Luận văn: ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHÓM TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP ppt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC KHOA HỌC
================




Nguyễn Tuyết Nga





LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC







ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHÓM
TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP

Thái Nguyên, năm 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC KHOA HỌC
================




Nguyễn Tuyết Nga







ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHÓM
TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP


Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.40

Hướng dẫn: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn







Thái Nguyên, năm 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Kiến thức chuẩn bị về lí thuyết nhóm 5
1.1 Nhóm, nhóm xylic và nhóm con . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Định lí Lagrange, đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Tác động của nhóm lên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Công thức các lớp và Định lí Burnside . . . . . . . . . . 10
2 Một số ứng dụng vào số học 15
2.1 Một số ứng dụng đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Một số ứng dụng của Định lí Lagrange . . . . . . . . . . 19
2.3

Ưng dụng của Công thức các lớp và Định lí Burnside . . 20
3

Ưng dụng vào tổ hợp 26
3.1 Nhóm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2

Ưng dụng vào tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
2
Lời cảm ơn
Sau hơn nửa năm nghiên cứu miệt mài, luận văn thạc sĩ của tôi với đề
tài nghiên cứu

Ưng dụng của lý thuyết nhóm trong một số bài toán sơ
cấp đ đợc hoàn thành. Những kết qủa ban đầu mà tôi thu đợc đó là
nhờ sự hớng dẫn tận tình và nghiêm khắc của cô giáo PGS. TS Lê Thị
Thanh Nhàn. Tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo và Khoa
Toán-Tin của Trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đ tạo
mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành đề tài này trong thời gian qua.
Đội ngũ cán bộ thuộc phòng Đào tạo và Khoa Toán - Tin đ hết lòng
ủng hộ, giúp đỡ lớp cao học Khóa I chúng tôi với một thái độ nhiệt tình,
thân thiện nhất. Điều này sẽ mi là ấn tợng rất tốt đẹp trong lòng mỗi
chúng tôi đối với nhà Trờng.
Tôi cũng rất tự hào rằng trong quá trình học tập đ đợc Trờng Đại
học Khoa học - Đại học Thái Nguyên bố trí những nhà toán học hàng
đầu Việt nam về lĩnh vực Phơng pháp toán sơ cấp giảng dạy cho chúng
tôi nh GS Hà Huy Khoái, GS Nguyễn Minh Hà, GS Phan Huy Khải
Và cũng là lời cảm ơn chân thành của tôi tới bạn bè, những ngời

thân đ luôn động viên, cổ vũ tôi trong suốt qúa trình nghiên cứu.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
3
Lời nói đầu
Lí thuyết nhóm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng
của Đại số hiện đại. Lí thuyết này có những ứng dụng sâu sắc trong
nhiều hớng khác nhau của toán học, vật lí Đặc biệt, một số kĩ thuật
trong lí thuyết nhóm đ đợc sử dụng để mang lại những kết quả đẹp
của toán sơ cấp. Chẳng hạn, tính giải đợc của các đa thức đ đợc giải
quyết trọn vẹn bởi E. Galois thông qua việc sử dụng các kiến thức của lí
thuyết nhóm phối hợp một cách tài tình với lí thuyết trờng và đa thức.
Trong luận văn này, chúng tôi khai thác một số ứng dụng của lí thuyết
nhóm vào toán sơ cấp ở 2 lĩnh vực: Số học và Tổ hợp. Công cụ chủ yếu
của lí thuyết nhóm đợc vận dụng ở đây là Định lý Lagrange Cấp và
chỉ số của một nhóm con của một nhóm hữu hạn là ớc của cấp của toàn
nhóm và Định lý Burnside Nếu nhóm hữu hạn G tác động lên tập hữu
hạn X thì số quỹ đạo của tác động là
1
(G : e)

gG
f(g), trong đó f(g) là
số phần tử của X cố định qua tác động của g.
Luận văn đợc trình bày trong 3 chơng. Chơng 1 là những kiến
thức chuẩn bị về lý thuyết nhóm nhằm phục vụ cho 2 chơng sau, bao
gồm các khái niệm và tính chất cơ bản về nhóm, đồng cấu nhóm, nhóm
đối xứng và tác động của nhóm lên tập hợp. Các kiến thức và thuật ngữ
của Chơng I đợc tham khảo chủ yếu trong các cuốn sách về lý thuyết
nhóm của J. Rotman [Rot] và J. F. Humphreys [Hum].
Chơng 2 là một số ứng dụng vào số học. Một số kết quả ở các Tiết

