Hình Học Vi Phân: Chương 3 Ánh xạ Gauss ppt

Chương 3
Ánh xạ Gauss
Khi nghiên cứu tốc độ thay đổi của tiếp tuyến của một đường cong C tại một điểm dẫn ta đến
một bất biến hình học quan trọng, độ cong tại điểm đang xét của đường cong. Khi nghiên cứu tốc
độ thay đổi của mặt phẳng mật tiếp, hay một cách tương đương tốc độ thay đổi của các vector
trùng pháp, ta có khái niệm độ xoắn, là bất biến hình học quan trọng thứ hai của đường cong.
Hai bất biến này phản ánh hình dáng địa phương tại từng điểm của đường cong. Một cách hoàn
toàn tương tự, chúng ta sẽ xét tốc độ biến thiên của mặt phẳng tiếp xúc trong một lân cận của
điểm p của một mặt chính qui hay một cách tương đương là tốc độ của trường pháp vector đơn vị
trong lân cận đó. Tốc độ biến thiên này không được đặc trưng bởi một con số mà được đặc trưng
bởi một tự đồng cấu tuyến tính tự liên hợp của T
p
S. Nhiều tính chất địa phương đáng ngạc nhiên
được tìm thấy từ sự nghiên cứu ánh xạ tuyến tính này.
Cho S là một mặt chính qui và X :−→ S là một tham số hóa địa phương của S. Như đã biết nếu
chúng ta chọn các vector pháp đơn vị tại mỗi điểm của X(U) như sau
N(p) =
X
u
∧ X
v
|X
u
∧ X
v
|
(p), p ∈ X(U );
chúng ta nhận được một ánh xạ khả vi
N : X(U) −→ R
3
p −→ N(p).

Cho V ⊂ S là tập mở. Một trường vector trên V là ánh xạ F : V −→ R
3
. Trường vector F được
gọi là liên tục, khả vi nếu ánh xạ F có các tính chất như vậy. Nếu F (p) ∈ T
p
S, ∀p ∈ V, thì ta nói
F là trường vector tiếp xúc trên V. Nếu F (p) ⊥ T
p
S, ∀p ∈ V, ta nói F là trường pháp vector trên
V. Nếu F(p) ⊥ T
p
S, |F (p)| = 1, ∀p ∈ V, ta nói F là trường pháp vector đơn vị trên V. Theo định
nghĩa này N (p) xác định như trên là một trường pháp vector đơn vị trên X(U).
3.1 Mặt định hướng
Định nghĩa 1. Một mặt chính qui S gọi là định hướng được nếu có một trường pháp vector đơn
vị liên tục N xác định trên toàn bộ mặt. Khi đó trường pháp vector N được gọi là một định hướng
1
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
của S. Một mặt chính qui định hướng là mặt chính qui định hướng được cùng hướng xác định N.
Do trên mỗi lân cận tọa độ X(U) đều có trường pháp vector đơn vị khả vi N(p) =
X
u
∧X
v
|X
u
∧X
v
|
nên

chúng ta có thể nói mọi mặt chính qui đều định hướng được một cách địa phương. Hơn nữa, theo
Mệnh đề ?? thì mọi mặt chính qui liên thông có đúng hai hướng.
Ví dụ 1. Dễ thấy rằng mặt phẳng là một mặt định hướng được.
Ví dụ ngay sau đây cho ta thấy có những mặt không định hướng được.
Ví dụ 2. Mặt M¨obius. Lấy một dải giấy hình chữ nhật. Dán hai cạnh đối diện lai với nhau sau
khi đã xoắn 180
0
. Mặt nhận được chính là mặt M¨obius. Chúng ta dễ nhận thấy rằng một vector
pháp sẽ đổi chiều sau khi trượt dọc theo đường chính giữa mặt đúng 1 vòng. Điều này cho thấy
mặt M¨obius là không thể định hướng được.
Hai mệnh đề tiếp theo cho ta các ví dụ khác về các mặt chính qui định hướng được.
Mệnh đề 3.1.1. Cho h : U ⊂ R
2
−→ R là một hàm khả vi. Khi đó đồ thị của h là một mặt chính
qui định hướng được.
Chứng minh. Xét tham số hóa
X(u, v) = (u, v, h(u, v)), (u, v) ∈ U.
Khi đó X(U) = G
h
và X là đơn ánh. Xét
N ◦ X =
X
u
∧ X
v
|X
u
∧ X
v
|

=
(−h
u
, h
v
, 1)

1 + h
2
u
+ h
2
v
Vì 1 + h
2
u
+ h
2
v
> 0, nên N là liên tục. ✷
Mệnh đề 3.1.2. Cho f : U ⊂ R
3
−→ R là hàm khả vi và a là một giá trị chính qui của f. Khi
đó S = f
−1
(a) là một mặt chính qui định hướng được.
Chứng minh. Lấy điểm bất kỳ p ∈ S, giả sử p = (x
0
, y
0

, z
0
). Xét đường tham số c(t) =
(x(t), y(t), z(t)), t ∈ (−, ) ⊂ R trên mặt S đi qua p với c(0) = p. Vì đường cong nằm trên
mặt nên
f(x(t), y(t), z(t)) = a, ∀t ∈ I.
Đạo hàm cả hai vế tại t = 0, ta nhận được
f
x
(p)x

(0) + f
y
(p)y

(0) + f
z
(p)z

(0) = 0.
Từ đây suy ra vector tiếp xúc của c tại t = 0 trực giao với (f
x
, f
y
, f
z
) tại p. Do điểm p và đường
tham số c được lấy tùy ý nên ta suy ra rằng
N(x, y, z) =


f
x

f
2
x
+ f
2
y
+ f
2
z
,
f
y

f
2
x
+ f
2
y
+ f
2
z
,
f
z

f

2
x
+ f
2
y
+ f
2
z

xác định trên toàn bộ S. Do a là điểm chính qui nên f
2
x
+ f
2
y
+ f
2
z
> 0 tại mọi điểm của mặt. Do
đó N là liên tục. ✷
2
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Bài tập 3.1. Giả sử rằng một mặt chính qui S là hợp của hai mặt chính qui S
1
và S
2
, S = S
1
∪S
2

.
Chứng minh nếu S
1
và S
2
định hướng được và S
1
∩ S
2
liên thông thì S định hướng được.
Bài tập 3.2. Cho S = S
1
∪ S
2
, với S, S
1
, S
2
là các mặt chính qui, S
1
, S
2
liên thông và S
1
∩ S
2
có
hai thành phần liên thông A và B. Chứng minh rằng nếu S
1
và S

2
có thể định hướng sao cho các
định hướng cảm sinh trên A là trùng nhau còn các định hướng cảm sinh trên B là đối nhau thì S
là mặt không định hướng được. Chứng minh đây cũng là trường hợp của băng Mobius.
Rất dễ nhận thấy rằng mọi mặt chính qui đều định hướng được một cách địa phương. Điều này
có nghĩa là cho dù mặt chính qui là không định hướng được, nhưng tại mỗi điểm, mỗi lân cận của
độ của mặt đều được định hướng bởi trường pháp vector đơn vị
N =
X
u
∧ X
v
|X
u
∧ X
v
|
.
Cho (S, N) là một mặt chính qui định hướng, P là một điểm trên mặt S. Chúng ta sẽ nói cở sở
của không gian tiếp xúc T
p
S là định hướng dương nếu det(a, b, N
p
) > 0. Trong trường hợp ngược
lại chúng ta sẽ nói cơ sở {a, b} là định hướng âm. Nếu f : S
1
−→ S
2
là ánh xạ khả vi, với S
1

