luan van - sua lan 1 ppt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

NGUYỄN THANH CHƠN
CHỈNH HÓA BÀI TOÁN CAUCHY
THEO BIẾN KHÔNG GIAN
CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC
LUẬN VĂN THẠC SĨ
- 2012 -
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

NGUYỄN THANH CHƠN
CHỈNH HÓA BÀI TOÁN CAUCHY
THEO BIẾN KHÔNG GIAN
CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã ngành: 60 46 01
NGƯỜI HƯỚNG DẪN
TS. TRẦN NGỌC LIÊN
- 2012 -
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Niên học 2010 – 2012
CHỈNH HÓA BÀI TOÁN CAUCHY THEO BIẾN KHÔNG GIAN
CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC
DANH SÁCH HỘI ĐỒNG
1. Chủ tịch hội đồng: PGS.TS. Đinh Ngọc Thanh
Trường ĐH KHTN TP HCM

2. Phản biện 1: GS.TS. Đặng Đức Trọng
Trường ĐH KHTN TP HCM
3. Phản biện 2: TS. Nguyễn Huy Tuấn
Trường ĐH CN TP HCM
4. Ủy viên: TS. Lê Thanh Tùng
Trường Đại Học Cần Thơ
5. Thư ký: TS. Nguyễn Hữu Khánh
Trường Đại Học Cần Thơ
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi trân trọng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Cô tôi, TS. Trần
Ngọc Liên về sự tận tình dìu dắt, hướng dẫn tôi trong từng bước nghiên cứu khoa
học, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô trong bộ môn Toán Khoa học Tự
nhiên, khoa Sư Phạm – Trường Đại Học Cần Thơ và Quý Thầy Cô Khoa Toán –
Tin Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh và Trường Đại
Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức
cho tôi trong suốt khóa học.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, quý Thầy cô Tổ Quản lý Sau đại
học – Phòng đào tạo; khoa sau đại học và Khoa Khoa học Tự nhiên Trường Đại học
Cần thơ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành chương trình học.
Tôi xin gửi đến Ban Giám hiệu, các đồng nghiệp - Trường THPT Cái Nước
lời cảm ơn sâu sắc đã tạo điều kiện thuận lợi về nhiều mặt để tôi có thể yên tâm học
tập và làm việc.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp Giải tích K17 đã động viên, quan
tâm và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt thời gian làm luận văn.
Tôi đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Gia đình tôi, luôn ở bên tôi, giúp
đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi, là chỗ dựa tinh thần trong cuộc sống
của tôi, giúp tôi vượt qua mọi khó khăn trong quá trình học tập và làm luận văn này.
Do kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế, kính mong nhận được sự chỉ bảo
quý báu của Quý Thầy Cô và sự đóng góp chân thành của các bạn đồng nghiệp. Xin

trân trọng cảm ơn.
Cần Thơ, tháng 05 năm 2012
Nguyễn Thanh Chơn
i
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
¡
: tập các số thực
£
: tập các số phức
Κ
: là tập các số thực
¡
hay các số phức
£

( ) ( ( ))
n n
P hay P¡ £
: là tập tất cả các đa thức bậc
1n≤ −
Ω
: miền của không gian
n
¡
∂Ω
: biên của
Ω
2
×
: chuẩn trong không gian Hilbert

2
( )H U
z
: moodul số phức z
( )H Ω
: lớp các hàm giải tích trong
Ω
( , )D a r
:
{ }
:z z a r∈Ω − ≤
U
: đĩa đơn vị , tức là
{ }
: 1z z∈ <£
U
: đĩa đơn vị mở, tức là
{ }
: 1z z∈ ≤£
p
H
: lớp các hàm
( )f H U∈
với
p
f < ∞
,
( )
0 p< ≤ ∞
N

: lớp các hàm
( )f H U∈
với
0
f < ∞
2
H
: lớp các hàm
( )f H U∈
với
2
f < ∞
( )
m
L v
θ
: được gọi là một đa thức Lagrange bị chặt cụt, với
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0 ( 1)
( )( ) 0 1; , , ,
m k m m m
m k m
k m
L v z l z v
θ
θ
θ µ µ µ

≤ ≤ −
= < ≤ =
∑
thỏa
( )
( ) ( )
( ) (1 )
m m
m k k
L v z k m
µ
= ≤ ≤
2
(0, )
p
L ∞
: là không gian Hilbert các hàm đo được Lebesgue
: (0, )g ∞ → £
thỏa
2
2 2
(0, )
0
( )
p
L
g g e d
θ
θ θ
∞

−
∞
= < ∞
∫
( )
( )
n
L x
α
: được gọi là các đa thức Laguerre, với
( )
( ) , 1, 2,3
!
x n
n x
n
n
x e d
L x x e n
n dx
α
α α
−
+ −
 
= =
 
ii
DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 2.1. Đồ thị của hàm

( ) sin , [0, ]; , 1,2,3
1
i
f x x x x i m
i
π
π
= ∈ = =
+
và
m m
L T f
trong
2
( )H U
ứng với
11m =

Hình 2.2. Đồ thị của hàm
( ) sin , [0, ]; , 1,2,3
1
i
f x x x x i m
i
π
π
= ∈ = =
+
và
m m

L T f
trong
2
( )H U
ứng với
12m
=

Hình 2.3. Đồ thị của hàm
( ) sin , [0, ]; , 1,2,3
1
i
f x x x x i m
i
π
π
= ∈ = =
+
và
m m
L T f
trong
2
( )H U
ứng với
13m =

Hình 3.1. Đồ thị của hàm
3 2
1 1

( ) 3.5
6 2
f x x x x= − − +
và xấp xỉ của nó
1 1 ( ) 1
0 ( 1)
W ( ) ( )
m
m m m k m k
k m
T L T w l T w T L
θ
θ
− − −
< < −
= Φ =
∑
ứng với
14m
=
và
0,5
θ
=
Hình 3.2. Đồ thị của hàm
3 2
1 1
( ) 3.5
6 2
f x x x x= − − +

và xấp xỉ của nó
1 1 ( ) 1
0 ( 1)
W ( ) ( )
m
m m m k m k
k m
T L T w l T w T L
θ
θ
− − −
< < −
= Φ =
∑
ứng với
14m =
và
0,6
θ
=
Hình 3.3. Đồ thị của hàm
3 2
1 1
( ) 3.5
6 2
f x x x x= − − +
và xấp xỉ của nó
1 1 ( ) 1
0 ( 1)
W ( ) ( )

m
m m m k m k
k m
T L T w l T w T L
θ
θ
− − −
< < −
= Φ =
∑
ứng với
14m
=
và
0,7
θ
=
Hình 3.4. Đồ thị của hàm
3 2
1 1
( ) 3.5
6 2
f x x x x= − − +
và xấp xỉ của nó
1 1 ( ) 1
0 ( 1)
W ( ) ( )
m
m m m k m k
k m