2.1 và 2.2 là sự tổng hợp lại theo một chủ đề những ứng dụng đ biết
của lí thuyết nhóm trong số học (xem 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.2.1, 2.2.2),
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
4
nhng cũng có những tính chất mà tác giả luận văn tự tìm tòi bằng hiểu
biết của mình (xem 2.1.1, 2.1.2). Tiết 2.3, đợc trình bày theo bài báo
công bố năm 2005 của T. Evans và B. Holt [EH], chứng minh lại những
công thức số học cổ điển bằng phơng pháp sử dụng công thức các lớp
và Định lý Burnside trong lí thuyết nhóm.
Chơng cuối của luận văn là những ứng dụng của lý thuyết nhóm vào
một số bài toán tổ hợp. Thực chất, khi có lí thuyết nhóm soi vào, các
bài toán tổ hợp này đ bớt phức tạp hơn, cách giải quyết nó cũng không
còn là những mẹo mực hay bí ẩn dễ nhầm lẫn của Toán tổ hợp nữa, mà
nó trở thành rõ ràng, hệ thống và dễ hiểu.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
Chơng 1
Kiến thức chuẩn bị về lí thuyết nhóm
Mục đích của chơng này là nhắc lại một số kiến thức về nhóm, định
lí Lagrange, tác động của nhóm lên tập hợp, công thức các lớp và Định
lí Burnside. Kiến thức này là cần thiết cho những ứng dụng giải một số
bài toán sơ cấp đợc trình bày trong Chơng II và Chơng III. Các kiến
thức và thuật ngữ ở đây đợc tham khảo trong các cuốn sách về lí thuyết
nhóm [Ash], [Rot] và [Hum].
1.1 Nhóm, nhóm xylic và nhóm con
1.1.1. Định nghĩa. Nhóm là một tập G cùng với một phép toán thoả mn
các điều kiện
(i) Phép toán có tính kết hợp: a(bc) = (ab)c, a, b, c G.
(ii) G có đơn vị: e G sao cho ex = xe = x, x G.
(iii) Mọi phần tử của G đều khả nghịch: Với mỗi x G, tồn tại x
1

G
sao cho xx
1
= x
1
x = e.
Một nhóm G đợc gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel) nếu phép
toán là giao hoán. Nếu G có hữu hạn phần tử thì số phần tử của G đợc
gọi là cấp của G. Nếu G có vô hạn phần tử thì ta nói G có cấp vô hạn.
Một số ví dụ về nhóm.
5
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
6
- Tập Z các số nguyên, tập Q các số hữu tỷ, tập R các số thực, tập C
các số phức với phép cộng thông thờng đều là nhóm giao hoán cấp vô
hạn.
- Tập S(X) các song ánh từ một tập X đến chính nó với phép hợp
thành các ánh xạ là một nhóm, gọi là nhóm đối xứng của X. Nếu X có
n phần tử thì S(X) có cấp n! và nhóm này không giao hoán khi n 3.
- Với mỗi số tự nhiên m 1, tập Z
m
các lớp thặng d theo môđun m
với phép cộng các lớp thặng d là một nhóm giao hoán cấp m. Tập Z

m
các lớp thặng d theo môđun m nguyên tố cùng nhau với m với phép
nhân các lớp thặng d là một nhóm giao hoán cấp (m), trong đó là
hàm Euler.
Một số tính chất cơ sở: Cho G là một nhóm với đơn vị e. Khi đó
- Phần tử đơn vị của G là duy nhất.

- Phần tử nghịch đảo của mỗi phần tử của G là duy nhất.
- Mọi phần tử của G đều chính quy, tức là thỏa mn luật giản ớc.
1.1.2. Định nghĩa. Tập con H của một nhóm G đợc gọi là nhóm con
của G nếu e H và a
1
H, ab H với mọi a, b H.
1.1.3. Định nghĩa. Một nhóm G đợc gọi là xyclic nếu tồn tại a G
sao cho mỗi phần tử của G đều là một luỹ thừa của a. Trong trờng hợp
này G đợc gọi là nhóm xyclic sinh bởi a và viết G =< a > .
Chú ý rằng nhóm con của nhóm xyclic là xyclic. Cho G là một nhóm
và a G. Đặt
< a >= {a
n
| n Z}.
Khi đó < a > là nhóm con của G, đợc gọi là nhóm con xyclic sinh bởi
a. Cấp của nhóm con < a > đợc gọi là cấp của phần tử a. Dễ thấy
rằng a có cấp vô hạn nếu và chỉ nếu a
n
= 0 kéo theo n = 0 với mọi
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
7
n Z. Hơn nữa, a có cấp n nếu và chỉ nếu n là số nguyên dơng bé
nhất sao cho a
n
= e.
1.1.4. Định nghĩa. Cho A là tập con của một nhóm G. Khi đó tồn tại
những nhóm con của G chứa A, chẳng hạn G. Giao của tất cả các nhóm
con của G chứa A là nhóm con nhỏ nhất của G chứa A. Nhóm con này
đợc gọi là nhóm con sinh bởi tập A và kí hiệu là < A > .
Rõ ràng nhóm con sinh bởi tập rỗng là {e}. Nếu A = thì

< A >= {a
1
a
2
. . . a
n
| n N, a
1
, . . . , a
n
A A
1
},
trong đó A
1
= {x
1
| x A}.
1.2 Định lí Lagrange, đồng cấu nhóm
1.2.1. Định nghĩa. Cho H là một nhóm con của một nhóm G. Ta định
nghĩa quan hệ trên G nh sau: a b nếu và chỉ nếu ab
1
H với
mọi a, b G. Dễ kiểm tra đợc là một quan hệ tơng đơng tren G.
Với mỗi a G, gọi a là lớp tơng đơng của a. Ta có
a = {ha | h H} = Ha.
Mỗi lớp tơng đơng Ha đợc gọi là một lớp ghép trái của H trong G.
Tập thơng của G theo quan hệ tơng đơng đợc kí hiệu bởi G/H.
Khi H chỉ có hữu hạn lớp ghép trái thì ta gọi chỉ số của H trong G, kí
hiệu là (G : H), là số các lớp ghép trái của H.

