Đề Tài : Về sự tồn tại nhóm con chuẩn tắc tối đại trong vành chia doc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
o0o



TRẦN THANH LỘC






VỀ SỰ TỒN TẠI NHÓM CON CHUẨN
TẮC TỐI ĐẠI TRONG VÀNH CHIA



Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 05




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. Bùi Xuân Hải






TP. HỒ CHÍ MINH - 2011

LỜI CẢM ƠN
Trong những dòng đầu tiên của luận văn này, tôi kính gửi những tình cảm tốt
đẹp nh ất và lòng biết ơn chân thành của mình đến PGS. TS. Bùi Xuân Hải, trưởng
bộ môn Đại Số, khoa Toán - T i n học, trường Đại học Kh o a Học Tự Nhiên, Đại Học
Quốc Gia thành phố Hồ Chí M i n h , ngư ơ øi thầy đã dạy dỗ tôi trong những n ăm ở bậc
Đại học, Cao học, và cũng là người đã hết lòng tận tụy hướng dẫn tôi hoàn thành
luận văn này.
Xin được kh ắc ghi công ơn g i ản g dạy của tất cả các thầy cô trong khoa Toán-Tin
học của trườn g Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia thành phố Hồ Chí
Minh. Các thầy cô đã dành cho tôi tất cả tấm lòng ``người thầy'' trong nhữn g năm
học ở bậc Đại học và Cao học. Chính những kiến thức mà to âi tiếp th u được từ thầy
cô trong suốt những năm qua là nền tảng hết sức quan trọng để tôi có thể hoàn
thành được l u ận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô tron g Ban Giám Hiệu nhà trường,
Ban C h u û Nhiệm khoa Toán - Tin h o ïc, Phòng Sau Đại ho ïc của trường Đại học Khoa
Học T ư ï Nh i e ân , Đại Học Quốc Gia thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ và
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập Cao học.
Xin cảm ơn tất cả các bạn trong lớp Cao học Toán Đại Số khóa 18 của trường Đại
học Khoa Học Tư ï Nhiên.
Cuối cùng, tôi xin dành tất cả những gì thân thương nhất, trong đó có lòn g b i e át
ơn sâu lắng nhất cho gia đình và cũn g xin được dành tặng tất cả nh ư õn g cố gắng,

thành công này như món quà tinh thần cho gia đình của tôi.
Thành phố H o à Ch í Minh, tháng 5 năm 2011
Tác giả
Trần Thanh Lộc
MỤC LỤC
1 TỔNG QUAN 3
2 KIẾN THỨC CƠ BẢN 6
2.1 Ánh xạ Valuati o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Đại số chia và vành chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Nhóm chia được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Nhóm Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 SỰ TỒN TẠI NHÓM CON CHUẨN TẮC TỐI Đ A ÏI TRONG V A ØN H CHIA 24
KẾT LUẬN 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO 35
Chương 1
TỔNG QUAN
Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát sự tồn tại của các nhóm con tối đại chuẩn
tắc trên vành ch i a và một số tính chất của các nhóm này qua các bươ ùc sau:
Cho D là một đại số chia hữu hạn chiều có tâm F , D

là nhóm hoán tử của nhóm
nhân D
∗
= D − {0}. Trong luận văn này chúng tôi sẽ chứng minh sự to àn tại của
các nho ùm con tối đại trong F
∗
có li e ân hệ chặt chẽ đến sự tồn tại của chúng trong
D
∗
. Bước đầu tiên của quá trình này là khảo sát sự tồn tại nhóm con tối đại trên

các trường số học như Q, R và C. Cụ thể, ta được R
∗
là nhóm nhân của tập các
số thực R chỉ có một nhóm con tối đại li e ân kết với phép tính trò tuyệt đối trên R.
Trường hợp khả quan hơ n đối với trường hữu tỷ Q. Ta sẽ chứng min h rằng Q
∗
có
nhiều nhóm con tối đại hữu hạn chiều với các valuation trên Q và sau đó ta sẽ chứng
minh đối với các trường đóng đại số mà cụ thể là trường số phức C sẽ không tồn tại
nhóm con tối đại. Tiếp theo, ta chứng minh rằng nếu tồn tại một A là cyclic đại số
trung tâm đơn trên trường F, nghóa là A cyclic và là một đại số Brauer trên F thì F
∗
sẽ chư ùa nh o ùm con tối đại. Từ đó, ta đi đến kết luận là nếu F là trườn g đòa phươn g
hoặc trư ơ øn g toàn cục thì F
∗
sẽ có nhóm con tối đại vì các đại số Brauer của F trong
trường hợp này đều cyclic. Sau đó, ta sẽ khảo sát tiếp các trường hợp tồn tại nhóm
con tối đại trên trường F và thấy rằng nếu Br
p
(F ) không tầm thường, với p là số
nguyên tố, thì khi F có đặc trưng 0, có đặc trưng p hay có đặc trưng khác p nhưng
chứa tất cả các nghiệm cấp p của 1 thì F
∗
chứa nho ùm con t o ái đại.
Mở rộng kết quả đạt được cho trường, ta sẽ thiết lập sự liên hệ nhóm con tối đại
trên trường với nhóm con tối đại chuẩn tắc trên đại số chia D nhận F làm tâm. Mở
đầu ta sẽ được kết quả, nếu D là vành chia type 2 và F có một valuation rời rạc thì
trong D
∗
sẽ tồn tại nhóm con tối đại, từ đó ta suy ra rằng nếu D là F -đại số chia

3
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 4 Chuyên ngành Toán Đại số
hữu hạn chiều th ì D
∗
cũng có nhóm con tối đại. Sau đó, kết quả sẽ được phát trie ån
thành F chỉ cần có Krull valuation và nhóm giá trò của nó có nhóm con tối đại , khi
đó mo ïi đại số chia hữu hạn chiều D trên trường F đều có nhóm con chuẩn tắc tối
đại. Từ tính chất này, ta có thể kết luận là trong mọi đại số chia D có tâm F với F
là trường số học hay trường đòa phương đều tồn tại nhóm con chuẩn tắc tối đại. Tiếp
theo, t a sẽ xét trường hợp cụ the å với D là vành chia quaternion thực. Khi đó trong
D
∗
không tồn tại nhóm con chuẩn tắc tối đại. Tuy nhiên nếu D là vành chia kho ân g
giao hoán t h ì D được xem là Z (D) đại số chia nên đươ ïc dự đoán là sẽ tồn tại nhóm
con tối đại trong D
∗
. Cuối cùng ta se õ đi đến đònh lý, với D là vành chia hữu hạn
chiều trên tâm F , nếu nhóm G (D) không cyclic thì mọi phần tử của D
∗
được chứa
trong một nhóm con chuẩn tắc tối đại; còn ngược lại, nếu F
∗
tồn tại nhóm con tối
đại chứa Z (D

