Luận văn: Tập mờ loại hai và suy diễn với tập mờ loại hai pptx

bộ giáo dục và đào tạo
trờng đại học bách khoa hà nội









Vũ công đoàn
luận văn thạc sĩ khoa học

ngành : công nghệ thông tin




Tập mờ loại hai
và suy diễn với tập mờ loại hai






công nghệ thông tin
Vũ công đoàn

2006 - 2008

Hà Nội
2008
Hà Nội 2008

1
Mục lục
Mục lục 1

Danh mục hình vẽ 3
Mở đầu 5
Chơng 1. Cơ bản về tập mờ 7
1.1. Tập mờ 7
1.2. Các phép toán tập hợp trên tập mờ 8
1.3. Quan hệ mờ 10
1.3.1. Quan hệ mờ trên cùng không gian 10
1.3.2. Quan hệ mờ và phép hợp thành trên các không gian khác nhau. 13
1.4. Cơ bản về suy diễn mờ 14
1.5. Nguyên lý mở rộng 17
1.6. Kết luận chơng 18
Chơng 2. tập mờ loại hai 19
2.1. Giới thiệu chung 19

2.2. Hàm thuộc loại hai 19
2.2.1. Khái niệm tập mờ loại hai 19
2.2.2. Định nghĩa tập mờ loại hai và các khái niệm 19
2.2.3. Hàm thuộc trên và hàm thuộc dới 26
2.3. Tập mờ loại hai nhúng 27
2.4. Các phép toán trên tập mờ loại hai 30
2.4.1. Hợp của các tập mờ loại hai 30
2.4.2. Giao của các tập mờ loại hai 32
2.4.3. Phần bù của một tập mờ loại hai 33
2.5. Kết luận chơng 36
Chơng 3. Suy diễn với tập mờ loại hai 37
3.1. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành 37
3.1.1. Khái niệm chung 37
3.1.2. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành trên cùng một không gian
38

3.1.3. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành trên các không gian khác
nhau 41

3.1.4. Phép hợp thành của một tập mờ loại hai và một quan hệ mờ loại
hai 42

3.2. Tích Đê-các của các tập mờ loại hai 43
3.3. Các dạng luật mờ 45
3.4. Một số phơng pháp suy diễn mờ loại hai 46
3.4.1. Suy diễn mờ dựa vào phép hợp thành 46
3.4.2. Suy diễn mờ dựa trên sự tơng tự của các tập mờ 48
3.5. Nhận xét 57

2

Chơng 4. Hệ logic mờ loại hai khoảng 59

4.1. Định nghĩa 59
4.2. Hàm thuộc trên và hàm thuộc dới của tập mờ loại hai khoảng 60
4.3. Phép toán hợp và giao của tập mờ loại hai khoảng 62
4.4. Suy diễn với tập mờ loại hai khoảng 63
4.5. Giảm loại và khử mờ 68
4.6. Thiết kế hệ logic mờ loại hai khoảng bằng phơng pháp lan truyền
ngợc BP (Back-Propagation) 70

4.7. ứng dụng của hệ logic mờ loại hai khoảng 76
4.8. Kết luận chơng 79
Kết luận 80
Tài liệu tham khảo 81

3
Danh mục hình vẽ
Hình 1-1: Các hàm độ thuộc cho xe nội địa và xe ngoại nhập dựa trên tỷ lệ
phần trăm các thành phần sản xuất trong nớc 7
Hình 1-2: Các hàm thuộc: (a)
)(x
A
à
và )(x
B
à
, (b) )(x
BA
à

, (c) )(x
BA
à

,
(d)
)(x
B
à
9
Hình 1-3: đồ thị hàm thuộc của quan hệ mờ
|)(| yx
c

à
11
Hình 1-4 16
Hình 2-1: (a) hàm thuộc loại một, (b) vết mờ hàm thuộc loại một, (c) FOU
20
Hình 2-2: Ví dụ về hàm thuộc loại hai 21
Hình 2-3: (a): một tập mờ loại hai Gaussian. (b): hàm thuộc thứ cấp
Gaussian tại x = 4 23
Hình 2-4 24
Hình 2-5: FOU dạng tam giac 25
Hình 2-6: FOU của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số giá trị trung
bình m không chắc chắn 26
Hình 2-7: FOU của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số độ lệch chuẩn


không chắc chắn 26

Hình 2-8: Ví dụ về một tập loại một nhúng (đờng đứt tô đậm) trong một tập
mờ loại hai 28
Hình 2-9: Một tập mờ loại hai nhúng và một tập mờ loại một nhúng đợc
gắn với hàm thuộc loại hai đợc biểu diễn trong Hình 2-2. 29
Hình 3-1: Hệ logic mờ loại hai 37
Hình 4-1: Ví dụ về hàm thuộc của một tập mờ loại 2 khoảng trong không
gian rời rạc. Miền tô đen trong mặt phẳng x-u là FOU 60
Hình 4-2: (a) minh hoạ cho ví dụ 4-1, (b) minh hoạ cho ví dụ 4-2 .62
Hình 4-3: Xác định
l
f và
l
f . (a) sử dụng minimum t-norm. (b) sử dụng
product t-norm. 67
Hình 4-4: Xác định
)(
~
y
l
B
à
. (a) sử dụng minimum t-norm. (b) sử dụng
product t-norm 67

4
Hình 4-5: Xác định
)(
~
y
B

à
. (a) sử dụng minimum t-norm. (b) sử dụng
product t-norm .68
Hình 4-6: Minh hoạ cho tập mờ loại 2 khoảng đơn trị có hai luật. (a) FOU
của
1
1
~
F và
1
2
~
F trong luật 1. (b) FOU của
2
1
~
F và
2
2
~
F trong luật 2 73
Hình 4-7: Giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của RMSE
s1
, RMSE
ns1
,
RMSE
s2
. (a) giá trị trung bình, (b) độ lệch chuẩn . 78