1.2.2. Định lý. (Định lí Lagrange). Trong một nhóm hữu hạn, cấp và
chỉ số của một nhóm con là ớc của cấp của toàn nhóm.
Sau đây là một số hệ quả trực tiếp của Định lí Lagrange.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
8
- Cho G là nhóm cấp n và a G. Khi đó cấp của a là ớc của n.
Hơn nữa, a
n
= e.
- Mỗi nhóm cấp nguyên tố đều là nhóm xylic sinh bởi một phần tử
tùy ý khác đơn vị.
- Mọi nhóm cấp 5 đều giao hoán.
1.2.3. Định nghĩa. Cho G là một nhóm. Một nhóm con H của G đợc
gọi là nhóm con chuẩn tắc nếu Ha = aH với mọi a G.
Cho H là nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G. Kí hiệu G/H là tập
các lớp ghép trái của H trong G. Khi đó quy tắc nhân
HaHb = Hab với mọi Ha, Hb G/H
là một phép toán trên G/H, và cùng với phép toán này, G/H làm thành
một nhóm. Nhóm G/H xác định nh trên đợc gọi là nhóm thơng của
G theo nhóm con chuẩn tắc H.
1.2.4. Định nghĩa. Cho G và H là các nhóm.

Anh xạ f : G H
đợc gọi là đồng cấu nhóm nếu f(xy) = f (x)f(y) với mọi x, y G.
Một đồng cấu nhóm đợc gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu nó là
đơn ánh (toàn ánh, song ánh). Hai nhóm G và H đợc gọi là đẳng cấu
với nhau, viết là G

=
H, nếu có một đẳng cấu giữa G và H.

Một số tính chất:
- Hợp thành của hai đồng cấu nhóm là một đồng cấu nhóm.
- Nếu f : G H là đồng cấu nhóm thì f(x
1
) = (f(x))
1
và
f(e) = e với mọi x G.
- Nếu f : G H là đồng cấu nhóm, A là nhóm con của G và B là
nhóm con của H thì f(A) là nhóm con của H và f
1
(B) là nhóm con
của G. Hơn nữa, nếu B là nhóm con chuẩn tắc thì f
1
(B) là nhóm con
chuẩn tắc.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
9
1.2.5. Định nghĩa. Giả sử f : G H là đồng cấu nhóm. Khi đó tập
Ker f = {x G | f(x) = e}
là một nhóm con chuẩn tắc của G và đợc gọi là hạt nhân của f. Tập
Im f = f(G) là một nhóm con của H và đợc gọi là ảnh của f.
1.2.6. Định lý. (Định lí đồng cấu nhóm). Cho f : G H là đồng
cấu nhóm. Khi đó G/ Ker f

=
Im f.
1.3 Tác động của nhóm lên tập hợp
1.3.1. Định nghĩa. Cho S là một tập hợp và G là một nhóm với e là đơn
vị của G. Một tác động trái của G lên S là một ánh xạ G ì S S

sao cho nếu ta kí hiệu ảnh của phần tử (x, s) G ì S là xs thì ta có
(i) x(ys) = (xy)s với mọi x, y G, s S.
(ii) es = s với mọi s S.
Hoàn toàn tơng tự, chúng ta có khái niệm tác động phải. Khi có một
tác động trái từ G lên S thì ta nói S là một Gtập, và ảnh của phần tử
(x, s) G ì S qua tác động này đợc kí hiệu là xs hoặc x s. Từ nay
trở đi chúng ta chỉ xét các tác động trái, và để thuận tiện ta gọi chúng là
các tác động.
Ta thấy rằng nhóm G tác động lên tập S nếu và chỉ nếu với mỗi x G,
có một ánh xạ từ S đến S cho ứng mỗi s S với phần tử kí hiệu là
xs S sao cho x(ys) = (xy)s và es = s với mọi x, y G, s S. Ta gọi
phần tử xs là tác động của x lên s. Với x G, ánh xạ cho ứng s S
với xs S đợc gọi là ánh xạ liên kết của x.
Một số ví dụ về tác động của nhóm lên tập hợp.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
10
- Cho G là nhóm. Khi đó G tác động lên chính nó bằng phép liên
hợp nh sau: Với x, a G, ta dùng kí hiệu x a cho tác động của x lên
a, và đặt x a = xax
1
. Ta gọi xax
1
là liên hợp của a bởi x.
- Cho G là nhóm. Kí hiệu S là tập các tập con của G. Khi đó nhóm
G tác động lên tập S bằng phép nhân nh sau: Với x G và H S, ta
dùng kí hiệu x H cho tác động của x lên H, và đặt x H = xH.
- Cho G là nhóm và A là nhóm con của G. Nhóm con B của G đợc
gọi là liên hợp với A nếu tồn tại x G sao cho B = xAx
1
. Chú ý rằng