, S
2
là hai mặt chính qui, có tính chất đạo hàm Df
p
tại mỗi điểm p ∈ S biến một cơ sở định hướng
dương thành một cơ sở định hướng dương thì ta nói f là ánh xạ bảo toàn hướng.
Một cách trực giác mỗi hướng của mặt cho ta một phía của mặt. Rất dễ hình dung mặt phẳng,
mặt cầu, mặt trụ . . . có hai phía. Mệnh đề sau đây cho phép ta khẳng định rằng, mọi mặt chính
qui liên thông định hướng được có đúng hai phía, hay nói cách khác có đúng hai định hướng trên
mỗi mặt chính qui liên thông định hướng được.
Mệnh đề 3.1.3. Nếu S là một mặt chính qui định hướng được và N và N là hai định hướng trên
mặt S thì ta phải có hoặc N = N, hoặc N = −N .
Chứng minh. Tại mỗi điểm p ∈ S, N
p
và N
p
sẽ là hai vector trùng nhau hoặc chúng là hai vector
đối nhau.Đặt A = {p ∈ S : N
p
= N
p
} và B = {p ∈ S : N
p
= −N
p
}, chúng ta có A và B là hai
tập rời nhau và S = A ∪B. Do N và N liên tục ta có A và B là hai tập đóng. Nhưng do S là liên
thông nên ta phải có A = S, B = ∅ hoặc A = ∅, B = S. ✷
3.2 Ánh xạ Gauss và dạng cơ bản thứ hai
Cho (S, N ) là mặt chính qui định hướng. Do |N

p
| = 1, ∀p ∈ S nên có thể xem N là ánh xạ khả
vi từ mặt chính qui S vào mặt cầu đơn vị S
2
Ánh xạ N : S −→ S
2
được gọi là ánh xạ GaussƯ
của mặt định hướng S. Theo định nghĩa ánh xạ Gauss là khả vi. Khi đó đạo hàm của N tại điểm
p ∈ S là ánh xạ tuyến tính
DN
p
: T
p
S −→ T
N
p
S
2
.
Do T
p
S ⊥ N
p
và T
N
p
S
2
⊥ N
p

, ∀p ∈ S nên ta có T
p
S ≡ T
N
p
S
2
, ∀p ∈ S. Như vậy DN
p
là một tự
đồng cấu tuyến tính của T
p
S.
3
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Ví dụ 3. Xét mặt phẳng Q có phương trình
ax + by + cz + d = 0.
Khi đó
N =
1
a
2
+ b
2
+ c
2
(a, b, c)
Là một hàm hằng nên ta có DN
p
= 0, ∀p ∈ Q.

Ví dụ 4. Xét mặt cầu S(O, r) tâm O bán kính r có phương trình
x
2
+ y
2
+ z
2
= r
2
.
Giả sử α(t) = (x(t), y(t), z(t)) là một đường tham số trên mặt cầu S(O, r), ta có
x
2
(t) + y
2
(t) + z
2
(t) = r
2
.
Đạo hàm hai vế theo t ta nhận được
2xx

+ 2yy

+ 2zz

= 0.
Với chú ý rằng (x


(t), y

(t), z

(t)) là một vector tiếp xúc của mặt cầu S(O, r) tại α(t), ta có vector
(x, y, z) là pháp vector của mặt cầu S(O, r) tại điểm (x, y, z). Do đó chúng ta có hai trường pháp
vector đơn vị trên mặt cầu S(O, r)
N(x, y, z) =
1
r
(x, y, z), N(x, y, z) =
1
r
(−x, −y, −z).
Dễ thấy N là trường pháp vector hướng ra ngoài còn N là trường pháp vector hướng vào tâm của
mặt cầu và
DN
p
(v) = v, DN
p
(v) = −v;
với p ∈ S(O, r) và v ∈ T
p
S(O, r).
Ví dụ 5. Xét mặt tru C có phương trình x
2
+ y
2
= r
2

. Mặt tru C có hai trường pháp vector đơn
vị
N(x, y, z) =
1
r
(x, y, 0), N (x, y, z) =
1
r
(−x, −y, 0).
Dễ thấy N là trường pháp vector hướng ra ngoài còn N là trường pháp vector hướng vào trục của
mặt trụ và
DN
p
(v) = π(v), DN
p
(v) = −π(v);
với p ∈ S(O, r), v ∈ T
p
S(O, r) và π là phép chiếu lên mặt phẳng xy.
Nếu v ∈ T
p
C và v cùng phương với e
3
thì DN
p
(v) = DN
p
(v) = 0, tức là v là vector riêng ứng
với giá trị riêng 0 của DN
p

và DN
p
. Nếu v ∈ T
p
C và v trực giao với e
3
thì DN
p
(v) = v còn
DN
p
(v) = −v, tức là v là vector riêng ứng với giá trị riêng 1 của DN
p
và là vector riêng ứng với
giá trị riêng −1 của DN
p
.
Bài tập 3.3.
Mệnh đề sau cho ta một tính chất quan trọng của ánh xạ DN
p
.
4
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Mệnh đề 3.2.1. Đạo hàm DN
p
: T
p
S −→ T
p
S của ánh xạ Gauss là tự liên hợp, nghĩa là với mọi

α, β ∈ T
p
S
DN
p
(α), β = α, DN
p
(β). (3.1)
Chứng minh. Giả sử X(u, v) là một tham số hóa của S tại p và {X
u
, X
v
} là một cơ sở của T
p
S.
Đối với cơ sở này ánh xạ DN
p
có ma trận dạng

∂N
1
∂u
∂N
1
∂v
∂N
2
∂u
∂N
2

∂v

.
Từ đây chúng ta có
DN
p
(X
u
) = N
u
; DN
p
(X
v
) = N
v
.
Do đó nếu α = aX
u
+ bX
v
; β = cX
u
+ dX
v
, thì
DN
p
(α), β = aN
u

+ bN
v
, cX
u
+ dX
v

= acN
u
, X
u
 + adN
u
, X
v
 + bcN
v
, X
u
 + bdN
v
, X
v
;
và
α, DN
p
(β) = aX
u
+ bX

v
, cN
u
+ dN
v

= acX
u
, N
u
 + adX
u
, N
v
 + bcX
v
, N
u
 + bdX
v
, N
v
.
Ta có N, X
u
 = 0 và N, X
v
 = 0 nên
N
v