5
Mở đầu
Lý thuyết tập mờ loại hai đợc Zadeh đa ra từ năm 1975. Tập mờ loại hai
ngày càng đợc khẳng định vị trí u việt của mình trong việc cải thiện và
nâng cao chất lợng xử lý thông tin so với nhiều phơng pháp truyền thống
khác. Ngày nay, Logic mờ đợc ứng dụng trong thực tiễn đặc biệt là trong
lĩnh vực dự báo, khai phá tri thức, điều khiển mờ
Tuy nhiên, việc tính toán và xử lý thông tin dựa trên tập mờ loại hai nói
chung có độ phức tạp rất lớn, điều này đã ảnh hởng không nhỏ tới khả năng
ứng dụng của tập mờ loại hai vào giải quyết các bài toán thực tế. Chính vì
vậy, những năm trở lại đây, lý thuyết tập mờ loại hai nhận đợc rất nhiều sự
quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Một trong những hớng
nghiên cứu đó là tìm ra các phơng pháp làm giảm độ phức tạp tính toán
trong các hệ logic mờ loại hai.
Suy diễn với tập mờ loại hai là một khâu quan trọng trong hệ logic mờ loại
hai. Phơng pháp suy diễn quyết định rất lớn tới chất lợng và độ phức tạp
tính toán của toàn hệ. Với mục đích tìm hiểu nghiên cứu về tập mờ loại 2,
đợc sự hớng dẫn của PGS.TS. Trần Đình Khang Khoa CNTT - Đại Học
Bách Khoa Hà Nội, tôi lựa chọn đề tài Tập mờ loại hai và suy diễn với tập
mờ loại hai. Đề tài thực hiện tìm hiểu nghiên cứu những vấn đề cơ bản đối
với tập mờ loại hai, một số phơng pháp suy diễn đối với tập mờ loại hai
tổng quát và tập mờ loại hai khoảng.
Đề tài đợc chia thành các phần sau:
Chơng 1. Cơ bản về tập mờ: Chơng này trình bày các khái niệm cơ bản
về tập mờ nói chung làm cơ sở để tìm hiểu, nghiên cứu các đặc trng của tập
mờ loại hai.
Chơng 2. Tập mờ loại hai: Tập mờ loại hai là sự phát triển và mở rộng
của tập mờ loại một nhằm khắc phục những nhợc điểm của tập mờ loại một.
Chơng này trình bày những khái niệm và những đặc trng cơ bản của tập
mờ loại hai. Các phép toán tập hợp trên tập mờ loại hai cũng đợc trình bày ở

đây, các phép toán này là công cụ không thể thiếu để thực hiện các phép suy
diễn mờ.

6
Chơng 3. Một số phơng pháp suy diễn trên tập mờ loại hai: Chơng
này trình bày một số phơng pháp suy diễn với tập mờ loại hai. Hai phơng
pháp suy diễn đợc trình bày ở đây đó là phơng pháp suy diễn dựa trên
phép hợp thành và phơng pháp suy diễn dựa trên độ tơng tự. Từ đó đa ra
những phân tích đánh giá, đây là một cơ sở quan trọng để lựa chọn phơng
pháp suy diễn phù hợp khi thiết kế và xây dựng các ứng dụng logic mờ.
Chơng 4: Tập mờ loại hai khoảng: Tập mờ loại hai tổng quát bộc lộ
một số nhợc điểm nh độ phức tạp tính toán lớn. Do có cấu trúc đặc biệt
nên việc tính toán và suy diễn trên tập mờ loại hai khoảng có độ phức tạp
nhỏ hơn rất nhiều lần so với tập mờ loại hai tổng quát. Chính vì vậy, tập mờ
loại hai khoảng thờng đợc ứng dụng trong các hệ logic mờ. Chơng này
trình bày những đặc trng cơ bản của tập mờ loại hai khoảng và phơng pháp
suy diễn trên tập mờ loại hai khoảng.

7
Chơng 1. Cơ bản về tập mờ
1.1. Tập mờ
Định nghĩa 1-1:
Tập mờ F xác định trong không gian X đợc định nghĩa nh sau:
F = {(x,
)(x
F
à
)| x

X} với )(x

F
à


[0, 1]
à
F
đợc gọi là hàm thuộc của tập mờ F và )(x
F
à
là giá trị độ thuộc của x
X vào F.
Để thuận tiên cho việc biểu diễn, ngời ta ký hiệu tập mờ F :
F =

X
F
xx /)(
à
, khi X liên tục
F =
xx
X
F
/)(

à
, khi X rời rạc
ở đây, các kí hiệu

và

không phải là phép tích phân và tổng đại số
mà là tập hợp tất cả các phần tử x

X kết hợp với giá trị độ thuộc
)(x
F
à
tơng ứng của chúng.


0

2
5
50
75
1
00
0.5

1
)(x
F
à

)(x
D
à

x
)(x
à

Hình 1-1. Các hàm độ thuộc cho xe nội địa và xe ngoại nhập dựa
trên tỷ lệ phần trăm các thành phần sản xuất trong nớc
(1-1)
(1-3)
(1- 2)

8
Ví dụ 1-1:
Hình 1-1 mô tả việc phân loại tập các ô tô thành hai tập nội địa (D) và
ngoại nhập (F) theo tỷ lệ phần trăm các linh kiện đợc sản xuất trong nớc.
ở đây, F và D là các tập mờ có các hàm thuộc tơng ứng là
)(x
F
à
và )(x
D
à
;
x là tỷ lệ phần trăm các linh kiện sản xuất trong nớc. Một chiếc ô tô đợc
coi là nội địa nếu có
)(x
D
à
> )(x
F