nếu B liên hợp với A và C liên hợp với B thì C liên hợp với A. Kí hiệu
S là tập các nhóm con của G liên hợp với A. Khi đó G tác động lên S
bằng cách liên hợp nh sau: với mỗi x G, B S, đặt x B = xBx
1
.
1.4 Công thức các lớp và Định lí Burnside
1.4.1. Bổ đề. Cho G là nhóm và S là một Gtập. Với s S, đặt
G
s
= {a G | as = s}.
Khi đó G
s
là nhóm con của G.
Chứng minh. Cho s S. Vì es = s nên e G
s
. Cho x, y G
s
. Khi đó
xs = s và ys = s. Vì thế (xy)s = x(ys) = xs = s. Suy ra xy G
s
.
Cuối cùng, cho x G
s
. Khi đó xs = s. Vì thế
s = es = (x
1
x)s = x
1
(xs) = x
1

s.
Suy ra x
1
G
s
. Vậy G
s
là nhóm con của G.
Nhóm con G
s
định nghĩa trong Bổ đề 1.4.1 đợc gọi là nhóm con
đẳng hớng của G ứng với phần tử s.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
11
1.4.2. Định nghĩa. Cho G là nhóm, S là Gtập và s S. Đặt
Gs = {xs | x G}.
Khi đó Gs là bộ phận của S. Ta gọi Gs là quỹ đạo của s trong S.
Sau đây là một số ví dụ về nhóm con đẳng hớng và quỹ đạo.
- Xét tác động chính quy của G lên chính nó: x a = xa, với mọi
x, a G. Với a G, kí hiệu Ga là quỹ đạo của a. Với mỗi y G ta
có y = (ya
1
)a Ga. Do đó Ga = G. Vì thế tác động này chỉ có 1 quỹ
đạo, đó là G. Nhóm con đẳng hớng ứng với a là
G
a
= {x G : xa = a} = {e}.
- Xét tác động của nhóm G lên chính nó bằng phép liên hợp: x a =
xax
1

với mọi x, a G. Với a G, quỹ đạo của a là
Ga = {x a | x G} = {xax
1
| x G}.
Nhóm con đẳng hớng ứng với a là
G
a
= {x G | xax
1
= a} = {x G | xa = ax}.
- Kí hiệu S là tập các nhóm con của một nhóm G. Xét tác động của
nhóm G lên S bằng phép liên hợp: x H = xHx
1
với mọi x G và
mọi H S. Với H S, quỹ đạo của H là {xHx
1
| x G} - tập các
nhóm con liên hợp với H; nhóm con đẳng hớng của H là
G
H
= {x G | xH = Hx}.
1.4.3. Mệnh đề. Cho G là nhóm và S là Gtập. Khi đó
(i) Gs = với mọi s S.
(ii) S =

sS
Gs.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
12
(iii) Gs = Gr hoặc Gs Gr = với mọi s, r S.

Chứng minh. (i), (ii). Vì s = es Gs nên Gs = . Suy ra S =

sS
Gs.
(iii). Giả sử Gs Gr = . Khi đó tồn tại x, y G sao cho xs = yr. Suy
ra s = es = x
1
xs = x
1
yr. Cho as Gs. Ta có as = (ax
1
y)r Gr.
Do đó Gs Gr. Tơng tự Gr Gs, và vì thế Gs = Gr.
Mệnh đề 1.4.3 chỉ ra rằng tập các quỹ đạo trong S làm thành một
phép phân hoạch trên S.
1.4.4. Định lý. (Công thức các lớp). Cho G là nhóm, S là Gtập và
s S. Kí hiệu G/G
s
là tập các lớp ghép trái của nhóm con đẳng hớng
G
s
. Khi đó tơng ứng f : G/G
s
Gs cho bởi f(xG
s
) = xs là một
song ánh. Giả thiết thêm rằng S là một tập hữu hạn. Khi đó chỉ số của
G
s
chính là số phần tử của quỹ đạo Gs. Hơn nữa, nếu Gs

1
, . . . , Gs
t
là
các quỹ đạo đôi một rời nhau trong S thì
Card(S) = Card

t

i=1
Gs
i

=
t

i=1
(G : G
s
i
), ()
trong đó Card(S) là số phần tử của S và (G : G
s
i
), i = 1, . . . , t, là chỉ
số của nhóm con đẳng hớng G
s
i
.
Chứng minh. Giả sử xG

s
= yG
s
G/G
s
. Khi đó x
1
y G
s
. Suy ra
x
1
ys = s. Do đó ys = xs. Vì thế f là ánh xạ. Rõ ràng f là toàn ánh.
Cho f(xG
s
) = f(yG
s
). Khi đó xs = ys. Do đó (x
1
y)s = s. Suy ra
x
1
y G
s
. Do đó xG
s
= yG
s
. Vì thế f là đơn ánh. Suy ra f là song
ánh. Giả sử S là tập hữu hạn. Khi đó quỹ đạo Gs là tập hữu hạn với