T L T w l T w T L
θ
θ
− − −
< < −
= Φ =
∑
ứng với
16m =
và
0,5
θ
=
iii
MỤC LỤC
Trang
Phần giới thiệu 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 5
1.1. Bài toán không chỉnh. Sự chỉnh hóa 5
1.2. Đa thức Lagrange – Biểu diễn Hermite 6
1.3. Đa thức Laguerre 11
1.4. Không gian
p
H
(không gian Hardy) 13
Chương 2. Khôi phục hàm giải tích bằng các đa thức Lagrange bị chặt cụt 16
2.1. Giới thiệu 16
2.2. Điều kiện cần cho sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt 17
2.3. Điều kiện đủ cho sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt 21
Chương 3. Chỉnh hóa một bài toán Cauchy theo biến không gian cho phương trình

Parabolic 31
3.1. Giới thiệu 31
3.2. Một số kết quả cơ bản 32
3.3. Phát biểu lại bài toán và tính duy nhất nghiệm 35
3.4. Chỉnh hóa và ước lượng sai số 37
3.5. Ví dụ số minh họa 41
Kết luận 44
Tài liệu tham khảo 48
iv
PHẦN GIỚI THIỆU
Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất hiện
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử
lý hình ảnh, Đó là những bài toán khi các dữ liệu của quá trình vật lý không đo
đạc được trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ những dữ liệu đo đạc được. Trong
luận văn này, chúng tôi trình bày bài toán Cauchy theo biến không gian cho phương
trình parabolic. Đây là bài toán cho phương trình parabolic khi điều kiện ban đầu
không được biết, ta phải xác định nó khi biết điều kiện cuối cùng. Bài toán phương
trình parabolic ngược thời gian đã được nghiên cứu khá nhiều, tuy nhiên cũng chỉ
cho một lớp phương trình đặc biệt, hơn thế nữa việc đề xuất các phương pháp số
hữu hiệu để giải gần đúng các bài toán này luôn là những vấn đề thời sự.
Bài toán ngược thời gian đã được khảo sát qua rất nhiều công trình, cho đến
gần đây, bài toán trên không gian Banach trừu tượng vẫn tiếp tục được công bố
[22]. Bắt đầu từ công trình tiên phong của Fritz John vào thập niên 50 của thế kỷ
trước; các bài toán nhiệt ngược thời gian tuyến tính đã được khảo sát rất nhiều bằng
các phương pháp nửa nhóm qua các công trình của Krein [20], phương pháp quasi –
reversibility của Lattes – Lions [9], Miller [23]; phương pháp pseudo – parabolic
của Gajewski và Zacharias (còn gọi là phương pháp Sobolev)[24]; phương pháp
chỉnh hóa hyberbolic [21], phương pháp phương trình dầm ngược [25], phương
pháp Tikhonov [26]. Ngoài các phương pháp trên, nhiều tác giả còn sử dụng
phương pháp lặp, phương pháp biểu diễn nghiệm dạng chuỗi, phương pháp sai

phân, phương pháp làm nhuyễn cho phương trình parabolic ngược thời gian. Tuy
nhiên, không có một phương pháp nào là đa năng và có thể giải quyết thấu đáo tất
cả các loại bài toán.
Trong luận văn này, chúng tôi đưa ra một phương pháp chỉnh hóa bài toán
nhiệt ngược thời gian với điều kiện Cauchy của nó, đó là phương pháp khôi phục
hàm giải tích bằng các đa thức lagrange bị chặt cụt. Phương pháp chặt cụt bao gồm
nhiều loại khác nhau, chẳng hạn như chặt cụt chuỗi, chặt cụt đa thức, chặt cụt tích
1
phân Chặt cụt có nghĩa là khử các yếu tố xấu trong biểu diễn của một hàm số. Đối
với bài toán không chỉnh, các yếu tố xấu là yếu tố làm nghiệm bài toán mất ổn định.
Bài toán khôi phục mà luận văn trình bày ở đây được phát biểu như sau:
Cho
U
là đĩa đơn vị mở trong mặt phẳng phức, tức là
{ }
: 1U z C z= ∈ <
(1)
{ }
n
K z=
là dãy vô hạn đếm được các điểm trong
U
. Cho
ϕ
là một hàm số
xác định trên
K
.
Hãy khôi phục hàm
f

giải tích trong
U
khi biết trước giá trị của
f
trên
K
là
ϕ
.
Khi hàm số
f
thuộc không gian Hardy
( )
p
H U
, không gian các hàm giải tích
trên
( 1)U p ≥
, hoặc đại số đĩa
( )
A U
(nghĩa là
f
liên tục trên đĩa đơn vị đóng
{ }
: 1U z C z= ∈ ≤
và giải tích trên
U
) thì bài toán khôi phục chính là bài toán
moment. Đây là bài toán ngược và không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa là:

+ Bài toán có thể vô nghiệm;
+ Bài toán có nghiệm nhưng nghiệm không duy nhất;
+ Nghiệm của bài toán tồn tại nhưng không ổn định.
Xét bài toán: xác định một hàm giải tích
f
trong không gian
2
( )H U
sao cho
( ) , 1,2,3,
n n
f z n
µ
= =
(2)
với
1
( )
n n
z
∞
=
là một dãy vô hạn các điểm trong
U
,
( )
n
µ
là dãy số phức bị chặn, tức là
( )

n
l
µ
∞
∈
.
Xét bài toán (2). Cho
1
( )
n n
z
∞
=
tùy ý trên đường tròn
1
:
4
z C z
 
∈ =
 
 
và dãy
{ }
( )m
n
µ
xác định bởi
( )
(2 ) 1, 2,3

m m
n n
z n
µ
= =
với m là số tự nhiên.
Khi đó ta có
( )
1
(2 ) 0
2
m
m m
n n
z khi m
µ
 