, X
u
 + N, X
uv
 = 0. (3.2)
N
u
, X
v
 + N, X
uv
 = 0. (3.3)
Từ 3.2 và 3.3, ta có N
v
, X
u
 = N
u
, X
v
 và do đó
DN
p
(α), β = α, DN
p
(β).
✷
Định nghĩa 2. Dạng toàn phương II
p
(α) := −DN

p
(α), α được gọi là dạng cơ bản thứ hai của
S tại p.
3.3 Độ cong pháp và công thức Euler
3.3.1 Độ cong pháp
Định nghĩa 3. Cho C là đường cong chính qui trên mặt S đi qua điểm p. Gọi k là độ cong của
C tại p, n là vector pháp (đơn vị) của C tại p và N là vector pháp (đơn vị) của S tại p. Khi đó số
k
n
(p) = kn, N
được gọi là độ cong pháp của C ⊂ S tại p.
5
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Nhận xét 1. Độ cong pháp k
n
(p) chính là độ dài hình chiếu của kn lên pháp tuyến của mặt với
dấu phụ thuộc vào hướng của N.
Giả sử w ∈ T
p
S, |w| = 1. Gọi α là đường tham số (với tham số độ dài cung) α(0) = p, α

(0) = w.
Ký hiệu N (s) là hạn chế của N lên đường tham số α, do N, α

 = 0, ta suy ra
N(s), α

(s) = −N

(s), α


(s).
Do đó
II
p
(α

(0)) = −DN
p
(α

(0)), α

(0)
= N

(0), α

(0)
= N(0), α

(0)
= N, kn(p) = k
n
(p).
Từ đây chúng ta có các nhận xét sau.
Nhận xét 2. 1. Giá trị của dạng cơ bản thứ hai II
p
đối với vector đơn vị w ∈ T
p

S chính là độ
cong pháp của một đường chính qui đi qua p và có vector tiếp xúc là w.
2. Độ cong pháp k
n
(p) chỉ phụ thuộc vào vector tiếp xúc, không phụ thuộc vào đường cong.
3. Với w ∈ T
p
S không nhất thiết là vector đơn vị, ta có công thức sau
k
n
(p) =
II
p
(w)
I
p
(w)
.
Từ nhận xét này chúng ta đi đến định lý sau.
Định lý 3.3.1 (Meusnier). Tất cả các đường cong nằm trên mặt cùng đi qua một điểm p có các
tiếp tuyến tại điểm này trùng nhau có độ cong pháp tại điểm này giống nhau.
Từ Định lý Meusnier, chúng ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 4. Độ cong pháp của mặt S tại điểm p ∈ S theo (hướng của) vector w là độ cong
của một đường chính qui trên mặt đi qua p và có vector tiếp xúc tại p là w.
Xét mặt phẳng P đi qua p với cặp vector chỉ phương {w, N}. Giao của P và S lđược gọi là lát cắt
chuẩn tắc của S tại p dọc theo w. Trong một lân cận của p, lát cắt này là một đường chính qui có
pháp vector là ±N(p) hoặc là vector không. Với thuật ngữ này chúng ta có thể phát biểu
Mệnh đề 3.3.2. Giá trị tuyệt đối của độ cong pháp của mặt S tại điểm p theo vector w bằng độ
cong của lát cắt chuẩn tắc của S tại p dọc theo w.
Ví dụ 6. Nếu S là mặt phẳng, thì N = 0. Cho nên DN = 0 và do đó II

p
= 0.Suy ra độ cong
pháp của mặt tại mọi điểm theo mọi phương đều bằng 0.
Có thể lập luận theo cách khác như sau: do tất cả các lát cắt chuẩn tắc của mặt đều là đường
thẳng, có độ cong bằng 0 nên độ cong pháp của mặt tại mọi điểm theo mọi phương đều bằng 0.
6
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Ví dụ 7. Xét mặt cầu S
2
với định hướng N(x, y, z) = (−x, −y, −z). Mỗi lát cắt chuẩn tắc là một
đường tròn lớn, có độ cong hằng bằng 1. Từ đây suy ra độ cong pháp của mặt tại mọi điểm theo
mọi phương đều bằng 1.
Do ánh xạ tuyến tính DN
p
là liên hợp nên tồn tại cơ sở trực chuẩn {e
1
, e
2
} sao cho DN
p
(e
1
) =
−k
1
e
1
, DN
p
(e

2
) = −k
2
e
2
. Nói cách khác −k
1
, −k
2
là các giá trị riêng, còn e
1
, e
2
là các vector riêng
đơn vị lần lượt ứng với −k
1
, −k
2
của DN
p
. Chúng ta luôn giả thiết rằng k
1
≤ k
2
.
Định nghĩa 5. Các giá trị k
1
, k
2
được gọi là các độ cong chính, còn các vector riêng e

1
, e
2
xác
định các phương gọi là các phương chính.
Chúng ta có thể gọi các vector e
1
, e
2
là các vector chỉ phương chính.
3.3.2 Công thức Euler
Giả sử {e
1
, e
2
} là một cơ sở trực chuẩn của T
p
S gồm toàn các vector riêng của DN
p
và v ∈
T
p
S, |v| = 1, v = cos θe
1
+ sin θe
2
. Do đó
II
p
(v) = −DN

p
(v), v
= −k
1
cos θe
1
+ k
2
sin θe
2
, cos θe
1
+ sin θe
2

= k
1
cos
2
θ + k
2
sin
2
θ.
Như vậy, chúng ta có công thức sau gọi là công thức Euler.
k
n
(p, v) = k
1
cos

2
θ + k
2
sin
2
θ. (3.4)
Nhận xét 3. Từ công thức Euler ta dễ dàng rút ra các nhận xét: các độ cong chính k
1
, k
2
lần
lượt là các giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của dạng cơ bản thứ hai II
p
trên đường tròn đơn
vị trong T
p
S, tức là các giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất độ cong pháp tại điểm p.
3.4 Độ cong Gauss và độ cong trung bình
Định nghĩa 6. Cho (S, N) là mặt chính qui định hướng, p ∈ S và DN
p
là đạo hàm của ánh xạ
Gauss N tại điểm p. ta se gọi
1. định thức của DN
p
là độ cong Gauss của S tại điểm p, ký hiệu K(p);
2. một nửa vết của −DN
p
, −
1
2

tr(DN
p
), là độ cong trung bình của S tại p, ký iệu H(p).
Nhận xét 4. 1. Dễ thấy
K = k
1
.k
2
; (3.5)
H =
k
1
+ k
2
2
. (3.6)
7
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
2. Nếu thay đổi hướng của mặt thì độ cong Gauss K không thay đổi còn độ cong trung bình
H đổi dấu.
Định nghĩa 7. Một điểm p của mặt S được gọi là
1. điểm elliptic nếu độ cong Gauss K > 0;
2. điểm hyperbolic nếu độ cong Gauss K < 0;
3. điểm parabolic nếu độ cong Gauss K = 0 và DN
p
= 0;
4. điểm phẳng (planar) nếu DN
p
= 0;
5. điểm rốn (umbilic) nếu k