) thì mọi phần tử của D
∗
cũng đươ ïc chứa trong một nhóm con chuẩn
tắc tối đại nào đó.
Để thực hiện cụ thể các ý tưởng trên, phần còn lại của lu ận văn này được chia

thành các phần cụ thể sau:
Chương 2: Chúng tôi khảo sát một số kiến thức cơ bản sau:
Phần 2.1: Phần này sẽ trình bày về các đònh nghóa và tính chất của ánh xạ
valuation trên trường, cụ thể là về Krull valuation, valuation rời rạc, và p-adic valuation.
Phần 2.2: Chún g tôi sẽ khảo sát về đại số chia và vành chia cùng một số tính
chất có liên quan của các nhóm nhân hoán tử, cộng hoán tử của vành chia.
Phần 2.3: C h u ùn g tôi sẽ tìm hiểu sơ lược về các n h o ùm chia được, nhóm torsion
và sự tồn tại của nh o ùm co n to ái đại tr e ân nh o ùm chia được.
Phần 2.4: Chúng tôi ở phần này sẽ tìm hiểu cụ thể về nhóm Brauer trên trường
F và các tính chất của nó, mối liên hệ của các đại số Brauer với các F-đại số trung
tâm đơn và thành lập các đại so á Brauer cho trường mở rộng E của F . Và sau đó,
chúng t o âi sẽ tìm cách thành lập các F -đại số chia cyclic và một số t í n h chất của
chúng.
Chương 3: Dựa vào các kết quả đạt được ở những phần trên, chúng tôi sẽ tiến
hành khảo sát sự tồn tại của các nhóm con chuẩn tắc tối đại trên trường F và các
đại số chia tâm F như ý tưởng đã đề ra.
Cuối cùng là phần kết luận cho luận văn và danh mục các tài liệu tham khảo.
Luận văn này được thực hiện dựa trên bài báo [1], nhưng các kết quả trong [1]
lại được trì n h b ày khá vắn tắt. Do đó, trong luận văn này, chúng tôi sẽ chứng minh
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 5 Chuyên ngành Toán Đại số
và kiểm tra mọi thứ một cách chi tiết, rõ ràng và hợp lý nhất.
Chương 2
KIẾN THỨC CƠ BẢN
2.1 Ánh xạ Valuation
Đònh ngh ó a 2.1.1. Cho G là m o ät nhóm có thứ tự, ta gọi G ∪ {∞} là một nhóm xạ
ảnh với kí tự ∞ nếu nó thõa điều kiện sau:
a) ∀a ∈ G, a < ∞;
b) ∀a ∈ G, a + ∞ = ∞ + a = ∞.
Đònh nghóa 2.1.2 . Cho F là m o ät trườn g và G ∪ {∞} l à một nhóm thứ tự xạ ảnh .
Ánh xạ υ : F → G ∪ {∞} được gọi là Krull valuation nếu nó thõa các điều kiện:

a) υ (x) = ∞ nếu và chỉ nếu x = 0;
b) υ (xy) = υ (x) + υ (y), với mọi x, y ∈ F;
c) υ (x + y)  mi n (υ (x) , υ (y)), với mọi x, y ∈ F .
Im (υ) được gọi là nhóm giá trò.
Hệ quả 2.1.3. Cho υ : F → G ∪ {∞} là một Kru ll valuation, khi đó ta có các tính
chất sa u :
a) υ (1) = 0;
b) υ

a
−1

= −υ (a), với mọi a ∈ F ;
c) υ (−a) = υ (a) ;
6
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 7 Chuyên ngành Toán Đại số
d) Nếu υ (a) = υ (b) thì υ (a + b) = min (υ (a) , υ (b)) với mọi a, b ∈ F .
Chứng minh. (a) Ta có
υ (1) = υ (1.1) = υ (1) + υ (1) ,
suy ra
υ (1) = 0.
(b) Vì a.a
−1
= 1 nên
υ

a.a
−1

= υ (a) + υ


a
−1

= υ (1) = 0,
và vì vậy
υ

a
−1

= −υ (a) .
(c) Do
υ (1) = 0
nên
υ (1) = υ ((−1) . (−1)) = υ (−1) + υ (−1) = 0.
Thành thử
υ (−1) = 0
và do đó
υ (−a) = υ (−1) + υ (a) = υ (a) .
(d) Giả sử a, b ∈ F sao cho υ (a) = υ (b). Không mất tính tổng quát, giả sử
υ (a) < υ (b). Nếu υ (a + b) = min (υ (a) , υ (b)), nghóa l à υ (a + b) > min (υ (a) , υ (b)),
thì υ (a + b) > min (υ (a) , υ (b)) > υ (a). Suy ra
υ (a) = υ (a + b − b)  min {υ (a + b) , υ (b)} > υ (a) .
Điều này là vô lý nên
υ (a + b) = min (υ (a) , υ (b)) .
Đònh nghóa 2.1.4. Cho υ : F → G ∪ {∞}, U được gọi là nhóm chứa tất cả các phần
tử đơn vò của valuati o n υ nếu nó có dạng
U = {a ∈ F, υ (a) = 0} .
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 8 Chuyên ngành Toán Đại số

