113
6
03314
6
2
=
==
=+
x
xx
x
xx
x
Bài
1
.
2 Giải phơng trình sau
)1(1266.1
2
=+ xxx
(ĐH Xây Dựng -2001).
Giải:
Phơng trình đ cho tơng đơng với:
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II 2
1
1
2
1
)12(66
2
1
22
=⇔
=
≥
⇔
−=+−
≥
x
x
x
xxx
x
Bµi
1
.
3 Gi¶i ph−¬ng tr×nh
321 =++− xx
Gi¶i
:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:
2
)4()2)(1(_
41
4)2)(1(
1
2
=⇔
−=−−
≤≤
⇔
−=+−
≥
⇔ x
xxx
x
xxx
x
Bµi
1
.
4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh
231 −=−−− xxx
Gi¶i
:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:
3
326
3
326
3
326
43
0883
43
6524
3
231
3
22
+
=⇔
−
=∨
+
=
≤≤
⇔
=+−
≤≤
⇔
+−=−
≥
⇔
−+−=−
≥
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
Bµi
1
.
5: Gi¶i ph−¬ng tr×nh
xxxx −+=−+ 1
3
2
1
2
(§HQG Hµ Néi 2000)
Gi¶i
:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:
−=−
≤≤
⇔
−+=−+−+
≤≤
22222
3
2
3
2
3
2
10
21
3
4
3
2
3
2
1
10
xxxx
x
xxxxxx
x
=
=
⇔
=∨=
≤≤
⇔
=−−−
≤≤
⇔
1
0
10
10
0)1(
10
22
x
x
xx
x
xxxx
x
Bµi
1
.
6: Gi¶i ph−¬ng tr×nh
(
)
3428316643 −=−−+ xx
Gi¶i
:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:
( )
2
2
2
2
4
3
3428316643
4
3
=⇔
=
≥
⇔
−=−−+
≥
x
x
x
xx
x
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 3
Bài
1
.
7: Giải bất phơng trình:
27593137 xxx
(ĐH DL Phơng Đông -2001)
Điều kiện:
5
27
x
Bất phơng trình đ cho tơng đơng với:
+
93275137
5
27
xxx
x
( )( ) ( )( )
23
59
65762229
044345859
23
5
27
23275932
5
27
275932368137
5
27
2
+
+
+
x
xx
x
xxx
x
xxxx
x
Bài tập làm thêm:
Bài 1: (PP BĐ TĐ)
2 2
2 2
2
2
1. 3 2 2 1; 2. 3 9 1 2
3. 4 6 4; 4. 2 4 2
5. 3 9 1 | 2 |; 6. 2 3 0;
7. 1 1;
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x
+ = + =
+ = + + + =
+ = + =
+ + =
Bài 2: (PP BĐ TĐ)
1. 3 6 3;
2. 3 2 1 3;
3. 3 2 1;
4. 9 5 2 4;
5. 3 4 2 1 3;
6. 5 1 3 2 1 0;
x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
+ + =
+ =
+ =
+ = +
+ + = +
=
7. 3 4 4 2 ;
x x x
+ + + =
8. 5 5 10 5 15 10;
x x x + =
9. 4 1 1 2 ;
x x x
+ =
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 4
2
10. 3 2 1 2;
11. 1 5 1 3 2
x x x
x x x
+ + + =
=
12. 1 9 2 12
x x x
+ =
2 2
13. 5 8 4 5
x x x x+ + + =
2 2
14. 3 5 8 3 5 1 1
x x x x
+ + + + =
2 2
15. 9 7 2 5 1 3 2 1
x x x x x
+ =
2 2 2
2
16. 3 6 16 2 2 2 4
3 1 1 4 2
17.
3 9 9
x x x x x x
x
x x x
+ + + + = + +
+
= + +
2
18. 1 2 5
x x x
=
19. 11 11 4
x x x x
+ + + + =
20. 1 1 8
x x x
+ = +
2.phơng pháp Đặt một ẩn phụ
Dạng 1: Giải phơng trình:
(
)
(
)
0=++ CxfBxAf
Phơng pháp giải :
Đặt
(
)
(
)
(
)
2
0 txfttxf ==
;
Phơng trình đ cho trở thành :
(
)
00
2
=++ tCBtAt
Làm tơng tự với bất phơng trình dạng:
(
)
(
)
0++ CxfBxAf
Dạng 2:
Giải phơng trình:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0)(2 =++++ CDxgxfBxgxfA
(Với
(
)
Dxgxf
=
+
)(
)
Phơng pháp giả
i :
Đặt
(
)
(
)
(
)
(
)
xgxfDtttxgxf 20)(
2
+==+
Phơng trình đ cho trở thành :
(
)
00
2
=++ tCAtBt
Làm tơng tự với bất phơng trình dạng:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0)(2 ++++ CDxgxfxgxfA
bài tập áp dụng:
Bài
2
.