1
= k
2
.
Chúng ta có các nhận xét sau
Nhận xét 5. 1. Tại các điểm elliptic, do K > 0 nên hai độ cong chính cùng dấu và do đó độ
cong pháp theo mọi phương cùng dấu. Đều này cho thấy tất cả các đường cong đi qua điểm
này có pháp vector chỉ về cùng một phía đối với mặt phẳng tiếp xúc.
2. Tại các điểm hypẻbolic, do do K < 0 nên hai độ cong chính khác dấu và do đó tồn tại các
đường cong có pháp vector chỉ về cả hai phía của mặt phẳng tiếp xúc.
3. Tại các điểm parabolic, do K = 0 và DN
p
= 0 nên có một độ cong chính bằng 0 và một độ
cong chính khác không.
4. Tại các điểm phẳng, cả hai ôộ cong chính đều bằng 0.
5. Điểm phẳng là trường hợp đặc biệt của điểm rốn. Tại các điểm rốn, do k
1
= k
2
nên DN
p
=
k id
T
p
S
.
Định lý 3.4.1. Nếu tất cả các điểm của một mặt liên thông S là điểm rốn thì S chứa trong một
mặt cầu hoặc chứa trong một mặt phẳng.
Chứng minh. Lấy p ∈ S và X(u, v) là một tham số hóa tại điểm p sao cho lân cận tọa độ

V = X(U) là liên thông. Với mọi q ∈ V do q là điểm rốn nên với mọi v = a
1
X
u
+ a
2
X
v
∈ T
q
S, ta
có
DN
q
(v) = λ(q)v, (3.7)
với λ(q) là hàm khả vi trên V. Ta sẽ chứng minh λ là hàm hằng trên V. Đẳng thức 3.7 được viết
lại như sau
a
1
N
u
+ a
2
N
v
= λ(a
1
X
u
+ a

2
X
v
). (3.8)
Do v là bất kỳ, ta suy ra
N
u
= λX
u
(3.9)
N
v
= λX
v
(3.10)
Đạo hàm 3.9 theo v và đạo hàm 3.10 theo rồi trừ nhau ta được
λ
u
X
v
− λ
v
X
u
= 0. (3.11)
Do X
u
, X
v
độc lập tuyến tính ta suy ra λ

u
= λ
v
= 0, ∀q ∈ V. Do V la liên thông, ta suy ra
λ = const. trên V. Ta có hai trường hợp
8
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
1. Nếu λ = 0, ta suy ra N
u
= N
v
= 0. Do đó N =const. và DN
p
= 0. Ta có
∂
∂u
X, N  = X
u
, N  + X, 0 = 0; (3.12)
∂
∂v
X, N  = X
v
, N  + X, 0 = 0; (3.13)
Vậy
X, N  = const.,
do đó X(u, v) nằm trên mặt phẳng qua p với pháp vector N với mọi (u, v) ∈ U.
2. Nếu λ = 0, khi đó X(u, v) −
1
λ

N(u, v) chỉ là một điểm cố định bởi vì
∂
∂u
(X(u, v) −
1
λ
N(u, v)) = X
u
−
1
λ
N
u
= 0;
∂
∂v
(X(u, v) −
1
λ
N(u, v)) = X
v
−
1
λ
N
v
= 0.
Đặt I = X −
1
λ

N, ta có
|X(u, v) − I|
2
=
1
λ
2
.
Vậy V chứa trong mặt cầu tâm I bán kính
1
|λ|
.
Như vậy chúng ta chỉ mới chứng minh định lý tại địa phương của từng điểm. Để có kết quả toàn
cục, chúng ta cần đến tính chất liên thông của mặt. Với mọi p, q ∈ S, do S liên thông nên tồn tại
đường tham số liên tục α[0, 1] −→ S nối p và q với α(0) = p và α(1) = q. Với mọi t ∈ [0, 1] tồn
tại lân cận tọa độ V
t
của α(t) (có thể giả sử V
t
là các hình cầu) sao cho α
−1
(V
t
∩ α([0, 1]) là một
khoảng mở của [0, 1]. Họ {α
−1
(V
t
∩ α([0, 1]); t ∈ [0, 1]} phủ đoạn [0, 1]. Do đoạn [0, 1] là compact,
ta suy ra tồn tại phủ hữu hạn của đoạn [0, 1] và do đó α([0, 1]) được phủ bởi một họ hữu hạn các

lân cận V
t
.
1. Nếu các điểm của một lân cận tọa độ V
0
thuộc một mặt phẳng ta suy ra tất cả các điểm
thuộc mọi V
t
đều thuộc mặt phẳng đó.
2. Nếu các điểm của một lân cận tọa độ V
0
thuộc một mặt cầu ta suy ra tất cả các điểm thuộc
mọi V
t
đều thuộc mặt cầu đó.
Do q là điểm được lấy tùy ý ta suy ra điều phải chứng minh. ✷
9
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
3.5 Các công thức tính toán
Cho (S, N ) là mặt chính qui định hướng và X : U −→ S là một tham số hóa địa phương của S
tại điểm p ∈ S. Chúng ta giả sử định hướng N của S là tương thích với X, có nghĩa là
N =
X
u
∧ X
v
|X
u
∧ X
v

|
.
Từ N, N = 0, ta suy ra N, N
u
 = 0 và N, N
v
 = 0. Như vậy N
u
, N
v
∈ T
p
S và do đó
N
u
= a
11
X
u
+ a
21
X
v
,
N
v
= a
12
X
u

+ a
22
X
v
;
và ma trận của DN
p
đối với cơ sở {X
u
, X
v
} là

a
11
a
12
a
21
a
22

Chúng ta xét ma trận của dạng cơ bản II
p
. Đặt
e = II
p
(X
u
) = −DN

p
(X
u
), X
u
 = −N
u
, X
u
 = N, X
uu
,
f = −DN
p
(X
u
), X
v
 = −N
v
, X
u
 = N, X
uv
,
g = II
p
(X
v
) = −DN

p
(X
v
), X
v
 = −N
v
, X
v
 = N, X
vv
.
Ta có ma trận của II
p
đối với cơ sở {X
u
, X
v
} là

e f
f g

Từ
−e = N
u
, X
u
 = a
11

X
u
+ a
21
X
v
, X
u
 = a
11
E + a
21
F,
−f = N
u
, X
v
 = a
11
X
u
+ a
21
X
v
, X
v
 = a
11
F + a

21
G
= N
v
, X
u
 = a
12
X
u
+ a
22
X
v
, X
u
 = a
12
E + a
22
F,
−g = N
v
, X
v
 = a
12
X
u
+ a

22
X
v
, X
v
 = a
12
F + a
22
G;
ta có
−

e f
f g

=

a
11
a
21
a
12
a
22

E F
F G


;
và do đó

a
11
a
21
a
12
a
22

= −

e f
f g

E F
F G

−1
.
Với chú ý rằng

E F
F G

−1
=
1

EG − F
2

G −F
−F E

ta có các phương trình của Weingarten
10
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
a
11
=
fF −eG
EG − F
2
, a
12
=
gF − eG
EG − F
2
, a
21
=
eF −fG
EG − F
2
, a
22
=

fF −gG
EG − F
2
;
và công thức tính độ cong Gauss, độ cong trung bình
K =
eg − f
2
EG − F
2
, H =
1
2

eG − 2fF + gE
EG − F
2

.
Ví dụ 8. Chúng ta sẽ tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của nhứng diểm nằm trên mặt
xuyến được phủ bơit tham số hóa sau:
X(u, v) = ((a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sin v, r sin u), 0 < u, v < 2π.
Chúng ta sẽ tính X
u
, X
v
, X
uu
, X
uv