Đònh nghóa 2.1.5 . Giá trò tuyệt đối trên trường F là một ánh xạ x → |x| từ F vào
tập các số thực, sao cho với mọi x, y ∈ F,
a) |x|  0, đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x = 0;
b) |xy| = |x| |y|;
c) |x + y|  |x| + |y|.
Giá trò tuyệt đối được gọi là phi Archimed nếu c được thay bằng đie àu ki e än mạnh
hơn,
c') |x + y|  max (|x| , |y|)
Ngược lại t a go ïi F là Archimed
Đònh ngh ó a 2.1.6 . Valuation rời rạc của F là một ánh xạ υ : F → Z ∪ {∞}, sao cho
với mọi x, y ∈ F , ta có:
a) υ (x) = ∞ nếu và chỉ nếu x = 0;
b) υ (xy) = υ (x) + υ (y), với mọi x, y ∈ F;
c) υ (x + y)  mi n (υ (x) , υ (y)), với mọi x, y ∈ F .
Một valu at i o n rời rạc sẽ cảm sinh một giá trò tuyệt đối phi archimed bởi công thức
|x| = c
υ(x)
với c là hằng số và 0 < c < 1.
Đònh nghóa 2.1.7. F là trường đầy đủ và có valuation rời rạc được gọi là trường đòa
phương nếu và ch ỉ nếu trường của các lớp thặng dư của nó là hữu hạn.
Đònh nghóa 2.1.8. Cho A là một vành có đơn vò. Ánh xạï
ω : A → R
+
= {r ∈ R : r  0}
được gọi là chuẩn nếu nó thỏa các điều kiện sau:
a) ω (x) = 0 nếu và chỉ nếu x = 0,
b) ω (xy) = ω (x) ω (y) , ∀x, y ∈ A,
c) ω (x + y)  ω (x) + ω (y) , ∀x, y ∈ A.
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 9 Chuyên ngành Toán Đại số
Điều kiện (c) được gọi là bất đẳng thức tam giác.

• ω được gọi là nư ûa chu ẩn ne áu điều kiện (a) và (b) được thay thế bằng các điều
kiện sau:
a') ω (1) = 1,
b') ω (xy)  ω (x) ω (y) , ∀x, y ∈ A.
• ω được gọi là non-Archimedian nếu điều kiện (c) được thay thế bằng điều kiện
c') ω (x + y)  max {ω (x) , ω (y)} , ∀x, y ∈ R.
Đònh nghóa 2.1.9. C h o 0 = x ∈ Z, p-adic valuation của x được đònh ngh ó a bởi công
thức
υ
p
(x) = m ax {r : p
r
|x}  0.
Đặc biệt
υ
p
(0) = ∞.
Đònh nghóa 2.1.10. Cho a/b ∈ Q. Khi đó, p-adic valuation của a/b được cho bởi
υ
p

a
b

= υ
p
(a) − υ
p
(b) .
Đònh nghóa nêu trên là đònh nghóa tốt, nghóa l à nếu

a

b

=
a
b
thì υ
p

a
b

= υ
p

a

b


.
Chứng minh. Ta có
a
b
=
k
1
p
r

k
2
p
t
=
a

b

=
l
1
p
r

l
2
p
t

với r, t, r

, t

là số mũ cao nhất của p trong a, b, a

, b

. Suy ra
gcd(k

1
, p) = gcd(k
2
, p) = gcd(l
1
, p) = gcd(l
2
, p) = 1.
Từ đó dẫn đến
k
1
k
2
=
l
1
l
2
và
p
r
p
t
=
p
r

p
t


hay
p
r−t
= p
r

−t

.
Từ đó ta được
υ
p
(a/b) = υ
p
(a

/b

).
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 10 Chuyên ngành Toán Đại số
Bổ đề 2.1.1 1 . Cho x , y ∈ Q. Khi đó υ
p
có các tính chất sau:
a) υ
p
(x) = ∞ nếu và chỉ nếu x = 0;
b) υ
p
(xy) = υ
p

(x) + υ
p
(y);
c) υ
p
(x + y)  min {υ
p
(x) , υ
p
(y)}, đẳng thức xảy ra nếu υ
p
(x) = υ
p
(y)
Chứng minh.
(a) Hiển nhiên.
(b) Ta có
υ
p
(xy) = υ
p

m
n
p
r
.
m

n


p
l

= r + l = υ
p
(x) + υ
p
(y) .
(c) Cho x, y là các số hữu tỷ khác 0. Đặt
x = p
r
a
b
, y = p
s
c
d
với a, b, c, d ∈ Z, p không là ước của a, b, c, d, và r, s ∈ Z. Nếu r = s thì
x + y = p
r

a
b
+
c
d

= p
r

(ad + bc)
bd
từ đó ta được υ
p
(x + y)  r vì p không là ước của bd.
Giả sử r = s, khôn g mất tính tổng quát ta cho s > r. Khi đó
x + y = p
r

a
b
+ p
s−r
c
d

= p
r

ad + p
s−r
bc

bd
.
Do s − r > 0 và p không là ước của a.d nên
υ
p
(x + y) = r = min {υ
p

x, υ
p
y} .
Đònh nghóa 2.1.12. Cho x ∈ Q, chuẩn p-adic của x đònh nghóa bởi công thức
|x|
p
=



p
−υ
p
x
(x = 0)
p
−∞
(x = 0)
.
Bổ đề 2.1.1 3 . Hàm |.|
p
: Q → R
+
có các tính chất
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 11 Chuyên ngành Toán Đại số
a) |x|
p
= 0 nếu va ø chỉ nếu x = 0,
b) |xy|
p

= |x|
p
|y|
p
,
c) |x + y|
p
 max

|x|
p
, |y|
p

, đẳng thức xảy ra nếu |x|
p
= |y|
p
Từ các điều kiện trên, ta thấy |.|
p
là một chuẩn phi Archimed trên Q.
Chứng minh. Xin tham khảo trong [ 4] Bổ đề 2.6.
Đònh nghóa 2.1.14. F là trường to àn cục nếu nó là trường số học (mở rộng hữu hạn
trênQ) hoặc là trường đa thức một biến trên trường hữu hạn (mở rộng hữu hạn của
F
q
(T ) với q nào đó).
2.2 Đại số chia và vành chia
Đònh nghóa 2.2.1 . Cho F là một tr ư ơ øn g , A là khôn g gian vector tre ân trường F với
phép toán hai ngôi từ A × A → A, kí hiệu là ".". Khi đó, A được gọi là một F -đại số

nếu với mọi x, y, z ∈ A và với mọi a, b ∈ F , ta được
a) (x + y) .z = x.z + y.z;
b) x. (y + z) = x.y + x.z;
c) (a.x) . (b.y) = (a.b) (x.y) .
Hai đại số (A, .) và (B, .) trên F gọi là đẳng cấu ne áu tồn tại ánh xạ ϕ : A → B sao
cho với mọi x, y ∈ A,
ϕ (x.y) = ϕ (x) ϕ (y) ;
ϕ (x + y ) = ϕ (x) + ϕ (y) ;
ϕ (nx) = nϕ (x ) .
Đònh nghóa 2.2.2. Cho A là đại số trên F . A được gọi là
a) thay phiên nếu x (xy) = (xx) y và x (yy) = (xy) y với mọi x, y ∈ A,
b) kết hợp nếu x (yz) = (xy ) z với mọi x, y, z ∈ A,
c) giao hoán nếu xy = yx với mọi x, y ∈ A,
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 12 Chuyên ngành Toán Đại số
d) unital nếu tồn tại phần tử đơn vò 1 ∈ A sao cho x1 = 1x = x với mọi x ∈ A.
Nếu A là unital thì phần tử đơn vò 1 là duy nhất.
Hệ quả 2.2.3. A là đại số có đơn vò trên F thì F thuộc tâm của A.
Chứng minh. Hiển nhiên.
Đònh nghóa 2.2.4. Đại số A trên F được gọi là đại số chia nếu A khác không và
xy = 0 thì x = 0 hoặc y = 0 với mọi x, y ∈ A.
Hệ quả 2.2.5. A là một đại số trên trươ øng F . A là đại số chia nếu va ø chỉ nếu A
khác không và với mọi a, b ∈ A, a, b khác không, phương trình bx = a và yb = a có
duy nhất nghiệm x, y ∈ A.
Chứng minh. (⇒) Cho b ∈ A, b = 0, và cho ϕ : A → A là ánh xạ tuyến tính đònh
nghóa bởi co ân g thư ùc ϕ (x) = bx. Nếu A là F - đại số chia thì ker (ϕ) = {0} nên ϕ là
đơn ánh, mà A có số chiều hữu hạn trên F nên suy ra ϕ là song ánh. Do đó phương
trình bx = a có duy nhất nghiệm. Tương tư ï, ta cũng chứng minh đư ơ ïc phương trình
yb = a cũn g có duy nhất nghi e äm q u a ánh xạ y → yb .
(⇐) Giả sư û xy = 0. Nếu x = 0 thì chứng minh hoàn tất. Ngược lại, nếu x = 0, thì
tồn tại duy nhất y ∈ A sao cho xy = 0, mà x0 = 0 nên y = 0. Vậy A là đại số chia.

Bổ đề 2.2.6 . Cho A là đại số chia trên F , nếu A là thay phiên thì A là unital.
Chứng minh. Ch o b ∈ A và b = 0. Do A là đại số chia nên phương trình yb = b
có nghiệm duy nhất là y = 1. Hơn nữa, 1 (1b) = 1b. Vì A là thay phiên nên 1
2
b = 1b
suy ra

1
2
− 1

b = 0 và do đó 1
2
= 1.
Ta lại có 1 (1x − x) = 1
2
x − 1x = 0. Do 1 = 0 nên 1x − x = 0, suy ra 1x = x. Tương
tự ta được x1 = x với mọi x ∈ A. Do đó A là unital.
Đònh ngh ó a 2.2.7. Valuatio n của đại số chia D là ánh xạ υ : D
∗
→ R thõa các tính
chất:
a) υ (ab) = υ (a) + υ (b) ;
b) υ (a + b)  min (υ (a) , υ (b)) .
Đònh ngh ó a 2.2.8 . D được gọi là vàn h chia nếu nó l à unit al và với mọi a ∈ D khác
không, tồn tại x ∈ D sao cho xa = ax = 1.
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 13 Chuyên ngành Toán Đại số
Hệ quả 2.2.9. Cho D là vành chia, cho x là phần tử khác không trong D, nếu
xy = zx = 1
thì

y = z
.
Chứng minh. Ta có xy = 1 nên zxy = z, vậy y = z.
Hệ quả 2.2.10. Nếu D là đại số chia và là unital thì D là vành chia.
Chứng mi nh . Do D là đại số chia nên theo Hệ quả 2.2.5, phương trình xy = 1 có
duy nhất nghiệm t r e ân D. Áp dụng Hệ quả 2.2.9, ta đư ơ ïc xy = yx = 1, vậy D là vành
chia.
Đònh nghóa 2.2.11. Cho D là vành chia, ta đặt
a) nhân hoán tử của D là phần tử có dạng x
−1
y
−1
xy với x, y ∈ D
∗
;
b) cộng hóa tử của D là các phần tử có dạng ab − ba với a, b ∈ D.
Tập gồm các nhân hoán tử của D kí hiệu là D

.
Đònh lý 2.2.12. (Đònh lý Wedderburn "nhỏ") Nếu D là một vành chia hữu hạn phần
tử thì D là trường.
Chứng minh. Xin tham khảo trong [2] trang 214.
Bổ đề 2.2.1 3 . Mọi vành con hữu hạn của vành chia D đều là trường.
Chứng minh. Áp du ïn g Đònh lý Weddernburn "nhỏ" ta suy ra được điều cần chứng
minh.
Bổ đề 2.2.14. Nếu D là một vành chia có đặc trưng p > 0 và G là nhóm con hữu
hạn của D
∗
, thì G là cyclic.
Chứng minh. Do D có đặc trưng p, đặt F = F

p
là trường có cấp p trong D. Đặt
K =


α
i
g
i
: α
i
∈ F,g
i
∈ G

vì G, F có hữu hạn phần tử nên K là một vành hữu hạn, suy ra K là trường. Vì G
là nhóm con của K
∗
nên G là cyclic.
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 14 Chuyên ngành Toán Đại số
Bổ đề 2.2.15. Cho D là va ønh chia, nếu phần tử y ∈ D giao hoán với tất cả các phần
tử cộng hoán tử trong D thì y ∈ Z (D).
Chứng minh. Giả sử tồn tại y ∈ D giao hoán với các phần tử cộng hoán tử của
D nhưng y /∈ Z (D), nghóa là tồn tại x ∈ D sao cho xy − yx = 0. Mà
x (yx − xy) = (xy) x − x (xy)
nên suy ra (xy) x − x ( xy) và xy − yx là các phần tử cộng hoán tử nên giao hoán với
y. Thành thử
y (xy − y x) = (xy − yx) y;
yx (yx − xy) = x (yx − xy) y.
Vì vậy nên ta được

yx (yx − xy) = xy (yx − xy) .
Do đó xy = xy, điều này mâu thuẫn , vậy y ∈ Z (D).
Bổ đề 2.2.16. Nếu D là F - đ a ïi số chia, thì với mọi x ∈ D
∗
, tồn tại số nguyên dương
n(x) sao cho x
n(x)
= rc, với r ∈ F và c ∈ D

.
Chứng minh. Xin tham khảo trong[10].
Bổ đề 2.2.1 7 . Cho D là một vành chia, ta đònh nghóa
Z (D) = {x ∈ D|xy = yx, ∀ y ∈ D}
gọi là tâm của D. Nếu D là vành chia không giao hoán thì D được sinh bởi các
phần tử cộng hoán tử và Z (D). Nói cách khác D được sinh ra như một Z (D) - đại
số chia bởi tất cả các phần tử cộng hoán tử.
Chứng minh. Nếu x /∈ Z (D) thì xy − yx = 0. Mà
x (xy − yx) = x (xy) − (xy) x
là phần tử thu o äc nhóm cộng hoán tử của D, suy ra
x = (x (xy) − (xy) x) (xy − yx)
−1
thuộc ve à nhóm cộng hoán tử của D. Vậy D là Z (D) - đại số chia sinh bởi tất cả các
phần tử cộng h o án tử.
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 15 Chuyên ngành Toán Đại số
Bổ đề 2.2.18. D
∗
= D\ {0}, nếu M là nhóm con chuẩn tắc tối đ a ïi của D
∗
thì
D

∗
/M
∼
=
Z
p
, với p là số nguyên tố.
Chứng minh. Vì M là nhóm con chuẩn tắc của D
∗
nên D
∗
/M có dạng
D
∗
/M =

M, xM, x
2
M, , x
n
M,

với x ∈ D
∗
\M. Gọi y là phần tử khả nghòch của x tron g D
∗
, nghóa là xy = yx = 1 và
y /∈ M. Do M là n h o ùm con tối đại của D
∗
nên

x, M = D
∗
,
vì thế
y = x
n
m,
với n là số tự nhiên dương và m ∈ M. Vậy
xy = 1 = x
n+1
m,
do đó
x
n+1
= m
−1
∈ M.
Từ điều trên ta được
D
∗
/M =

M, xM, x
2
M, , x
n
M

có n+1 phần tử.
Bây giờ ta sẽ chứng minh D

∗
/M
∼
=
Z
p
với p nguyên tố, nghóa là chứng minh
n + 1 = p.
Giả sử n + 1 không l à số nguyên tố, gọi k là ước thật sự của n + 1, nghóa là
t.k = n + 1 với k là số nguyên dương. Vậy

x
t
, M

= D
∗
,
do đó ta có
D
∗
/M =

M, x
k
M, x
2k
M, , x
k(t−1)
M


có t phần tử, suy ra t = n + 1, vậy t = kt, vì vậy k = 1, vô lý. Cho nên n + 1 = p l à số
nguyên tố. Từ đó ta được
D
∗
/M =

M, xM, x
2
M, , x
p−1
M

∼
=
Z
p
.
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 16 Chuyên ngành Toán Đại số
2.3 Nhóm chia được
Đònh nghóa 2.3.1. G được gọi là nhóm chia được nếu với mọi x ∈ G và với mọi số
nguyên dương n, tồn tại y ∈ G sao cho ny = x.
Bổ đề 2.3.2 . a) Tích các nhóm chia được là chia được.
b) Tổng trực tiếp các nhóm chia được là chia được.
c) Ảnh đồng cấu các nhóm chia được là chia được.
Chứng minh. (a) Cho x = (x
α
) ∈

G

α
, với G
α
chia được. Mỗi hệ số x
α
được chia bởi số nguyên dương n, nghóa là tồn tại y
α
sao cho ny
α
= x
α
. Do đó,
(ny
α
) = n (y
α
) = (x
α
) = x. S u y ra

G
α
chia được.
(b) Chứng minh tương tự (a).
(c) Cho f là một đồng cấu, đặt y = f(x) với x ∈ G, do G chia được nên tồn tại
z ∈ G sao cho nz = x. Suy ra, y = f(x) = f(nz) = nf(z), vậy f(G) chia được.
Bổ đề 2.3.3 . Cho G là nhóm giao hoán. Khi đó,
(a) G không có nhóm con tối đại khi và chỉ khi G chia được, khi và chỉ khi G = G
p
(G là p-chia được), với mọi p là số nguyên tố.

(b) Nếu G không tầm thường và có số mũ bò chặn, nghóa là G
n
= 1 thì G không
chia đư ơ ïc (nên có nhóm con tối đại).
Chứng minh.(i) Nếu G có nhóm con tối đại M, t h ì G/M kh o ân g có nhóm con thật
sự. Vì vậy, |G/M | = p, với p là số ngu ye ân t o á. Từ đó, G
p
⊆ M ⊂ G , n e ân G là p-chia
được. Ngược lại, Nếu G = G
p
, nghóa là G/G
p
là khôn g gian vector không t ầm thường
trên trường Z/pZ; vì thế G/G
p
là không g i an vector tối đại thực sự. Từ đó, ta suy ra
tồn tại một nhóm con tối đại thực sự trên G.
(ii) Giả sử G không tầm thường và G
n
= 1 thì G có phần tử cấp nguyên tố p với
p là ước của n. Nếu G chia được, nghóa là G = G
p
, từ đó G sẽ có phần tử cấp p
m
với
mỗi số dương m, do G
n
= 1 nên điều này là vô lý, vậy G không chia được.
Bổ đề 2.3.4. Cho G là nhóm nhân abelian và M là nhóm con tối đại của G. Nếu
M chia được thì M là nhóm con tối đại duy nhất của G.

Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 17 Chuyên ngành Toán Đại số
Chứng minh. Giả sử tồn tại M
1
= M là nhóm con tối đại của G. Do M, M
1
là
các nhóm con tối đại nên ta được G = MM
1
và do đó G/M
1
∼
=
M/M ∩ M
1
, nghóa
là M ∩ M
1
là nhóm con tối đại của M. Vì M chia được nên M ∩ M
1
= 1. Do đó
G/M
1
∼
=
M
∼
=
C
p
, với p là số nguyên tố và C

p
là nhóm cycli c có p phần tử. Điều này
là vô lý vì nhóm có hữu hạn phần tử là không chia được, do đó M = M
1
.
Đònh ngh ó a 2.3.5. G được gọi là n h o ùm torsio n nếu mọi phần tử của G có cấp hữu
hạn.
Hơn nư õa, nếu mọi phần tử của G có cấp hữu hạn và bò chặn thì ta no ùi G là nhóm
torsion có số mũ bò chặn.
Đònh lý 2.3.6. (Đònh lý Baer-Prufer) Cho G là nhóm abelian. Các phần tử của G
có số mũ bò chặn nếu và chỉ nếu G là tổng trực tiếp của các nhóm cyclic có cấp
hữu hạn.
Chứng minh. xin tham khảo trong [9] Đò n h lý 4.3.5 trang 105.
2.4 Nhóm Brauer
Đònh ngh ó a 2.4.1. Cho F là trường và A, B là các F - đại số có đơn vò. Khi đó tích
tensor của A và B, kí hiệu A ⊗
F
B, là một F - đại số được si n h bởi các phần tử có
dạng a ⊗ b, với a ∈ A, b ∈ B và thõa các tính chất:
a) λ (a ⊗ b) = (λa) ⊗ b = a ⊗ (λb) ;
b) (a ⊗ b) + (d ⊗ b) = (a + d) ⊗ b và (a ⊗ b) + (a ⊗ c) = a ⊗ (b + c) ;
c) (a ⊗ b) (d ⊗ c) = ad ⊗ bc;
với mọi a, d ∈ A, b, c ∈ B và λ ∈ F .
Cho A là m o ät F -đại số có đơn vò và E là trường mở rộng trên F thì A ⊗
F
E là
một E- đại số với phép toán nhân được đònh nghóa như sau:
x



a
i
⊗ b
i

=

(a
i
⊗ (xb
i
))
với x, b
i
∈ E vàa
i
∈ A. Tính chất n ày cho phép ta hì n h thành một E- đại số một
cách trực tie áp nh ất đối với mọi mở rộng của trường F.
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 18 Chuyên ngành Toán Đại số
Bổ đề 2.4.2. Cho M
i
(F ) là F -đại số với M
i
(F ) là các ma trận có kích thước i × i
trên trường F , khi đó
M
n
(F ) ⊗
F
M

m
(F )
∼
=
M
mn
(F )
với mọi m, n > 0.
Chứng minh . Xin tham khảo trong [6], B o å đề 1.2.
Bổ đề 2.4.3. A là một F -đại so á hữu hạn chiều và có đơn vò, nếu A là một không
gian vecto r n chiều trên F thì A ⊗
F
E cũng là một không gian vector n chiều trên
E với E là trường mở rộng trên F .
Chứng minh. Cho S = {a
i
, i = 1 n} là mo ät cơ sở của A t r e ân F thì S

=
{a
i
⊗ 1, i = 1 n} cũng là một cơ sở của A ⊗
F
E trên E nên số chiều của A tre ân
F và của A ⊗
F
E trên E là bằng nhau.
Bổ đề 2.4.4 . Nếu n là số nguyên dương và E là trường mở rộng trên F thì
M
n

(F ) ⊗ E
∼
=
M
n
(E) .
Chứng minh. xin tham khảo trong [6] t r an g 2.
Đònh nghóa 2.4.5. Cho A là một F -đại so á có đơn vò, ta nói, A là mo ät đại số Brauer
nếu và chỉ nếu A ⊗
F
E
∼
=
M
n
(E) với E là mở rộng Galois nào đó của F .
Bổ đề 2.4.6 . Nếu A là một đại số Brauer cu ûa F thì A có hữu hạn chiều trên F .
Chứng mi nh . Do A là một đại số Brauer nên tồn tại một mở rộng Galois E và
một số n > 0 sao cho
A ⊗
F
E
∼
=
M
n
(E) .
Theo Bổ đề 2.4.4, số ch i e àu của A như một không gian vector trên F bằng vơ ùi số
chiều của A ⊗
F

E như một E không gi an vector , vì A ⊗
F
E
∼
=
M
n
(E) nên A ⊗
F
E
có số chiều là n
2
, suy ra A cũng có số chiều là n
2
nên hữu h ạn chiều.
Cho A là F - đại số hữu hạn chiều và có đơn vò, ta có các đònh nghóa sau.
Đònh nghóa 2.4.7. A là F -đại số đơn nếu nó chỉ chư ùa hai ideal hai phía là 0 và A.
Đònh nghóa 2.4.8. A là F -đại số trung tâm nếu tâm của nó là F ; là F -đại số tru ng
tâm đơn nếu nó vừa là F -đại số đơn, vừa là F-đại số trung tâm.
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 19 Chuyên ngành Toán Đại số
Đònh lý 2.4.9. Tích tensor của các F -đại số trung tâm đơ n là một F -đại so á trung
tâm đơn.
Chứng minh. Xin tham khảo trong [ 6].
Đònh lý 2.4.10. Cho A là một F-đại số hữu hạn chiều có đơn vò, khi đó A là đại số
trung tâm đơn nếu và chỉ nếu tồn tại một trường mở rộng Galois hữu hạn chiều E
trên trường F sao cho với số n > 0 nào đó, ta có
A ⊗
F
E
∼

=
M
n
(E) .
Chứng minh. Xin tham khảo trong [ 6] Đònh lý 2.6.
Bổ đề 2.4.11. A là F -đại số hữu hạn chiều có đơn vò, A là một đại số Brauer nếu
và chỉ nếu A là đại số trung tâm đơn hữu hạn chiều.
Chứng minh . A là một đại số Brau e r nên theo đònh nghóa ta được A ⊗
F
E
∼
=
M
n
(E), với E là mở rộn g hữu hạn trên F , áp dụïng Đònh lý 2.4.11, A là đại số trung
tâm đơn hữu hạn chiều. Ngược lại, nếu A là đại số trung tâm đơn hữu hạn chiều thì
tồn tại một mở rộng Galois hữu hạn chiều E trên F sao ch o A ⊗
F
E
∼
=
M
n
(E), từ
đó A là một đại số Brauer.
Cho A, B là các F -đại số trung tâm đơn. A và B là tương đương (A ∼ B) nếu
A ⊗ M
n
(F )
∼

=
B ⊗ M
m
(F ) với m, n nào đó. Cho Br (F ) là tập hợp tất cả các F -đại
số trung tâm đơn với modulo theo quan h e ä ∼, đây là quan hệ tương đương. Theo
đònh lý 2.4.10, A ⊗
F
B là F -đại số trung t âm đơn. Hơn nữa ta có thể đònh nghóa
phép nhân tro n g Br (F ). Nếu A ∼ A

và B ∼ B

thì A ⊗
F
B ∼ A

⊗
F
B

. Ta lại có
A ⊗
F
M
n
(F ) ∼ A và M
n
(F ) ∼ M
n
(F ) với mọi m, n >) nên M

n
(F ) là phần tử trung
hòa với mọi n, và A ⊗
F
A
opp
∼ M
n
(F ) với A
opp
là tập hợp đối của A (t h am khảo [5] ) ,
do đó Br (F ) là một n h o ùm .
Đònh ngh ó a 2.4.12. Nhóm gồm các lớp tương đương của các F-đại số tr u n g tâm đơn
như trên với phép toán nhân được gọi là nhóm B ra u er của F. Kí hiệu là Br(F ).
Đònh lý 2.4.13. (Đònh lý Wedderbu rn) Nếu A là một F -đại số đơn hữu hạn chiều
thì tồn tại một đại số chia hữu hạn chiều (như một F -không gian vector) và số n
dương sao cho A
∼
=
M
n
(D). Hơn nữa, D và n là duy nhất.
Chứng minh. Xin tham khảo trong [ 6] đònh lý 2.5.
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 20 Chuyên ngành Toán Đại số
Đònh lý 2.4.14. Nếu F là một trường đóng đại số thì Br (F ) là nhóm tầm thường.
Chứng mi nh . Cho D là một đại số chia hữu hạn chiều trên F. Giả sử D = F , lấy
phần tử d trong D/F . Do D là một F-không gian vector hữu hạn chiều nên tập hợp
vô hạn phần tử

1, d, d

2
,

phụ thuộc t u ye án tín h , ngh ó a là tồn tại hàm số f ∈ F [x]
sao cho f (d) = 0. Nhưng do F là một trường đóng đại số nên d ∈ F , điều này mâu
thuẫn với g i ả thuyết. Vậy k h o ân g to àn t ại đại số chia hữu hạn chiều chứa F thật sự.
Bây giờ, ta cho C là một đại số trung tâm đơn hữu hạn chiều tr e ân F . Theo Đònh
lý Wedder b u r n , tồn tại một đại số chia hữu hạn chiều trên F sao cho C
∼
=
M
n
(D),
với n > 0. Nhưng D không là đại số chia thật sự, nghóa là D = F nên C
∼
=
M
n
(F ),
suy ra Br (F ) là tầm thường.
Bổ đề 2.4.1 5 . Cho F là một trường. Khi đó mỗi lớp tương đương của nhóm Br(F )
chứa đúng một F -đại số chia (theo phép đa úng cấu ) .
Chứng minh. Cho R là một F -đại số, xét đồng cấu
m : R ⊗ M
n
(F ) → M
n
(R)
cho bởi công thức
m



r
i
⊗ A
i

=

r
i
A
i
,
ta có thể kiểm tra rằng đây là m o ät đẳng cấu, nên suy ra
R ⊗ M
n
(F )
∼
=
M
n
(R) .
Bây giờ ta sẽ chứng minh mỗi lớp tương đương của nhóm Brauer chỉ chứa duy
nhất mo ät đại số chia. Giả sử D
1
, D
2
là 2 đại số chia trong cùng một lớp tương đương
của nhóm Brauer, ta có

D
1
⊗
F
M
m
(F )
∼
=
D
2
⊗
F
M
n
(F )
với m, n > 0 nào đó. Vì vậy ta suy ra
M
m
(D
1
)
∼
=
M
n
(D
2
) .
Do D

1
, D
2
là các đại số Brauer nên cũng là các F -đại số trung tâm đơn hữu hạn
chiều. Áp dụng Đònh lý Wedderburn ta được n = m mà D
1
∼
=
D
2
.
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 21 Chuyên ngành Toán Đại số
Để ho àn tất chứng minh, ta sẽ chứng minh sự tồn tại của các đại số chia trong
mỗi lơ ùp tươn g đương của nho ùm Braue r . Cho A là một đại số Brauer. Theo Đònh lý
Wedderburn, A
∼
=
M
n
(D), với D là một đại số chia hữu hạn chiều trên F . Mà
M
n
(D)
∼
=
D ⊗ M
n
(F )
nên D ⊗ M
n

(F ) đẳng cấu với A. Do A, M
n
(F ) là các đại số Brauer và nhóm Brauer
là một nhóm theo phép toán tích tensor nên D cũng là một đại số Brauer, hơn nữa
D ∼ A.
Bổ đề 2.4.16. Cho A là một F -đại số trung tâm đơn, và E/F là trường mở rộng .
Khi đó A ⊗
F
E là E-đại số trung tâm đơ n.
Chứng minh. Xin tham khảo trong [ 6], B o å đề 2.7.
Cho E/F là một mở rộng trường, đònh nghóa ánh xa Br (F ) → Br (E) cho b ơ ûi
công th ư ùc A → A ⊗
F
E. Đây là đònh nghóa tốt vì (A ⊗
F
M
n
(F )) ⊗
F
E
∼
=
A ⊗
F
M
n
(E)
và đây là một đồng cấu vì (A ⊗
F
E) ⊗

E
(A

⊗
F
E)
∼
=
(A ⊗
F
A

) ⊗
F
E.
Đònh nghóa 2.4.17. Ta gọi Br(E/F ) là nhân của ánh xạ Br (F ) → Br (E). Một phần
tử A của Br(F ) là tách được trên E nếu nó thuộc Br(E/F ), nghó a là A ⊗
F
E là một
ma trận trên E.
Đònh nghóa 2.4.18. Cho E/F là mở rộn g cyclic (Galois), Gal (E/F ) = σ và dim
F
E =
n. Lấy một phần tử a khác không trong F và một kí tự x, đặt
D = E.1 ⊕ E.x ⊕ ⊕ E.x
s−1
,
với phép nhân t r o n g D thỏa qui tắc
x
n

= a,
x.b = σ (b) x (∀b ∈ E) .
Đây là F -đại số đươ ïc kí hiệu là (E/F, σ, a) được gọi là đại số cyclic liên kết của
(E/F, σ) với a ∈ F \ {0} .
Đònh lý 2.4.19. Cho D = (E/F, σ, a), ta có các tính chất,
a) D là F -đại số trung tâm đơn.
b) C
D
(E) = E với C
D
(E) là tâm của E trên D.
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 22 Chuyên ngành Toán Đại số
c) E là trường con tối đại của D.
Chứng minh. (a) Cho I là mo ät Ideal 2 phía khác không trong D, chọn phần tử
z = 0,
z = b
i
1
x
i
1
+ + b
i
r
x
i
r
∈ I (b
i
∈ E, 0 ≤ i

1
< < i
r
< n − 1)
với r là chỉ số nhỏ nhất có thể. Vì thế, các b
i
j
= 0 nên b
i
j
là phần tử khả nghòch trong
E (do đó cũng khả nghòch trong D). Giả sử r = 1, ta có x là phần tử khả n g h ò ch
trong D (nghòch đảo là a
−1
x
n−1
), suy ra z = b
i
1
x
i
1
khả ngh ò ch , vậy I = D . Giả sử
r ≥ 2, do σ
i
1
= σ
i
r
nên tồn tại b ∈ E sao cho σ

i
1
(b) = σ
i
r
(b). Vậy I chứa 2 phần tử
có dạng:
zb = b
i
1
σ
i
1
(b) x
i
1
+ + b
i
r
σ
i
r
(b) x
i
r
;
σ
i
1
(b) z = b

i
1
σ
i
1
(b) x
i
1
+ + b
i
r
σ
i
1
(b) x
i
r
.
Vì thế
zb − σ
i
1
(b) z = b
i
2

σ
i
2
(b) − σ

i
1
(b)

x
i
2
+ + b
i
r

σ
i
r
(b) − σ
i
1
(b)

x
i
r
là phần tử k h ác kho ân g t h u o äc I có tối đa r − 1 hệ số. Tuy nhie ân , do r là chỉ số nhỏ
nhất nên điều trên là mâu thuẫn với cách chọn r, vậy D l à F -đại số đơn
(b) Ta chỉ cần chứn g minh C
D
(E) ⊆ E. Cho
d =
n−1


i=0
b
i
x
i
∈ C
D
(E)
với b
i
∈ E. Với mỗi b ∈ E ta có bd = bd. Mà
bd =
n−1

i=0
bb
i
x
i
db =
n−1

i=0
b
i
x
i
b =
n−1


i=0
b
i
σ
i
(b) x
i
nên bb
i
= b
i
σ
i
(b) (i ≤ n − 1). Nếu tồn tại b
i
= 0 với i dương thì sẽ tồn tại σ
i
là ánh
xạ đơn vò, điều này là mâu thuẫn. Vậy d = b
0
∈ E, suy ra C
D
(E) = E.
(c) Giả sử K là t r ư ơ øn g co n to ái đại của D và E ⊆ K. Mà
K ⊆ C
D
(K) ⊆ C
D
(E) = E,
vậy K = E.

Cuối cùng, để hoàn tất chứng minh ta cần chứng minh F = Z (D). Cho b ∈ Z (D)
thì b ∈ C
D
(E) = E. Mà bx = xb = σ (b) x nên b = σ (b). Do b = σ (b) nên b ∈ F .
Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 23 Chuyên ngành Toán Đại số
Đònh lý 2.4.20. Cho D = (E/F, σ, a). Ta có D
∼
=
M
n
(F ) khi và chỉ khi a ∈ N
E/F
(E
∗
).
Với n = |E : F | , N
E/F
(E
∗
) là ánh xạ chuẩn trên trường từ E đến F .
Chứng minh. Xin tham khảo trong [ 2] Đònh lý 14.7 trang 231
Đònh lý 2.4.21. (Đònh lý Wedderburn) Cho E là một mở rộng cyclic trên trường F,
|E : F | = n, nếu tồn tại một phần tử a ∈ E sao cho



a
n
∈ N
E/F

(E
∗
)
a, a
2
, , a
n−1
/∈ N
E/F
(E
∗
)
,
thì D = (E/F, σ, a) là F -đại số chia.
Chứng minh. Xin tham khảo trong [ 2] trang 232.
Đònh lý 2.4.22. Nếu F là trường đòa phương hoặc toa øn cục thì các F -tâm đ ơ n đại
số là cyclic.
Chứng minh. Xin tham khảo trong [ 7].
Chương 3
SỰ TỒN TẠI NHÓM CON CHUẨN TA ÉC
TỐI ĐẠI TRONG VÀNH CHIA
Bổ đề 3.1. Cho Q, R, C là các trường số hữu tỷ, thực và phức tương ứng. Ta có
a) Với mọi số tự nhiên r  3, cho toàn cấu f
r
từ Q
∗
vào G
r
:= ⊕
+∞

i=1
Z
(i)
r
cho bởi
công thức f
r
(x) =

υ
p
i
(x)

, với Z
(i)
r
∼
=
Z
r
là vành các số nguyên theo mô đun
r, với mỗi i, p
i
là số nguyên tố thứ i và υ
p
i
là p
i
- adic valuation trên Q và

υ
p
i
(x) là số dư của υ
p
i
(x) theo mô đun r. Hơn nư õa , giả sử f
2
là toàn cấu từ
Q
∗
vào G
2
:= Z
2
⊕

⊕
+∞
i=1
Z
(i)
2

cho theo công thức f
2
(x) =

sgn x,


υ
p
i
(x)

với sgn x là dấu của x. Nếu M là nhóm con tối đại của Q
∗
, thì tồn tại một số
nguyên tố q và một không gian con tối đại W của G
q
(G
q
là không gian vector
trên Z
q
) sao cho M = f
−1
q
(W ). Ngược lại, với mọi số nguyên tố q và không
gian con tối đại W của G
q
, f
−1
q
(W ) là nhóm con tối đại của Q
∗
.
b) R
∗
chỉ có một nhóm con tối đại.

c) Nếu F là một trường đóng đại số thì F* không có nhóm con tối đại. Đặc biệt,
C
∗
không có nhóm con tối đại.
Chứng minh. : ( a) Ta có ánh xạ θ từ Q
∗
vào G với
G := Z
2
⊕

⊕Z
(i)

và
Z
(i)
∼
=
Z,
24