à
, ngợc lại nó đợc coi là xe ngoại nhập.
Thông thờng, đồ thị sử dụng để mô tả cho các hàm thuộc của một tập mờ
có dạng hình tam giác, hình thang, Gaussian .v.v. Các hàm thuộc thờng
đợc lựa chọn một cách tùy ý trên cơ sở kinh nghiệm của ngời sử dụng về
lĩnh vực liên quan hoặc phơng pháp tính toán tối u mà họ lựa chọn.
1.2. Các phép toán tập hợp trên tập mờ
Trong lý thuyết tập mờ, các phép toán tập hợp đợc định nghĩa thông qua
các hàm thuộc của chúng.
Giả sử A và B là hai tập mờ xác định trên không gian X đợc đặc trng
bởi các hàm thuộc tơng ứng là
)(x
A
à
và )(x
B
à
.
Định nghĩa 1-2:
Hợp của hai tập mờ A và B, ký hiệu
BA , có hàm thuộc đợc định nghĩa:
)(x
BA
à

= max[ )(x
A
à
, )(x
B

à
]
Định nghĩa 1-3:
Giao của hai tập mờ A và B, ký hiệu
BA

, có hàm thuộc đợc định nghĩa:
)(x
BA
à

= min[
)(x
A
à
,
)(x
B
à
]
Phần bù của tập mờ A, ký hiệu
A
và hàm thuộc đợc định nghĩa:
)(x
A
à
= 1 -
)(x
A
à

Xét ví dụ sau:
Ví dụ 1-2: Cho hai tập mờ A và B có hàm thuộc đợc xác định nh sau:
)(x
A
à
=



+


15.0],)5.0(1/[1
5.00,0
2
xx
x
nếu
nếu

(1-4)
(1-5)
(1-6)
(1-7)

9

)(x
B

à
= 10,
)707.0(1
1
4

+
x
x

Hình 1-2 dới đây mô tả các hàm thuộc
)(x
A
à
, )(x
B
à
, )(x
BA
à

, )(x
BA
à

,
)(x
A
à

Ví dụ này cho thấy phép hợp, giao của một tập mờ với phần bù của nó có
kết quả khác so với trong tập rõ. Bởi vì, rõ ràng
XAA và

AA .
Ngoài việc sử dụng các phép toán maximum và minimum, ngời ta còn có
thể định nghĩa các phép hợp và phép giao khác cho tập mờ.
Chẳng hạn, Zadeh định nghĩa hai phép toán hợp và giao cho tập mờ nh
sau:
(1-8)
0.707 0.5
)(x
B
à

)(x
A
à

x
1
(a)
0.707 0.5
x
1
)(x
BA
à

(b)
0.707 0.5
)(x
BA
à


x
1
0.707 0.5
)(x
B
à

x
1
)(x
B
à

(d)
Hình 1-2: Các hàm thuộc: (a)
)(x
A
à
và )(x
B
à
,
(b)

)(x
BA
à

, (c) )(x
BA
à

, (d)
)(x
B
à

(c)

10
1. Phép hợp:
)(x
BA
à

= )(x
A
à
+ )(x
B
à
- )()( xx
BA
à

à

2. Phép giao:
)(x
BA
à

= )()( xx
BA
à
à

Sau đó, Klir và Yuan định nghĩa hai phép toán t-conorm cho phép hợp và
t-norm cho phép giao sử dụng cho tập mờ:
Phép toán t-conorm (còn gọi là s-norms) đợc sử dụng cho phép hợp, đợc
ký hiệu là
. Maximum và phép tổng đại số là phép toán t-conorm. Dới
đây là hai ví dụ về t-conorm:
x
y = min(1, x+y)
x
y =





=
=
lại ngợc nếu

nếu
nếu
1
0
0
xy
yx

Phép t-norm đợc sử dụng cho phép giao, đợc ký hiệu là

. Minimun và
hàm đại số là t-norm. Dới đây là hai ví dụ về t-norm.
x
y=max(0, x+y-1)
x

y =





=
=
lại ngợc nếu
nếu
nếu
0
1
1

xy
yx

Việc định nghĩa các t-conom, t-norm và phép lấy phần bù khác nhau sử
dụng trong lý thuyết tập mờ cung cấp cho chúng ta một sự lựa chọn phong
phú hơn khi xây dựng hệ logic mờ.
1.3. Quan hệ mờ
Quan hệ mờ thể hiện độ thuộc của sự xuất hiện hoặc không xuất hiện của
sự kết hợp, sự ảnh hởng hoặc tính chất liên kết giữa các phần tử của hai hay
nhiều tập mờ.
1.3.1. Quan hệ mờ trên cùng không gian
Định nghĩa 1-4: Gọi U và V là hai không gian nền. Quan hệ mờ, R(U,V)
là một tập mờ trong không gian của tích Đê-các U
ì
V. Tập mờ này là tập con
của U
ìV và đợc đặc trng bởi hàm thuộc ),( yx
R
à
, với x
U
và y
V
.
R(U,V) = {((x,y),
),( yx
R
à
)| (x,y)
VU

ì

}, với ),( yx
R
à
[0,1]
(1-15)
(1-9)
(1-10)
(1-11)
(1-12)
(1-13)
(1-14)

11
Ví dụ 1-3: Giả sử U và V là hai tập các số thực. Xét quan hệ mờ mục
tiêu x là gần với mục tiêu y. Hàm thuộc của quan hệ mờ này đợc xác định
nh sau:
}0,5/|)|5max{(|)(| yxyx
c




