MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG potx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.58 MB, 82 trang )
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
1
MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG
Kí hiệu
Tên gọi
Diễn giải
P
n
Số các hoán vò của n phần tử
Permutation
k
n
A
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử
k
n
C
Số các tổ hợp chập k của n phần tử
Combinatory
P(A)
Xác suất của biến cố A
Probability
n
ulim
Giới hạn của dãy số (u
n
)
Limit
)(lim
0
xf
xx
Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới x
0
)(lim xf
x
Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới âm vô cực
)(lim xf
x
Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới dương vô cực
)(lim
0
xf
xx
Giới hạn bên phải của hàm số f(x) khi x dần tới x
0
)(lim
0
xf
xx
Giới hạn bên trái của hàm số f(x) khi x dần tới x
0
y' hoặc f'(x)
Đạo hàm của hàm số y = f(x)
y'' hoặc f''(x)
Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x)
y
(n)
hoặc f
(n)
(x)
Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x)
dy hoặc df(x)
Vi phân của hàm số y = f(x)
Differenttial
n(A) hoặc A
Số phần tử hữu hạn của tập A
Võ Thanh Hùng - THPT Trần Quốc Toản - Đồng Tháp
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
2
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
oOo
CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Các giá trò lượng giác của cung (góc) :
sin luôn xác đònh R và sin( + k2) = sin
cos luôn xác đònh R và cos( + k2) = cos
- 1 sin 1 (sin 1).
- 1 cos 1 (cos 1).
tan xác đònh khi
k
2
và tan(k) = tan;
cot xác đònh khi k và cot( + k) = cot.
Dấu của các giá trò lượng giác của góc
2. Bảng các giá trò lượng giác đặc biệt:
0 (0
0
)
6
(30
0
)
4
(45
0
)
3
(60
0
)
2
(90
0
)
sin
0
2
1
2
2
2
3
1
cos
1
2
3
2
2
2
1
0
tan
0
3
1
1
3
kxđ
cot
kxđ
3
1
3
1
0
3. Công thức lượng giác cơ bản:
sin
2
+ cos
2
= 1
2
2
cos
1
tan1
(
k
2
, k Z).
2
2
sin
1
cot1
( k, k Z). tan.cot = 1 (
2
k
, k Z).
4. Giá trò lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt:
Cung đối:(-) và
sin(-) = -sin
cos(-) = cos
tan(-) = -tan
cot(-) = -cot
Cung bù:( - ) và
sin( - ) = sin
cos( - ) = -cos
tan( - ) = -tan
cot( - ) = -cot
Cung phụ:(
2
- ) và
sin(
2
- ) = cos
cos(
2
- ) = sin
tan(
2
- ) = cot
cot(
2
- ) = tan
Cung hơn kém : ( + ) và
sin( + ) = -sin
cos( + ) = -cos
tan( + ) = tan
cot( + ) = cot
Phần tư
Giá trò lượng giác
I
II
III
IV
sin
+
+
-
-
cos
+
-
-
+
tan
+
-
+
-
cot
+
-
+
-
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
3
5. Các công thức lượn giác thường sử dụng:
Công thức cộng:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
sin(a - b) = sinacosb - cosasinb
sin(a + b) = sinacosb + cosasinb
ba
ba
ba
tantan1
tantan
)tan(
ba
ba
ba
tantan1
tantan
)tan(
Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sinacosa
cos2a = cos
2
a - sin
2
a
= 2 cos
2
a - 1
= 1 - 2sin
2
a
atan1
2tana
2tan
2
a
Công thức hạ bậc:
2
2cos1
cos
2
a
a
2
2cos1
sin
2
a
a
a
a
a
2cos1
2cos1
tan
2
Công thức biến tích thành tổng:
cosacosb =
2
1
[cos(a + b) + cos(a - b)]
sinasinb =-
2
1
[cos(a + b) - cos(a - b)]
sinacosb =
2
1
[sin(a + b) + sin(a - b)]
Công thức biến đổi tổng thành tích:
cosu + cosv = 2cos
2
vu
cos
2
vu
cosu - cosv = -2sin
2
vu
sin
2
vu
sinu + sinv = 2sin
2
vu
cos
2
vu
sinu - sinu = 2cos
2
vu
sin
2
vu
Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina - 4sin
3
a cos3a = 4cos
3
a - 3cosa
Công thức sina + cosa:
sina + cosa =
2
sin(a +
4
) sina - cosa =
2
sin(a -
4
)
sina + cosa =
2
cos(a -
4
) sina - cosa = -
2
cos(a +
4
)
Ghi chú:
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
4
§1. HÀM SỐ LƯNG GIÁC
I- ĐỊNH NGHĨA:
1. Hàm số sin và hàm số côsin:
a) Hàm số sin:
x
y
x
sinx
B'
A'
B
O
A
M
x
y
x
sinx
M'
O
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx
sin: R R
x
y = sinx
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx
Tập xác đònh của hàm số sin là: D = R.