, X
vv
, N các các hệ số của dạng cơ bản I và II.
X
u
= (−r sin u cos v, −r sin u sin v, r cos u), X
v
= (−(a + r cos u) sin v, (a + r cos u) cos v, 0), X
uu
= (−r cos u cos v, −r cos u sin v, −r sin u), X
uv
= (r sin u sin v, −r sin u cos v, 0), X
vv
= (−(a + r cos u) cos v, −(a + r cos u) sin v, 0),
X
u
∧ X
v
= (rA cos u cos v, rA cos u sin v, −rA sin u),
|X
u
∧ X
v
| = rA, với A = (a + r cos u),
N = (cos u cos v, cos u sin v, −sin u),
E = X
u
, X
u
 = r

2
, F = X
u
, X
v
 = 0, G = X
v
, X
v
 = (a + r cos u)
2
,
e = N, X
uu
 = r, f = N, X
uv
 = 0, g = N, X
vv
 = cos u(a + r cos u).
Ta có ma trận của dạng cơ bản I

E F
F G

=

r
2
0
0 (a + r cos u)

2

,
ma trận của dạng cơ bản II

e f
f g

=

r 0
0 cos u(a + r cos u)

,
và ma trận chuyển vị của DN
p

a
11
a
21
a
12
a
22

=

1
r

0
0
cos u
a+r cos u

.
Do đó, ta có hai độ cong chính là
1
r
và
cos u
a+r cos u)
và các phương chính là các phương xác định bởi
các vector X
u
và X
v
. Các độ cong Gauss và độ cong trung bình là
K = k
1
k
2
=
cos u
r(a + r cos u)
,
H =
1
2
(k

1
+ k
2
) =
a + 2r cos u
r(a + r cos u)
.
11
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Chúng ta cũng có thể dùng công thức sau để tính độ cong Gauss và độ cong trung bình.
K =
eg − f
2
EG − F
2
,
H =
1
2

eG − 2fF + gE
EG − F
2

.
Ta dễ dàng nhận thấy các điểm thuộc vào các đường tròn u =
π
2
và u =
3π

2
có độ cong Gauss
K = 0, các điểm thuộc vào miền
π
2
< u <
3π
2
có độ cong Gauss K < 0, các điểm thuộc vào các
miền
0
<
u < π2 và <
3π
2
< u < 2π có độ cong Gauss K > 0.
3.6 Mặt kẻ và mặt cực tiểu
3.6.1 Mặt kẻ
Cho α, w : I −→ R
3
là hai hàm khả vi với I là một khoảng mở trong R và w(u) = 0, ∀u ∈ I.
Chúng ta sẽ xem α(u), u ∈ I là các điểm còn w(u), u ∈ I là các vector trong R
3
. Mặt tham số
X(u, v) = α(u) + vw(u), u ∈ I, v ∈ R
được gọi là mặt kẻ sinh bởi α và w. Các đường thẳng L
u
đi qua α(u) với vector chỉ phương w(t)
các đường sinhvà đường cong α(u) gọi là đường chuẩn. Chú ý rằng chúng ta có thể chấp nhận mặt
kẻ có những điểm kỳ dị, tức là các điểm mà tại đó X

u
∧ X
v
= 0.
Ví dụ 9. Các mặt sau là các mặt kẻ:
1. Mặt phẳng.
2. Mặt tiếp tuyến của một đương chính qui (xem Ví dụ ??.
3. Mặt trụ là mặt kẻ sinh bởi α, w với α(I) chứa trong một mặt phẳng và w(t) song song với
một phương cố định.
4. Mặt nón là mặt kẻ sinh bởi α, w với α(I) chứa trong một mặt phẳng P và các đường sinh
L
u
cùng đi qua một điểm cố định p ∈ P
Ví dụ 10. Mặt hyperboloid tròn xoay
Ví dụ 11. Mặt yên ngựa (paraboloid hyperbolic)
Với việc chấp nhận các điểm kỳ dị trên mặt kẻ, các mặt tiếp tuyến, mặt nón là các mặt kẻ.
Đường thắt của mặt kẻ Xét mặt kẻ
X(u, v) = α(u) + vw(u)
12
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
với giả thiết w(u) = 0, u ∈ I. Mặt kẻ như vậy được gọi là mặt kẻ không trụ (noncylindrical). Không
giảm tính tổng quát chúng ta có thể giả sử |w(u)| = 1, u ∈ I. Đường tham số
β(u) = α(u) − ϕ(u)w(u)
với ϕ(u) =
α

,w


w

2
được gọi là đường thắt của mặt kẻ X. Mỗi điểm của β gọi là một điểm trung
tâm của mặt kẻ. Đường thắt có các tính chất sau đây
1. Đường β nằm trên mặt kẻ.
2. β

(u), w

(u) = 0, u ∈ I. Thật vậy, ta có
β

= α

− ϕ

w − ϕw

Do đó
β

, w

 = α

, w

 − ϕ

w, w


 − ϕw

, w

 = 0
vì w, w

 = 0 và ϕ(u) =
α

,w


w
2
.
3. Đường thắt không phụ thuộc vào đường chuẩn α. Bạn đọc tự chứng minh tính chất này như
một bài tập. (Bài tập 3.4).
4. Các điểm kỳ dị của mặt kẻ nằm trên đường thắt. Bạn đọc tự chứng minh tính chất này như
một bài tập (Bài tập 3.5).
5. Tại các điểm chính qui, độ cong Gauss của mặt kẻ thỏa mãn K ≤ 0 và độ cong Gauss K = 0
dọc theo các đường sinh đi qua các điểm kỳ dị của đường thắt.Bạn đọc tự chứng minh tính
chất này như một bài tập (Bài tập 3.6).
Bài tập 3.4. Chứng minh rằng đường thắt không phụ thuộc vào đường chuẩn α.
Bài tập 3.5. Chứng minh rằng các điểm kỳ dị của mặt kẻ nằm trên đường thắt
Bài tập 3.6. Chứng minh rằng tại các điểm chính qui, độ cong Gauss của mặt kẻ thỏa mãn K ≤ 0
và độ cong Gauss K = 0 dọc theo các đường sinh đi qua các điểm kỳ dị của đường thắt.
Bài tập 3.7. Chứng minh rằng các mặt sau là mặt kẻ. Hãy xác định mặt nào là mặt kẻ không
trụ và tìm các đường thắt của chúng
1. Mặt phẳng.