= = → → ∞
 ÷
 
Xét hàm
2
:
(2 )
m
m
f U C
z z
→
a

Ta có
2
2 ( )
à ( ) ; 2 .
m m
m m n n m
H
f H v f z f
µ
∈ = =
Vậy
2
lim
m
H
m
f
→∞
= ∞
Điều này chứng tỏ bài toán (2) không ổn định: Từ sự sai lệch nhỏ của dữ liệu có thể
dẫn đến kết quả cuối cùng có sai lệch lớn.
Tính không ổn định của nghiệm thể hiện ở chỗ: tính toán với dữ liệu nhiều
hơn một lượng cần thiết nào đó thì sai số có thể lớn hơn. Do đó cần xác định một số
tự nhiên
( )
n
ε
(với mỗi
0
ε

>
), được gọi là tham số chỉnh hóa, để chỉ ra số lượng dữ
liệu
n
µ
cần thiết phải sử dụng và giới hạn việc tính toán trên máy tính. Nói cách
khác, cần xác định tham số chỉnh hóa sao cho từ
( )
n
ε
dữ liệu
( )
1 2
, , ,
n
ε
µ µ µ
ta có thể
xác định một hàm f mà nó xấp xỉ ổn định nghiệm chính xác
0
f
của bài toán.
Một số kết quả cụ thể:
Trong bài toán nội suy hàm giải tích trên đĩa đơn vị thường sử dụng đa thức
Lagrange để xây dựng hàm xấp xỉ. Tính chất của dãy các điểm nội suy và tính chất
của hàm cần xấp xỉ có ảnh hưởng nhiều đến sự hội tụ của hàm số xấp xỉ. Phép nội
suy Lagrange rất thuận lợi cho việc sử dụng, tuy nhiên nó không ổn định. Các hệ số
bậc cao của đa thức Lagrange tăng nhanh khi số điểm nội suy tăng và dãy các đa
thức Lagrange không hội tụ trong
2

H
. Do đó, một cách giải quyết vấn đề này là
chặt cụt các số hạng bậc cao của đa thức Lagrange. Đó là phương pháp chỉnh hóa.
Nhóm nghiên cứu của GS.TS Đặng Đình Áng đã trình bày các kết quả với một số
đánh giá sai số. Chúng tôi tiếp tục sử dụng ý tưởng đó để chỉnh hóa bài toán nội suy
hàm giải tích, mà chủ yếu là tính sai số của phép xấp xỉ và chỉ ra tham số chỉnh hóa
trong phương pháp chặt cụt các đa thức Lagrange.
Nội dung của luận văn gồm có phần giới thiệu, chương kiến thức chuẩn bị
(Chương 1), Chương 2 và Chương 3 là phần chính của luận văn, phần kết luận và
tài liệu tham khảo.
Phần giới thiệu: Trình bày tổng quan về các bài toán được trình bày trong
luận văn và tóm tắt nội dung chính các chương trong luận văn.
3
Chương 1 giới thiệu và nhắc lại một số kiến thức, các ký hiệu và các không
gian hàm được sử dụng trong luận văn.
Chương 2 giới thiệu bài toán Khôi phục hàm giải tích bằng các đa thức
Lagrange bịc chặt cụt. Nội dung của chương này gồm hai phần chính: thiết lập các
điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt với dữ liệu
chính xác và dữ liệu bị nhiễu.
Chương 3 trình bày sự chỉnh hóa một bài toán Cauchy theo biến không gian
cho phương trình Parabolic bằng cách áp dụng phương pháp chỉnh hóa của chương
2 và đưa ra một ví dụ số minh họa.
4
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Bài toán không chỉnh. Sự chỉnh hóa
Khi xét một bài toán của phương trình đạo hàm riêng, ta thường gặp những
khả năng khác nhau về nghiệm của nó. Một bài toán được gọi là chỉnh theo nghĩa
Hadamard nếu nó thỏa ba tính chất sau:
1. Tồn tại nghiệm của bài toán;

2. Có không quá một nghiệm của bài toán;
3. Nghiệm của bài toán phụ thuộc liên tục vào dữ liệu.
Một bài toán là không chỉnh theo nghĩa Hadamard nếu nó không thỏa một trong ba
tính chất trên.
Về mặt lý thuyết, tính tồn tại nghiệm có thể có được bằng cách mở rộng
không gian nghiệm. Chẳng hạn như khái niệm về nghiệm suy rộng của phương
trình vi phân. Nếu bài toán có hơn một nghiệm thì có nghĩa là ta thiếu thông tin về
nghiệm. Trong trường hợp này ta bổ sung vài thông tin về nghiệm để có được tính
duy nhất của nghiệm. Yêu cầu về tính ổn định là quan trọng nhất, một bài toán thiếu
tính chất ổn định nghiệm, tức là không thể tính được bởi bất kỳ sự đo đạc hay giải
số nào vì các dữ liệu luôn bị tác động bởi những sai số không thể tránh khỏi, nghĩa
là dữ liệu bài toán luôn bị nhiễu. Nếu nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục
vào dữ liệu, thì về mặt tổng quát sai số giữa nghiệm đúng từ dữ liệu chính xác với
nghiệm gần đúng từ dữ liệu nhiễu sẽ lớn.
Để khắc phục tính không chỉnh của bài toán, ta sẽ tiến hành một sơ đồ chỉnh
hóa. Ta sẽ “xấp xỉ” phương trình không chỉnh bởi một phương trình chỉnh phụ
thuộc vào tham số sao cho nghiệm của phương trình này có sai số nhỏ so với
nghiệm chính xác ban đầu. Từ đây, do tính chỉnh, nên nếu dữ liệu có nhiễu, thì
nghiệm tương ứng sẽ xấp xỉ với nghiệm của phương trình chỉnh.
Định nghĩa 1.1.1. Ta xét phương trình
Ax y=
(1.1.1)
với
A
là một toán tử liên tục (không nhất thiết là tuyến tính) từ một không gian
Banach
X
vào một không gian Banach
Y
. Cho trước

y Y∈
, bài toán tìm
x X∈
thỏa
Ax y=
được gọi là chỉnh, nếu thỏa các tính chất sau:
5
i) Với bất kỳ
y Y∈
có nhiều nhất một
x X∈
thỏa (1.1.1) (tính duy
nhất)
ii) Với bất kỳ
y Y∈
tồn tại một nghiệm
x X∈
thỏa (1.1.1) (sự tồn tại)
iii) Nghiệm
x X∈
phụ thuộc liên tục vào
y Y∈
, nghĩa là
1 1 * *
0 0
X Y
A y A y khi y y
− −
− → − →
Nếu bài toán không thỏa một trong 3 điều kiện trên thì được gọi là bài toán không

chỉnh (theo nghĩa Hadamard)
Ý tưởng cơ bản trong việc giải (1.1.1) là dùng sự chỉnh hóa, nghĩa là thay
phương trình này bởi một phương trình “gần” với nó bao gồm cả một tham số nhỏ
α
để ta có thể giải phương trình đã thay đổi một cách ổn định và nghiệm của nó là
gần với nghiệm của phương trình (1.1.1) ban đầu khi
α
là nhỏ.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử
X
và
Y
là các tập đã cho trong bài toán (1.1.1). Một họ
các toán tử tuyến tính, liên tục
R
α
từ
Y
vào
X
được gọi là một chỉnh hóa đối với
phương trình (1.1.1) nếu
R
α
thỏa điều kiện
0
lim ,R Av v v X
α
α
→

= ∀ ∈
.
Số dương
α
được gọi là tham số chỉnh hóa.
Nếu trong Định nghĩa 1.1.2,
R
α
là một dãy đếm được các toán tử thì ta có thể
lấy các số tự nhiên
n
làm tham số chỉnh hóa và điều kiện trên trở thành
lim
n
n
R Av v
→∞
=
1.2. Đa thức Lagrange – Biểu diễn Hermite
1.2.1. Hàm giải tích
Định nghĩa 1.2.1 Giả sử
f
là một hàm phức xác định tại
0
z
và lân cận của nó.
Nếu giới hạn
0
0
0

( ) ( )
lim
z z
f z f z
z z
→
−
−
tồn tại thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của
f
tại
0
z
, ký hiệu
0
'( )f z

Định nghĩa 1.2.2 Nếu
0
'( )f z
tồn tại với mọi
0
z ∈Ω
thì ta nói
f
giải tích trong
Ω
Lớp tất cả các hàm giải tích trong
Ω
được ký hiệu là

( )H Ω
.
Định lý 1.2.1. (Identily theorem)
Giả sử
f
là hàm giải tích trên miền
Ω
và
{ }
n
z
là một dãy các điểm đôi một
khác nhau, hội tụ đến điểm
0
z ∈Ω
. Nếu
( ) 0
n
f z =
với mọi
n N
∈
thì
0f ≡
trên
Ω
.
Định lý 1.2.2. (Maximum modulus theorem)
Giả sử
Ω

là một miền,
( )f H∈ Ω
và
( , )D a r ⊂ Ω
. Khi đó
( )
( ) max
i
f a f a re
θ
θ
≤ +
6
Dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu
f
là hằng số trong
Ω
.
f
không có cực trị địa phương tại điểm bất kỳ trong
Ω
, trừ khi
f
là một hằng số.
1.2.2. Đa thức Lagrange
Ký hiệu
Κ
là tập các số thực
¡
hay các số phức

£
và
( ) ( ( ))
n n
P hay P¡ £
là
tập tất cả các đa thức bậc
1n
≤ −
. Cho n điểm phân biệt
i
t
Κ
∈
và n giá trị
,1
i
i n
α Κ
∈ ≤ ≤
đã cho. Tìm một đa thức
( )
n n
p P
Κ
∈
thỏa:
( ) , 1
n i i
p t i n

α
= ≤ ≤
.
Để làm điều đó, ta giới thiệu các đa thức
i
l
như sau:
1 2
1
( )
( ) ( , , , ; ) ; , 1, 2, ,
( )
n
j
i i n
j
i j
j i
t t
l t l t t t t t i n
t t
Κ
=
≠
−
= = ∈ =
−
∏
Ta thấy
( ), 1, 2, ,

i n
l P i n
Κ
∈ =
và
1
( )
0
i j
khi j i
l t
khi j i
=

=

≠

Các đa thức
( 1,2, , )
i
l i n=
được gọi là các đa thức Lagrange cơ bản. Chúng có thể
được viết dưới dạng khác như sau:
Trước hết, ta giới thiệu đa thức
1
1
( ) ( , , ; ) ( )
n
n j

j
t t t t t t
ω ω
=
= = −
∏
Khi đó
1
( )
( ) ,
n
j
j
i
j i
t
t t
t t
ω
=
≠
− =
−
∏
1
( )
( ) lim '( )
i
n
i j i

t t
j
j
j i
t
t t t
t t
ω
ω
→
=
≠
− = =
−
∏
Do đó
( )
( )
'( )( )
i
i i
t
l t
t t t
ω
ω
=
−

Ta thấy

1
( ) ( )
n
n i i
i
p t l t
α
=
=
∑
là đa thức duy nhất trong
( )
n
P
Κ
thỏa
( ) , 1
n i i
p t i n
α
= ≤ ≤
.
Dạng
1
( ) ( )
n
n i i
i
p t l t
α

=
=
∑
của đa thức nội suy được gọi là dạng Lagrange.
Nếu
:f
Κ Κ
→
là một hàm bất kỳ và
, 1,2, ,
i
t K i n∈ =
là các điểm nút
phân biệt, ký hiệu:
1
, ,
1
( ; ) ( ; ) ( ) ( ),
n
n
n t t i i
i
L f t L f t f t l t t
Κ
=
= = ∈
∑
7
là đa thức duy nhất trong
( )

n
P
Κ
mà nó đồng nhất với
f
tại các điểm nút
( 1,2, , )
i
t i n=
. Rõ ràng, nếu
( )
n
p P
Κ
∈
thì
( ; ) ( )
n
L p t p t≡
vì
p
được xác định duy nhất bởi các giá trị
( ), 1
i
p t i n≤ ≤
của nó.
Do đó, toán tử tuyến tính
: ( )
n n
L P

Κ Κ
→
là lũy đẳng, nghĩa là
2
n n
L L=
. Vì vậy nó
là một phép chiếu, ta gọi là phép chiếu nội suy Lagrange.
1.2.3. Công thức nội suy Hermite
a. Đa thức nội suy
Cho n + 1 cặp số phức
( , ), 0,1,2, ,
k k
z w k n=
với
k
z
là phân biệt, khi đó tồn tại
chính xác một đa thức
p
có bậc nhiều nhất là n sao cho:
( ) , 0,1,2, ,
k k
p z w k n= =
Theo mục 1.1.2 thì đa thức này có được là qua công thức nội suy Lagrange. Ta đặt:
0 1
0
( ) ( ) ( )( ) ( )
n
k n

k
z z z z z z z z z
ω
=
= − = − − −
∏
và
( )
( ) ( 0,1, , )
'( )( )
k
k k
z
l z k n
z z z
ω
ω
= =
−

Mỗi đa thức trong các đa thức cơ bản
k
l
này có bậc n và ta có:
1
( )
0
k j
khi j k
l z

khi j k
=

=

≠

Do đó đa thức bậc n
0 0 0 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
n k k n n
k
L z w l z w l z w l z w l z
=
= = + + +
∑
thỏa mãn yêu cầu nội suy.
Trường hợp
( )
k k
w f z=
, với
f
là một hàm giải tích trong miền G với các
điểm nội suy
k
z G∈
, là rất quan trọng cho mục đích của chúng ta. Ta cũng có thể

biểu diễn các đa thức nội suy bởi các tích phân phức. Giả sử biên
G
∂
của miền
G
bao gồm một số các đường cong Jordan khả trường và xét hướng dương đối với
G
,
và giả sử
f
là hàm giải tích trên
G
, liên tục trên
G
. Bài toán nội suy là:
( ) ( ), , 0,1 , .
k k k
p z f z z G k n= ∈ =
Bài toán được giải bởi công thức:
1 ( ) ( ) ( )
( ) .
2 ( )
n
G
t z f t
L z dt
i t z t
ω ω
π ω
∂

−
=
−
∫
và ta có
1 ( ) ( )
( ) ( ) . ( )
2 ( )
n
G
z f t
f z L z dt z G
i t t z
ω
π ω
∂
− = ∈
−
∫
(1.2.3.1)
Từ (1.2.3.1) suy ra rằng
8
( ) ( ) ( ) ( )
n
f z L z z h z
ω
− =
, với
h
là hàm giải tích trên

G
,
với
1 ( )
( )
2 ( ) ( )
G
f t
h z dt
i t z t
π ω
∂
=
−
∫
Hệ thức
1 ( ) ( ) ( )
( ) .
2 ( )
n
G
t z f t
L z dt
i t z t
ω ω
π ω
∂
−
=
−

∫
(1.2.3.2)
là biểu diễn Hermite của đa thức nội suy và (1.2.3.1) là biểu diễn tích phân của sai
số nội suy.
b. Sự nội suy trong trường hợp các điểm nội suy được phân bố đều
Chúng ta giả sử rằng
Κ
là một tập con compact của một miền
G ⊂ £
Giả sử với mỗi
( 0,1, , )n n n=
, có
1n +
điểm nội suy cho trước
( )n
k
z
Κ
∈
( 0,1, , )k n=
. Khi đó ta có các nút ma trận
(0)
0
(1) (1)
0 1
( ) ( ) ( )
0 1

n n n
n
z
z z
z z z
của các điểm trong
Κ
, và ta viết
( )
0
( ): ( ), ( 0,1, )
n
n
n k
k
z z z n
ω
=
= − =
∏
Nếu
f
giải tích trên
G
, thì theo (1.2.3.1), sai số nội suy là:
( )
1 ( )
( ) ( ) . ( )
2 ( )
n

n
n
G
z
f t
f z L z dt z
i t t z
ω
Κ
π ω
∂
− = ∈
−
∫
.
Ta sử dụng kết quả này để có được một phát biểu về sự hội tụ.
Nếu
1 2
( , )diam K D D dist K G= < = ∂
thì
1 1
1 2
( ) ( ) à ( ) ( )
n n
n n
z D z v t D t G
ω Κ ω
+ +
≤ ∈ ≥ ∈∂
Do đó trong trường hợp này ta có:

( ) ( ) ( , )
n
L z f z n z
Κ
⇒ → ∞ ∈
và sự hội tụ này không phụ thuộc vào việc chọn các nút
( )
.
n
k
z
Κ
∈
Bây giờ ta trở lại với mối liên hệ giữa sự phân bố đều của các nút và sự hội
tụ của quá trình nội suy tương ứng (xem [3], tr. 65 – 67).
Định lý 1.2.3 (Kalmar 1926, Walsh 1933)
Sự hội tụ của
( ) ( ) ( , )
n
L z f z n z
Κ
⇒ → ∞ ∈
xảy ra với mỗi hàm f giải tích
trên
Κ
nếu và chỉ nếu các nút nội suy
( )n
k
z
được phân bố đều trên

Κ
.
9
Ta sẽ không nêu định nghĩa tổng quát của sự phân bố đều. Nếu
Κ
là đĩa đơn
vị, ta có các nút
{ }
( )m
n
z
gọi là phân phối đều trên
Κ
nếu nó thỏa
1
lim max ( ) 1
m
m
m
z
z
ω
→∞
≤
=
.
1.3. Đa thức Laguerre (G. Sansone, Orthogonal Funtions, tr. 259)
Hàm Gamma:
( )
α

Γ
là hàm Gamma được định nghĩa với
0
α
>
bởi:
1
0
( ) .
x
x e dx
α
α
+∞
− −
Γ =
∫
Điều này suy ra
(1) 1Γ =
và
1
0
0 0
( 1) ( )
x x x
x e dx x e x e dx
α α α
α α α α
+∞ +∞
∞

− − − −
 
Γ + = = − + = Γ
 
∫ ∫
Tổng quát hơn ta có:
( 1) ( ) ( ) ( )( 1) ( 1)
( ) ( 1) ( 1)
n n n n n n
n n m n m
α α α α α α
α α α
Γ + + = + Γ + = + + − Γ + −
= + + − + Γ + − +
Đặt biệt, đối với những giá trị nguyên không âm của n, ta có:
( 1) !n nΓ + =
Định lý 1.3 (Công thức Stirling) Với mỗi
n
∈
¥
, tồn tại
(0,1)
θ
∈
sao cho
12
! 2
n
n
n

n n e
e
θ
π
 
=
 ÷
 
(xem Advanced Caleulus p.458 của Wilson).
Ngoài ra, công thức trên còn được phát biểu dưới dạng sau
! 2 1 ,
2
n
n
n n
e
n
ε
π
π
 
 
= +
 ÷
 
 
 
với
0 1
ε

< <
Xét hàm
( 1)
1
(1 )
xz
z
z e
α
−
− +
−
−
và sự khai triển của nó thành chuỗi lũy thừa theo z
với
1z <
. Ta có
1
0 0
( )
( 1) .
!(1 ) ! (1 )
xz
k k k
k
z
k k
k k
xz x z
e

k z k z
∞ ∞
−
−
= =
−
= = −
− −
∑ ∑
Khi đó
( 1)
1
1
0 0 0
1
(1 ) ( 1) . ( 1) . ( 1)
! (1 ) !
xz
k k k
k k m m k
z
k
k k m
k
x z x
z e z
m
k z k
α
α

α
∞ ∞ ∞
−
− + +
−
+ +
= = =
 − − − 
 
− = − = − −
 
 ÷
−
 
 
∑ ∑ ∑
Vì cả hai chuỗi trên đều hội tụ tuyệt đối, ta có thể chọn những số hạng có
n
z
, ta
được
( 1) ( )
1
1
(1 ) 1 ( );
xz
n
z
n
n

z e z L x
α α
∞
−
− +
−
=
− = +
∑
với
10

( )
0
1
1
( ) ( 1) ( 1)
( )!
n
n m m n m
n
m
n m
L x x
m
n m
α
α
− −
=

− − + −
 
= − −
 ÷
−
 
∑
hay
( )
1
( )
1
( )( 1) ( 1)
( 1) ( ) ( 1)
! ( )! !
( 1)
( 1) ( ) ( 1) ( 1,2,3, )
( )! ! ( 1)
n
n
n m n m
n
m
n
n m n m
n
m
x n n n m
L x x
n n m m

n
L x x n
n m m n m
α
α
α α α
α
α
−
=
−
=
+ + − + − +
− = + −
−
Γ + +
− = − =
− Γ + − +
∑
∑
Để thuận lợi về ký hiệu, ta định nghĩa:
( )
0
( ) 1L x
α
=
Với
0x
=
ta có

( )
( )( 1)( 2) ( 1)
(0)
!
n
n n n
L
n
α
α α α α
+ + − + − +
=
Với
0,
α
=
các đa thức
(0)
( )
n
L x
sẽ được định nghĩa là
( ).
n
L x
Các đa thức này rõ ràng
được xác định bởi:
[ ]
2
0

0
!
( ) ( 1) ,
! ( )!
1
( 1) ( 1,2,3 )
!
n
n m n m
n
m
n
k k
k
n
L x x
m n m
n
x n
k
k
− −
=
=
= −
−
 
= − =
 ÷
 

∑
∑
Các đa thức
( )
( )
n
L x
α
được gọi là các đa thức Laguerre.
Ta có
( )
( ) ( ) ( )
1
( ) , 1, 2,3
!
( 1) ( ) [2 1 ] ( ) ( ) ( ) 0
x n
n x
n
n
n n n
x e d
L x x e n
n dx
n L x n x L x n L x
α
α α
α α α
α α
−

+ −
−
 
= =
 
+ − + + − + + =
với quy ước
( )
1
( ) 0L x
α
−
=
.
1.4. Không gian
p
H
(không gian Hardy)
1.4.1. Các không gian
p
H
và
N
Ta định nghĩa
r
f
trên
T
như sau
( ) ( ) (0 1)

i i
r
f e f re r
θ θ
= ≤ <
Nếu
f
liên tục bất kỳ và xác định trên
U
, và cho
σ
là độ đo Lebesgue trên
T
,
được chuẩn hóa
( ) 1T
σ
=
. Theo đó
p
L
- chuẩn được hiểu là
( )
p
L
σ
. Đặc biệt
1
(0 )
p

p
r r
p
T
f f d p
σ
 
= < < ∞
 
 
∫
sup ( )
i
r
f f re
θ
θ
∞
=
và ta giới thiệu
0
exp log
r r
T
f f d
σ
+
=
∫
Định nghĩa 1.4. Nếu

( )f H U∈
và
0 p≤ ≤ ∞
, đặt
11
{ }
sup : 0 1
r
p p
f f r= ≤ <
Nếu
0 p< ≤ ∞
thì
p
H
được định nghĩa là lớp tất cả các hàm
( )f H U∈
với
p
f < ∞
Lớp
N
bao gồm tất cả các hàm
( )f H U∈
mà
0
f < ∞
Rõ ràng là
p s
H H H N

∞
⊂ ⊂ ⊂
nếu
0 s p< < < ∞
Nhận xét:
a) Khi
p < ∞
định lý 17.3 và định lý 17.5 (xem [12], tr. 336 – 337) cho thấy
r
p
f
là
hàm không giảm theo
r
, với mọi
( )f H U∈
.
Khi
p = ∞
, theo định lý module cực đại ta có kết luận tương tư. Do đó
1
lim
r
p p
r
f f
→
=
b) Với
1 p≤ ≤ ∞

,
p
H
là một không gian tuyến tính định chuẩn.
c) Có thể xem
p
H
là không gian con đóng của
p
L
và do đó nó là không gian
Banach.
Định lý 15.23 (xem [2], tr. 311) cho thấy các không điểm của hàm
f
bất kỳ
thuộc lớp
N
thỏa điều kiện Blaschke
( )
1
n
α
− < ∞
∑
. Điều này cũng đúng trong
p
H
. Ta có định lý sau (tương tự với định lý đồng nhất)
Định lý 1.4.1. Nếu
( )

p
f H f N∈ ∈
, nếu
1 2 3
, , ,
α α α
là các không điểm của
f
trong
U
, và nếu
( )
1
1
n
n
α
∞
=
− = ∞
∑
thì
( ) 0f z z U= ∀ ∈
1.4.2. Không gian
2
H

2
( )H U
là không gian Hardy gồm các hàm

f
giải tích trên
U
và thỏa
1
2
2
2
2
1
0
1
lim ( )
2
i
r
f f re d
π
θ
θ
π
→
 
= < ∞
 
 
∫
Ngoài ra không gian
2
H

có một cách tính chuẩn đơn giản như sau
Định lý 1.4.2. Giả sử
( )f H U∈
và
0
( )
n
n
n
f z a z
∞
=
=
∑
thì
2
f H∈
nếu và chỉ nếu
2
0
n
n
a
∞
=
< ∞
∑
. Ngoài ra
2 2
2