b) Hàm số côsin:
x
y
x
cosx
B'
A'
B
O
A
M
x
y
cosx
x
O
M''
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx
cos: R R
x
y = cosx
được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx
Tập xác đònh của hàm số côsin là: D = R.
2. Hàm số tang và hàm số côtang:
a) Hàm số tang:
Hàm số tang là hàm số được xác đònh bởi công thức y =
x
x
cos
sin
(cosx ≠ 0), kí hiệu là y = tanx.
Tập xác đònh của hàm số y = tanx là: D = R\{
2
+ k, k Z}.
b) Hàm số côtang:
Hàm số côtang là hàm số được xác đònh bởi công thức y =
x
x
sin
cos
(sinx ≠ 0), kí hiệu là y = cotx.
Tập xác đònh của hàm số y = cotx là: D = R\{k, k Z}.
Nhắc lại đònh nghóa hàm số chẵn, hàm số lẻ. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x) và y = cot(x).
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
5
* Nhận xét: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm số chẵn, từ đó suy ra các hàm số
y = tanx và y = cotx đều là những hàm số lẻ.
II- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC:
Giải nghóa từ tuần hoàn, lấy ví dụ thực tế đời sống.
Tìm những số T sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác đònh của các hàm số: a) y = sinx; b) y = tanx.
Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2.
Hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2.
Hàm số y = tanx và y = cotx cũng là hàm số tuần hoàn, với chu kì .
III- SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC:
1. Hàm số y = sinx:
Hàm số y = sinx xác đònh với mọi x R và -1 sinx 1;
Là hàm số lẻ;
Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2.
a) Sự biến thiên và đồ thò hàm số y = sinx trên đoạn [0; ]:
sin
x
2
sin
x
1
1
x
1
x
2
x
3
x
4
sin
x
2
sin
x
1
y
x
x
y
2
x
4
x
3
x
2
x
1
A'
B'
A
B
O
O
Hàm số y = sinx đồng biến trên [0;
2
] và nghòch biến trên [
2
; ].
Bảng biến thiên:
x
0
2
y = sinx
1
0 0
* Chú ý: Vì hàm số y = sinx là hàm số lẻ nên lấy đối
xứng đồ thò hàm số trên đoạn [0; ] qua gốc tọa độ O,
ta được đồ thò hàm số trên đoạn [-; 0].
2
-
2
-
-1
1
O
x
y
b) Đồ thò hàm số y = sinx trên R:
2
2
5
2
3
2
-
3
2
-
5
2
-2
2
-
2
-
-1
1
O
x
y
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
6
c) Tập giá trò của hàm số y = sinx:
Tập giá trò của hàm số y = sinx là T = [-1; 1].
2. Hàm số y = cosx:
Hàm số y = cosx xác đònh với mọi x R và -1 cosx 1;
Là hàm số chẵn;
Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2;
Hàm số y = cosx đồng biến trên [-; 0] và nghòch biến trên [0; ].
Bảng biến thiên:
x
- 0
y = cosx
1
-1 -1
Đồ thò hàm số y = cosx:
2
5
2
3
2
-
3
2
-
5
2
-2
2
-
2
-
-1
1
O
x
y
Tập giá trò của hàm số y = cosx là T = [-1; 1].
Đồ thò hàm số y = sinx, y = cosx được gọi chung là các đường hình sin.