2. Mặt trụ x
2
+ y
2
= 1.
3. Mặt nón x
2
+ y
2
− x
2
= 0.
4. Mặt hyperboloid tròn xoay 1=tầng x
2
+ y
2
− z
2
= 1.
5. Mặt paraboloid hyperbolic (mặt yên ngựa) x
2
+ y
2
− z
2
= −1.
6. Mặt Helicoid với tham số hóa X(u, v) = (u cos v, u sin v, v).
13
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Bài tập 3.8. Mặt kẻ X(u, v) = α(u) + vw(u) được gọi là mặt kẻ khả triển nếu

det(w, w

, α

) = 0.
Chứng minh rằng tại các điểm chính qui của mặt kẻ khả triển, độ cong Gauss K = 0 và
N
v
, X
v
 = N
v
, X
u
 = 0.
Từ đây suy ra rằng mặt phẳng tiếp xúc (tại các điểm chính qui) của một mặt khả triển là hằng
dọc một đường sinh cố định.
3.6.2 Mặt cực tiểu
Trong các đối tượng hình học, các mặt cực tiểu có lẽ là mặt được nghiên cứu nhiều nhất trong
hình học vi phân. Lý thuyết các mặt cực tiểu là một nhánh lớn của hình học vi phân và hiện nay
có rất nhiều tài liệu viết về lãnh vực này. Bên cạnh những kết quả gây tiếng vang một thời như
lời giải về tính tồn tại nghiệm của bài toán Plateau với biên là một đường cong Jordan cho trước,
vẫn còn rất nhiều các vấn đề mở thú vị liên quan đến các mặt cực tiểu đang còn được nghiên cứu.
Có thể kể ra nhiều những bài toán như vậy, bài toán về bất đẳng thức đẳng chu trên các mặt cực
tiểu là một ví dụ. Việc nghiên cứu các mặt cực tiểu cho thấy chúng có mối liên hệ sâu sắc đến các
hàm giải tích phức và phương trình đạo hàm riêng. Các kết quả về các mặt cực tiểu thường dễ
hình dung nhưng rất khó chứng minh. Điều này đã làm cho lý thuyết các mặt cực tiểu trở thành
một lãnh vực thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học lớn.
Định nghĩa 8. Mặt tham số chính qui X : Ω −→ R
3

được gọi là mặt cực tiểu nếu độ cong trung
bình tại mọi điểm bằng không.
Cho X : Ω −→ R
3
là một mặt tham số chính qui, D ⊂ Ω là miền bị chặn và h : D → R là một
hàm khả vi. Ta gọi một biến phân chuẩn tắc của X(D) xác định bởi h là ánh xạ
ϕ : D × (−, ) −→ R
3
xác định như sau
ϕ(u, v, t) = X(u, v) + th(u, v)N(u, v), (u, v) ∈ D, t ∈ (−, ).
Với mỗi t cố định, ánh xạ
X
t
: D −→ R
3
X
t
(u, v) −→ ϕ(u, v, t)
là một mặt tham số. Tính toán trực tiếp cho ta
∂X
t
∂u
= X
u
+ thN
u
+ th
u
N,
∂X

t
∂v
= X
v
+ thN
v
+ th
v
N.
14
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Do đó nếu ký hiệu E
t
, F
t
, G
t
là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất thì
E
t
= E + 2thX
u
, N
u
 + t
2
h
2
N
u

, N
u
 + t
2
h
2
u
,
F
t
= F + 2thx
u
, N
v
 + t
2
h
2
N
u
, N
v
 + t
2
h
u
h
v
,
G

t
= G + 2thx
v
, N
v
 + t
2
h
2
N
v
, N
v
 + t
2
h
2
v
,
Thay
x
u
, N
u
 = −e, x
u
, N
v
 = x
v

, N
u
 = −f, x
v
, N
v
 = −g
và
2H(EG − F
2
) = Eg −2fF + Ge,
ta nhận được
E
t
G
t
− (F
t
)
2
= EG − F
2
− 2th(Eg − 2f F + Ge) + R
= (EG − F
2
)(1 − 4thH) + R,
với lim
t→0
(
R

t
) = 0.
Nếu  đủ nhỏ thì X
t
là mặt tham số chính qui. Ta có
A(t) =

D

E
t
G
t
− (F
t
)
2
dudv
=

D

1 − 4thH + R
√
EG − F
2
dudv
với R =
R
EG−F

2
. Dễ thấy rằng, nếu  đủ nhỏ thì A là một hàm khả vi và đạo hàm của nó tại t = 0
là
A

(0) = −

D
2hH
√
EG − F
2
dudv = −

D
2hHdA.
Định lý 3.6.1. Giả sử X : Ω −→ R
3
là mặt tham số chính qui và D ⊂ Ω là một miền bị chặn.
Mặt tham số X là cực tiểu khi và chỉ khi A

(0) = 0 với mọi miền bị chặn D và với mọi biến phân
chuẩn tắc của X(D).
Chứng minh. Nếu X là cực tiểu, H = 0 và do đó A

(0) = 0. Ngược lại giả sử A

(0) = 0 và tồn tại
điểm p ∈ D sao cho H(p) = 0. Không giảm tính tổng quát ta giả sử H(p) > 0. Chọn h : D −→ R
sao cho h(p) > 0 và H đồng nhất bằng không ngoài một lân cận đủ nhỏ của p. Khi đó A


(0) < 0
với biến phân xác định bởi h. Điều mâu thuẩn này chứng tỏ H = 0.
Với mặt chính qui X ta xác định vector độ cong trung bình bởi H = HN. Nếu chọn h = H ta có
A

(0) = −

D
H, H
√
EG − F
2
dudv < 0.
Điều này có nghĩa là nếu ta biến dạng X(D) theo hướng của vector H diện tích sẽ bắt đầu giảm
đi.
PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE
15
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Xét mặt S trong R
3
là đồ thị của một hàm hai biến lớp C
2
, f : Ω ⊂ R
2
−→ R
3
, với Ω là một miền
mở liên thông với bao đóng compact và biên trơn trong R
2

. Mặt S được biểu diễn bởi hàm vector
X : Ω −→ R
3
(x, y) −→ S(x, y) := (x, y, f (x, y)
Các tính toán cụ thể cho ta
X
x
= (1, 0, f
x
)
X
y
= (0, 1, f
y
)
X
x
∧ X
y
= (−f
x
, −f
y
, 1)
N =
1
|X
x
∧ X
y

|
X
x
∧ X
y
=
1

1 + f
2
x
+ f
2
y
(−f
x
, −f
y
, 1)
Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai
E = I(X
x
, X
x
) = 1 + f
2
x
e = −I(X
x
, N

x
) =
f
xx

1 + f
2
x
+ f
2
y
(3.14)
F = I(X
x
, X
y
) = f
x
f
y
f = −I(X
x
, N
y
) =
f
xy

1 + f
2

x
+ f
2
y
(3.15)
G = I(X
y
, X
y
) = 1 + f
2
y
g = −I(X
y
, N
y
) =
f
yy

1 + f
2
x
+ f
2
y
(3.16)
Nếu S là mặt cực tiểu, có nghĩa là
H =
1

2
eE + gG − 2fF
EG − F
2
= 0.
Hay một cách tương đương
eE + gG − 2fF = 0.
Thay các giá trị của E, F, G và e, f, g tính được ở trên ta nhận được phương trình
f
xx
(1 + f
2
y
) − 2f
x
f
y
f
xy
+ f
yy
(1 + f
2
x
) = 0.
Phương trình trên do Lagrange phát hiện đầu tiên nên được gọi là phương trình Lagrange.
CÁC TÍNH CHẤT ĐỊA PHƯƠNG
Định nghĩa 9. Tham số hóa X : Ω −→ R
3
gọi là trực giao (isothermal) nếu E = G và F = 0.