mọi s S. Do f là song ánh nên (G : G
s
) = Card(Gs) với mọi s S.
Vì thế công thức (*) đợc chứng minh.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
13
1.4.5. Định lý. (Định lí Burnside). Giả sử một nhóm hữu hạn G tác
động lên một tập hữu hạn X. Với mỗi g G, kí hiệu f(g) là số phần
tử của X cố định qua tác động của g, tức là số phần tử của tập hợp
{x X : gx = x}. Khi đó số quỹ đạo của tác động là
1
(G : e)

gG
f(g).
Ngời ta gọi
1
(G : e)

gG
f(g) là số điểm cố định trung bình qua tác
động của các phần tử của G. Theo định lí trên, số quỹ đạo của tác động
chính là số điểm cố định trung bình.
Chứng minh. Chúng ta dùng một kĩ thuật chuẩn tắc của tổ hợp gọi là kĩ
thuật tính toán theo 2 cách để chứng minh. Gọi T là tập các cặp sắp
thứ tự (g, x) sao cho g G, x X và gx = x. Với mỗi x X, số các
phần tử g G sao cho (g, x) T chính là cấp của nhóm con đẳng hớng
G
x
của x. Vì thế ta có

Card(T ) =

xX
(G
x
: e),
trong đó (G
x
: e) là cấp của G
x
. Với mỗi g G, số phần tử x X sao
cho (g, x) T chính là f(g). Vì thế
Card(T ) =

gG
f(g).
Từ hai đẳng thức trên ta có

xX
(G
x
: e)
(G : e)
=
1
(G : e)

gG
f(g).
Gọi t là số quỹ đạo. Gọi Gx

1
, . . . , Gx
t
là các quỹ đạo. Vì các quỹ đạo
là đôi một rời nhau và X là hợp của các quỹ đạo nên ta có

xX
(G
x
: e)
(G : e)
=

xGx
1
(G
x
: e)
(G : e)
+ . . . +

xGx
t
(G
x
: e)
(G : e)
.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
14

Víi mçi i = 1, . . . , t, theo §Þnh lÝ 1.4.4, tæng

x∈Gx
i
(G
x
: e)
(G : e)
bao gåm
Card(Gx
i
) sè h¹ng, mçi sè h¹ng ®Òu b»ng
1
Card(Gx
i
)
. V× thÕ

x∈Gx
i
(G
x
: e)
(G : e)
= 1
víi mäi i = 1, . . . , t. Suy ra

x∈X
(G
x

: e)
(G : e)
= t.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chơng 2
Một số ứng dụng vào số học
2.1 Một số ứng dụng đơn giản
Nhận xét mở đầu. Giả sử p là số nguyên tố. Khi đó Z

p
= {1, . . . , p 1}
là một nhóm với phép nhân các lớp thặng d theo môđun p. Vì nghịch
đảo của hai phần tử khác nhau trong Z

p
là khác nhau nên ta luôn có
{1
1
, 2
1
, . . . , (p 1)
1
} = {1, 2, . . . , p 1}.
Bây giờ ta áp dụng nhận xét này để chứng minh một số bài toán về
số học liên quan đến số nguyên tố, đợc thể hiện qua các mệnh đề sau.
2.1.1. Mệnh đề. Cho p > 2 là một số nguyên tố. Viết biểu thức
1
1
+
1

2
+ . . . +
1
p 1
dới dạng phân số tối giản a/b. Khi đó p là ớc của a.
Chứng minh. Theo nhận xét trên, trong Z
p
ta có
1
1
+
1
2
+ . . . +
1
p 1
=
p1

i=1
(i)
1
=
p1

i=1
i.
Với mọi số tự nhiên n 1, bằng quy nạp theo n ta có
1 + 2 + . . . + n =
n(n + 1)

2
.
15
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
16
Vì p > 2 là số nguyên tố nên p 1 là số chẵn. Do đó
p1

i=1
i =
p(p 1)
2
là số nguyên chia hết cho p, tức là
p1

i=1
(i)
1
=
p1

i=1
i = 0 Z
p
. Vì thế p
là ớc của a.
Cho k > 1 là số tự nhiên và p là số nguyên tố. Nếu
p1

i=1

i
k
chia hết
cho p thì ta có kết quả tơng tự đối với tổng
1
1
k
+
1
2
k
+ . . . +
1
(p 1)
k
.
Chẳng hạn, với k = 2 hoặc k = 3 ta có kết quả sau.
2.1.2. Mệnh đề. Cho p là số nguyên tố. Giả sử
a
b
=
1
1
2
+
1
2
2
+ . . . +
1

(p 1)
2
a

b

=
1
1
3
+
1
2
3
+ . . . +
1
(p 1)
3
,
trong đó a/b và a

/b

là những phân số tối giản. Khi đó
i) Nếu p > 3 thì p là ớc của a.
ii) Nếu p > 2 thì p là ớc của a

