DÀN BÀI TÓM TẮT NỘI DUNG GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN docx

GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN
DÀN BÀI TÓM TẮT NỘI DUNG







Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
2

§0. NHẮC LẠI VÀI QUI TẮC
TRONG PHÉP LÝ LUẬN
1) Mệnh đề “
, ( )x D T x
” (tất cả x thuộc D đều có tính chất T(x))
được phủ đònh thành “
, ( )x D T x
” (có một x thuộc D không có tính
chất T(x)).
2) Mệnh đề “
AB
” (cả hai A và B đều như thế) được phủ đònh
thành “
AB
” (có một trong hai A hay B không phải như thế).
3) Mệnh đề “
, ( )x D T x
” (có một x thuộc D mang tính chất T(x))

được phủ đònh thành “
, ( )x D T x
” (tất cả x thuộc D đều không có
tính chất T(x)).
4) Mệnh đề “
AB
” (có một trong hai A hay B là như thế) được phủ
đònh thành “
AB
” (cả hai A và B không phải như thế).
5) Mệnh đề “
AB
” (có A thì phải có B) được phủ đònh thành
“
AB
” (có A nhưng vẫn không có B).
6) Phép chứng minh qui nạp:
Giả sử rằng:
* mệnh đề
0
()Tn
đúng
* mệnh đề T(k) luôn suy ra được mệnh đề T(k + 1) (ý nói với
mọi
0
kn
, mệnh đề kéo theo “
( ) ( 1)T k T k
” luôn đúng).
Khi đó mệnh đề T(n) sẽ đúng với mọi

0
nn
.
7) Phép phản chứng trong mệnh đề phản đảo:
Mệnh đề “
AB
” cùng nghóa với “
BA
” (có A thì phải có B,
cũng nghóa với nếu không có B thì sẽ không bao giờ có A).
Áp dụng: khi người ta cho điều A và yêu cầu ta chứng minh
điều B, ta có thể giả sử phản chứng rằng không có điều B rồi ta lý
luận không có điều A, trái với giả thiết người ta cho. Vậy phải có
điều B.
Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến
1
8) Phép phản chứng trực tiếp: Khi người ta yêu cầu chứng minh điều
A, ta có thể giả thiết tạm rằng không có A rồi suy ra điều mâu thuẫn
với giả thiết tạm.

Bài tập

1. a) Cho số tự nhiên m và
2
m
là số chẵn. Chứng minh m cũng là
số chẵn.
b) Chứng minh rằng nếu một số chính phương là chẵn thì số
chính phương đó chia hết cho 4.
2. Chứng minh rằng không tồn tại một phân số

m
n
(với m và n là
các số tự nhiên, đương nhiên n khác 0) sao cho
2
2
m
n
.
3. Cho
1
và n là số tự nhiên tùy ý lớn hơn 1. Dùng phép qui
nạp, hãy chứng minh bất đẳng thức Bernouli sau đây:
11
n
n
.
4. Cho số α thỏa
0, .
Chứng minh
0.

5. Chứng minh hai mệnh đề sau là tương đương:
Mệnh đề 1 là “
0, a
”; mệnh đề 2 là “
0, .a
”
6. Chứng minh hai mệnh đề sau là tương đương:
Mệnh đề 1 là “

0, a
”; mệnh đề 2 là “
0, .
2
a
”
7. Chứng minh các bất đẳng thức sau đây (bất đẳng thức tam giác)
a)
x y x y
b)
x y x y
c)
.a b a b

§1. TIÊN ĐỀ VỀ SUPREMUM; INFREMUM
1) Các đònh nghóa và ký hiệu:
* Các tập hợp số thực, hữu tỉ, số nguyên, số tự nhiên lần lượt
được ký hiệu là
, , ,
(sinh viên đã có khái niệm về các số này ở
phổ thông. Nếu thích tìm hiểu thêm, sinh viên có thể tham khảo
Giáo trình Giải Tích Hàm Một Biến, N.Đ.Phư, N.C.Tâm, Đ.N.Thanh
& Đặng Đức Trọng; hoặc Giải Tích Nhập Môn, Đặng Đình Áng).
Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
4


* Với số thực x, ta ký hiệu [x] là phần nguyên của x, là số
nguyên lớn nhất nhưng không lớn hơn x, nghóa là
[ ] [ ] 1xxx

và
[x] là số nguyên.
* Số thực

được gọi là chặn trên của tập con A khác rỗng
trong nghóa là
,x A x
.
* Số thực

được gọi là phần tử lớn nhất của tập con A khác
rỗng trong nghóa là
và ,A x A x
. Lúc đó ta ký hiệu
max A
.
* Số thực

được gọi là chặn dưới của tập con A khác rỗng
trong nghóa là
,x A x
.
* Số thực

được gọi là phần tử nhỏ nhất của tập con A khác
rỗng trong nghóa là
và ,A x A x
. Lúc đó ta ký hiệu
min A
.