3. Hàm số y = tanx:
Tập xác đònh: D = R\{
k
2
, k Z};
Là hàm số lẻ;
Là hàm số tuần hoàn với chu kì ;
a) Sự biến thiên của hàm số y = tanx trên nửa khoảng [0;
2
):
tan
x
1
tan
x
2
x
2
x
1
2
A
B
B'
A'
M
2
M
1
T
2
T
1
y
x
O
O
Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng [0;
2
).
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
7
Bảng biến thiên:
x
-
4
2
y = tanx
+
1
0
* Nhận xét: Khi x càng gần
2
thì đồ thò hàm số y = tanx càng gần đường thẳng x =
2
.
b) Đồ thò hàm số y = tanx trên D:
Đồ thò hàm số y = tanx trên
)
2
;
2
(
:
2
-
2
O
x
y
Đồ thò hàm số y = tanx trên D:
-3
2
3
2
-
2
-
2
O
x
y
Tập giá trò của hàm số y = tanx là T = (-; +).
4. Hàm số y = cotx:
Tập xác đònh: D = R\{k, k Z};
Là hàm số chẵn;
Là hàm số tuần hoàn với chu kì ;
a) Sự biến thiên và đồ thò hàm số y = cotx trên khoảng (0; ):
Hàm số y = cotx nghòch biến trên khoảng (0; ).
x
0
2
y = tanx
+
0
-
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
8
2
O
x
y
b) Đồ thò hàm số y = cotx trên D:
2
-2
-3
2
3
2
-
2
-
2
O
x
y
Tập giá trò của hàm số y = cotx là T = (-; +).
Ghi chú:
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
9
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Hãy xác đònh các giá trò của x trên đoạn [-;
2
3
] để hàm số y = tanx:
a) Nhận giá trò bằng 0; b) Nhận giá trò bằng 1;
c) Nhận giá trò dương; d) Nhận giá trò âm.
Bài 2: Tìm tập xác đònh của các hàm số:
a) y =
x
x
sin
cos1
; b) y =
x
x
cos1
cos1
; c) y =
)
3
tan(
x
; d) y =
)
6
cot(
x
.
Bài 3: Dựa vào đồ thò hàm số y = cosx, tìm các giá trò của x để cosx =
2
1
.
Bài 4: Dựa vào đồ thò hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trò của x để hàm số đó nhận giá trò dương.
Bài 5: Dựa vào đồ thò hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá trò của x để hàm số đó nhận giá trò âm.
Bài 6: Tìm giá trò lớn nhất của các hàm số:
a) y = 2
xcos
+ 1; b) y = 3 - 2sinx.
Bài 7: Dựa vào đồ thò của hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ thò của hàm số y = sinx.
Bài 8: Chứng minh rằng sin2(x + k) = sin2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thò hàm số y = sin2x.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Xét tính chẵn - lẻ của mỗi hàm số sau:
a) y = -2sinx; b) y = 3sinx - 2; c) y = sinx - cosx; d) y = sinxcos
2
x + tanx.
Bài 2: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) y = 2cos(x +
3
) + 3; b) y =
)sin(1
2
x
- 1; c) y = 4sin
x
.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
10
§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sinx = a:
Xét phương trình sinx = a (a R) (1)
Trường hợp a > 1: phương trình (1) vô nghiệm
Trường hợp a 1:
sinx = sin
)(
2
2
Zk
kx
kx
sinx = a
sinx = a
)(
2arcsin
2arcsin
Zk
kax
kax
côsin
sin
a
-1
-1
1
1
K
M'
B'
A'
B
O
A
M
* Chú ý:
]sin)([sin
sin)(sin
0
xu
xu
)(
]360180[2)(
]360[2)(
000
00
Zk
kkxu
kkxu
sinu(x) = a
(-1 a 1)
))((sin
)(sin
axu
axu
)(
]360arcsin180[2arcsin)(
]360[arcsin2arcsin)(
00
0
Zk
kakaxu
kakaxu
Tổng quát: sin[f(x)] = sin[g(x)]
)(
2)()(
2)()(
Zk
kxgxf
kxgxf
Đặc biệt: sin[f(x)] = 1 f(x) =
2
+ k2, k Z
sin[f(x)] = -1 f(x) = -
2
+ k2, k Z
sin[f(x)] = 0 f(x) = k, k Z.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) sinx =
2
1
; b) sinx =
5
1
; c) sin2x = 1; d) sin(x + 45
0
) = -
2
2
.