1: Giải các phơng trình
)1(75553,1
22
+=+ xxxx
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 5
)2(3012.2,2
22
=++ xx
(ĐH DL Hồng lạc-2001)
Giải
1:
)1(75553,1
22
+=+ xxxx
Đặt
)0(55
2
=+ ttxx
Phơng trình đ cho trở thành:
=
=
=
=+
=+
=
=
=+
2
215
4
1
455
155
2
1
023
2
2
2
x
x
x
xx
xx
t
t
tt
Giải
2:
)2(30122,2
22
=++ xx
Đặt
)0(12
2
>+= txt
Phơng trình đ cho trở thành:
=
=
=+
)(7
)(6
042
2
Lt
tmt
tt
Vậy
62612
2
==+ xx
Bài
2
.
2: Giải các phơng trình
)1(4
2
47
.1
2
x
x
xx
=
+
++
(ĐH Đông đô-2000).
)2(4324.2
22
xxxx +=+
(ĐH Mỏ -2001)
Giải
2:
Đặt
)0(4
2
= yxy
Phơng trình đ cho trở thành:
=+
=+
+=+
=+
23
42)(
32
4
222
xyyx
xyyx
xyyx
yx
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 6
Giải hệ đối xứng này ta đợc nghiệm:
+
=
=
=
==
==
3
142
2
0
02
20
x
x
x
yx
yx
Giải
1:Điều kiện:
0
x
Đặt
)0( = ttx
Phơng trình đ cho trở thành:
04874
234
=++ tttt
Giải phơng trình bậc 4 :
Xét t=0 không là nghiệm
Xét t 0 ,chia hai vế cho t
2
và đặt
)22(
2
+= u
t
tu
Ta đợc phơng trình
=
=
=
=
=
=
=+
4
1
2
1
3
)(1
034
2
x
x
t
t
u
Lu
uu
Bài
2
.
3: Giải các bất phơng trình sau
123342.1
22
>++ xxxx
(ĐHDL Phơng Đông -2000)
2)2(4)4(.2
22
<++ xxxxx
(ĐH QG HCM -1999)
Giải1:
Điều kiện:
13
x
Đặt:
)0(23
2
= txxt
Bất phơng trình đ cho trở thành:
2
5
0
0
2
5
1
0
0532
2
<
<<
>++
t
t
t
t
tt
Thay vào cách đặt:
13
0
4
13
2
13
2
++
x
xx
x
Giải2:
2)2(4)4(.2
22
<++ xxxxx
Điều kiện:
40
x
Đặt:
04
2
+= xxt
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 7
Thay vào BPT Đ cho và giải ra ta đợc
1
>
t
Thay vào cách đặt ta đợc:
3232 +<< x
Bài
2
.
4: Giải các bất phơng trình sau
7
2
1
2
2
3
3.1 +<+
x
x
x
x
(ĐH Thái Nguyên -2000)
3)7)(2(72.2 ++++ xxxx
Giải1: Biến đổi bất phơng trình đ cho trở thành:
( )
09
2
1
3
2
1
2
9
2
1
12)
2
1
(3
2
2
2
>
+
+
++<+
x
x
x
x
x
x
x
x
Đặt:
2
2
1
+= t
x
xt
BPT đ cho trở thành:
+>
<<
>+
>
>
7
2
3
4
7
2
3
40
3
2
1
3
0932
2
2
x
x
x
x
t
tt
t
Giải 2:
Điều kiện:
72
x
Đặt
)0(72 ++= txxt
Vậy
2
9
)7)(2(
2
=+
t
xx
Bất phơng trình đ cho trở thành:
=
=
++
+
7
2
9)7)(2(29
72
300152
2
x
x
xx
x
ttt
Bài tập.
Bài tập.Bài tập.