* Tập con A khác rỗng của được gọi là bò chặn trên nghóa
là có một số

là chặn trên của A.
* Tập con A khác rỗng của được gọi là bò chặn dưới nghóa
là có một số

là chặn dưới của A.
* Tập con A khác rỗng của được gọi là bò chặn nghóa là A
vừa bò chặn trên vừa bò chặn dưới.

2) Tiên đề về sup:
Mọi tập con A khác rỗng của nếu bò chặn trên thì sẽ có
chặn trên nhỏ nhất.
Chặn trên nhỏ nhất trong số các chặn trên của tập A được ký
hiệu là
sup A
.
Hệ quả: (sinh viên tự chứng minh) Mọi tập con A khác rỗng của
nếu bò chặn dưới thì sẽ có chặn dưới lớn nhất.
Chặn dưới lớn nhất trong số các chặn dưới của tập A được ký
hiệu là
inf A
.

3) Tính chất Archimède:
Cho số dương , ta có:
, , .r n n r

Hệ quả: (i)

,,r n n r
,
Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến
1
(ii)
1
0, , .n
n

4) Đặc trưng của sup và inf:
*
sup A
khi và chỉ khi “

là chặn trên của A và
0, , .x A x
”
*
inf A
khi và chỉ khi “

là chặn dưới của A và
0, ,x A x
.”

Bài tập

1. - Số  không phải là chặn trên của tập A nghóa là sao?
- Số  không phải là phần tử lớn nhất của A nghóa là sao?
- Cho

[0;1)A
. Số
2009
2010
có phải là chặn trên của A không?
- Chứng minh không tồn tại
max A
và supA = 1.
- Số 0 là gì đối với A?
2. - Số  không phải là chặn dưới của tập A nghóa là sao?
- Số  không phải là phần tử nhỏ nhất của A nghóa là sao?
- Cho
(1;2]A
. Số
2010
2009
có phải là chặn dưới của A không?
- Chứng minh không tồn tại
min A
và infA = 1.
- Số 2 là gì đối với A?
3. Dùng tiên đề sup, hãy chứng minh tính chất Archimède.
4. Chứng minh tính chất đặc trưng của sup và của inf.
5. - Cho hai số thực x, y thỏa
1.yx
Chứng minh rằng có số
nguyên m sao cho x < m < y.
- Cho hai số thực a, b tùy ý và a < b. Chứng minh rằng có số hữu
tỉ
*

, , ,
m
q m n
n
sao cho a < q < b.
Hdẫn: có số tự nhiên n đủ lớn để cho
( ) 1n b a
(tính chất
Archimède). Sau đó dùng câu trên.
6. Hãy chứng minh phương trình
2
2x
có nghiệm dương duy nhất
là số thực và không có nghiệm là số hữu tỉ.
Hdẫn: Đặt
22
/ 2 và / 2 .L s s R s s

Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
6

a) Chứng minh L và R khác rỗng, L bò chặn trên, R bò chặn
dưới. Từ đó chứng minh
sup inf .LR

b) Chứng minh L không có phần tử lớn nhất và R không có
phần tử nhỏ nhất. Suy ra, với số x thỏa
sup infL x R
thì
2

2,x
đồng thời
sup inf .RL

c) x thỏa
2
2x
thì x không phải là số hữu tỉ.

§2. TÍNH TRÙ MẬT CỦA TRONG
Giữa hai số thực bất kỳ luôn có một số hữu tỉ (đã được chứng
minh trong bài tập 5 ở bài học §1).
Hệ quả: Giữa hai số thực bất kỳ luôn có một số vô tỉ.
Chứng minh. Giả sử a < b thì có số hữu tỉ q sao cho
22a q b
. Suy ra
2a q b
. Ta đã chứng minh trong
bài tập 1.6 rằng
2
là số vô tỉ, do đó
2q
là số vô tỉ (sinh viên tự
suy luận). Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài tập

1. Cho
*
1

A n n
n
. Tập A có bò chặn trên không, vì sao?
Chứng minh A có phần tử nhỏ nhất.
2. Cho
*
1
n
An
n
. Chứng minh A không có phần tử lớn
nhất. Tìm supA và chứng minh A có phần tử nhỏ nhất.
3. Cho
*
( 1)
n
An
n
. Chứng minh tồn tại maxA và minA.
4. Cho
( 1) *
n
A n n
. Tập A có bò chặn trên không, vì sao?
5. Cho
23A q q
. Tìm supA, infA (có chứng minh).
Có tồn tại maxA, minA không, vì sao?