à

Hàm thuộc của quan hệ này đợc diễn tả trong Hình 1-3. Chú ý rằng
khoảng cách giữa hai mục tiêu x và y đợc xác định bởi |x-y|, đợc hiểu nh
là một biến phụ thuộc.
Vì các quan hệ mờ là các tập mờ trong không gian Đê-các nên lý thuyết

tập hợp và các phép toán số học có thể đợc định nghĩa và sử dụng đối với
các quan hệ mờ này bởi việc sử dụng các phép toán hợp, giao, lấy phần bù
mà chúng ta đã định nghĩa ở các phần trớc. Giả sử R(U,V) và S(U,V) viết
tắt là R và S là hai quan hệ mờ trong cùng không gian tích Đê-các UxV. Các
phép hợp và giao của hai quan hệ này với các thành phần của nó đợc định
nghĩa:
),( yx
SR
à
= ),( yx
R
à

),( yx
S
à

),( yx
SR
à
= ),( yx
R
à

),( yx
S
à

ở đây,
là các t-norm và

là các t-conorm.
Ví dụ 1-4: Xem xét mức độ phù hợp của hai quan hệ mờ sau đây: u gần
với v và u nhỏ hơn v; và quan hệ mờ u gần v hoặc u nhỏ hơn v. Tất
cả các quan hệ này cùng không gian tích Đê-các UxV. Để đơn giản, chúng ta
giả sử rằng U={u
1
, u
2
} = {2, 12} và V ={v
1
, v
2
, v
3
} = {1, 7, 13}. Chúng ta sẽ
tính toán giá trị độ thuộc của các thành phần trong phép hợp và giao của hai
quan hệ này. Hàm thuộc cho các quan hệ mờ gần và nhỏ ký hiệu là
1
5
|x-
y
|
|)(| yx
c

à

Hình 1-3: Đồ thị hàm thuộc của quan hệ mờ
|)(| yx

c

à
(1-16)
(1-18)
(1-17)

12
),( vu
c
à
và ),( vu
s
à
. Các số trong ),( vu
c
à
và ),( vu
s
à
đợc chọn để phù hợp với
khái niệm sự so sánh hai số trong U và V.

Giả sử dùng minimum t-norm (

) và maximum t-conorm ( ) cho các
phép hợp và giao khi đó:
),(),(),(
jisjicjisc
vuvuvu
à
à
à

=


và
),(),(),(
jisjicjisc
vuvuvu
à
à
à

=


ở đây, i = 1, 2 và j = 1, 2, 3. Sử dụng các công thức (1-21) và (1-22), ta có:

Từ (1-23) và (1-24) chúng ta thấy rằng u gần v hoặc u nhỏ hơn v
phù hợp hơn nhiều so với u gần v và u nhỏ hơn v bởi vì giá trị độ thuộc
),( vu
sc
à
tơng đối lớn, trong khi đó giá trị độ thuộc ),( vu
sc
à
tơng đối nhỏ.
2
1
u
u









9.04.01.0
1.04.09.0

321

vvv

),( vu
c
à

2
1
u
u









3.000
16.00

321
vvv

),( vu
s
à

(1-21)

(1-22)
2
1
u
u









9.04.01.0
16.09.0

321
vvv


),( vu
sc
à

2
1
u
u

3.000
1.04.00



),( vu
sc
à

321
vvv
(1-23)
(1-24)
(1-19)
(1-20)

13
1.3.2. Quan hệ mờ và phép hợp thành trên các không gian khác nhau
Định nghĩa 1-5:
Giả sử R(U,V) là một quan hệ mờ trên không gian tích Đê-các U
ì
V và

S(V,W) là một quan hệ mờ trên không gian tích Đê-các V
ìW có các hàm
thuộc tơng ứng là
),( yx
R
à
và
),( zy
S
à
với
),( yx
R
à

[0,1] ,
),( zy
S
à

[0,1].
Phép hợp thành giữa quan hệ mờ R và S ký hiệu là R
o S, là một quan hệ mờ
có hàm thuộc
),( zx
SR
à
o
đợc định nghĩa:
),( zx

SR
à
o
= sup
y

V
[
à
R
(x,y)

à
S
(y,z)]
ở đây toán tử supremum chính là hàm maximum và toán tử
là một t-
norm, chẳng hạn nh hàm minimum. Nh vậy, sup-star ở đây đợc hiểu nh
các sup-min và sup-product tơng đơng với các max-min và max-product.
Ví dụ 1-5: Giả sử c là một quan hệ mờ u gần v trên không gian tích Đê-
các U
ìV, ở đây U={u
1
, u
2
} và V={v
1
,v
2
,v

3
}, với các giá trị đợc cho nh
sau: U={2,12}, V={1,7,13}; giá trị độ thuộc của quan hệ mờ này đợc cho
bởi (1-19). Và mb một quan hệ mờ v lớn hơn nhiều w trên không gian
V
ìW, ở đây W={w
1
, w
2
}={4.8}, giá trị độ thuộc ),( wv
mb
à
đợc cho trong
(1-26) dới đây:
),( wv
mb
à
=










7.0
0

0
1
6.0
0
3
2
1
21
v
v
v
ww

Phát biểu u gần v và v lớn hơn nhiều w thể hiện phép hợp thành giữa
hai quan hệ mờ c và mb nó là một tập mờ có hàm thuộc
),( wu
mbc
à
o
đợc xác
định theo (1-25) và minimun-tnorm nh sau:
),(
ji
mbc
wu
à
o
= [ ),(),(
11 j
mb

i
c
wvvu
à
à
] [ ),(),(
22 j
mb
i
c
wvvu
à
à
]

[
),(),(
33 j
mb
i
c
wvvu
à
à

]
với i = 1,2 ; j = 1,2,3;

thể hiện minimum và thể hiện maximum.
Chẳng hạn:

(1-25)
(1-26)
(1-27)

14

),(
11
wu
mbc
à
o
= [ ),(),(
1111
wvvu
mbc
à
à
] [ ),(),(
1221
wvvu
mbc
à
à
]
[ ),(),(
1331
wvvu
mbc