.
Chứng minh. (i) Theo nhận xét trên, trong Z
p

ta có
1
1
2
+
1
2
2
+ . . . +
1
(p 1)
2
=
p1

i=1
(i
1
)
2
=
p1

i=1
i
2
.
Với mọi số tự nhiên n 1, bằng quy nạp theo n ta có
1
2

+ 2
2
+ . . . + n
2
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
.
Vì p > 3 là số nguyên tố nên p không là bội của 3 và cũng không là bội
của 2. Do đó 1
2
+ 2
2
+ . . . + (p 1)
2
=
(p 1)p(2p 1)
6
là số nguyên
chia hết cho p, tức là
p1

i=1
i
2
= 0 Z
p
. Do đó p là ớc của a.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
17

(ii) Tơng tự ta có
1
1
3
+
1
2
3
+ . . . +
1
(p 1)
3
=
p1

i=1
(i
1
)
3
=
p1

i=1
i
3
.
Với mọi số tự nhiên n 1, bằng quy nạp theo n ta có
1
3

+ 2
3
+ . . . + n
3
=
n
2
(n + 1)
2
4
.
Vì p > 2 là số nguyên tố nên (p 1)
2
chia hết cho 4. Do đó
1
3
+ 2
3
+ . . . + (p 1)
3
=
(p 1)
2
p
2
4
là số nguyên chia hết cho p, tức là
p1

i=1

i
3
= 0 Z
p
. Vì thế p là ớc của
a

.
Nhận xét trên có thể sử dụng để chứng minh kết quả sau đây.
2.1.3. Mệnh đề. (Định lí Wilson). Số tự nhiên p là số nguyên tố nếu và
chỉ nếu (p 1)! 1 (mod p).
Chứng minh. Cho p nguyên tố. Nếu p = 2 thì (2 1)! 1 (mod 2).
Cho p > 2. Khi đó p lẻ. Trong nhóm nhân Z

p
= {1, . . . , p 1}, nghịch
đảo của 1 là 1, nghịch đảo của p 1 là p 1. Hơn nữa, nghịch đảo của a
khác a với 1 < a < p 1. Thật vậy, nếu ngợc lại ta có a
2
1 (mod p),
do đó p là ớc của a
2
1 = (a 1)(a + 1), điều này là vô lí. Nh vậy ta
có thể nhóm p 3 phần tử {2, . . . , p 2} của Z

p
thành (p 3)/2 cặp,
mỗi cặp là nghịch đảo của nhau. Suy ra 2 . . . (p 2) = 1 Z

p

. Do đó
(p 1)! = 2 . . . (p 2)(p 1) 1.(p 1) 1 (mod p).
Ngợc lại, giả sử (p 1)! 1 (mod p). Giả sử p không nguyên tố.
Gọi a là một ớc thực sự của p. Khi đó 1 < a < p. Do đó a là ớc của
(p 1)!. Vì (p 1)! + 1 là bội của p nên nó là bội của a. Lại do a là
ớc của (p 1)! nên a là ớc của 1, điều này là vô lí.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
18
Chú ý rằng nhóm con của một nhóm xyclic là xyclic. Từ nhận xét
này ta có thể chứng minh kết quả sau đây.
2.1.4. Bổ đề. Cho a
1
, . . . , a
n
là các số tự nhiên không đồng thời bằng
0. Giả sử d = gcd(a
1
, . . . , a
n
). Khi đó tồn tại các số nguyên x
1
, . . . , x
n
sao cho d = a
1
x
1
+ . . . + a
n
x

n
.
Chứng minh. Đặt H = {a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
| x
i
Z, i}. Khi đó
H là nhóm con của nhóm cộng Z. Vì Z xylic nên H là xyclic, tức là
H = tZ với t N. Ta khẳng định t = gcd(a
1
, . . . , a
n
). Vì
a
i
= 0a
1
+ . . . + 0a
i1
+ 1a

i
+ 0a
i+1
+ . . . + 0a
n
nên a
i
H = tZ, suy ra a
i
chia hết cho t với mọi i = 1, . . . , n. Giả sử
r là một ớc chung của a
1
, . . . , a
n
. Vì t H nên t biểu diễn đợc dới
dạng t = a
1
x
1
+ . . . + a
n
x
n
, trong đó x
1
, . . . , x
n
Z. Do x
i
chia hết

cho t với mọi i = 1, . . . , n nên t chia hết cho r. Vậy t là ớc chung lớn
nhất của các a
i
. Suy ra d = t. Do đó ta có kết quả.
2.1.5. Mệnh đề. (Định lí Bezout). Các số nguyên a
1
, . . . , a
n
là nguyên
tố cùng nhau nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên x
1
, . . . , x
n
sao cho
1 = a
1
x
1
+ . . . + a
n
x
n
.
Chứng minh. Đặt H = {a
1
x
1
+a
2
x

2
+. . . +a
n
x
n
| x
i
Z, i}. Theo bổ
đề trên, H = dZ với d = gcd(a
1
, . . . , a
n
). Nếu d = 1 thì H = Z. Do đó
1 H, vì thế 1 có biểu diễn 1 = a
1
x
1
+ . . . + a
n
x
n
với x
1
, . . . , x
n
Z.
Ngợc lại, nếu có biểu diễn 1 = a
1
x
1