0
n
n
f a
∞
=
=
∑
Chứng minh: Áp dụng Định lý Parseval cho
r
f
với
1r <
ta có
2 2 2 2
2
2
1 1
0 0
lim lim
n
n n r
r r
n n
T
a a r f d f
σ
∞ ∞
→ →
= =

= = =
∑ ∑
∫
Nhận xét:
12
(a) Một cách tự nhiên, không gian
2
( )H U
được xem như một không gian con
đóng của
2
( )L T
(gồm tất cả các hàm có dạng
0
in
n
n
a e
θ
∞
=
∑
với
2
0
n
n
a
∞
=

< ∞
∑
, là sự mở
rộng tuyến tính đóng của các tập
{ }
: 0
in
e n
θ
≥
).
Chú ý rằng: nếu
1z <
thì theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
1 1
2 2
2 2
0 0 0
n
n
n n
n n n
a z a z
∞ ∞ ∞
= = =
   
≤ < ∞
 ÷  ÷
   
∑ ∑ ∑

và do đó các chuỗi lũy thừa như vậy có bán kính hội tụ ít nhất là 1 và xác định một
hàm giải tích trên
U
.
(b)
2
( )H U
là không gian Hilbert với tích trong xác định bởi
0 0 0
,
n n
n n n n
n n n
a z b z a b
∞ ∞ ∞
= = =
 
=
 ÷
 
∑ ∑ ∑
hay tương đương
2
0
1
( , ) ( ) ( )
2
it it
f g f e g e dt
π

π
=
∫
Các hàm
( ) , 0
n
n
e z z n= ≥
tạo thành cơ sở trực chuẩn của
2
H
. Ta suy ra
2
2
2
0
1
( )
2
i
f f e d
π
θ
θ
π
=
∫
13
Chương 2
KHÔI PHỤC HÀM GIẢI TÍCH

BẰNG CÁC ĐA THỨC LAGRANGE BỊ CHẶT CỤT
2.1. Giới thiệu
Trong chương này chúng tôi trình bày bài toán “khôi phục hàm giải tích bằng
các đa thức Lagrange bị chặt cụt” từ bài báo: Đặng Đức Trọng và Trần Ngọc Liên,
Reconstructing an analytic function using truncated Lagrange polynomials.
Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen, Vol. 22, 2003, No.4, 925 – 938.
Phương pháp chỉnh hóa này sẽ được áp dụng cho bài toán ở chương 3.
Cho
U
là một đĩa đơn vị trong mặt phẳng phức
£
, và
( )
2
H U
là không gian
Hardy gồm các hàm f giải tích trên U, với chuẩn của f được xác định:
( )
1
2
2
2
2
1
0
1
lim
2
i
r

f f re d
π
θ
θ
π
→
 
 
= < ∞
 
 
 
∫
Cho
{ }
( )
( ;1 )
m
n
z m N n m∈ ≤ ≤
là một hệ thống điểm trong
U
và với mỗi m, giả
sử rằng
( ) ( ) ( )
1 2
, , ,
m m m
m
z z z

là những điểm phân biệt. Chúng tôi xem xét bài toán khôi
phục hàm
f
trong không gian
2
( )H U
sao cho
( ) ( )
( ) ( ;1 )
m m
n n
f z m N n m
µ
= ∈ ≤ ≤
(2.1.1)
với
{ }
( )m
n
µ
là một tập các số phức bị chặn.
Như đã giới thiệu thì bài toán (2.1.1) là không chỉnh. Trong [1, 8] thì tính
không chỉnh của bài toán đã được xem xét. Do đó cần có sự chỉnh hóa. Một phương
pháp chỉnh hóa mà chúng tôi trình bày trong chương này dựa trên xấp xỉ (trong
2
( )H U
) hàm f bởi các đa thức
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )

1 2
0 ( 1)
( )( ) 0 1; , , ,
m k m m m
m k m
k m
L v z l z v
θ
θ
θ µ µ µ
≤ ≤ −
= < ≤ =
∑
(2.1.2)
với
( )m
k
l
là hệ số của
k
z
trong khai triển của đa thức Lagrange
( )
m
L v
có bậc
1m
≤ −
,
thỏa:

( )
( ) ( )
( ) (1 )
m m
m k k
L v z k m
µ
= ≤ ≤
14
Đa thức
( )
m
L v
θ
được gọi là một đa thức Lagrange bị chặt cụt. Nếu
1
θ
=
thì
( )
m
L v
θ
là
đa thức Lagrange.
Sự hội tụ của
( )
m
L v
tới

f
phụ thuộc rất nhiều vào tính chất của dãy điểm
{ }
( )m
n
z
. Định lý Kalmar – Walsh (xem chương 1, định lý 1.2.3) cho thấy rằng
( ) ( )
m
L v f trong C U→
với mọi hàm
f
giải tích trong lân cận của
U
nếu và chỉ nếu
dãy điểm
{ }
( )m
n
z
được phân bố đều trong
U
, tức là
1
lim max ( ) 1
m
m
m
z
z

ω
→∞
≤
=
(2.1.3)
với
( ) ( ) ( )
1 2
( ) ( )( ) ( )
m m m
m m
z z z z z z z
ω
= − − −
. (2.1.4)
Điều này sẽ không còn đúng nữa nếu thay
( )C U
bởi
2
( )H U
. Mặt khác điều kiện
(2.1.3) là rất nghiêm ngặt. Bài toán mà chúng tôi trình bày ở đây về tổng quát thì hệ
thống điểm
{ }
( )m
n
z
không thỏa điều kiện (2.1.3). Hơn thế nữa, chúng tôi sẽ trình bày
sự hội tụ của
( )

m
L v
θ
với
θ
nằm trong một khoảng mở. Cụ thể, chúng tôi chứng tỏ
rằng tồn tại
0
θ
trong
( )
0,1
sao cho
( )
m
L v f
θ
→
trong
2
( )H U
với
0
0
θ θ
< <
và kết quả
không còn đúng nếu
0
1

θ θ
< <
.
2.2. Điều kiện cần cho sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt
Đặt
( ) ( )
1
( )
( )( )
' ( )( )
m
m
m k
m m
k
m k k
z
L v z v
z z z
ω
ω
=
=
−
∑
(2.2.1)
với
( )
( )
1

( )
m
m
m i
i
z z z
ω
=
= −
∏
,
1 2
( , , , )
m
v v v v=

và
1
1
( )
0
( ) ( ) ( )
,
1
1,
( , 1 , 1, , 1)
p
p
m
m m m

k p j j s
j j m
z z j k s p p m
σ
σ
≤ < < ≤
=
= ≠ ≤ ≤ = −
∑
Định lý sau đây là điều kiện cần của sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt.
Định lý 2.1. Cho
0 1
θ
< ≤
. Nếu
2
2
lim ( )( ) 0 ( ( ))
m m
m
f L T f z f H U
θ
→∞
− = ∀ ∈
(2.2.2)
15
với
( )
m
L v

θ
là đa thức Lagrange bị chặt cụt và
( )
( ) ( )
1
( ) ( ), , ( )
m m
m m
T f f z f z=
thì
{ }
1
2
1 2
( ) ( ) ( )
, 1
1
0 ( 1)
1, \
sup max 1
m m m
j k k m l
k m
m
l m
j m k
z z
θ
σ
−

− −
≤ ≤
≤ ≤ −
∈
 
− < ∞
 ÷
 
∑
∏
(2.2.3)
với
{ }
1, 1,2, ,m m=
.
Chứng minh: Ta xem
( )
m
m
L T f
θ
là ảnh của
f
trên
2
( )H U
, thì
( )
( ) 1
m

m
L T m
θ
≥
được
xem là một dãy các toán tử tuyến tính trên
2
( )H U
. Ký hiệu
m
m
L T
θ
là chuẩn của các
toán tử này. Từ định lý Banach – Steinhaus, hệ thức (2.2.2) dẫn đến
sup
m
m
m
L T
θ
< ∞
. (*)
Đặt
{ }
( )
( )
, \
( )
1

m
j
m
m
j l m k
j
z z
f z
z z
∈
−
=
−
∏
. Khi đó với
1z =
, ta có:
{ } { }
{ }
( ) ( )
2
( )
, \ , \
( )
( )
( )
( )
, \
1
( ) , . 1

1
1
1
1
1
m m
j j
m
m
j l m k j l m k
j
m
j
m
j
m
j
m
j l m k
j
z z z z
f z z z z z
z z z
z
z
z z
z
z
∈ ∈
∈

− −
 
= = = = ⇒ =
 ÷
−
 
−
−
= =
−
∏ ∏
∏
Do đó
2 2
2
2
2
0 0
1 1
( ) 1,
2 2
i
m
f f e d d
π π
θ
θ θ
π π
= = =
∫ ∫

Hay
2
1
m
f =
Theo bất đẳng thức (*), ta có:
2
(2.2.4)
m m m m m m m m
L T f L T f L T
θ θ θ
≤ = < ∞

Mặt khác thì:
{ }
( )
( ) ( )
, \
( )( )
1
m
j
m m m
m m
j l m k
j k
z z
L T f z
z z
∈

−
=
−
∏
Tính trực tiếp ta được:
( )
{ }
( 1)
1 ( )
, 1
0
( ) ( )
, \
( 1)
( )( )
1
m
m
m l m l
k m l
l
m m
m m
j k
j l m k
z
L T f z
z z
θ
θ

σ
−
− −
− −
=
∈
−
=
−
∑
∏
Suy ra
{ }
( 1)
2
2 2
( ) ( ) ( )
, 1
0
, \
( ) 1 (2.2.5)
m
m
m m m
m m j k k m l
l
j l m k
L T f z z
θ
θ

σ
−
−
− −
=
∈
 
= −
 ÷
 
∑
∏
16
Từ (2.2.4) và (2.2.5) ta suy ra
{ }
1
( 1)
2
1 2 2
( ) ( ) ( )
, 1
1
0
, \
sup max 1 sup ( )
m
m m m
j k k m l m m m
k m
m m

l
j l m k
z z L T f
θ
θ
σ
−
−
− −
≤ ≤
=
∈
 
− < < ∞
 ÷
 
∑
∏

Phản ví dụ: Ví dụ sau đây chứng tỏ định lý Kalmar – Walsh là không đúng nếu
( )C U
được thay thế bởi
2
( )H U
.
Thật vậy: đặt
1
θ
=
, với mỗi

,
m m
m L T f
θ
là một đa thức Lagrange.
Đặt
( )
1
( , 1 )
1
m
n
z m N n m
n
= ∈ ≤ ≤
+
Khi đó
1
1 1
max ( ) 1 1
2 1
m
z
z
m
ω
≤
   
= + +
 ÷  ÷

+
   
Do đó
1
lim max ( ) 1
m
m
m
z
z
ω
→∞
≤
=
Tức là hệ thống
{ }
( )m
n
z
được phân bố đều trong
U
.
Mặt khác:
{ }
1
( 1)
2
1 2
( ) ( ) ( )
, 1

0
, \
1
1
( )
,
1
1
1
1
( 1)( 1)
1 1

2
m
m m m
j k k m l
l
j l m k
m
m
m l
j
m
z z
j m
m
θ
σ
σ

−
−
− −
=
∈
−
−
=
→∞
 
−
 ÷
 
≥ −
+ +
≥ + + →∞
∑
∏
∏
Vậy theo Định lý 2.1 ta có thể tìm một hàm
2
( )f H U∈
sao cho
m m
L T f
không hội tụ
về
f
trong
2

( )H U
khi
m → ∞
.
Sau đây là một minh họa bằng số cho sự hội tụ của
m m
L T f
về
f
trong
2
( )H U
:
Chọn
( ) sin , [0, ]; , 1,2,3
1
i
f x x x x i m
i
π
π
= ∈ = =
+
Với
11m =
, thì đa thức Lagrange xấp xỉ tốt
17
Với
12m
=

, thì đa thức Lagrange có sự phân kỳ
Với
13m =
, thì đa thức Lagrange phân kỳ mạnh
2.3. Điều kiện đủ cho sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt
Trước hết, chúng ta xem xét hệ thống điểm
{ }
( )m
n
z
mà thỏa một vài tính chất.
Lấy
(0,1)
σ
∈
, ta đặt:
18
Hình 2.1
Hình 2.2
Hình 2.3