à
à
]
= [0.9

0]

[0.4

0.6]

[0.1

1]
= 0

0.4

0.1 = 0.4
Tính toán tơng tự cho các phần tử còn lại chúng ta có ma trận độ thuộc
của các thành phần của quan hệ mờ
),( wu
mbc
à
o
nh sau:
),( wu
mbc
à
o

=








7.0
1.0
9.0
4.0
2
1
21
u
u
ww

Chú ý:
Trong trờng hợp V = U, khi đó hàm thuộc
à
R
(x,y) trở thành
à
R
(x) hoặc
à
R

(y), ví dụ quan hệ mờ y là một số trung bình và y nhỏ hơn z. vì V=U,
khi đó phép hợp thành sup-star trong (1-25) trở thành:
sup
y

V
[
à
R
(x,y)

à
S
(y,z)] = sup
x

U
[
à
R
(x)

à
S
(x,z)]
đây chỉ là hàm của một biến đầu ra z. Nh vậy, chúng ta có thể đơn giản
ký hiệu
),( zx
SR
à

o
thành )(z
SR
à
o
, và ta có
)(z
SR
à
o
= sup
x

U
[
à
R
(x)

à
S
(x,z)]
1.4. Cơ bản về suy diễn mờ
Luật mờ là một thành phần chính trong hệ logic mờ. Trong Logic mờ các
luật thờng đợc phát biểu dới dạng mệnh đề if then (nếu thì):
If x is A, then y is B, với x

X và y

Y

(nếu x là A thì y là B, với x

X và y

Y)
Mệnh đề trên là một quy tắc thể hiện mối quan hệ giữa hai tập mờ A và B,
hàm thuộc của mối quan hệ này ký hiệu là
),( yx
BA
à

, với
à
BA
(x,y)

[0,1].
ở đây,
à
BA
(x,y) xác định độ thuộc của mối quan hệ giữa x và y trong
không gian tích Đê-các X
ì
Y.
(1-28)
(1-29)
(1-30)
(1-31)

15

Hàm thuộc của mối quan hệ mờ giữa hai tập mờ A và B có thể đợc xác
định theo các Công thức (1-32) (1-34) dới đây:

),( yx
BA
à

= 1- min[
)(x
A
à
, 1 -
)(y
B
à
]
),( yx
BA
à

= max[1-
)(x
A
à
,
)(y
B
à
]

),( yx
BA
à

=1-
)(x
A
à
(1-
)(y
B
à
)
Trong Logic mờ, luật Modus Ponen đợc tổng quát hóa nh sau:
Giả thiết: x là A
*
Phép kéo theo: Nếu x là A thì y là B

Kết luận: y là B
*
Trong đó A
*
, A, B
*
, B là các tập mờ.
Từ dạng thức Modus Ponen tổng quát của luật chúng ta thấy có sự khác
nhau ở tên gọi của giả thiết (A và A
*
) và kết luận (B và B
*

). Điều này nói lên
rằng, trong logic mờ, tập mờ giả thiết A
*
không phải lúc nào cũng trùng với
tập mờ giả thiết A của luật if-then. Và tập mờ kết luận B
*
không phải luôn
trùng với kết luận B của luật if-then.
Trong logic rõ, một luật chỉ đợc đốt cháy nếu và chỉ nếu giả thiết trùng
với vế trái của luật và kết quả chính là vế phải của luật. Trong logic mờ, luật
đợc đốt cháy với một độ thuộc khác 0 của sự tơng tự giữa giả thiết và vế
trái của luật; và kết quả là một độ thuộc khác 0 của sự tơng tự giữa kết luận
và vế phải của luật.
Luật mờ dạng Modus Ponen tổng quát là một kết cấu mờ; ở đây, quan hệ
mờ thứ nhất là một tập mờ đơn thuần A
*
. Do vậy, sử dụng (1-31), )(
*
y
B
à

nhận đợc từ phép hợp thành sup-star nh sau:
)(
*
y
B
à
= )],()([
*

sup
yxx
BAA
Xx
à
à




Để hiểu rõ hơn về (1-35), chúng ta sẽ xem xét ví dụ sau đây. Trong ví dụ
này, chúng ta giả sử rằng tập mờ A
*
là một tập mờ đơn trị (singleton), còn
gọi là bộ mờ hóa đơn trị.




=
=
Xxxx
xx
x
A
vàvới
với
'
'
0

1
)(
*
à

(1-35)
(1-36)
(1-32)
(1-34)
(1-33)

16
Với bộ mờ hóa đơn trị, (1-35) trở thành:
)(
*
y
B
à
= )],()([
*
sup
yxx
BAA
Xx
à
à



=

]0),,([
'
sup
yx
BA
Xx
à


= ),(
'
yx
BA
à


Nh vậy, với bộ mờ hóa đơn trị việc tính toán supermum dễ dàng hơn, bởi
vì
)(
*
x
A
à
chỉ khác không tại một điểm duy nhất, x

.
Ví dụ 1-6: Sử dụng (1-32) cho
),( yx
BA
à

, khi đó (1-37) trở thành
)(
*
y
B
à
= 1- min[ )(
'
x
A
à
, 1 - )(y
B
à
]
Đồ thị minh họa kết quả phép hợp thành đợc đa ra trong Hình 1-4.
)(y
B
à
đợc thể hiện trong hình (a); chúng ta tính toán 1- )(y
B
à
và đợc thể
hiện trong hình (b); độ thuộc
)(
'
x
A
à

cũng đợc đa ra trong hình (b), sau đó
chúng ta xác định đợc min[
)(
'
x
A
à
, 1 - )(y
B
à
], cũng đợc thể hiện trong
hình (b). Chú ý rằng, giá trị độ thuộc
)(
'
x
A
à
trong hình (b) đợc chọn một
cách tùy ý với
)(
'
x
A
à

[0,1]. Cuối cùng, chúng ta xác định đợc
1- min[
)(
'
x

A
à
, 1 - )(y
B
à
] và đợc thể hiện trong hình (c).

)(y
B
à

1
y
)(
1
y
B
à


1
y
)(
'
x
A
à

min[ )(
'

x
A
à
,
1 - )(y
B
à
]
1
(a) (b) (c)
Hình 1-4
1 - min[ )(
'
x
A
à
,
1 -
)(y
B
à
]
y
(1-37)

17
1.5. Nguyên lý mở rộng
Công cụ để tính toán các phép hợp, giao và phần bù của một tập mờ loại
hai là nguyên lý mở rộng của Zadeh (1975); Dubois và Prade (1980). Sau
đây là nguyên lý mở rộng tổng quát.

Tích Đê-các của r tập rõ bất kỳ X
1
, X
2
, , X
r
, ký hiệu X
1
ì
X
2
ì

ì
X
r
là
một tập rõ của tập tất cả các bộ r phần tử đợc đánh chỉ số (x
1
, x
2
, , x
r
) với
x
i


X
i

, i = 1 r
X = X
1
ìX
2
ì
ì
X
r
= {(x
1
, x
2
, , x
r
) | x
1


X
1
, , x
r
X
r
}
Gọi f là một ánh xạ từ không gian X vào không gian Y, khi đó:
y = f(x
1
, x

2
, , x
r
)

Y
Tiếp theo, giả sử A
1
, A
2
, A
r
lần lợt là các tập mờ loại một trong X
1
, X
2
,
X
r
. Khi đó, nguyên lý mở rộng cho phép chúng ta ánh xạ r tập mờ loại một
A
1
, A
2
, A
r
thành một tập mờ loại một B đợc xác định trên Y qua một hàm
f nh sau, B = f(A
1
, A

2
, A
r
) với:







=
=




à
à
à
à
)(0
)}( ,),(),(min{sup
)(
1
)() ,,(
21
1
21
21

yif
f
xxx
y
f
xxx
y
r
AAA
B
r
r

ở đây f
-1
(y) ký hiệu tập tất cả các điểm x
1


X
1
, , x
r


X
r
thỏa mãn:
y = f(x
1

, x
2
, , x
r
)
Để tính toán (1-38), trớc tiên chúng ta xác định các giá trị x
1
, x
2
, x
r
thỏa
mãn y = f(x
1
, x
2
, , x
r
), sau đó tính toán các giá trị )(
1
1
x
A
à
, , )(
r
A
x
r
à

và
xác định min{
)(
1
1
x
A
à
, , )(
1
x
r
A
à
}. Nếu có nhiều hơn một bộ số (x
1
, , x
r
)
cho cùng một giá trị y = f(x
1
, x
2
, , x
r
), khi đó
)(y
B
à
đợc xác định là giá trị

lớn nhất của các min(
)(
1
1
x
A
à
, , )(
r
A
x
r
à
) ứng với mỗi bộ số.
Trong định nghĩa nguyên lý mở rộng của mình, Zadeh sử dụng minimum
t-norm và maximum t-conrm. Ngoai ra, Mizumoto, Tanaka và Dubois còn sử
dụng các t-norm và t-conorm. Khi sử dụng một t-norm khác thay cho
minimum trong (1-38), chúng ta sẽ thay thế thành phần sup-min bởi sup-star.
Một cách tổng quát, tập mờ loại một B đợc xác định từ r tập mờ loại một
A
1
, A
2
, A
r
lần lợt xác định trên X
1
, X
2
, X

r
qua hàm f đợc định nghĩa:
(1-38)

18
B = f(A
1
, A
2
, A
r
) = ), ,(/)( )(
11
1
11
rr
A
Xx
A
Xx
xxfxx
r
rr
à
à




cho trờng hợp X

i
, i =1 r là không gian liên tục
và
B = f(A
1
, A
2
, A
r
) = )), ,(/)( )(
11
1
11




XxXx
rr
AA
rr
r
xxfxx
à
à

cho trờng hợp X
i
, i =1 r là không gian rời rạc
Ví dụ nếu f(x

1
, x
2
) = x
1
x
2
/(x
1
+x
2
) khi đó:
B = f(A
1
, A
2
) =
21
21
1
/)()(
2
22
1
11
xx
xx
xx
r
A

Xx
A
Xx
+



àà

1.6. Kết luận chơng
Trong chơng này đã trình bày sơ lợc về khái niệm tập mờ, các phép toán
tập hợp trên tập mờ bao gồm các phép toán hợp, giao, lấy phần bù. Ngoài ra,
còn giới thiệu về quan hệ mờ và cơ bản về suy diễn mờ.
Tập mờ trong chơng này có độ thuộc của mỗi phần tử trong không gian
nền là một số thực thuộc đoạn [0, 1], do đó đợc gọi là tập mờ loại một để
phân biệt với khái niệm tập mờ loại hai đợc đa ra ở chơng tiếp theo.

(1-39)
(1-40)

19
Chơng 2. tập mờ loại hai
2.1. Giới thiệu chung
Trong Chơng một đã đề cập những vấn đề cơ bản nhất của lý thuyết tập
mờ. Tuy nhiên, lý thuyết tập mờ thông thờng (tập mờ loại một) tiềm ẩn
những mâu thuẫn nhất định. Đó là để phát triển bất cứ hệ logic mờ nào,
ngời thiết kế phải xây dựng hàm thuộc cho các tập mờ sử dụng trong hệ,
hay là phải mô tả sự không chắc chắn bằng các hàm thuộc rõ ràng, chắc
chắn. Điều đó có nghĩa là việc biểu diễn sự không chắc chắn lại sử dụng các
độ thuộc mà bản thân chúng là các số thực chính xác.

Năm 1975, Zadeh giới thiệu khái niệm tập mờ loại hai nhằm giải quyết
vấn đề trên. Đó là thay vì độ thuộc là một số thực nh với tập mờ thông
thờng, với tập mờ loại hai, độ thuộc là một tập mờ loại một trên đoạn [0, 1].
Tập mờ loại hai thờng đợc sử dụng trong những trờng hợp khó xác định
chính xác giá trị độ thuộc của các phần tử trong không gian nền. Trong
chơng này sẽ đề cập đến khái niệm tập mờ loại hai, các phép toán và các
tính chất trên nó.
2.2. Hàm thuộc loại hai
2.2.1. Khái niệm tập mờ loại hai
Đối với tập mờ loại một, độ thuộc của các phần tử là các giá trị số thực
trong khoảng [0, 1]. Trong trờng hợp chúng ta không thể xác định đợc giá
trị độ thuộc của các phần tử, khi đó chúng ta có sử dụng các tập mờ loại một
đề biểu diễn giá trị độ thuộc đó. Mở rộng tập mờ loại một bằng cách cho
phép các độ thuộc là các tập mờ loại một trong khoảng [0, 1] ta đợc khái
niệm tập mờ loại hai. Một trong những u điểm của tập mờ loại hai so với
tập mờ loại một đó là nó cho phép biểu diễn các giá trị độ thuộc bằng các giá
trị mờ, các giá trị ngôn ngữ chứ không phải là các giá trị số hoàn toàn chính
xác.
2.2.2. Định nghĩa tập mờ loại hai và các khái niệm
Hình 2-1 (a) biểu diễn hàm thuộc của một tập mờ loại một. Dịch chuyển
các điểm trên đồ thị này sang phải và sang trái một đoạn không nhất thiết
bằng nhau, vết mờ đợc tạo ra nh Hình 2-1 (b). Tại một giá trị cụ thể của x
gọi là x, giá trị hàm thuộc không còn là một giá trị đơn nữa, mà là một tập

20
các giá trị nằm trong đoạn giao cắt của đờng x = x

với vệt mờ. Nh vậy,
chúng ta có thể gán một biên độ phân tán cho mỗi điểm. Thực hiện việc gán
biên độ cho tất cả các điểm x

X, chúng ta tạo ra một hàm thuộc ba chiều
một hàm thuộc loại hai, đặc trng cho tập mờ loại hai.
Định nghĩa 2-1: Một tập mờ loại hai, ký hiệu
A
~
, đợc mô tả bởi một hàm
thuộc loại hai
),(
~
ux
A
à
, với x

X và u

J
x
[0, 1],
A
~
= {((x,u), ),(
~
ux
A
à
) | x

X , u


J
x
[0, 1]}
ở đây,
),(
~
ux
A
à
[0, 1].
Có thể biểu diễn
A
~
nh sau:
A
~
= ),/(),(
~
uxux
XxJu
A
x


à
, J
x

[0, 1]
phép

ở đây biểu thị tập hợp tất cả các giá trị có thể chấp nhận của x và
u.
Ví dụ 2-1: Hình 2-2 diễn tả
),(
~
ux
A
à
cho các giá trị x và u rời rạc.
Với X = {1, 2, 3, 4, 5} và U = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8}, J
1
= {0, 0.2, 0.4},
J
2
= {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8}, J
3
= {0.6, 0.8} và J
4
= J
1
. Trong đồ thị, chúng ta
chỉ thể hiện các giá trị trong J
1
, , J
5
có giá trị ),(
~

ux
A
à
0. Mỗi đờng
(2-1)
(2-2)
u
1
)(x
A
à

0
(a)
1
0
(b)
u
u
1
0
(c)
Hình 2-1: (a) Hàm thuộc loại một, (b) Vết mờ
hàm thuộc loại một, (c) FOU
x
xx
x'

21
thẳng đứng đậm trong hình thể hiện một giá trị

),(
~
ux
A
à
, tơng ứng với một
cặp giá trị (x, u) xác định.
Trong Định nghĩa 2-1, giới hạn các giá trị u:

u

J
x
[0, 1], điều này
phù hợp với ràng buộc của một tập mờ loại một: 0
)(x
A
à
1. Nếu vết mờ
(nh trong ví dụ Hình 2-1 (b)) biến mất thì hàm thuộc loại hai sẽ giảm thành
hàm thuộc loại một. Hơn nữa, việc giới hạn 0
),(
~
ux
A
à
1 cũng phù hợp
ràng buộc giá trị của một hàm thuộc nằm trong khoảng [0,1].
Định nghĩa 2-2: Tại mỗi giá trị của x, x = x, mặt phẳng hai chiều mà các
trục của nó là u và

),(
'
~
ux
A
à
đợc gọi là một lát cắt dọc của
),(
~
ux
A
à
. Một
hàm thuộc thứ cấp là một lát cắt dọc của
),(
~
ux
A
à
. Hàm thuộc thứ cấp chính
là
),'(
~
uxx
A
=
à
với x

X và

u


J
x'
[0, 1],
),'(
~
uxx
A
=
à


)'(
~
x
A
à
=


J
uu
x
u
x
f
/)(

'

J
x'
[0, 1]
ở đây, 0
)(
'
u
f
x
1. Vì

x



X, nên ta có thể bỏ dấu phẩy trên )'(
~
x
A
à

quy thành
)(
~
x
A
à
là một hàm thuộc thứ cấp.

0
0.
2
0.
4
0.6

0.8

1
12
3
4
5

J
1
J
2
J
3
J
4
J
5
a
b
c
x
u

),(
~
ux
A
à

1
Hình 2-2. Ví dụ về hàm thuộc loại hai
(2-3)

22
Sử dụng (2-3),
A
~
có thể đợc biểu diễn lại dới dạng:

A
~
= {(x, )(
~
x
A
à
) | Xx


}
hoặc
A

~
= xx
Xx
A
/)(
~


à
= x
J
uu
x
u
x
Xx
f
/]/)([



, J
x
[0,1]
Định nghĩa 2-3: Miền của một hàm thuộc thứ cấp đợc gọi là độ thuộc sơ
cấp của x. Trong (2-5), J
x
là độ thuộc sơ cấp của x, ở đây J
x
[0,1] với

x
X.
Định nghĩa 2-4: Giá trị của một hàm thuộc thứ cấp đợc gọi là độ thuộc
thứ cấp. Trong (2-5), f
x
(u) là một độ thuộc thứ cấp; trong (2-1), )','(
~
ux
A
à

( x

X và u

U) là một độ thuộc thứ cấp.
Nếu X và J
x
là các tập rời rạc khi đó vế phải của (2-5) có thể đợc biểu
diễn lại nh (2-6) dới đây:
xuu
J
fA
Xxu
x
x
/]/)([
~

= =
x
f
i
N
i
u
x
u
J
u
x
i
i
/]/)([
1

=


=
xu
f
k
M
k
x
11

1
/)]([
1
1

=
+ +
xu
f
NNk
M
k
N
N
x
/)]([
1

=

Trong (2-6), x đợc rời rạc hóa thành N giá trị và tại mỗi giá trị của x, u
cũng đợc rời rạc hóa thành M
i
giá trị. Việc rời rạc hóa dọc theo mỗi biến u
ik
là không giống nhau. Tuy nhiên, nếu việc rời rạc hóa dọc theo mỗi biến u
ik
là
nh nhau thì khi đó M
i

= M
2
= = M
N
= M.
Ví dụ 2-2: Trở lại Hình 2-2, hàm thuộc thứ cấp tại x = 1 là a / 0 + b / 0.2
+ c / 0.4. Các giá trị độ thuộc sơ cấp của nó tại x = 1 là u = 0, 0.2, 0.4 và các
độ thuộc thứ cấp kết hợp với chúng là a, b, c.
Khi f
x
(u) = 1 với

u

J
x
[0, 1] thì các hàm thuộc thứ cấp là các tập
khoảng. Nếu điều này là đúng với mọi x

X, khi đó chúng ta gọi tập mờ
loại hai này là tập mờ loại hai khoảng và chúng ta có hàm thuộc lọai 2
khoảng. Tập mờ loại hai khoảng sẽ đợc trình bày chi tiết ở Chơng bốn.
Ví dụ 2-3: Hàm thuộc thứ cấp dạng Gaussian và tam giác thờng có đỉnh
tại điểm trung tâm của độ thuộc sơ cấp của x và giá trị hàm thuộc thứ cấp
giảm nhanh đối với các điểm xa điểm trung tâm đó. Nh vậy, giá trị cực đại
(2-4)
(2-5)
(2-6)

23

của f
x
(u) đạt tại trung điểm của J
x
. Một hàm thuộc loại hai Gaussian đợc
diễn tả ở Hình 2-3.
Định nghĩa 2-5: Độ không chắc chắn trong các độ thuộc sơ cấp của một
tập mờ loại hai,
A
~
, là một miền giới hạn, đợc gọi là chân đế của độ không
chắc chắn (FOU). FOU là hợp của tất cả các độ thuộc sơ cấp.
FOU(
A
~
) =
xXx
J

U

Về mặt ý nghĩa hình học, FOU mô tả trực quan độ không chắc chắn của
tập mờ loại hai, nó là biểu diễn hình học toàn bộ miền trị cho tất cả các độ
(2-7)
0

1 2
3
4
5

6
0.
2
0.
4
0.6

0.8

1
0

0.
2
0.
4
0.
6
0.8

0.
4
0.6

0.8

1
1
f
4

(u)
x
Hình 2-3: (a): Một tập mờ loại hai Gaussian.
(b): Hàm thuộc thứ cấp Gaussian tại x = 4
(a)
(b)
u
u

24
thuộc thứ cấp của một hàm thuộc loại hai. Trong các ứng dụng, FOU là một
căn cứ đầu tiên để chúng ta lựa chọn các hàm thuộc loại hai phù hợp.
Vùng tô đen trong Hình 2-4 (a) minh họa FOU của một tập mờ loại hai.
Ví dụ 2-4: Ví dụ này chỉ ra một cách đơn giản để xây dựng một FOU cho
một khoảng với hai điểm xác định với các hàm thuộc tam giác. Gọi a là giá
trị trung bình của của các điểm bên trái của khoảng, b là giá trị trung bình
của các điểm bên phải của khoảng và độ lệch chuẩn của các điểm bên trái là

a
, của các điểm bên phải là

b
. Chúng ta định nghĩa hai khoảng không
chắc chắn tơng ứng với hai điểm a và b là [a -

a
, a +

a
] và

[b -

b
, b +

b
]. Gọi r là khoảng cách giữa hai điểm a và b. Gọi T là trung
điểm của a và b. Xác định đỉnh của các tam giác là giao điểm của đờng
u
0.7
0
1
)(
1
~
x
A
à

u
0.8
0
1
)(
2
~
x
A
à

0.4
Hình 2-4 (b): Các hàm thuộc sơ cấp
)(
1
~
x
A
à
và
)(
2
~
x
A
à
tại hai
điểm x
1
và x
2
. Các hàm thuộc sơ cấp này là các tập mờ khoảng
J
x1
J
x2
x
1
x
2
x

1

Hình 2-4 (a): Miền tô đen là FOU của một tập mờ
loại hai. Độ thuộc sơ cấp J
x1
và J
x2
tại điểm x
1
và x
2
(
a
)
u