Bài tập. Giải các PT sau:
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II 8
Bµi 1:
2 2
2 2
2 2
2
1. 3 5 5 5 7;
2. 2 12 30;
3. 13 7;
4. ( 5)(2 ) 3 3 ;
x x x x
x x
x x x x
x x x x
− + = − +
+ =
− − − + =
+ − = +
2
6. ( 4)( 1) 3 5 2 6;
x x x x
+ + − + + =
2 2
11. 2( 2 ) 2 3 9;
x x x x
− + − − =
2 2
12. ( 3) 3 22 3 7;
x x x x
− + − = − +
(
)
(
)
2
15. 1 2 1 2 2 ;
x x x x
+ − = + −
(
)
2 2
16. 2 2 2 3 9 0;
x x x x
− + − − − =
2 2
17. 3 15 2 5 1 2;
x x x x
+ + + + =
Bµi 2:
2 2
5. 3 3 3 6 3;
x x x x
− + + − + =
2 2
7. 5 2 2 5 9 1;
x x x x
+ + + + − =
9. 1 4 ( 1)(4 ) 5;
x x x x
+ + − + + − =
2 2
10. 4 2 3 4 ;
x x x x
+ − = + −
2 2
13. 2 5 2 2 5 6 1;
x x x x
+ + − + − =
2 2
14. 3 2 2 6 2 2;
x x x x+ + − + + = −
2 2 2
18. 4 1 2 2 9;
x x x x x x
+ + + + + = + +
2 2 2
8. 4 8 4 4 2 8 12;
x x x x x x+ + + + + = + +
2 2
19. 1 2 1 2;
x x x x
− − + + − =
2 2
20. 17 17 9;
x x x x
+ − + − =
2
2
21. 1 1 ;
3
x x x x
+ − = + −
2
4 4
22. 16 6;
2
x x
x x
+ + −
= + − −
2
23. 3 2 1 4 9 2 3 5 2;
x x x x x
− + = = − + − +
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 9
2
24. 2 3 1 3 2 2 5 3 16;
x x x x x
+ + + = + + +
25. 2 2 5 2 3 2 5 7 2;
x x x x + + + + =
( ) ( )
3 3
5 5
26. 7 3 8 7 3 7;
x x
=
2
27. 2 3 2 ;
2 3
x
x x
x
+ + =
+
4
2 2
28. 1 1 2;
x x x x
+ + =
2 2
29. 5 14 9 20 5 1;
x x x x x
+ + = +
(
)
3 2
30. 10 8 3 6 ;
x x x+ =
3 2
31. 1 3 1;
x x x
= +
2
32. 1 ( 1) 0;
x x x x x x
+ =
Đặt ẩn phụ để trở thành phơng trình có 2 ẩn:
* Là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển để chuyển PT ban đầu thành 1 PT với 1 ẩn phụ
nhng các hệ số vẫn còn chứa x
* PP này thờng đợc SD đối với những PT khi lựa chọn 1 ẩn phụ cho1 BT thì các BT
còn lại không BD đợc triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu BD đợc thì công thức BD
quá phức tap.
* Khi đó thờng ta đợc 1 PT bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt số là
1 số chính phơng.
Bài tập.
Bài tập.Bài tập.
Bài tập. Giải các PT sau:
Bài 1:
2 2
1. 1 2 2 ;
x x x x
=
2 2
2. 1 2 2;
x x x
= +
2 2
3. (4 1) 1 2 2 1;
x x x x
+ = + +
2 2
4. 4 4 (2 ) 2 4;
x x x x x
+ = + +
2 2
5. 3 1 (3 ) 1;
x x x x
+ + = + +
2 2
6. (4 1) 4 1 8 2 1;
x x x x
+ = + +
2
7. 4 1 1 3 2 1 1 ;
x x x x
+ = + +
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 10
2 2
2 2
2
8. 2(1 ) 2 1 2 1;
9. 1 2 4 1 2 1;
10. 12 1 36;
1 1 1
11. 2 1 3 0;
x x x x x
x x x x
x x x
x
x x
x x x
+ =
+ = +
+ + + =
+ =
3.Phơng pháp Đặt hai ẩn phụ
Dạng 1: Giải phơng trình:
(
)
(
)
(
)
(
)
0)( =+++ CxgxfBxgxfA
nnn
(Với
(
)
Dxgxf
=
+
)(
)
Phơng pháp giải
: Đặt:
(
)
( )
Dvu
vxg
uxf
nn
n
n
=+
=
=
Phơng trình đ cho trở thành:
(
)
=+
=+++
Dvu
CBuvvuA
nn
0
Dạng 2
: Giải phơng trình:
(
)
(
)
(
)
(
)
0)( =++ CxgxfBxgxfA
nnn
(Với
(
)
(
)
Dxgxf
=
)
Phơng pháp giải
: Đặt:
(
)
( )
Dvu
vxg
uxf
nn
n
n
=
=
=
Phơng trình đ cho trở thành:
(
)
=
=++
Dvu
CBuvvuA
nn
0
bài tập áp dụng:
Bài
3
.
1: Giải phơng trình:
)x6)(2x(x62x +=++
(ĐH Ngoại Ngữ-2001)
Giải :
Đặt
)0v,u(
vx6
u2x
=
=+
Phơng trình đ cho trở thành:
2vu
08uv2)uv(
vuuv
vuuv
8vu
2
22
==
=
+=
+=
=+
Vậy:
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 11
2x2x62x ===+
Bài
3
.