Định lý 3.6.2. Mỗi mặt tham số cực tiểu X đều có tham số hóa trực giao địa phương
Chứng minh. Lấy p ∈ S, p = X(x
0
, y
0
) với (x
0
, y
0
) ∈ Ω. Do các phép biến đổi đẳng cự (rigid
motion) không làm thay đổi các hệ số E, F, G và e, f, g nên chúng biến mặt cực tiểu thành mặt
cực tiểu. Do đó không giảm tính tổng quát chúng ta có thể giả sử p là gốc tọa độ và T
p
X là mặt
phẳng xy. Theo bổ đề trên trong một lân cận của p, S có tham số hóa kiểu đồ thị. Giả sử X(x, y) =
16
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
(x, y, f (x, y)). Để thuận tiện cho việc viết các ký hiệu, ta đặt w =

1 + f
2
x
+ f
2
y
, p = f
x
, q = f
y
.

Chúng ta có

1 + f
2
x
w

y
−

f
x
f
y
w

x
= −
f
y
w
(f
xx
(1 + f
2
y
) − 2f
x
f
y

f
xy
+ f
yy
(1 + f
2
x
))

1 + f
2
y
w

x
−

f
x
f
y
w

y
= −
f
x
w
(f
xx

(1 + f
2
y
) − 2f
x
f
y
f
xy
+ f
yy
(1 + f
2
x
))
Do S là mặt cực tiểu nên f thỏa mãn phương trình Lagrange. Do đó ta có

1 + f
2
x
w

y
−

f
x
f
y
w


x
=

1 + f
2
y
w

x
−

f
x
f
y
w

y
= 0.
Hay

1 + p
2
w

y
−

pq

w

x
=

1 + q
2
w

x
−

pq
w

y
= 0.
Chúng ta xác định hai trường vector
V =

1 + p
2
w
,
pq
w

; W =

pq

w
,
1 + q
2
w

.
Theo công thức Green, với Ω là miền liên thông đơn

∂Ω
V =

Ω

pq
w

x
−

1 + p
2
w

y
= 0

∂Ω
W =


Ω

1 + q
2
w

x
−

pq
w

y
= 0
Điều này cho thấy V và W có các hàm thế vị (potential function), nghĩa là tồn tại các hàm số µ
và ρ sao cho ∇µ = V và ∇ρ = W. Chúng ta có
µ
x
=
1 + p
2
w
; µ
y
=
pq
w
ρ
x
=

pq
w
; ρ
y
=
1 + q
2
w
.
Xét hàm T : Ω −→ R
2
T (x, y) = (x + µ(x, y), y + ρ(x, y)).
Ma trận Jacobi của T
dT =

1 + µ
x
µ
y
ρ
x
1 + ρ
y

=

1 +
1+p
2
w

pq
w
pq
w
1 +
1+q
2
w

Do định thức |dT | =
(1+w)
2
w
> 0, nên theo Định lý hàm ngược, tồn tại hàm ngược T
−1
(u, v) = (x, y).
Chúng ta có (theo chain rule)
d(T
−1
) = (dT )
−1
=
1
det dT

1 +
1+q
2
w
−

pq
w
−
pq
w
1 +
1+p
2
w

=
1
(1 + w)
2

w + 1 + q
2
−pq
−pq w + 1 + p
2

=


x
u
x
v
y
u

y
v


17
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Bây giờ chúng ta sẽ kiểm tra tham số hóa
X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), f(x(u, v), y(u, v)))
là isothermal. Tính toán trực tiếp ta có
X
u
=
1
(1 + w)
2
(w + 1 + q
2
, −pq, p(w + 1 + q
2
) + q(−pq)),
X
v
=
1
(1 + w)
2
(−pq, w + 1 + p
2
, q(w + 1 + p
2

) + p(−pq)).
Do đó
E = G =
w
2
(1 + w)
2
,
và
F = 0.
✷
Nhận xét. Định lý trên cũng đúng cho một mặt chính qui bất kỳ.
Định lý 3.6.3. Nếu X(u, v) là trực giao thì
X = X
uu
+ X
vv
= (2EH)N.
Chứng minh. Chúng ta có
X
uu
=
E
u
2E
X
u
−
E
v

2G
X
v
+ eN
X
vv
= −
G
u
2E
X
u
−
G
v
2G
X
v
+ gN.
Do đó
X
uu
+ X
vv
=

E
u
2E
X

u
−
E
v
2G
X
v
+ eN

+

−
G
u
2E
X
u
+
G
v
2G
X
v
+ gN

=
E
u
2E
X

u
−
E
v
2G
X
v
+ eN −
G
u
2E
X
u
+
G
v
2G
X
v
+ gN
= (e + g)N = 2E

e + g
2E

N = (2EH)N.
Và chúng ta có hệ quả trực tiếp
Hệ quả 3.6.4. Mặt tham số X(u, v) với tham số hóa X trực giao là mặt cực tiểu nếu và chỉ nếu
x, y, z là các hàm điều hòa, nghĩa là X = 0.
3.7 Các đường đặc biệt trên mặt

3.7.1 Đường chính (line of curvature)
Định nghĩa 10. Đường chính qui C ⊂ S mà tại mọi điểm p ∈ C phương tiếp xúc tại p của C là
một phương chính của S tại p gọi là một đường chính.
18
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Mệnh đề 3.7.1 (Olinde Rodrigues). Cho C ⊂ S là một đường chính qui và N là trường pháp
vector đơn vị của S. Với α là một tham số hóa nào đó của C, ta có
1. C là một đường chính khi và chỉ khi N

(t) và α

(t) cùng phương;
2. nếu C là một đường chính thì độ cong chính ứng với α

(t) là
α

.N
α

.α

.
Chứng minh.
1. Dễ thấy rằng nếu α(t) là vector chỉ phương chính thì α

(t) là một vector riêng của DN
α(t)
và do đó
DN

α(t)
(α

(t) = N

(t) = λ(t)α

(t); ∀t.
Chiều ngược lại là hiển nhiên.
2. k
n
(p, α

) = −
N

.α

α

.α

=
N.α

α

.α

.

✷
Bổ đề 3.7.2. Cho đường chính qui C là giao của mặt chính qui S với mặt phẳng P. Nếu góc giữa
S và P là hằng dọc theo α thì α là đường chính.
Chứng minh. Giả sử N và V là các trường pháp vector đơn vị của S và P (tương ứng) dọc theo
C. Do P là mặt phẳng, V = const. Suy ra V

= 0. Do N.V = const, suy ra N

⊥ V. Lại do N là
trường pháp vector đơn vị nên N

⊥ N. Từ đây suy ta N

và α

cùng phương và do đó α là đường
chính.
Trong trường hợp nếu N = ±V thì N

= 0 và do đó một cách tầm thường α là đường chính. ✷
Ví dụ 12. Xét mặt hyperbolic parabolic S có phương trình z = x
2
− y
2
. Mặt là độ thị của hàm
số f(x, y) = x
2
− y
2
nên có một tham số hóa dạng

X(u, v) = (u, v, u
2
− v
2
),
với U = R
2
và X(R
2
) = S. Ta có
X
u
= (1, 0, 2u), X
v
= (0, 1, −2v);
X
u
∧ X
v
= (−2u, 2v, 1).
Do đó mặt có một trường pháp vector đơn vị xác định bởi
N(X(u, v)) =
1
u
2
+ v
2
+
1
4

(u, −v, 1).
Ta xét tại điểm p = (0, 0, 0).
Giả sử α là một đường chuẩn khác của mặt kẻ, tức là
X(u, v) = α(u) + vw(u) = α(u) + vw(u),
với v là hàm của biến v, v = v(v).
19
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
3.7.2 Đường tiệm cận và chỉ đồ Dupin
Định nghĩa 11. Cho S là mặt chính qui định hướng và p là một điểm thuộc S. Vector v ∈ T
p
S
mà k
n
(p, v) = 0 được gọi là một vector chỉ phương tiệm cận. Một đường tiệm cận (asymtotic curve)
C trên mặt S là một đường chính qui liên thông sao cho với mọi p ∈ C vector tiếp xúc tại p là
vector chỉ phương tiệm cận. Phương xác định bởi vector chỉ phương tiệm cận gọi là phương tiệm
cận.
Định nghĩa 12. Chỉ đồ Dupin (Dupin indicatrix) của mặt S tại p là tập tất cả các vector v ∈ T
p
S
sao cho II
p
(v) = ±1.
Gọi {e
1
, e
2
} là cơ sở trực chuẩn của T
p
S gồm các vector riêng của DN

p
, và ký hiệu x, y) là tọa độ
của các vector trong T
p
S. Cho v ∈ T
p
S, v = xe
1
+ ye
2
và giả sử v = |v|(cos θe
1
+ sin θe
2
). Như vậy,
x = |v|cos θ và y = |v|sin θ. Theo công thức Euler
II
p
(v) = v
2
(k
1
cos
2
θ + k
2
sin
2
θ
= k

1
x
2
+ k
2
y
2
= ±1.
Nhận xét 6. Từ định nghĩa chúng ta có các nhận xét sau:
1. Chỉ đồ tiếp xúc tại mỗi điểm là hợp của các conic.
2. Tại các điểm elliptic, chỉ đồ Dupin là một ellipse do k
1
và k
2
cùng dấu. Khi k
1
= k
2
= 0,
điểm là điểm rốn không phải là điểm phẳng, chỉ đồ Dupin là một đường tròn. Dễ thấy tại
điểm elliptic không có phương tiệm cận và do đó không có đường tiệm cận đi qua các điểm
elliptic.
3. Tại các điểm hyperbolic, do k
1
và k
2
trái dấu, chỉ đồ Dupin là hai hyperbola liên hợp có
chung các đường tiệm cận. Theo các phương tiệm cận này, độ cong pháp tại p bằng không.
Điều này giải thích tại sao có tên gọi “phương tiệm cận”. Dễ thấy tại các điểm hyperbolic có
đúng hai phương tiệm cận trực giao nhau.

4. Tại các điểm parabolic, một độ cong chính bằng không do đó chỉ đồ Dupin suy biến thành
hai đường thẳng song song. Phương của hai đường thẳng này chính là phương tiệm cận duy
nhất tại điểm này.
Định nghĩa 13. Cho p là một điểm trên mặt S. Hai vector khác không v
1
.v
2
|inT
p
S gọi là liên hợp
nếu DN
p
(v
1
), v
2
 = DN
p
(v
2
), v
1
 = 0. Hai vector liên hợp xác định hai phương gọi là hai phương
liên hợp. Hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng T
p
S đi qua p gọi là hai đường thẳng liên hợp nếu
các vector chỉ phương của chúng là các vector liên hợp.
Nhận xét 7. Từ định nghĩa chúng ta dễ dàng kiểm tra được các nhận xét sau:
Định nghĩa về hai phương liên hợp và hai đường thẳng liên hợp không phụ thuộc vào các vector
được chọn.

Hai phương chính là hai phương liên hợp.
20
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Phương tiệm cận liên hợp với chính nó.
Tại một điểm rốn không phẳng, bất kỳ hai phương trực giao đều liên hợp với nhau.
Tại một điểm phẳng, mỗi phương liên hợp với mọi phương.
Bài tập 3.9. Cho điểm p ∈ S không phải là điểm rốn và gọi {e
1
, e
2
} là cơ sở trực chuẩn sao cho
DN
P
(e
1
) = −k
1
e
1
, DN
P
(e
2
) = −k
2
e
2
. Giả sử θ và ϕ là góc mà hai vector v
1
, v

2
tạo với vector e
1
.
Chứng minh rằng v
1
, v
2
là hai vector liên hợp khi và chỉ khi
k
1
cos θ cos ϕ = −k
2
sin θ sin ϕ.
Bài tập 3.10.
3.7.3 Đường trắc địa
Cho S là một mặt chính qui và α : I −→ S là một đường tham số trên mặt. Đường tham số α
được gọi là đường trắc địa trên mặt nếu α

(t) ⊥ T
α(t)
S, ∀t ∈ I.
Nhận xét 8.
Từ giả thiết α

⊥ T
α(t)
S, suy ra rằng α

(t) ⊥ α


(t) và do đó suy ra |α| = const
Mọi đường thẳng nằm trên mặt là các đường trắc địa.
Nếu đường tham số α với thám số là độ dài cung nằm trên mặt S và cũng nằm trên mặt phẳng P
cắt trực giao mặt S, thì α là đường trắc địa. Thật vậy, do |α

| = 1, suy ra α

⊥ α

. Nhưng α

, α

nằm trên mặt phẳng P trực giao với S và α

là một vector tiếp xúc của S nên ta suy ra α

⊥ S.
Ví dụ 13. Đường trắc địa trên mặt phẳng. Cho mặt phẳng P với pháp vector u. Giả sử
alpha là một đường trắc địa trên mặt. Do α là đường trắc địa nên α

 u. Nhưng vì α là đường
tham số có vết nằm trên mặt phẳng P nên α

⊥ u. Do đó α

= 0, và ta suy ra α là đường thẳng
Vậy đường trắc địa trên mặt phẳng là các đường thẳng.
Ví dụ 14. Đường trắc địa trên mặt trụ. Xét mặt trụ x

2
+ y
2
= r
2
. Một đường tham số trên
mặt trụ có dạng
α(t) = (r cos u(t), r sin u(t), v(t)).
Do các vector pháp của mặt trụ đều có thành phần tọa độ thứ ba z = 0, nên nếu α là đường trắc
địa thì ta phải có v

(t) = 0 hay v(t) = ct + d. Do vector vận tốc của đường trắc địa là hằng nên
nếu α là đường trắc địa thì (r
2
(u

)
2
+ (v

)
2
)
1
2
= const. Từ đây chúng ta suy ra u

= const. và do
đó u(t) = at + b.
1. Nếu a, c = 0; ta có α là một đường xoắn ốc.

2. Nếu a = 0, c = 0; ta có α là một đường sinh.
3. Nếu a = 0, c = 0; ta có α là một đường tròn.
21
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Hình 3.1: Các đường trắc địa trên mặt phẳng và các đường trắc địa tương ứng trên mặt trụ
22