+ . . . + a
n
x
n
thì 1 H = dZ. Suy
ra d = 1.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
19
2.2 Một số ứng dụng của Định lí Lagrange
Trong tiết này, chúng ta sử dụng Định lí Lagrange phát biểu ở Chơng I
để chứng minh một số kết quả trong số học.
2.2.1. Mệnh đề. (Định lí Fermat bé). Cho p là một số nguyên tố và a
là một số nguyên. Khi đó a
p
a (mod p).
Chứng minh. Xét nhóm nhân Z

p
các lớp thặng d theo môđun p nguyên
tố cùng nhau với p. Nhóm này có cấp p 1. Nếu a là bội của p thì a
p
cũng là bội của p và do đó a
p
a (mod p). Trờng hợp ngợc lại thì
gcd(a, p) = 1. Do đó a Z

p
. Trong nhóm Z

p

, áp dụng Định lí Lagrange
ta có a
p1
= 1, tức là a
p1
1 (mod p). Suy ra a
p
a (mod p).
2.2.2. Mệnh đề. (Định lí Euler). Cho m > 1 là một số tự nhiên và a
là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với m. Kí hiệu là hàm Euler.
Khi đó a
(m)
1 (mod m).
Chứng minh. Xét nhóm nhân Z

m
các lớp thặng d theo môđun m nguyên
tố cùng nhau với m. Nhóm này có cấp (m). Vì gcd(a, m) = 1 nên
a Z

m
. Trong nhóm Z

m
, áp dụng Định lí Lagrange ta có a
(m)
= 1, tức
là a
(m)
1 (mod m).

Cho G = (a) là nhóm xyclic cấp n. Khi đó phần tử a
k
là phần tử
sinh của G nếu và chỉ nếu gcd(n, k) = 1. Vì thế G có đúng (n) phần
tử sinh, trong đó là hàm Euler. Hơn nữa, nếu d là một ớc của n thì G
có duy nhất một nhóm con cấp d, đó là nhóm con sinh bởi phần tử a
n/d
.

Ap dụng Định lí Lagrange kết hợp với nhận xét này, ta có đồng nhất
Euler sau đây.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
20
2.2.3. Mệnh đề. Gọi là hàm Euler. Nếu n > 0 là một số nguyên thì
n =

d|n
(d).
Chứng minh. Chọn G là một nhóm xyclic cấp n, chẳng hạn G là nhóm
Z
n
với phép cộng các lớp thặng d theo môđun n. Xét quan hệ trên G
cho bởi x y nếu và chỉ nếu các nhóm con xylic sinh bởi x và y là nh
nhau. Dễ thấy là quan hệ tơng đơng trên G. Kí hiệu cl(x) là lớp
tơng đơng của phần tử x G. Khi đó
cl(x) = {y G : (y) = (x)}
= {y G : y là phần tử sinh của (x)}.
Giả sử cấp của x là d. Theo Định lí Lagrange, d là ớc của n. Từ nhận
xét trên, mỗi phần tử y = x
k

là phần tử sinh của nhóm con (x) nếu và
chỉ nếu (k, d) = 1. Vì thế cl(x) gồm đúng (d) phần tử. Gọi x
1
, . . . , x
k
là các đại diện của các lớp tơng đơng rời nhau. Khi đó G là hợp của
k tập rời nhau
G = cl(x
1
) cl(x
2
) . . . cl(x
k
).
Do G là nhóm xyclic nên theo nhận xét trên, mỗi ớc d của n có duy
nhất một nhóm con xyclic cấp d của G. Suy ra n có đúng k ớc, mỗi ớc
là cấp của một và chỉ một nhóm (x
i
) nào đó. Vì thế n =

d|n
(d).
2.3

Ưng dụng của Công thức các lớp và Định lí Burnside
Định lí 2.3.1 và Định lí 2.3.2 đợc trình bày dựa vào bài báo năm 2005
của Tyler J. Evans và Benjamin V. Holt [EH].
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
21
Kí hiệu à là hàm M

obius, tức là à(1) = 1 và với n = p

1
1
. . . p

k
k
là sự phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên n thì à(n) = (1)
k
nếu

1
= . . . =
k
= 1 và à(n) = 0 nếu tồn tại i sao cho
i
> 1. Chú ý
rằng nếu f(n) và g(n) là các hàm số học sao cho g(n) =

d|n
f(d) thì
f(n) =

d/n
à(n/d) g(d).
Định lí sau đây là một kết quả cổ điển của lí thuyết số, đợc viết
trong cuốn sách History of the Theory Numbers năm 1919 của L. E.
Dickson. Trong luận văn này, chúng ta đa ra một chứng minh khác bằng

phơng pháp sử dụng tác động nhóm lên tập hợp và Công thức các lớp.
2.3.1. Định lý. Với mọi số nguyên dơng n và k ta có

d|n
à(n/d) k
d
0 (mod n).
Chứng minh. Hiển nhiên định lí đúng với n = 1. Cho n > 1. Xét hàm
số phức h : C C cho bởi h(z) = z
k
. Với mỗi n > 1, đặt
P
n
= {z C | n là số nguyên dơng bé nhất để h
n
(z) = z}.
Cho thuận tiện, với mỗi tập hợp hữu hạn A, kí hiệu | A | là số phần tử
của A. Trớc hết ta khẳng định rằng n là ớc của | P
n
|. Thật vậy, cho
k = 1. Khi đó với mỗi z C, số nguyên dơng t bé nhất để h
t
(z) = z
là số nguyên dơng t bé nhất để z
1
t
= z, và số này chính là 1. Vì n > 1
nên với mỗi z C cho trớc, n không thể là số nguyên dơng bé nhất
thoả mn tính chất h
n