Giải:
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
11
2. Phương trình cosx = a:
Xét phương trình cosx = a (a R) (2)
Trường hợp a > 1: phương trình (2) vô nghiệm
Trường hợp a 1:
cosx = cos
)(
2
2
Zk
kx
kx
cosx = a
cosx = a
)(
2arccos
2arccos
Zk
kax
kax
côsin
sin
a
-1
-1
1
1
H
M'
B'
A'
B
O
A
M
* Chú ý:
]cos)([cos
cos)(cos
0
xu
xu
)(
]360[2)(
]360[2)(
00
00
Zk
kkxu
kkxu
cosu(x) = a
(-1 a 1)
])([cos
)(cos
axu
axu
)(
]360arccos[2arccos)(
]360[arccos2arccos)(
0
0
Zk
kakaxu
kakaxu
Tổng quát: cos[f(x)] = cos[g(x)]
)(
2)()(
2)()(
Zk
kxgxf
kxgxf
Đặc biệt: cos[f(x)] = 1 f(x) = k2, k Z
cos[f(x)] = -1 f(x) = + k2, k Z
cos[f(x)] = 0 f(x) =
2
+ k, k Z.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) cosx = cos
6
; b) cos3x = -
2
2
; c) cosx =
3
1
; d) cos(x + 60
0
) =
2
2
.
Giải:
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
12
3. Phương trình tanx = a:
tanx = tan x = + k, k Z [x =
0
+ k180
0
, k
Z]
tanx = a
tanx = a x = arctana + k, k Z [x = arctana + k180
0
, k
Z]
* Chú ý:
tan[u(x)] = tan u(x) = + k, k Z [u
x) =
0
+ k180
0
, k
Z]
tan[u(x)] = a
tan[u(x)] = a ux) = arctana + k, k Z [u
x) = arctana + k180
0
, k
Z]
Tổng quát: tan[f(x)] = tan[g(x)] f(x) = g(x) + k, k Z.
Đặc biệt: tan[u(x)] = 0 u(x) = k, k Z.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) tanx = tan
5
; b) tan2x = -
3
1
; c) tan(3x + 15
0
) =
3
.
Giải:
4. Phương trình cotx = a:
cotx = cot x = + k, k Z [x =
0
+ k180
0
, k
Z]
cotx = a
cotx = a x = acrcota + k, k Z [x = acrcota + k180
0
, k
Z]
* Chú ý:
cot[u(x)] = cot u(x) = + k, k Z [u
x) =
0
+ k180
0
, k
Z]
cot[u(x)] = a
cot[u(x)] = a ux) = acrcota + k, k Z [u
x) = acrcota + k180
0
, k
Z]
Tổng quát: cot[f(x)] = cot[g(x)] f(x) = g(x) + k, k Z.
Đặc biệt: cot[u(x)] = 0 u(x) =
2
+ k, k Z.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) cot4x = cot
7
2
; b) cot3x = -2; c) cot(2x - 10
0
) =
3
1
.
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
13
Giải:
Ghi chú:
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
14
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) sin(x + 2) =
3
1
; b) sin3x = 1;
c) sin(
33
2
x
) = -
2
1
; d) sin(x + 20
0
) = -
2
3
.
Bài 2: Với những giá trò nào của x thì giá trò của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau?
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) cos(x - 1) =
3
2
; b) cos3x = cos12
0
;
c) cos(
42
3
x
) = -
2
1
; d) cos
2
2x =
4
1
.
Bài 4: Giải phương trình
0
2sin1
2cos2
x
x
.
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a) tan(x - 15
0
) =
3
3
; b) cot(3x - 1) = -
3
;
c) cos2x.tanx = 0; d) sin3xcotx = 0.
Bài 6: Với những giá trò nào của x thì giá trò của các hàm số y = tan(
4
- x) và y = tan2x bằng nhau?
Bài 7: Giải các phương trình sau:
a) sin3x - cos5x = 0; b) tan3x.tanx = 1.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho:
a) sin2x =
2
1
với 0 < x < ; b) cos(x - 5) =
2
3
với - < x < ;
c) tan(2x - 15
0
) = 1 với -180
0
< x< 90
0
; d) cot3x =
3
1
với
2
< x < 0.
Bài 2: Tìm tập xác đònh của mỗi hàm số sau:
a) y =
2sin2
cos1
x
x
; b) y =
xx
x
cos2cos
)2sin(
c) y =
x
x
tan1
tan
; d) y =
12cot3
1
x
.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
15
§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC THƯỜNG GẶP
I- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC
Đònh nghóa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình dạng: at + b = 0
trong đó a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.
Cách giải: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) 2sinx - 3 = 0; b) 5cosx + 3 = 0; c)
3
tanx + 1 = 0; d)
3
cotx - 3 = 0.
Giải:
II- PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC:
Đònh nghóa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình dạng: at
2
+ bt + c = 0
trong đó a, b, c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.
Cách giải: Đặt ẩn phụ (điều kiện cho ẩn phụ nếu có), giải phương trình theo ẩn phụ rồi đưa về việc giải
các phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ: Giải phương trình sau:
a) 3cos
2
x - 5cosx + 2 = 0; b) 3tan
2
x - 2
3
tanx + 3 = 0; c) 2sin
2
2
x
+
2
sin
2
x
- 2 = 0.
Giải:
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
16
III- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx:
1. Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx:
asinx + bcosx =
22
ba
sin(x + )
với cos =
22
ba
a
và sin =
22
ba
b
2. Phương trình dạng asinx + bcosx = c:
Xét phương trình asinx + bcosx = c (a
2
+ b
2
≠ 0) (1)
Nếu a = 0, b ≠ 0 (hoặc a ≠ 0, b = 0) thì (1) là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì (1)
22
ba
sin(x + ) = c sin(x + ) =
22
ba
c
Ví dụ 1: Giải phương trình sinx +
3
cosx = 1.
Giải:
Ví dụ 2: Giải phương trình 3sin3x - 4cos3x = 5.
Giải:
Ghi chú:
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
17
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) sin
2
x - sinx = 0; b) 2cos
2
x - 3cosx + 1 = 0; c) 2tan
2
x + 3tanx + 1 = 0.
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) cosx -
3
sinx =
2
; b)
3
sin3x - cos3x =
2
;
c) 2sinx + 2cosx -
2
= 0; d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0.
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x +
2
sin4x = 0; b)
02
2
cos2
2
sin
2
xx
; c) tanx - 2cotx + 1 = 0.
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) 2sin
2
x + sinxcosx - 3cos
2
x = 0; b) 3sin
2
x - 4sinxcosx + 5cos
2
x = 2;
c) sin
2
x + sin2x - 2cos
2
x =
2
1
; d) 2cos
2
x - 3
3
sin2x - 4sin
2
x = -4.
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a) tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1; b) tanx + tan(x +
4
) = 1.
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a) 2(sinx + cosx) + 6sinxcosx – 2 = 0; b) 2sin2x - 3
3
(sinx + cosx) + 8 = 0;
c) (1 -
2
)(1 + sinx – cosx) = sin2x; d) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0;
e) 5sin2x + sinx + cosx + 6 = 0; f) sin2x +
2
sin(x -
4
) = 1.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) cosxcos5x = cos2xcos4x; b) sin2x + sin4x = sin6x;
c) sin
2
4x + sin
2
3x = sin
2
2x + sin
2
x; d) (sinx – cosx)
2
– (
2
+ 1)(sinx – cosx) +
2
= 0.
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) sinx +
3
cosx = 2sin(2x +
6
); b) 2sinx(cosx - 1) =
3
cos2x;
b) cos3x - sinx =
3
(cosx - sin3x); c)
3
cosx - sinx =
2
(sin3x - cos3x).
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)
2
2
)]
4
cos(
2
cos[
x
; b)
1)]sin(cos
4
tan[ xx
.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
18
* ÔN TẬP CHƯƠNG I *
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
19
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: a) Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn không? Tại sao?
b) Hàm số y = tan(x +
5
) có phải là hàm số lẻ không? Tại sao?
Bài 2: Căn cứ vào đồ thò hàm số y = sinx, tìm những giá trò của x trên đoạn [
2
3
; 2] để hàm số đó:
a) Nhận giá trò bằng -1; b) Nhận giá trò âm.
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) sin(x + 1) =
3
2
; b) sin
2
2x =
2
1
; c) cot
2
2
x
=
3
1
;
d) tan(
12
+ 12x) = -
3
.
Bài 4: Giải các phương trình sau: a) 2cos
2
x - 3cosx + 1 = 0; b) 2sinx + cosx = 1.
Bài 5: Tìm giá trò lớn nhất của các hàm số sau:
a) y =
)cos1(2 x
+ 1; b) y = 3sin(x -
6
) - 2;
c) y = 3 - 4sinx; d) y = 2 -
xcos
.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tìm tập xác đònh của các hàm số:
a) y =
)
3
tan(1
cos2
x
x
; b) y =
x
xx
2sin1
cottan
.
Bài 2: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) y = 2cos(
3
x
) + 3; b) y =
)sin(1
2
x
- 1; c) y = 4sin
x
.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
20
CHƯƠNG II. TỔ HP - XÁC SUẤT
oOo
CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Tập hợp:
Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào.
Tập con:
A
B
A
B
BxAxx :
)
Số tập con của tập có n phần tử là 2
n
.
A = B A B và B A
Tính chất:
a) A
A với mọi tập hợp A.
b) Nếu A
B và B
C thì A
C.
c)
A với mọi tập hợp A.
Kí hiệu: N
*
, Z
*
, Q
*
, R
*
là các tập hợp số
không có phần tử 0.
2. Các phép toán trên tập hợp:
Giao
B
A
A
B ={xx
A và x
B}
Bx
Ax
BAx
Hợp
B
A
A
B ={xx
A hoặc x
B}
Bx
Ax
BAx
Hiệu
B
A
A\ B ={xx
A và x
B}
Bx
Ax
BAx \
Phần bù
B
A
Khi B
A thì A\B
gọi là phần bù của B
trong A, kí hiệu
B
A
C
.
3. Dấu hiệu chia hết:
Số chia hết cho 2 là những số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.
Số chia hết cho 5 là những số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Số chia hết cho 3 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Số chia hết cho 9 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 9.
4. Số và chữ số:
128
Ghi chú:
số có ba chữ số
chữ số
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
21
§1.QUY TẮC ĐẾM
Số phần tử hữu hạn của tập hợp A được kí hiệu n(A) hoặc A.
a) Nếu A = {a, b, c} thì số phần tử của tập hợp A là 3, ta viết n(A) = 3 hoặc
A
= 3.
b) Nếu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và B = {2, 4, 6, 8} thì A\ B = {1, 3, 5, 7}.
- Số phần tử của tập hợp A là n(A) = 9.
- Số phần tử của tập hợp B là n(B) = 4.
- Số phần tử của tập hợp A\B là n(A\B) = 5.
I- Quy tắc cộng:
Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách
thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện (không trùng với bất kì cách nào của hàng động thứ nhất) thì
công việc đó có m + n cách thực hiện.
* Chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.
Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hai tập hợp hữu hạn không giao nhau.
Vậy nếu A và B là các tập hữu hạn không giao nhau thì n(A
B) = n(A) + n(B).
II- Quy tắc nhân:
Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động
thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công
việc.
* Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.
Ví dụ 1: Một mạng đường đi giữa các thành phố A, B, C, D như sau:
(Số giữa hai đòa điểm chỉ số con đường đi giữa hai đòa điểm đó)
Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố D?
Giải:
Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:
a) 3 chữ số; b) 3 chữ số khác nhau.
Giải:
Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và
chia hết cho 5?
2
4
3
2
A
B
C
D
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
22
Giải:
Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?
Giải:
Có bao nhiêu số điện thoại gồm 9 chữ số.
Ghi chú:
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tựnhiên gồm:
a) Một chữ số? b) Hai chữ số? c) Hai chữ số khác nhau?
Bài 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?
Bài 3: Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường (như hình vẽ).
3
2
3
D
C
B
A
Hỏi: a) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?
b) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rối quay lại A?
Bài 4: Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa).
Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?
Bài 5: Lớp 11CB1 có 20 nam và 24 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ban cán sự lớp 3 người gồm một lớp
trưởng nam, một lớp phó nam và một lớp phó nữ.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có bao nhiêu cách chọn một số hoặc là số chẵn hoặc là số
nguyên tố.
Bài 2: Có bao nhiêu số nguyên dương gồm không quá ba chữ số khác nhau?
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
23
§2. HOÁN VỊ - CHỈNH HP - TỔ HP
I- HOÁN VỊ:
Có bao nhiêu cách sắp xếp ba bạn A, B, C vào một bàn dài có 3 chỗ ngồi.
1. Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập
hợp A được gọi là một hoán vò của n phần tử đó.
* Nhận xét: Hai hoán vò của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
2. Số các hoán vò: Kí hiệu P
n
là số các hoán vò của n phần tử. Ta có:
P
n
= n(n - 1)(n - 2) 2.1 = n!
Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, các chữ số được lấy từ tập A = {1, 2, 3, 4, 5}.
Giải:
II- CHỈNH HP:
Có bao nhiêu cách chọn hai bạn giữ chức vụ bí thư và phó bí thư chi đoàn trong số 3 bạn đắc cử ban chấp hành.
1. Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần
tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử
đã cho.
2. Số các chỉnh hợp: Kí hiệu
k
n
A
là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 k n). Ta có:
k
n
A
= n(n - 1)(n - 2) (n - k + 1)
* Chú ý:
a) Với quy ước 0! = 1, ta có:
k
n
A
=
)!(
!
kn
n
(1 k n)(n, k N)
b) Mỗi hoán vò của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử. Vì vậy P
n
=
n
n
A
.
Ví dụ: Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ
0
có
điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này?
Giải:
III- TỔ HP:
Trong mặt phẳng cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D (không có ba điểm nào thẳng hàng). Liệt kê tất cả các đoạn thẳng được tạo
thành từ các điểm đó?
1. Đònh nghóa: Giả sử tập A có n phần tử (n 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ
hợp chập k của n phần tử đã cho.
* Chú ý: Vì tập (0 phần tử) là tập con của tập A nên ta có điều kiện 0 k n.
2. Số các tổ hợp: Kí hiệu
k
n
C
là số các tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có:
)!(!
!
knk
n
C
k
n
(0 k n) (n, k N)
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
24
Ví dụ: Một tổ gồm có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người. Hỏi:
a) Có tất cả bao nhiêu cách lập?
b) Có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu, trong đó có ba nam, hai nữ.
Giải:
3. Tính chất của các số
k
n
C
:
a) Tính chất 1:
kn
n
k
n
CC
(0 k n)
Ví dụ:
4
7
3
7
CC
b) Tính chất 2:
k
n
k
n
k
n
CCC
1
1
1
(1 k < n) - công thức Pascal
Ví dụ:
4
8
4
7
3
7
CCC
Ví dụ: Chứng minh rằng, với 2 k n - 2, ta có:
k
n
k
n
k
n
k
n
CCCC
2
1
2
2
2
2
.
Giải:
Ghi chú:
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
25
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau. Hỏi:
a) Có tất cả bao nhiêu số?
b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
c) Có bao nhiêu số bé hơn 432000?
Bài 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một dãy.
Bài 3: Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông
hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)?
Bài 4: Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể
lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?
Bài 5: Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau?
Bài 6: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu:
a) Các bông hoa khác nhau?
b) Các bông hoa như nhau?
Bài 7: Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với
nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó?
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp n đại biểu vào một bàn hình tròn?
Bài 2: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 3 người trực lớp
a) Một cách tùy ý; b) Có đúng một nữ;
c) Có ít nhất một nữ; d) Có nhiều nhất hai nữ.
Bài 3: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp
phó học tập, 1 lớp phó phong trào:
a) Một cách tuỳ ý; b) Lớp trưởng là nữ;
c) Có đúng một nữ; d) Có ít nhất một nữ.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