2:Giải phơng trình:
13x22x
33
=++
(An Ninh-01)
Giải :
Đặt:
=+
=+
v3x
u22x
3
3
Phơng trình đ cho trở thành:
=
=
==
==
=
=
30x
5x
2u;3v
3u;2v
6uv
1vu
Bài
3
.
3: Giải phơng trình
541xx56
44
=++
Đặt:
)0uv(
v41x
ux56
4
4
=+
=
Phơng trình đ cho trở thành:
=
=
==
==
=+
=+
40x
25x
2v;3u
3v;2u
97vu
5vu
44
Bài tập làm thêm: Giải các pt:
20 20
1. 6;
x x
x x
+
=
4
2. 6 2 2(1 (6 )( 2);
x x x x + =
3
3
3
2 2
3
3
3. 2 1 1;
4. 9 2 1;
5. 9 1 7 1 4;
6. 3 10 5;
7. 9 ( 3) 6;
x x
x x
x x
x x
x x
=
=
+ + + + =
+ + =
= +
3
3
4 4
2 2
8. 24 12 6;
9. 7 1;
10. 5 1 2;
11. 3 3 3 6 3;
12. 1 8 ( 1)(8 ) 3;
x x
x x
x x
x x x x
x x x x
+ + =
+ =
= =
+ + + =
+ + + + =
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 12
3 3
3 3
2 3 3 2
2 23 3
3
(34 ) 1 ( 1) 34
13. 30;
34 1
14. 1 2 (1 ) 1;
15. 1 1 (1 ) 1 2 1 ;
16. 2 2 4;
x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ +
=
+
+ =
+ + = +
+ + + =
2 3 3 2
4
4 4 4
17. (1 ) (1 ) 1 (1 );
x x x x x x x x
+ + = + +
3 3
3 3
7 5
18. 6 ;
7 5
x x
x
x x
=
+
2 2
3 3
sin cos
2 23 3
3
2 2
2 2
4 4
19. 7 2 3;
20. 81 81 30;
21. sin cos 4;
22. sin 2 sin sin 2 sin 3;
23. 10 8sin 8 s 1 1;
x x
tgx tgx
x x
x x x x
x co x
+ + =
+ =
+ =
+ + =
+ =
4 4
1 1
24. cos 2 cos 2 2;
2 2
x x
+ + =
3 3
3 3
3 3
4 4
3 3
25. 5 7 5 12 1;
26. 24 5 1;
27. 47 2 35 2 4;
28. 47 10 5;
29. 12 14 2;
x x
x x
x x
x x
x x
+ =
+ + =
+ + =
+ + =
+ =
3 3
4 4
30. 1 7 2;
31. 97 15 4;
x x
x x
+ + =
+ =
4.Phơng pháp Nhân liên hợp
Dạng : Giải phơng trình:
(
)
(
)
(
)
xhCxgBxfA .=
Với
(
)
(
)
(
)
xhDxgBxfA .
22
=
Phơng pháp giải :
Nhân hai vế với biểu thức:
(
)
(
)
xgBxfA +
Ta đợc phơng trình
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
xgBxfAxhCxhD +=
Nhóm nhân tử chung và giải hai phơng trình:
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 13
(
)
( ) ( )
( )
=+
=
DxgBxfAC
xh 0
bài tập áp dụng:
Bài
4
.
1: Giải các phơng trình sau:
)1(
5
3
2314.1
+
=+
x
xx
(ĐH Bu Chính-2001)
)2(62)22(3.2 ++=+ xxx
(ĐH Quân Sự -2001)
Giải1:
)1(
5
3
2314.1
+
=+
x
xx
Điều kiện:
3
2
x
Nhân hai vế với biểu thức liên hợp:
2314 ++ xx
, Phơng trình đ cho trở thành:
(
)
2
)(342
2
0684344
7
26
3
2
3
2
72623142
3
2
52314
3
2
2314
5
3
3
2
=
=
=
=+
=+
=++
++
+
=+
x
Lx
x
xx
x
xxxx
xxx
xxx
x
x
Giải2:
)2(62)22(3.2 ++=+ xxx
Điều kiện:
2
x
; Phơng trình đ cho tơng đơng với:
62623 =+ xxx
Nhân hai vế với biểu thức liên hợp
623 ++ xx
Làm tơng tự nh phần 1) ta đợc tập nghiệm:
=
2
5311
;3T
Bài
4
.
2: Giải các bất phơng trình sau
xxx + 11
(ĐH Ngoại thơng HCM-2001).
Giải1:
Điều kiện:
11
x
Nhân hai vế với biểu thức liên hợp
xx ++ 11
thì bất phơng
trình đ cho tơng đơng với:
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 14
++>
<
++<
+
++
xx
x
xx
x
xxx
x
x
xx
x
x
112
10
112
01
0)112(
11
11
2
11
10
10
0
01
<
=
x
x
x
x
x
Bài làm thêm: (Nhân liên hợp)
2 2 2 2
1. 1 4 9 0;
3
2. 4 1 3 2 ;
5
3. 3(2 2) 2 6;
4. 3 7 3 2 3 5 1 3 4;
5. 21 21 21;
6. 21 21 ;
2 2
7. 2 2;
2 2 2 2
8. 2 1 2 2
x x x x
x
x x
x x x
x x x x x x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
+ + + + =
+
+ =
+ = + +
+ = +
+ + =
+ =
+
+ =
+ + +
+ =
5.Phơng pháp Phân chia miền xác định
5.Phơng pháp Phân chia miền xác định5.Phơng pháp Phân chia miền xác định
5.Phơng pháp Phân chia miền xác định
Dạng
: Giải phơng trình:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
xfxhxfBxgxfA =+
Phơng pháp giải :
Xét ba trờng hợp :
Trờng hợp 1:
(
)
(
)
tmxf 0
=
Trờng hợp 2:
(
)
0
>
xf
Khi đó phải có
(
)
( )
0
0
xh
xg
Phơng trình đ cho trở thành
(
)
(
)
(
)
xfxhBxgA =+
(Phơng trình
cơ bản)
Trờng hợp 3
:
(
)
0
<
xf
Khi đó phải có
(
)
( )
0
0
xh
xg
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 15
Phơng trình đ cho trở thành
(
)
(
)
(
)
xfxhBxgA =+
(Phơng trình cơ bản)
bài tập áp dụng:
Bài
5
.
1: Giải phơng trình sau
)1(221682.1
22
+=+++ xxxx
(ĐH Bách khoa Hà Nội -2001).
Giải1:
2 2
1. 2x 8x 6 x 1 2x 2 (1)
+ + + = +
+ + + = ++ + + = +
+ + + = +
Điều kiện :
=
+
++
1
1
022
01
0682
2
2
x
x
x
x
xx
Nhận thấy x=-1 là một nghiệm của phơng trình đ cho
Với
1
x
: Phơng trình tơng đơng với:
1
16422
1
121)3(2
1
)1(2)1)(1()3)(1(2
1
2
=
=+
+=++
+=++++
x
xxx
x
xxx
x
xxxxx
x
Vậy phơng trình đ cho có hai nghiệm là x=1 và x=-1
Bài
5
.
2: Giải các bất phơng trình sau
113234.1
22
++ xxxxx
(ĐH Kế toán Hà Nội -2001)
4523423.2
222
++++ xxxxxx
(ĐH Y HCM -2001)
Giải1:
113234.1
22
++ xxxxx
Điều kiện:
=
2
1
3
1
0)12)(1(
0)3)(1(
x
x
x
xx
xx
Nhận thấy x=1 là một nghiệm của bất phơng trình
Với
3
x
Ta tách căn của bất phơng trình đ cho và đợc
1123
3
xxx
x
Hệ này vô nghiệm vì
13 < xx
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 16
Với
2
1
x
Ta tách căn của bất phơng trình đ cho và đợc
2
1
3)1)(3(2
2
1
1213
2
1
x
xx
x
xxx
x
Kết luận: Tập nghiệm
{ }
2
1
;1
Giải2:
4523423.2
222
++++ xxxxxx
Điều kiện:
4
1
x
x
Nhận thấy x=1 là một nghiệm của bất phơng trình
Với
4
x
Ta tách căn của bất phơng trình đ cho và đợc bpt
4232 + xxx
BPT thoả mn với
4
x
vì:
432 >> xxx
Với
1
x
Ta tách căn của bất phơng trình đ cho và đợc bpt
xxx + 4232
BPT vô nghiệm vì
xxx << 432
Kết luận: Tập nghiệm
{
}
[
)
+
;41
Bài tập làm thêm:
Bài 3: (PP phân chia MXĐ)
2
2
2
2 2
1. 1 1 1;
2. ( 3) (2 1);
3. ( 1)(2 7) 3( 1)( 6) ( 1)(7 1);
4. ( 1) ( 2) 2
5. 2 5 2 2) 3 6;
x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ = +
+ =
+ + = +
+ + =
+ + + = +
2
2 2
2
2 2
6. 1 1;
7. 2 8 6 1 2 2;
8. 4 1 4 1 1
9.( 3) 10 12
x x
x x x x
x x
x x x x
= +
+ + + = +
+ =
+ =
6.Phơng pháp Khai căn
Dạng : Giải phơng trình:
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 17
( )
(
)
( )
(
)
( )
xgBAxfAxf .
22
=++
Phơng pháp giải :
Khai căn và lấy đấu giá trị tuyệt đối ta đợc phơng trình
(
)
(
)
(
)
xgBAxgAxf .=++
Phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách phân chia miền xác định ta đợc một tuyển
hai hệ
(
)
( ) ( )
( )
( )
=
=
xgBA
Axf
xgBxf
Axf
.2
.2
Giải hai hệ này ta sẽ tìm đợc nghiệm của phơng trình
đ cho.
bài tập áp dụng:
Bài
6
.
1: Giải phơng trình sau
294444.1
2
+=++ xxxxxx
2
5
2122122
+
=++++++
x
xxxx
Giải 1:
294444.1
2
+=++ xxxxxx
2492424
2
+=++ xxxx
Nếu
8
x
pt trở thành:
( )( )
( )
42
4
2
54
1
45442
42094224942
22
+
=
+=
++=+=
x
xx
xxx
xxxxxx
Vì
8
x
Nên
(
)
3
42
4
2
54
+
x
xx
vậy phơng trình này vô nghiệm
Nếu
84
<
x
pt trở thành:
542494
2
==+= xxxx
Vậy pt đ cho có nghiệm là x=4 và x=5.
Giải 2:
2
5
2122122
+
=++++++
x
xxxx
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 18
2
5
1111
+
=++++
x
xx
Giải tơng tự ta đợc nghiệm là x=-1 và x=3.
Bài
6
.
2: Giải phơng trình sau
21212 =+ xxxx
Giải:
Phơng trình đ cho tơng đơng với:
21111
=+
xx
( )
2
2
1111
21
21111
2
=
+
<
=+
x
xx
x
xx
x
Tập nghiệm:
[
)
+;2
7.Phơng pháp Đạo hàm
Dạng : Bài toán tìm m để phơng trình f(x)=m có nghiệm,
Bài toán chứng minh phơng trình f(x)=A có nghiệm duy nhất,
Bài toán biện luận số nghiệm của phơng trình f(x)=m theo tham số m.
Phơng pháp giải :
* Tìm tập xác định D của hàm số y=f(x)
* Tính đạo hàm f
(x) ,lập bảng biến thiên .
* Dựa vào bảng biến thiên để biện luận số nghiệm của phơng trình .
bài tập áp dụng:
Bài
7
.
1:Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
)45(12 xxmxxx +=++
Giải:
Nhân hai vế với biểu thức liên hợp:
xx 45
ta đợc:
mxxxxx =++ )45)(12(
Xét
)(xfVT
=
TXĐ
[
]
4;0
=
D
12)( ++= xxxxg
;
0
122
1
2
3
)( >
+
+=
x
x
xg
)(xg
đồng biến và luôn dơng trên D.
xxxh = 45)(
;
0
452
45
)( >
=
xx
xx
xh
(
)
xh
đồng biến và luôn dơng trên D.
Suy ra hàm số
)()()( xhxgxf
=
cũng sẽ là hàm số đồng biến trên D.
Từ đó
(
)
44512)4()0( VTfVTf
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 19
Vậy để phơng trình đ cho có nghiệm thì:
(
)
44512 m
8.Phơng pháp đánh giá hai vế
Phơng pháp:
Sử dụng bất đẳng thức để chứng minh
VPVTVPVT
và tìm điều kiện để dấu
bằng xảy ra
bài tập áp dụng:
Bài
8
.
1: Giải các phơng trình sau:
2152.1
2
=++ xxx
11414.2
2
=+ xx
(ĐHQG Hà Nội-2001)
Giải1:
)1(2152.1
2
=++ xxx
Điều kiện:
1
01
052
2
+
x
x
xx
Ta có:
(
)
xxxx +=+ 44152
2
2
VPxxxVT =++= 2152
2
Dấu bằng xảy ra khi x=1.
Vậy pt đ cho có nghiệm duy nhất x=1
Giải 2:
11414.2
2
=+ xx
Điều kiện:
2
1
2
1
4
1
x
x
x
Vậy
VPxxVT =+= 11414
2
Dấu bằng xảy ra khi
2
1
014
114
2
=
=
=
x
x
x
Vậy pt đ cho có nghiệm:
2
1
=x
Bài
8
.
2: Giải các phơng trình sau:
xxxxxxx 32 +++=++
Giải:
Điều kiện:
0
x
Nhận thấy x=0 là một nghiệm của phơng trình
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 20
Với x>0
xxxxxxx
xxxx
xxx
32
32
+++<++
+<+
+<
Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x>0
Kết luận:nghiệm x=0
Bài
8
.
3: Giải các phơng trình sau:
0321
333
=+++++ xxx
Giải:
Nhận thấy x=-2 là một nghiệm
Với x>-2 thì x+1>-1
0
13
02
11
3
3
3
>
>+
>+
>+
VT
x
x
x
Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x>-2
Tơng tự với x<-2
0
13
02
11
3
3
3
<
<+
<+
<+
VT
x
x
x
Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x<-2
Kết luận : nghiệm x=0
Bài tập làm thêm : Căn bậc ba.
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3
3
3 3
1. 1 2 2 3;
2. 5 6 2 11;
3. 1 3 1 1;
4. 1 1 2
5. 2 1 2 1 2;
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x
+ =
+ + + = +
+ + + =
+ + =
+ + =
Bài tập.
Bài tập.Bài tập.
Bài tập. Giải các PT sau:
2
3 2 2
2
2
1. 2 5 1 2;
2. 2 7 11 25 12 6 1;
1 1
3. 2 2 4 ;
4. 2 1 3 4 1 1;
x x x
x x x x x
x x
x x
x x x x
+ + =
+ = +
+ = +
+ + =
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 21
(
)
2 2
3 2 2
5. 1 1 2;
6. 1 2 2 1 2 2 1;
7. 2 2 1 2 1 3;
8. 2 5 3 3 2 6 1;
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
+ + =
+ =
+ = +
+ + = +
2
6
9. 2 1 19 2
10 24
x x
x x
+ =
+
2 2 3 3 4 43 3
4 4
10. 1 1 1 1 1 1 6;
x x x x x x
+ + + + + + + + =
4 4 4
11. 1 1 2 8;
x x x x+ + + = +
4 2
4
2 4 4 3
4
2 4
4 4
12. 2 3 4;
13. 2 1;
14. 2 2 4;
5
15. 2 2 1 2 2 1 ;
2
x x x
x x x x
x x x x
x
x x x x
= +
= +
+ + + =
+
+ + + + + + =
16. 3 4 1 15 8 1 6;
17. 6 9 6 9 6;
18. 5 4 1 2 2 1 1;
19. 2 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 8 6 2 1 4;
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
+ + + + =
+ + =
+ + + + + =
+ + + =
9.Phơng pháp Tam thức bậc hai
Dạng : Bài toán biện luận số nghiệm của phơng trình f(x)=m theo tham số m.
Trong đó ta đặt đợc:
(
)
(
)
0= ttxu
;
Bài toán khi đó trở thành :Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình bậc
hai
0
2
=++ cbtat
Bảy bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số, hai số:
21
21
21
,3
,2
,1
xx
xx
xx
<<
<<
<
<
<<<
<<<
<<<
<<<
<
<
<
21
21
21
21
21
,7
,6
,5
,4
xx
xx
xx
xx
xx
Ba bài toán cơ bản của tam thức bậc hai:
1, Tìm điều kiện để f(x)>0 với mọi x thuộc R
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 22
2, Tìm điều kiện để f(x)>0 với mọi x thuộc khoảng (;+);
3, Tìm điều kiện để f(x)>0 với mọi x thuộc khoảng (;);
bài tập áp dụng:
Bài
9
.
1:Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
(
)
(
)
0156
2
=++ xxmxx
(CĐ SP HCM-2001).
Giải: Điều kiện:
51
x
Đặt
(
)
(
)
(
)
2043415
2
2
== txttxx
Bài toán đ cho trở thành:
Tìm m để phơng trình
t
2
-t+5-m=0
có nghiệm
[
]
2;0
t
,nghĩa là
<<
20
20
20
21
21
21
tt
tt
tt
Hệ điều kiện trên tơng đơng với:
(
)
(
)
( )
( )
<<
>
>
2
2
0
02
00
0
02.0
s
f
f
ff
(
)
(
)
7
4
19
2
2
1
0
7
5
4
19
075
<<
<
<
m
m
m
m
mm
Bài
9
.2
:Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
mxxxx ++=+ 99
2
(CĐ Y HCM-1997).
Giải: Điều kiện:
90
x
Đặt :
( ) ( )
4
81
2
9
4
1
09
2
2
== xtttxx
2
9
0 t
Bài toán đ cho trở thành:
Tìm m để phơng trình
t
2
-2t+m-9=0
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 23
có nghiệm
2
9
;0
t
,nghĩa là
<<
2
9
0
2
9
0
2
9
0
21
21
21
tt
tt
tt
Hệ điều kiện trên tơng đơng
với:
( )
( )
( )
10
4
9
109
9
4
9
0
4
9
09
010
0
4
9
9
2
2
0
0
2
9
00
0
0
2
9
.0
'
<<
>+
>
+
<
+
<<
>
>
m
m
m
m
m
m
mm
s
f
f
ff
10.Hệ phơng trình
Hệ đối xứng loại 1:
Là hệ phơng trình mà khi thay đổi vai trò của x và y thì mỗi phơng trình của hệ
không thay đổi.
Cách giải: + Đặt
( )
PS
Pxy
Syx
4
2
=
=+
+ Giải hệ với hai ẩn S,P
+ Thử đk và lấy x,y là hai nghiệm pt X
2
-SX+P=0
bài tập áp dụng:
Bài
10
.
1:
Giải hệ:
=+
+=+
78
1
7
xyyxyx
xy
x
y
y
x
(ĐH Hàng Hải 1999).
Giải:Hệ đ cho tơng đơng với:
( )
=+
=+
>
78
7
0,
xyyx
xyyx
yx
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 24
Đặt
>
>
=
+=
0
0
;
v
u
xyv
yxu
Hệ đ cho trở thành
=
=
=
=
6
13
78
7
v
u
uv
vu
Giải ra ta đợc 2 nghiệm
(
)
(
)
4;9;9;4
Hệ đối xứng loại 2:
- Là hệ phơng trình mà khi thay đổi vai trò của x và y thì hai phơng trình của hệ
đổi chỗ cho nhau.
Cách giải
: -Trừ vế với vế của hai phơng trình để đợc một phơng trình có dạng
tích.
- Hệ đ cho sẽ tơng đơng với tuyển hai hệ phơng trình.
- Giải hai hệ này để tìm nghiệm x và y.
bài tập áp dụng:
Bài
10.
2: Cho hệ:
=++
=++
mxy
myx
21
21
1,Giải hệ khi m=9;
2,Tìm m để hệ có nghiệm (ĐH SP HCM 2001).
Giải:
Điều kiện:
0;2;1
myx
Bình phơng hai vế ta đợc hệ:
(
)
(
)
( )( )
=+++
=+++
mxyyx
myxyx
211
211
Trừ vế với vế của hai phơng trình trên ta đợc hệ:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )( )
( )( )
+=+
=
=+++
+=+
xmxx
yx
mxyyx
xyyx
21212
211
2121
1, Với m=9 ta có hệ:
( )( )
( )( ) ( )
3
521
5
521
2
==
=+
=
=+
=
yx
xxx
yx
x
xxx
yx
2,Tìm m để hệ có nghiệm :
Hệ
( )( )
++
=
+
=
+=+
=
m
mm
x
m
yx
m
xmxx
yx
4
82
2
1
2
0
21212
2
Lê Thị Phơng Hoa
Trờng THPT Tam Dơng II 25
Điều kiện
mmmmm
m
x 22928
2
1
2
22
+++
+
(
)
3
3
03
09
096
2
2
2
+
m
m
m
m
mm
Kết luận:
3
m
.
11.Phơng pháp đặc biệt
1.Phơng trình chứa căn bậc hai và luỹ thừa bậc hai
Bài toán tổng quát:
Giải phơng trình:
(
)
(
)
Iedxvuxrbax +++=+
2
Với a
0, u
0 , r
0 ;
Phơng pháp giải:
Điều kiện dể phơng trình có nghĩa:
0
+
bax
Đặt ẩn phụ :
(
)
1)(
2
baxvuybaxvuy +=++=+
Với điều kiện
0
+
vuy
Lúc đó (I) trở thành :
evdxuyvuyr +=+
2
)(
Giả sử các điều kiện sau đợc thoả mn: u=ar +d và v=br+e
Lúc đó phơng trình đ cho trở thành hệ
(
)
( ) ( )
++=+
+=+
brxuaruyvuxr
brarxvuyr
2
2
Giải hệ trên bằng cách trừ vế với vế của hai phơng trình , đợc một tuyển hai hệ
phơng trình trong đó có một nghiệm x=y
bài tập áp dụng:
Bài
11
.
1
:
Giải phơng trình:
(
)
1203232152
2
+=+ xxx
(Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ Số 303)
Lời giải:
Điều kiện
0152
+
x
Biến đổi phơng trình (1) thành:
(
)
28242152
2
+=+ xx
Đặt ẩn phụ :
(
)
024152)24(15224
2
++=++=+ yxyxy
.
Phơng trình (1) trở thành :
152)24(
2
+=+ yx
Vậy ta có hệ:
+=+
+=+
152)24(
152)24(
2
2
xy
yx
Hệ này là hệ đối xứng loại hai
Giải hệ trên bằng cách trừ vế với vế của hai phơng trình ,
Ta đợc 2 nghiệm là
16
2219
2
1
21
== xx
2.Phơng trình chứa căn bậc ba và luỹ thừa bậc ba