(z) = z. Vì thế tập
P
n
= {z C | n là số nguyên dơng bé nhất để h
n
(z) = z}
là tập rỗng, tức là | P
n
|= 0, khẳng định là đúng trong trờng hợp k = 1.
Cho k > 1. Giả sử z P
n
. Khi đó n là số nguyên dơng bé nhất để
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
22
h
n
(z) = z
k
n
= z. Từ đó, ta có thể chỉ ra rằng n là số nguyên dơng bé
nhất để
h
n
(z
k
a
) = (z
k
a
)

k
n
= (z
k
n
)
k
a
= z
k
a
,
tức là z
k
a
P
n
với mọi số tự nhiên a với 0 a < n. Vì thế ta có tác
động của nhóm cộng Z
n
vào tập P
n
cho bởi a z = z
k
a
với mọi a Z
n
và mọi z P
n
. Với z P

n
bất kì, n là số nguyên dơng bé nhất để
z
k
n
= z. Vì thế nhóm con đẳng hớng của z là
{a Z
n
| a z = z} = {a Z
n
| 0 a < n, z
k
a
= z}
= {0}.
Do đó chỉ số của nhóm con đẳng hớng của z là n. Theo Công thức các
lớp, số phần tử của quỹ đạo của z là n. Vì P
n
là hợp của các quỹ đạo
rời nhau, mỗi quỹ đạo đều có n phần tử nên n là ớc của | P
n
|, trong
đó | P
n
| là số phần tử của P
n
. Khẳng định đợc chứng minh.
Tiếp theo ta tính | P
n
| theo k và n. Với mỗi số nguyên dơng n, đặt

X
n
= {z C | h
n
(z) = z} = {z C | z
k
n
= z}.
Rõ ràng X
n
gồm đúng k
n
phần tử. Hơn nữa, X
n
=

d|n
P
d
và nếu d
1
= d
2
là các ớc nguyên dơng của n thì P
d
1
P
d
2
= . Vì thế k

n
=

d|n
| P
d
| .
Đặt f(n) =| P
n
| và g(n) = k
n
. Khi đó g(n) =

d|n
f(n). Suy ra
| P
n
|= f(n) =

d|n
à(n/d) g(d) =

d|n
à(n/d) k
d
.
Theo khẳng định trên, n là ớc của

d|n
à(n/d) k

d
.
Định lí sau đây là một kết quả cổ điển hơn của lí thuyết số, đợc
viết trong bài báo của P. A. MacMahon Applications of the theory of
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
23
permutations in circular procession to the theory of numbers, đăng trên
tạp chí Proc. London Math. Soc., năm 1891. Trong luận văn này, chúng
ta đa ra một chứng minh khác bằng việc sử dụng Định lí Burnside.
2.3.2. Định lý. Với mọi số nguyên dơng n và k ta có

d|n
(n/d) k
d
0 (mod n).
Chứng minh. Với mỗi số nguyên dơng n, đặt
X
n
= {z C | h
n
(z) = z} = {z C | z
k
n
= z}.
Dễ thấy rằng quy tắc Z
n
ì X
n
X
n

cho bởi a z = z
k
a
là một tác
động của nhóm cộng Z
n
lên tập X
n
. Ta sẽ sử dụng Định lí Burnside đối
với tác động này để chứng minh định lí. Cho z X
n
và a là số tự nhiên
với 0 a < n. Ta dễ kiểm tra đợc z
k
a
= z nếu và chỉ nếu z
k
gcd(a,n)
= z,
trong đó gcd(a, n) là ớc chung lớn nhất của a và n. Với a, b Z
n
, tập
các điểm cố định qua tác động của a là
{z X
n
| a z = z} = {z X
n
| z
k
a

= z}
= {z X
n
| z
k
gcd(a,n)
= z}.
Do đó số phần tử cố định qua tác động của a Z
n
là k
d
với d = gcd(a, n).
Tơng tự, tập các điểm cố định qua tác động của b là
{z X
n
| b z = z} = {z X
n
| z
k
gcd(b,n)
= z}.
Vì thế nếu gcd(a, n) = gcd(b, n) thì tập các điểm cố định qua tác động
của a và của b là nh nhau. Hơn nữa, với d là một ớc nguyên dơng
của n thì có đúng (n/d) số tự nhiên j {1, . . . , n} với gcd(j, n) = d.
Vì thế, với mỗi ớc tự nhiên d của n, có đúng (n/d) phần tử của Z
n
có ớc chung lớn nhất với n bằng d và có cùng tập điểm cố định qua tác
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn