Hình Học Vi Phân - Chương 2 Lý Thuyết Mặt pptx

Chương 2
Lý thuyết mặt
2.1 Mặt chính qui
Có thể hình dung mặt chính qui trong R
3
như sau: Lấy một số mảnh mặt phẳng biến dạng chúng
và “dán” lại sao cho hình nhận được không có các điểm nhọn, không có các cạnh hoặc không có
tính tự cắt để tại mỗi điểm có thể nói đến mặt phẳng tiếp xúc của mặt. Các mặt cũng sẽ được giả
thiết đủ trơn để có thể mở rộng các khái niệm cũng như các kết quả của giải tích lên chúng. Định
nghĩa sau đây thỏa mãn các yêu cầu trên.
Định nghĩa 1. Một tập hợp con S ⊂ R
3
được gọi là một mặt chính qui nếu ∀p ∈ S tồn tại lân
cận V ⊂ R
3
của p và ánh xạ X : U −→ V ∩ S,vớiU là một tập con mở của R
2
, thỏa mãn 3 điều
kiện sau:
1. Ánh xạ X là khả vi, có nghĩa là
X(u, v)=(x(u, v),y(u, v),z(u, v)), (u, v) ∈ U
với x, y, z là các hàm có đạo hàm riêng mọi cấp.
2. Ánh xạ X là một đồng phôi từ U vào V ∩S. Vì X là liên tục theo điều kiện 1, nên X là một
đồng phôi có nghĩa là X có ánh xạ ngược X
−1
: V ∩S −→ U liên tục. Nói cách khác, X
−1
là
hạn chế của một ánh xạ liên tục F : W ⊂ R
3
−→ R

2
xác định trên một tập mở chứa V ∩S.
3. (Tính chính qui) Với mọi q ∈ U, đạo hàm DX
q
: R
2
−→ R
3
là một đơn ánh.
Ánh xạ X được gọi là một tham số hóa (địa phương) của S, cặp (U, X) gọi là một hệ tọa độ địa
phương hay một bản đồ của S còn lân cận V ∩ S của p trong S gọi là một lân cận tọa độ.
1
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
Chúng ta phân tích rõ hơn về Điều kiện 3 bằng cách xét ma trận Jacobi của X tại q. Giả sử
q =(u
0
,v
0
). Xét đường tham số
u −→ (x(u, v
0
),y(u, v
0
),z(u, v
0
)).
Đường cong này, đượ c gọi là đường cong tọa độ v = v
0
, nằm trên mặt S đi qua p = X(q) và có
vector tiếp xúc tại p là

(
∂x
∂u
,
∂y
∂u
,
∂z
∂u
):=
∂X
∂u
.
Ở đây các đạo hàm riêng được tính tại q =(u
0
,v
0
). Theo định nghĩa của đạo hàm ta có
DX
q
(e
1
)=

∂x
∂u
,
∂y
∂u
,

∂z
∂u

:=
∂X
∂u
,
với e
1
là vector tiếp xúc của đường tham số u −→ (u, v
0
) trong R
2
tại điểm q. Đường tọa độ v = v
0
là ảnh của đường cong này qua ánh xạ X. Tương tự ta có e
2
là vector tiếp xúc của đường tham
số v −→ (u
0
,v) trong R
2
tại điểm q. Đường tọa độ u = u
0
là ảnh của đường cong này qua ánh xạ
X và
DX
q
(e
2

)=

∂x
∂v
,
∂y
∂v
,
∂z
∂v

:=
∂X
∂v
.
Ta có ma trận Jacobi
X

q
=


∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v

∂z
∂u
∂z
∂v


.
Với phân tích này ta thấy Điều kiện 3 tương đương với các một trong các điều kiện sau:
1. hai cột của ma trận X

q
là độc lập;
2.
∂X
∂u
∧
∂X
∂v
=0;
3. các định thức




∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u

∂y
∂v




:=
∂(x,y)
∂(u,v)
,




∂x
∂u
∂x
∂v
∂z
∂u
∂z
∂v




:=
∂(x,z)
∂(u,v)
,





∂y
∂u
∂y
∂v
∂z
∂u
∂z
∂v




:=
∂(y,z)
∂(u,v)
không đồng thời bằng
không.
Từ đây về sau, để thuận tiện, đôi lúc chúng ta sẽ viết X
u
thay cho
∂X
∂u
và X
v
thay cho
∂X

∂v
.
Nhận xét 1. 1. Như vậy có thể xem mặt chính qui được phủ bởi một họ các lân cận tọa độ,
tức là các ảnh của một họ ánh xạ X (tham số hóa) thỏa mãn các Điều kiện 1, 2, 3.
2. Điều kiện 1 cho phép chúng ta có thể sử dụng công cụ của giải tích (phép tính vi tích phân)
để nghiên cứu các mặt chính qui.
2
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
3. Điều kiện 2 nhằm ngăn cản tính tự cắt của mặt và do đó có thể nói đến mặt phẳng tiếp xúc
của mặt tại mọi điểm.
4. Điều kiện 3 đảm bảo tại mọi điểm đều có mặt phẳng tiếp xúc.
Ví dụ 1. Xét mặt phẳng R
2
. Ta chọn U = R
2
và X = Id. Theo định nghĩa R
2
là mặt chính qui
với chỉ một bản đồ duy nhất (R
2
,Id).
Ví dụ 2. Xét mặt cầu
S
2
= {(x, y, z) ∈ R
3
: x
2
+ y
2

+ z
2
=1}.
Chúng ta sẽ chứng tỏ S
2
là một mặt chính qui. Xét ánh xạ X
1
: U
+
1
⊂ R
2
−→ R
3
được cho bởi
X
+
1
(x, y)=(x, y,

1 −x
2
− y
2
), (x, y) ∈ U
+
1
với R
2
= {(x, y, z) ∈ R

3
: z =0},U
+
1
= {(x, y) ∈ R
2
: x
2
+ y
2
< 1} và X
+
1
(U
+
1
)={(x, y, z) ∈ R
3
:
x
2
+ y
2
+ z
2
=1;z>0} là nửa mặt cầu trên. Do x
2
+ y
2
< 1 nên hàm


1 − x
2
− y
2
có các đạo
hàm riêng liên tục mọi cấp. Do đó Điều kiện 1 được thỏa mãn.
Dễ thấy X
+
1
là đơn ánh và (X
+
1
)
−1
là hạn chế của phép chiếu π(x, y, z)=(x, y) từ R
3
lên R
2
nên
cũng liên tục. Vậy Điều kiện 2 cũng được thỏa mãn.
Do
∂(x, y)
∂(x, y)
=




10

01




=1nên Điều kiện 3 cũng được thỏa mãn. Như vậy X
+
1
là một tham số hóa
của S
2
. Có thể dễ dàng nhận thấy S
2
được phủ bởi 6 mảnh lân cận tọa độ được xác định tương
tự như vậy. Bạn đọc có thể dễ dàng xác định lân cận tọa độ tương ứng của các tham số hóa như
vậy. Dưới đây là các tham số hóa đó
X
−
1
(x, y)=(x, y, −

1 −x
2
− y
2
), (x, y) ∈ U
−
1
= {(x, y) ∈ R
2

: x
2
+ y
2
< 1};
X
+
2
(x, z)= (x,
√
1 −x
2
− z
2
,z), (x, z) ∈ U
+
2
= {(x, z) ∈ R
2
: x
2
+ z
2
< 1};
X
−
2
(x, z)= (x, −
√
1 − x

2
− z
2
,z), (x, z) ∈ U
−
2
= {(x, z) ∈ R
2
: x
2
+ z
2
< 1};
X
+
3
(y, z)= (

1 − y
2
−z
2
,y,z), (y, z) ∈ U
+
3
= {(y, z) ∈ R
2
: y
2
+ z

2
< 1};
X
−
3
(y, z)=(−

1 −y
2
− z
2
,y,z), (y, z) ∈ U
−
3
= {(y, z) ∈ R
2
: y
2
+ z
2
< 1}.
Thường để dễ khảo sát mặt cầu S
2
, người ta sử dụng hệ tọa độ cầu để tham số hóa.
Lấy V = {(θ, ϕ):0<θ<π, 0 <ϕ<2π} và xét X : V −→ R
3
xác định bởi
X(θ, ϕ) = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ).
Dễ thấy X(V ) ⊂ S
2

. Tham số θ được gọi là colatude (phần phụ của vĩ độ) và ϕ là kinh độ. Rõ
ràng X khả vi vì các hàm sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ là khả vi.
Hơn nữa các định thức
∂(x, y)
∂(θ, ϕ)
= cos θ sin θ,
∂(x, z)
∂(θ, ϕ)
= sin
2
θ sin ϕ,
∂(y,z)
∂(θ, ϕ)
= sin
2
θ cos ϕ
3
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
không thể đồng thời bằng không vì
cos
2
θ sin
2
θ + sin
4
θ sin
2
ϕ + sin
4
θ cos

2
ϕ = sin
2
θ =0
do 0 <θ<π.Như vậy, Điều kiện 1 và 3 được thỏa mãn. Lấy C là nửa đường tròn
{(x, y, z) ∈ S
2
: y =0,x≥ 0}.
Với mỗi (x, y, z) ∈ S
2
− C, chúng ta xác định được duy nhất θ = cos
−1
z vì 0 <θ<π.Biết θ
chúng ta sẽ xác định được ϕ từ x = sin θ cos ϕ, y = sin θ sin ϕ và do đó xác định được duy nhất ϕ.
Vậy X có ánh xạ ngược X
−1
, và có thể kiểm tra dễ dàng X
−1
là liên tục, tức là X là một tham
số hóa. Chúng ta nhận xét rằng X(V )=S
2
−C nên có thể phủ S
2
bởi hai tham số hóa kiểu như
trên.
Cũng có thể phủ S
2
bởi hai lân cận tọa độ nhờ vào phép chiếu nổi (xem bài tập ??).
Ví dụ vừa rồi cho thấy việc kiểm tra một tập nào đó là một mặt chính chính qui là một công việc
dễ chán và buồn tẻ. Những mệnh đề tiếp theo sẽ cho ta những phương pháp có thể kiểm tra hoặc

xây dựng một số mặt chính qui dễ dàng hơn.
Mệnh đề 2.1.1. Nếu f : U −→ R là hàm khả vi trên tập mở U ⊂ R
2
. Khi đó đồ thị của f
G
f
= {(x, y, z) ∈ R
3
: z = f(x, y)}
là một mặt chính qui.
Chứng minh. Điều kiện 1 hiển nhiên được thỏa mãn. Do
∂(x,y)
∂(x,y)
=1, nên Điều kiện 3 cũng được
thỏa mãn. Chúng ta chỉ còn chứng minh cho Điều kiện 2. Dễ thấy X(x, y)=(x, y, f(x, y)) là đơn
ánh nên có ánh xạ ngược X
−1
. Ánh xạ ngược X
−1
chính là hạn chế lên G
f
của phép chiếu từ R
3
lên R
2
nên liên tục. ✷
Định nghĩa 2. Cho ánh xạ khả vi f : U ⊂ R
n
−→ R
m

, với U là tập mở. Chúng ta nói rằng p ∈ U
là một điểm tới hạn của f nếu đạo hàm Df
p
: R
n
−→ R
m
không phải là toàn ánh. Ảnh f(p) ∈ R
m
của một điểm tới hạn gọi là giá trị tới hạn của f. Một điểm của R
m
mà không phải là giá trị tới
hạn được gọi là một giá trị chính qui của f.
Chú ý rằng bất kỳ điểm a ∈ F (U) đều là các giá trị chính qui của F.
Trong trường hợp f : U ⊂ R −→ R, các điểm tới hạn chính là các điểm x ∈ U mà f

(x)=0.
Nếu f : U ⊂ R
3
−→ R là hàm khả vi, ta có
f

(p)=

∂f
∂x
(p),
∂f
∂y
(p),

∂f
∂z
(p)

.
4
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
Tính chất Df
p
không là toàn ánh tương đương với
∂f
∂x
(p)=
∂f
∂y
(p)=
∂f
∂z
(p)=0.
Do đó, nếu a là giá trị chính qui thì
∂f
∂x
,
∂f
∂y
,
∂f
∂z
không đồng thời triệt tiêu trên tập
f

−1
(a)={( x, y, z) ∈ R
3
: f (x, y, z)=a}.
Mệnh đề 2.1.2. Nếu f : U ⊂ R
3
−→ R, là hàm khả vi và a ∈ f(U) là giá trị chính qui của f thì
f
−1
(a), nếu khác rỗng, là một mặt chính qui trong R
3
.
Chứng minh. Lấy p =(x
0
,y
0
,z
0
) ∈ f
−1
(a). Vì a là giá trị chính qui nên không mất tính tổng
quát ta có thể giả sử
∂f
∂z
(p) =0. Đặt F : U ⊂ R
3
−→ R
3
xác định bởi
F (x, y, z)=(x, y, f(x, y, z)).

Ta có
F

p
=


100
010
f
x
f
y
f
z


.
Do |F

p
| =
∂f
∂z
(p) =0, nên theo Định lý hàm ngược, tồn tại lân cận V của p và W của a = f(p)
sao cho F : V −→ W là một vi phôi. Điều này cho thấy các hàm tọa độ của F
−1
có dạng
x = u, y = v, z = g(u, v, t), (u, v, t) ∈ W
là các hàm khả vi. Đặc biệt z = g(u, v, a)=h(x, y) là hàm khả vi xác định trong hình chiếu của

V lên mặt phẳng xy. Do
F (f
−1
(a) ∩ V )=W ∩{(u, v, t) ∈ R
3
: t = a},
chúng ta suy ra rằng đồ thị của h là f
−1
(a) ∩ V. Theo Mệnh đề 2.1.1, f
−1
(a) ∩ V là một lân cận
tọa độ chứa p. Do đó, f
−1
(a) sẽ được phủ bởi những lân cận tọa độ như vậy nên f
−1
(a) là một
mặt chính qui. ✷
Ví dụ 3. Ellipsoid E
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2

c
2
=1
là một mặt chính qui. E chính là tập f
−1
(0),với
f(x, y, z)=
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
− 1
5
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
là hàm khả vi và 0 là một giá trị chính qui của nó. Thật vậy, ta có
∂f
∂x
=
2x
a

2
,
∂f
∂y
=
2y
b
2
,
∂f
∂z
=
2z
c
2
đồng thời triệt tiêu chỉ tại điểm (0, 0, 0). Do đó giá trị tới hạn duy nhất của f là -1, nên 0 là một
giá trị chính qui.
Trong trường hợp a = b = c, ta có mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
cũng là một mặt chính qui.
Một mặt S được gọi là liên thông nếu bất kỳ hai điểm nào của S đều có thể nối bởi một đường
cong liên tục trong S. Trong nhiều tài liệu, khái niệm này được gọi là liên thông cung hay liên
thông đường để phân biệt với khái niệm liên thông trong tôpô. Ví dụ sau đây cho thấy các mặt
chính qui xác định bởi Mệnh đề 2.1.2 có thể không liên thông.

Ví dụ 4. Hyperboloid hai tầng H
−x
2
+ y
2
+ z
2
=1
là mặt chính qui vì H = f
−1
(0) với 0 là giá trị chính qui của hàm f (x, y, z)=−x
2
+ y
2
+ z
2
− 1.
Dễ thấy rằng H không liên thông, vì hai điểm nằm ở hai tầng khác nhau không thể nối với nhau
bằng một đường cong liên tục được.
Chúng ta có tính chất sau đây của một mặt liên thông: “Cho f : S ⊂ R
3
−→ R là một hàm số liên
tục xác định trên một mặt liên thông S. Nếu f(p) =0, ∀p ∈ S, thì hàm f không đổi dấu trên S.”
Thật vậy, giả sử ta có f(p) > 0 và f(q) < 0, với p, q ∈ S. Do S liên thông, tồn tại đường cong liên
tục α :[a, b] −→ S, với α(a)=p và α(b)=q.
Xét f ◦ α :[a, b] −→ R. Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại c ∈ (a, b),f◦ α(c)=0. Điều này
chứng tỏ f =0tại điểm α( c).
Ví dụ 5. Mặt xuyến (torus) T là mặt sinh ra bằng cách quay đường tròn bán kính r quanh một
đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa đường tròn và cách tâm đường tròn một khoảng a>r.Lấy
S

1
là đường tròn tâm I(0,a,0) bán kính r trong mặt phẳng yz. Khi đó phương trình của S
1
là

(y −a)
2
+ z
2
= r
2
x =0
,
và phương trình của T là
(

x
2
+ y
2
− a)
2
+ z
2
= r
2
.
Xét hàm f : R
3
− Oz −→ R xác định bởi

f(x, y, z)=(

x
2
+ y
2
−a)
2
+ z
2
.
6
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
Dễ thấy T là ảnh ngược f
−1
(r
2
) của hàm f tại giá trị r
2
. Hàm f là hàm khả vi. Ta tính các đạo
hàm riêng
∂f
∂x
=
2x(

x
2
+ y
2

− a)

x
2
+ y
2
,
∂f
∂y
=
2y(

x
2
+ y
2
− a)

x
2
+ y
2
,
∂f
∂z
=2z.
Từ đây, ta tìm được tập các điểm tới hạn của f là đường tròn

x
2

+ y
2
= a
2
z =0
.
Vàdođóf chỉ có một giá trị tới hạn duy nhất là 0. Như vậy, r
2
là một giá trị chính qui nên T là
một mặt chính qui.
Mệnh đề 2.1.3. Giả sử S ⊂ R
3
là một mặt chính qui và p ∈ S. Khi đó tồn tại lân cận V của p
trong S sao cho V là đồ thị của một hàm khả vi có một trong ba dạng sau:
z = f (x, y),y= g(x, z),x= h(y, z).
Chứng minh. Giả sử X : U −→ S là một tham số hóa của S tại p,
X(u, v)=(x(u, v),y(u, v),z(u, v)), (u, v) ∈ U.
Theo điều kiện 3 của định nghĩa mặt chính qui, một trong các định thức sau phải khác không tại
X
−1
(p)=q
∂(x, y)
∂(u, v)
,
∂(x, z)
∂(u, v)
,
∂(y,x)
∂(u, v)
.

Giả sử
∂(x,y)
∂(u,v)
(q) =0. Xét ánh xạ π ◦X : U −→ R
2
với π là phép chiếu π(x, y, z)=(x, y). Khi đó
π ◦ X(u, v)=(x(u, v),y(u, v)).
Do
∂(x,y)
∂(u,v)
(q) =0nên theo định lý hàm ngược tồn tại lân cận V
1
của q và V
2
của (π ◦X)(q) sao cho
π ◦X là vi phôi từ V
1
lên V
2
. Từ đây suy ra rằng hạn chế của π lên V = X(V
1
) là đơn ánh và tồn
tại hàm ngược
(π ◦X)
−1
: V
2
−→ V
1
.

Do X là đồng phôi ta suy ra X(V
1
) là lân cận của p trong S. Bây giờ xét hợp của ánh xạ
(π ◦ X)
−1
(x, y)=(u(x, y),v(x, y)) với hàm (u, v) −→ z(u, v), ta nhận thấy V là đồ thị của hàm
hợp này z = z(u(x, y),v(x, y)) = f(x, y).
Các trường hợp còn lại chứng minh hoàn toàn tương tự. ✷
7
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
Ví dụ 6. Nón một tầng C cho bởi
z =

x
2
+ y
2
, (x, y) ∈ R
2
không phải là mặt chính qui. Dễ thấy ánh xạ (x, y) −→ (x, y,

x
2
+ y
2
) là không khả vi tại (0, 0).
Chúng ta chưa có thể khẳng định rằng C không phải là mặt chính qui vì đây chỉ mới là một ánh
xạ từ R
2
vào C. Trên C có thể có những tham số hóa khác. Chúng ta sẽ chứng tỏ C không chính

qui tại đỉnh của nó. Nếu C là mặt chính qui thì có một lân cận của điểm (0, 0, 0) ∈ C là đồ thị
của một hàm khả vi có một trong ba dạng sau: z = f(x, y),y= g (x, z),x= h(y,z).
Hai dạng sau cùng không thỏa mãn vì phép chiếu của C lên các mặt phẳng xz và yz không là đơn
ánh. Xét hàm có dạng thứ nhất z =

x
2
+ y
2
. Dễ thấy hàm này không khả vi tại (0, 0) nên cũng
không phù hợp. Do đó C không phải là mặt chính qui. Nếu bỏ đi điểm đỉnh (0, 0, 0) thì tập còn
lại C −{(0, 0, 0)} là mặt chính qui.
Mệnh đề 2.1.4. Cho S là mặt chính qui và ánh xạ X : U ⊂ R
2
−→ R
3
,X(U) ⊂ S. Nếu X là
đơn ánh thỏa mãn Điều kiện 1 và 3 trong định nghĩa 1 thì X
−1
là liên tục, có nghĩa là X thỏa
mãn điều kiện 2 và do đó X là một tham số hóa.
Chứng minh. Lấy p ∈ X(U). Do S là mặt chính qui nên tồn tại lân cận W ⊂ S của p sao cho W là
đồ thị của một hàm khả vi trên tập mở V (có thể giả sử) của mặt phẳng xy. Lấy N = X
−1
(W ) ⊂ U
và đặt h = π ◦ X : N −→ V, với π(x, y, z)=(x, y). Khi đó dh = π ◦ dX là không suy biến tại
X
−1
(p)=q. Theo Định lý hàm ngược tồn tại lân cận Ω ⊂ N sao cho h :Ω−→ h(Ω) là vi phôi.
Chú ý rằng X(Ω) là tập mở trong S và X

−1
= h
−1
◦π hạn chế lên X(Ω) là hợp của các hàm khả
vi. Như vậy X
−1
là liên tục tại p.Dop được chọn tùy ý nên X
−1
liên tục trên X(U). ✷
Ví dụ 7. Một tham số hóa của mặt xuyến T được cho bởi
X(u, v)=((r cos u + a) cos v, (r cos u + a) sin v, r sin u),
với 0 <u,v<2π.
Thật vậy, các Điều kiện 1 và 3 dễ kiểm tra. Vì chúng ta đã biết rằng T là một mặt chính qui nên chỉ
cần chứng minh X là một đơn ánh là đủ. Chúng ta có nhận xét rằng sin u =
z
r
. Nếu

x
2
+ y
2
≤ a
thì
π
2
≤ u ≤
3π
2
. Nếu


x
2
+ y
2
≥ a thì hoặc 0 <u≤
π
2
hoặc
3π
2
≤ u ≤ 2π. Như vậy mỗi ( x, y, z)
sẽ xác định duy nhất v với 0 <v<2π. Dễ thấy mặt xuyến có thể được phủ bởi 3 lân cận tọa độ
như vậy.
2.1.1 Đổi tham số-Hàm khả vi trên mặt
Định nghĩa của mặt chính qui cho thấy với mọi p ∈ S đều thuộc vào một lân cận tọa độ (địa
phương) nào đó của mặt. Điều này cho phép chúng ta sử dụng hệ tọa độ địa phương để mô tả
một số tính chất địa phương của mặt trong lân cận của điểm p và mở rộng một số khái niệm như
8
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
hàm khả vi trên mặt chính qui, ánh xạ khả vi từ mặt chính qui vào mặt chính qui và đạo hàm của
chúng . . . . Một điểm p ∈ S có thể thuộc vào nhiều lân cận tọa độ khác nhau nên có thể có nhiều
tọa độ địa phương khác nhau và do đó chúng ta có các phép đổi tọa độ (địa phương). Để các định
nghĩa liên quan đến tính khả vi được hợp lý, các phép đổi tọa độ phải khả vi.
Mệnh đề sau cho thấy yêu cầu trên được đáp ứng.
Mệnh đề 2.1.5 (Đổi tham số). Cho S ⊂ R
3
là một mặt chính qui, p ∈ S, X : U ⊂ R
2
−→ S

và Y : V ⊂ R
2
−→ S là hai tham số hóa địa phương của S sao cho p ∈ X(U) ∩ Y (V )=W. Khi
đó phép đổi tọa độ h = X
−1
◦ Y : Y
−1
(W ) −→ X
−1
(W ) là vi phôi, tức là h khả vi và hàm ngược
h
−1
= Y
−1
◦ X (cũng là một phép đổi tọa độ) cũng khả vi.
Chứng minh. Ta có h = X
−1
◦Y là đồng phôi do X và Y là các đồng phôi. Lấy r ∈ Y
−1
(W ) và
đặt q = h(r). Do X(u, v)=(x(u, v),y(u, v),z(u, v)) là tham số hóa của mặt chính qui, ta có thể
giả sử
∂(x, y)
∂(u, v)
(q) =0.
Chúng ta mở rộng X thành ánh xạ F : U ×R −→ R
3
xác định như sau:
F (u, v, t)=(x(u, v),y(u, v),z(u, v)+t), (u, v) ∈ U, t ∈ R.
Có thể hình dung F là ánh xạ từ hình trụ C xác định trên U vào hình trụ xác định trên X(U)

biến thiết diện của C với độ cao t thành mặt X(u, v)+te
3
, với e
3
là vector đơn vị định hướng của
trục Oz. Rõ ràng F là khả vi và F |
U ×{0}
= X.
Ta có định thức của ma trận Jacobi F

(q)






∂x
∂u
∂x
∂v
0
∂y
∂u
∂y
∂v
0
∂z
∂u
∂z

∂v
1






=
∂(x, y)
∂(u, v)
(q) =0.
Do đó theo Định lý hàm ngược, tồn tại lân cận M của p = X(q) trong R
3
sao cho F
−1
tồn tại và
khả vi trên M. Do Y liên tục, tồn tại lân cận N của r trong V sao cho Y (N) ⊂ M ∩S. Từ đây ta
có
F
−1
◦ Y |
N
= X
−1
◦ Y |
N
= h|
N
.

Vì F
−1
và Y là các ánh xạ khả vi nên ta suy ra h khả vi trên N. Nói riêng, h khả vi tại r. Do r là
điểm bất kỳ ta suy ra h khả vi trên Y
−1
(W ).
Một cách hoàn toàn tương tự, chúng ta có thể chứng minh h
−1
cũng là hàm khả vi. ✷
Nhận xét 2. Giả sử X và Y được xác định bởi
X(u, v)=(x(u, v),y(u, v),z(u, v)),
9
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
Y (w, t)=(x(w, t),y(w, t),z(w, t)).
Khi đó ta có h(w, t)=(u(w, t),v(w, t)), trong đó u, v là các hàm hai biến (w, t) có đạo hàm riêng
mọi cấp. Tương tự, h
−1
(u, v)=(w(u, v),t(u, v)), trong đó w, t là các hàm hai biến (u, v) có đạo
hàm riêng mọi cấp. Dễ thấy
∂(u, v)
∂(w, t)
.
∂(w, t)
∂(u, v)
=1,
có nghĩa là, định thức của ma trận Jacobi của h và h
−1
khác không mọi nơi.
Một cách tự nhiên là chúng ta phải xây dựng các khái niệm giải tích cho các mặt chính qui. Dưới
đây là các định nghĩa của hàm số khả vi trên mặt chính qui và ánh xạ khả vi giữa hai mặt chính

qui. Các khái niệm đã biết trước đây là các trường hợp riêng của các khái niệm này.
Định nghĩa 3. Cho f : V ⊂ S −→ R là hàm xác định trên một tập mở V của mặt chính qui S.
Hàm f được gọi là khả vi tại p ∈ V nếu với tham số hóa X : U ⊂ R
2
−→ S, p ∈ X(U), thì hàm
hợp f ◦X : U −→ R là hàm khả vi tại X
−1
(p). Hàm f được gọi là khả vi trên V nếu f khả vi tại
mọi điểm của V.
Nhận xét 3. 1. Giả sử Y : W −→ S, với p ∈ W, là một tham số hóa khác. Do h = X
−1
◦ Y
là khả vi tại Y
−1
(p) nên f ◦ Y = f ◦ X ◦ h cũng khả vi tại Y
−1
(p). Do đó, định nghĩa trên
không phụ thuộc vào tham số hóa được chọn.
2. Chúng ta có thể đồng nhất một điểm (u, v) của U với X(u, v) của X(U) ⊂ S. Do đó từ đây
về sau thay vì viết (f ◦X)(u, v)=f(X(u, v)), chúng ta sẽ viết một cách đơn giản là f(u, v)
và nói rằng f(u, v) là một biểu diễn địa phương của f trong lân cận tọa độ X.
Ví dụ 8. Cho S là mặt chính qui, S ⊂ V với V ⊂ R
3
là một tập mở và f : V −→ R là một hàm khả
vi. Khi đó f|
S
là một hàm khả vi. Thật vậy, với mọi p ∈ S và với tham số hóa X : U ⊂ R
2
−→ S
tại p, hàm f ◦ X : U −→ R là khả vi tại p.

Ví dụ 9. Các hàm sau đây là các hàm khả vi.
1. Hàm độ cao đối với một vector đơn vị v ∈ R
3
h : S −→ R,h(p)=p.v, ∀p ∈ S.
h(p) là độ cao của p ∈ S so với mặt phẳng vuông góc với v đi qua gốc O trong R
3
.
2. Cho S là mặt chính qui và p
0
∈ S là một điểm cố định. Hàm số f : S −→ R xác định bởi
f(p)=d(p, p
0
)
2
là một hàm khả vi.
Nhận xét 4. Chúng ta đã dùng Mệnh đề 2.1.1 để xây dựng khái niệm hàm khả vi trên một mặt
chính qui. Trong chứng minh Mệnh đề 2.1.1 chúng ta lại sử dụng tính chất là ánh xạ ngược của
một tham số hóa là liên tục. Nên điều kiện thứ hai trong định nghĩa của mặt chính qui là không
thể thay thế.
10
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
Tương tự định nghĩa trên chúng ta có thể định nghĩa ánh xạ khả vi từ một mặt chính qui vào một
mặt chính qui.
Định nghĩa 4. Cho S
1
,S
2
là các mặt chính qui, V là một tập mở trong S
1
và ϕ : V ⊂ S

1
−→ S
2
là ánh xạ liên tục. Ánh xạ ϕ được gọi là khả vi tại p ∈ V nếu với các tham số hóa đã chọn nào đó
X
1
: U
1
−→ S
1
,X
2
: U
2
−→ S
2
,
trong đó p ∈ X
1
(U
1
) ⊂ V và ϕ(X
1
(U
1
)) ⊂ X
2
(U
2
), ánh xạ

X
−1
2
◦ ϕ ◦ X
1
: U
1
−→ U
2
là khả vi tại X
−1
(p). Ánh xạ ϕ được gọi là khả vi trên V nếu nó khả vi tại mọi điểm của V. Ánh
xạ X
−1
2
◦ ϕ ◦ X
1
gọi là biểu diễn địa phương của ánh xạ ϕ đối với hai bản đồ (U
1
,X
1
) và (U
2
,X
2
).
Ánh xạ ϕ : S
1
−→ S
2

được gọi là một vi phôi nếu ϕ là khả vi trên S
1
và tồn tại ánh xạ ngược
ϕ
−1
: S
2
−→ S
1
cũng khả vi. Khi đó ta nói hai mặt chính qui S
1
và S
2
là vi phôi với nhau.
Nhận xét 5. 1. Tương tự như hàm khả vi trên một mặt chính qui, định nghĩa ánh xạ khả vi
giữa các mặt chính qui cũng không phụ thuộ c vào các tham số hóa đã chọn.
2. Theo định nghĩa, ánh xạ ϕ là khả vi khi và chỉ khi các hàm thành phần của biểu diễn địa
phương của ϕ trong các lân cận tọa độ địa phương có đạo hàm riêng liên tục mọi cấp.
3. Tương tự như đẳng cấu tuyến tính giữa các không gian vector, ánh xạ đẳng cự giữa các
không gian Euclid, các vi phôi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất
liên quan đến tính khả vi của mặt chính qui. Hai mặt chính qui vi phôi với nhau được xem
là như nhau.
Ví dụ 10. Mọi tham số hóa của mặt chính qui S
X : U ⊂ R
2
−→ S
là ánh xạ khả vi giữa các mặt chính qui (xem U là một mặt chính qui). Thật vậy, với mọi p ∈ X(U )
và với tham số hóa Y : V ⊂ R
2
−→ S tại p, ta có

X
−1
◦ Y : Y
−1
(W ) −→ X
−1
(W )
là khả vi, trong đó W = X(U) ∩Y (V ). Tương tự ta cũng có X
−1
khả vi, do đó, U và X(U) là vi
phôi với nhau. Do mỗi đĩa mở trong R
2
là vi phôi với mặt phẳng R
2
, nên ta có thể nói “mỗi mặt
chính qui là vi phôi địa phương với một mặt phẳng”.
Ví dụ 11. Cho S
1
và S
2
là các mặt chính qui. Giả sử rằng S
1
⊂ V ⊂ R
3
, với V là một tập mở
trong R
3
,ϕ: V −→ R
3
là ánh xạ khả vi và ϕ(S

1
) ⊂ S
2
. Khi đó ánh xạ hạn chế ϕ|
S
1
: S
1
−→ S
2
là
ánh xạ khả vi. Thật vậy, giả sử p ∈ S
1
,X
1
: U
1
−→ S
1
và X
2
: U
2
−→ S
2
là hai tham số hóa với
p ∈ X
1
(U
1

) và ϕ(X
1
(U
1
)) ⊂ X
2
(U
2
). Chúng ta có ánh xạ
X
−1
2
◦ ϕ ◦ X
1
: U
1
−→ X
2
: U
1
−→ X
2
là khả vi. Các trường hợp sau đây là các trường hợp đặc biệt của ví dụ này.
11
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
1. Giả sử mặt chính qui S là đối xứng qua mặt phẳng xy, tức là nếu (x, y, z) ∈ S thì (x, y, −z) ∈
S. Khi đó ánh xạ σ : S −→ S biến p ∈ S thành điểm đối xứng qua mặt phẳng xy là ánh xạ
khả vi vì σ là hạn chế của phép đối xứng qua mặt phẳng xy trong R
3
.

2. Ký hiệu R
z,θ
là phép quay quanh trục z với góc quay θ và S là mặt chính qui bất biến qua
phép quay này, tức là p ∈ S thì R
z,θ
(p) ∈ S. Khi đó R
z,θ
|
S
là một ánh xạ khả vi.
3. Cho ϕ : R
3
−→ R
3
,ϕ(x, y, z)=(ax, by, cz), trong đó a, b, c là những số thực khác không.
Khi đó ánh xạ ϕ|
S
2
từ
S
2
= {(x, y, z) ∈ R
3
: x
2
+ y
2
+ z
2
=1}

vào ellipsoid
E = {(x, y, z) ∈ R
3
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=1},
là một ánh xạ khả vi. Có thể chứng minh S
2
và E là vi phôi với nhau.
Nhận xét 6. Có thể xây dựng lý thuyết đường theo quan điểm như các mặt chính qui.
Chúng ta sẽ định nghĩa một đường cong chính qui trong R
3
là tập con C của R
3
có tính chất là:
với mọi p ∈ C, tồn tại lân cận V của p trong R
3

và một đồng phôi khả vi α : I ⊂ R −→ R
3
sao
cho Dα là đơn ánh với mọi t ∈ I (I là khoảng mở trong R).
Tương tự như mặt, chúng ta có thể chứng minh rằng các phép đổi tham số là một vi phôi. Điều
này cho thấy có thể định nghĩa hàm khả vi trên một đường chính qui và ánh xạ khả vi giữa các
đường chính qui. Các tính chất địa phương của C là các tính chất của đường cong tham số mà
không phụ thuộc vào tham số hóa. Cho nên các kết quả của đường tham số đều có thể xem là các
kết quả địa phương của các đường chính qui. Ngược lại các kết quả địa phương của đường chính
áp dụng được cho đường tham số.
Ví dụ 12 (Mặt tròn xoay). Cho C là một đường cong chính qui trong mặt phẳng xz không cắt
trục z. Quay C quanh trục z chúng ta nhận được một tập S ⊂ R
3
. Giả sử
x = f(v),z= g(v), a<v<b, f( v) > 0
là một tham số hóa của C và u là góc quay quanh trục z. Như vậy, chúng ta có ánh xạ
X(u, v)=(f(v) cos u, f(v) sin u, g(v))
từ tập U = {(u, v) ∈ R
2
:0<u<2π, a<v<b} vào S. Chúng ta có thể chứng minh X là một
tham số hóa của S vàdođóS có thể được phủ bởi ảnh của các tham số hóa như vậy nên S là một
mặt chính qui. Mặt S được gọi là mặt tròn xoay. Đường cong C gọi là đường sinh, trục z gọi là
trục quay. Các đường tròn xác định bởi một điểm của C qua phép quay gọi là một vĩ tuyến, còn
các vị trí của C theo các góc quay u khác nhau gọi là các kinh tuyến.
12
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
Nếu C là một đường cong phẳng đóng chính qui nhận đường thẳng d làm trục đối xứng thì khi
quay quanh d ta cũng nhận được một mặt mà ta có thể chứng minh là một mặt chính qui. Đối
với những mặt như vậy ta phải loại bỏ đi hai điểm, đó là giao của C với d. Ta sẽ gọi những mặt
như vậy là mặt tròn xoay mở rộng.

Do mong muốn xem xét các tính chất toàn cục đồng thời với các tính chất địa phương, chúng ta
xét các mặt chính qui thay cho mặt tham số. Nếu chỉ xét các tính chất địa phương thì chỉ cần xét
lớp các mặt tham số (chúng ta sẽ có định nghĩa ngay sau đây tương tự như định nghĩa của đường
tham số). Sau này ta sẽ thấy, nếu chỉ xét lớp các mặt tham số thì các khái niệm cũng như tính
chất toàn cục sẽ phải bị bỏ qua hoặc được xử lý một cách không đầy đủ. Tuy vậy, khái niệm mặt
tham số đôi lúc cũng tỏ ra hữu ích.
Định nghĩa 5. Một mặt tham số là một cặp (X, S), trong đó X : U ⊂ R
2
−→ R
3
, với U là tập
mở, là một ánh xạ khả vi và S = X(U). Tập X( U ) gọi là vết của mặt tham số còn ánh xạ X được
gọi là một tham số hóa của mặt. Tương tự như đường tham số chúng ta có các khái niệm mặt
tham số liên tục, , mặt tham số khả vi . . . . Chúng ta cũng sẽ đồng nhất mặt tham số với X hoặc
S nếu không có gì gây nhầm lẫn.
Mặt tham số X được gọi là chính qui nếu DX
q
: R
2
−→ R
3
là đơn ánh với mọi q ∈ U. Một điểm
q ∈ U mà DX
q
không phải là đơn ánh được gọi là một điểm kì dị. Điều kiện DX
q
đơn ánh tương
đương với {X
u
(q),X

v
(q)} độc lập tuyến tính.
Chú ý rằng, một mặt tham số ngay cả khi chính qui cũng có thể tự cắt.
Ví dụ 13. Cho α : I −→ R
3
là một đường tham số. Đặt
X(t, v)=α(t)+vα

(t), (t, v) ∈ I × R.
Ta có X là một mặt tham số và được gọi là mặt tiếp xúc của α. Giả sử hàm độ cong k khác không
tại mọi t ∈ I, nghĩa là k(t) =0, ∀t ∈ I. Xét ánh xạ X trên miền
U = {( t, v) ∈ I × R : v =0}.
Ta có
∂X
∂t
= α

(t)+vα

(t);
∂X
∂v
= α

(t).
Do
k(t)=
|α

(t) ∧ α


(t)|
|α

(t)|
3
=0, ∀t ∈ I
nên
∂X
∂t
∧
∂X
∂v
= vα

(t) ∧ α

(t) =0, ∀(t, v) ∈ U.
Như vậy hạn chế X : U −→ R
3
là một mặt tham số hóa chính qui. Vết của X gồm hai mảnh liên
thông có biên chung là vết α(I) của đường tham số α.
13
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
Mệnh đề sau cho thấy có thể xét các khái niệm và tính chất địa phương của hình học vi phân cho
các mặt tham số.
Mệnh đề 2.1.6. Cho X : U ⊂ R
2
−→ R
3

là một mặt tham số chính qui và q là một điểm thuộc
U. Khi đó tồn tại một lân cận V của q trong U sao cho X(V ) ⊂ R
3
là một mặt chính qui.
Chứng minh. Giả sử
X(u, v)=(x(u, v),y(u, v),z(u, v)).
Từ tính chính qui, ta có thể giả sử
∂(x,y)
∂(u,v)
(q) =0. Xét ánh xạ F : U ×R −→ R
3
, xác định bởi
F (u, v, t)=((x(u, v),y(u, v),z(u, v)+t), (u, v, t) ∈ U ×R.
Do det(F

(q)=
∂(x,y)
∂(u,v)
(q) =0, nên theo định lý hàm ngược, tồn tại lân cận W
1
của q và lân cận W
2
của F (q) sao cho F : W
1
−→ W
2
là một vi phôi. Đặt V = W
1
∩ U, ta có F |
V

= X|
V
. Do X(V ) vi
phôi với V nên là một mặt chính qui. ✷
2.2 Mặt phẳng tiếp xúc-Vi phân của một ánh xạ
2.2.1 Mặt phẳng tiếp xúc
Định nghĩa 6. Một vector tiếp xúc của mặt chính qui S tại điểm p ∈ S là vector tiếp xúc của
một cung tham số khả vi có vết nằm trên S
α :(−, ) −→ S,
với α(0) = p.
Tập tất cả vector tiếp xúc của S tại p gọi là mặt phẳng tiếp xúc của S tại p, ký hiệu là T
p
S.
Mệnh đề sau cho thấy mỗi không gian tiếp xúc T
p
S là một không gian vector 2-chiều.
Mệnh đề 2.2.1. Giả sử X : U ⊂ R
2
−→ S là một tham số hóa của S với p ∈ X(U) và q = X
−1
(p).
Khi đó không gian vector 2-chiều DX
q
(R
2
) ⊂ R
3
chính là không gian tiếp xúc T
p
S.

Chứng minh. Giả sử w là vector tiếp xúc của S tại p, tức là w = α

(0), với α :(−, ) −→
S, α(0) = p. Khi đó β = X
−1
◦ α :(−, ) −→ U là một ánh xạ khả vi và β(0) = q. Như vậy,
α = X ◦β và β(0) = q, do đó
w = α

(0) = X

(β(0)).β

(0) = DX
q
(β

(0)) ∈ DX
q
(R
2
).
14
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
Ngược lại, giả sử w = DX
q
(v),v∈ R
2
. Xét đường tham số
β :(−, ) −→ U

t −→ vt + q.
Dễ thấy β(0) = q và β

(0) = v. Xét đường tham số α = X ◦ β :(−, ) −→ S, ta có α

(0) =
DX
q
(v)=w. ✷
Dễ thấy hệ {
∂X
∂u
(q),
∂X
∂v
(q)} gồm các vector tiếp xúc với các đường tọa độ đi qua p là một cơ sở của
T
p
S.
Giả sử w là vector tiếp xúc với đường cong α = X ◦β :(−, ) −→ S, với β :(−, ) −→ U, β(t)=
(u(t),v(t)). Ta có, w =
u
+ bX
v
. Ta tính các hệ số a và b.
α

(0) =
d
dt

(X ◦β)(0)
=
d
dt
(X(u(t),v(t))
= u

(0)
∂X
∂u
(u(0),v(0)) + v

(0)
∂X
∂v
(u(0),v(0))
= u

(0)X
u
(q)+v

(0)X
v
(q).
Như vậy tọa độ của w đối với cơ sở {X
u
,X
v
} là (u


(0),v

(0)).
2.2.2 Vi phân của một ánh xạ
Cho S
1
và S
2
là hai mặt chính qui và ϕ : V ⊂ S
1
−→ S
2
là ánh xạ khả vi. Lấy p ∈ V và w ∈ T
p
S
1
,
tức là w là vector tiếp xúc của một đường tham số khả vi α :(−, ) −→ V, w = α

(0),p= α(0).
Xét đường cong β = ϕ ◦ α, ta có β(0) = ϕ(p) do đó β

(0) ∈ T
ϕ(p)
S
2
. Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.2.2. Vector β


(0) ∈ T
ϕ(p)
S
2
không phụ thuộc vào α.
Chứng minh. Cho X(u, v) và X(u, v) là các tham số hóa trong lân cận của p và ϕ(p). Giả sử
ϕ(u, v)=(ϕ
1
(u, v),ϕ
2
(u, v)) = X(u, v)
và
α(t)=(u(t),v(t)).
Khi đó,
β(t)=(ϕ
1
(u(t),v(t)),ϕ
2
(u(t),v(t))).
Do đó
dβ
dt
(0) = β

(0) =

∂ϕ
1
∂u
(p)(u


(0) +
∂ϕ
1
∂v
(p)(v

(0),
∂ϕ
2
∂u
(p)(u

(0) +
∂ϕ
2
∂v
(p)(v

(0)

.
15
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
Điều này cho thấy β

(0) chỉ phụ thuộc vào ϕ và tọa độ của w đối với cơ sở {X
u
,X
v

}. Do đó β

(0)
không phụ thuộc vào α. ✷
Theo Mệnh đề 2.2.2, ta có ánh xạ
T
p
ϕ : T
p
S
1
−→ T
ϕ(p)
S
2
w −→ T
p
ϕ(w):=β

(0).
Mệnh đề 2.2.3. Ánh xạ T
p
ϕ là một ánh xạ tuyến tính.
Chứng minh. Theo chứng minh Mệnh đề 2.2.2
T
p
ϕ(w)=β

(0) =


∂ϕ
1
∂u
∂ϕ
1
∂v
∂ϕ
2
∂u
∂ϕ
2
∂v


u

(0)
v

(0)

,
tức là T
p
ϕ là ánh xạ tuyến tính từ T
p
S
1
vào T
ϕ(p)

S
2
mà ma trận đối với cặp cơ sở {X
u
,X
v
} và
{X
u
, X
v
} là

∂ϕ
1
∂u
∂ϕ
1
∂v
∂ϕ
2
∂u
∂ϕ
2
∂v

✷
Định nghĩa 7. Ánh xạ T
p
ϕ gọi là ánh xạ vi phân hay ánh xạ tiếp xúc hay ánh xạ đạo hàm của

ϕ tại p.
Ví dụ 14. Cho S
2
⊂ R
3
là mặt cầu đơn vị và R
z,θ
: R
3
−→ R
3
là phép quay quanh trục z với góc
quay θ. Khi đó R
z,θ
|
S
2
: S
2
−→ S
2
là ánh xạ khả vi. Ta có
T
p
R
z,θ
(w)=
d
dt
(R

z,θ
◦ α(t))|
t=0
= R
z,θ
(α

(0) = (R
z,θ
(w)
do R
z,θ
là tuyến tính.
Như vậy, chúng ta đã xây dựng các phép tính vi tích phân trên các mặt chính qui. Các kết quả cổ
điển được mở rộng cho các mặt chính qui. Sau đây là Định lý hàm ngược cho các mặt chính qui.
Định nghĩa 8. Một ánh xạ ϕ : V ⊂ S
1
−→ S
2
,vớiS
1
,S
2
là các mặt chính qui, được gọi là một
vi phôi địa phương tại p ∈ V nếu tồn tại lân cận U ⊂ V của p sao cho ϕ|
U
là vi phôi từ U vào
ϕ(U) ⊂ S
2
.

Định lý 2.2.4 (Định lý hàm ngược cho các mặt chính qui). Giả sử ϕ : V ⊂ S
1
−→ S
2
là
ánh xạ khả vi sao cho T
p
ϕ tại p ∈ V là đẳng cấu. Khi đó ϕ là vi phôi địa phương tại p.
16
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
Dĩ nhiên các khái niệm khác của giải tích như: điểm tới hạn, giá trị chính qui, giá trị tới hạn
v.v. . . , cũng được mở rộng một cách tự nhiên cho các mặt chính qui.
Cho p ∈ S,vớiS là một mặt chính qui. Khi đó ta có hai vector đơn vị (ngược chiều nhau) vuông
góc với T
p
S. Chúng được gọi là các pháp vector đơn vị tại p. Đường thẳng đi qua p với vector chỉ
phương là các pháp vector đơn vị này gọi là pháp tuyến của S tại p.
Ta sẽ gọi góc giữa hai mặt chính qui tại giao điểm p của chúng là góc giữa hai mặt phẳng tiếp xúc
tại điểm p. Góc này cũng chính là góc giữa hai pháp tuyến tại p.
Chúng ta có thể xác định một vector pháp tuyến bằng cách chọn
N(p):=
X
u
∧ X
v
X
u
∧ X
v


(q),
với q = X
−1
(p) và X là một tham số hóa tại p.
Như vậy chúng ta có ánh xạ khả vi rất quan trọng trong việc nghiên cứu mặt
N : X(U) −→ R
3
p −→ N (p).
Ánh xạ N như trên được xác định một cách địa phương và sẽ được đề cập kỷ trong các mục tiếp
theo. Các ví dụ về mặt không định hướng được cho thấy không thể thác triển N thành ánh xạ
khả vi trên toàn bộ mặt, nếu mặt là không định hướng được.
2.3 Dạng cơ bản thứ nhất-Diện tích
2.3.1 Dạng cơ bản thứ nhất
Cho S ⊂ R
3
là một mặt chính qui. Khi đó tích vô hướng trên R
3
sẽ cảm sinh tích vô hướng trên
từng mặt phẳng tiếp xúc T
p
S. Cụ thể
∀w
1
,w
2
∈ T
p
S, w
1
,w

2

p
= w
1
.w
2
(tích vô hướng trong R
3
).
Định nghĩa 9. Với mỗi không gian tiếp xúc T
p
S, dạng toàn phương
I
p
: T
p
S −→ R
I
p
(w)= w, w
p
= |w|
2
,w∈ T
p
S
gọi là dạng cơ bản thứ nhất của S tại p.
17
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)

Giả sử X(u, v) là một tham số hóa của S tại p, w ∈ T
p
S là vector tiếp xúc của cung tham số trên
mặt
α :(−, ) −→ S
t −→ X(u(t),v(t))
với p = α(0),w= α

(0). Ta có
I
p
(w)=I
p
(α

(0)) = α

(0),α

(0)
= u

X
u
+ v

X
v
,u


X
u
+ v

X
v

= X
u
,X
u
(u

)
2
+2X
u
,X
v
u

v

+ X
v
,X
v
(v

)

2
= E(u

)
2
+2Fu

v

+ G(v

)
2
,
với E = X
u
,X
u
,F= X
u
,X
v
,G= X
v
,X
v
, là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất I
p
.
Khi cho p chạy trong lân cận tọa độ ứng với X, ta được các hàm khả vi E,F,G xác định trong

lân cận này.
Ví dụ 15. Giả sử w
1
,w
2
là các vector trực chuẩn và p là một điểm trong R
3
. Khi đó mặt phẳng
qua p với cặp vector chỉ phương w
1
,w
2
có một tham số hóa dạng
X(u, v)=p + uw
1
+ vw
2
, (u, v) ∈ R
2
.
Ta tính được
E = X
u
,X
u
 = w
1
,w
1
 =1,

F = X
u
,X
v
 = w
1
,w
2
 =0,
G = X
v
,X
v
 = w
2
,w
2
 =1.
Nếu w có tọa độ (a, b) đối với {X
u
,X
v
} thì I
p
(w)=a
2
+ b
2
.
Ví dụ 16. Mặt trụ với đáy là đường tròn


x
2
+ y
2
=1
z =0
có một tham só hóa dạng
X(u, v) = (cos u, sin u, v),
xác định trên tập mở U = {(u, v) ∈ R
2
:0<u<2π, −∞ <v<∞}. Ta có
X
u
=(−sin u, cos u, 0),
X
v
=(0, 0, 1).
Do đó ta tính được E =1,F=0,G=1.
Ta có nhận xét dạng cơ bản thứ nhất của mặt phẳng và mặt trụ là giống nhau.
18
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
Ví dụ 17. Xét đường xoắn ốc (helix) có tham số hóa như sau:
c(u) = (cos u, sin u, au),a=0, 0 <u<2π.
Qua mỗi điểm của đường xoắn ốc này vẽ đường thẳng song song với mặt phẳng xy và giao với
trục z. Mặt sinh bởi các đường thẳng này gọi là mặt Helicoid và có một tham số hóa dạng
X(u, v)=(v cos u, v sin u, au), 0 <u<2π, −∞ <v<∞.
Ta có
X
u

=(−v sin u, v cos u, a),
X
v
= (cos u, sin u, 0).
Từ đây ta tính đượ c
E = v
2
+ a
2
,F=0,G=1.
Dạng cơ bản I là quan trọng vì nếu biết I chúng ta có thể xử lý các vấn đề metric trên một mặt
chính qui mà không cần đến không gian R
3
. Ví dụ, hàm độ dài cung của một đường tham số
c : I −→ S, được cho bởi
s(t)=

t
0
|c

(t)|dt =

t
0

I(c

(t))dt.
Đặc biệt, nếu c(t)=X(u(t),v(t)) thì ta có thể tính độ dài của đường tham số c, giả sử từ 0 đến t

s(t)=

t
0

E(u

)
2
+2Fu

v

+ G(v

)
2
dt.
Cũng như vậy, góc giữa hai đường tham số chính qui c : I −→ S và α : J :−→ S cắt nhau tại t
0
là
cos θ =
c

(t
0
),α

(t
0

)
|c

(t
0
)|.|α

(t
0
)|
.
Đặc biệt góc giữa hai đường tọa độ của một tham số hóa là
cos θ =
X
u
,X
v

|X
u
|.|X
v
|
=
F
√
EG
.
Từ đây chúng ta thấy rằng hai đường tọa độ trực giao nhau khi và chỉ khi F (u, v)=0, ∀(u, v).
Một tham số hóa như vậy gọi là tham số hóa trực giao.

Nhận xét 7. Do đẳng thức s(t)=

t
0

E(u

)
2
+2Fu

v

+ G(v

)
2
dt nên trong nhiều giáo trình
dạng cơ bản thứ nhất được viết dưới dạng
ds
2
= Edu
2
+2F dudv + Gdv
2
,
có nghĩa là nếu c(t)=X(u(t),v(t)) là một đường tham số trên mặt S và s = s( t) là độ dài cung
của nó, thì

ds

dt

2
= E

du
dt

2
+2F
du
dt
dv
dt
+ G

dv
dt

2
,
19
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
Ví dụ 18. Xét một tham số hóa của mặt cầu S
2
X(θ, ϕ) = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ).
Ta có
X
θ
= (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, −sin θ),

X
ϕ
=(−sin θ sin ϕ, sin θ cos ϕ, 0),
Do đó E =1,F=0,G= sin
2
θ. Như vậy, giả sử w = aX
θ
+ bX
ϕ
∈ T
p
S, với p = X(θ, ϕ) thì
|w|
2
= a
2
+ b
2
sin
2
θ.
2.3.2 Diện tích
Một vấn đề khác liên quan đến metric là diện tích. Chúng ta mong muốn tính được diện tích của
các miền bị chặn của một mặt chính qui. Vấn đề này cũng sẽ được xử lý nhờ vào dạng cơ bản thứ
nhất.
Trước hết chúng ta làm quen với một số khái niệm. Miền mở (domain) của mặt chính qui S là
một tập mở liên thông của S có biên là ảnh của đường tròn qua một phép đồng phôi khả vi chính
qui (tức là đạo hàm khác không) chỉ trừ tại một số hữu hạn điểm. Miền là hợp của miền mở và
biên của nó. Một miền được gọi là bị chặn nếu nó được chứa trong một hình cầu nào đó.
Giả sử S là một mặt chính qui, X là một tham số hóa địa phương. Trên mặt phẳng tiếp xúc T

p
S,
tức một không gian Euclid 2-chiều, chúng ta đã biết đại lượng |X
u
∧ X
v
| đúng bằng diện tích của
hình bình hành dựng trên các vector X
u
và X
v
. Chúng ta đưa ra định nghĩa diện tích của miền bị
chặn.
Định nghĩa 10. Cho R ⊂ S là một miền bị chặn chứa trong lân cận tọa độ xác định bởi tham
số hóa X : U ⊂ R
2
−→ S. Số dương
A(R):=

Q
|X
u
∧ X
v
|dudv, Q = X
−1
(R) (2.1)
gọi là diện tích của R.
Do
|X

u
∧ X
v
|
2
+ X
u
,X
v

2
= |X
u
|
2
|X
v
|
2
nên |X
u
∧ X
v
| =
√
EG − F
2
. Công thức diện tích 2.1 được viết lại
A(R)=


Q
√
EG − F
2
dudv. (2.2)
20
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
Nhận xét 8. Chúng ta có thể định nghĩa diện tích một cách hình học hơn bằng cách dùng phân
hoạch miền thành các miền nhỏ hơn có thể xấp xỉ được và sau đó lấy giới hạn. Tuy nhiên vấn đề
này mất khá nhiều thời gian. Bạn đọc có thể tham khảo ở các tài liệu của giải tích hoặc xem [?],
trang 114. Định nghĩa nêu trên có vẻ áp đặt nhưng hoàn toàn tương thích với cách hiểu tự nhiên
về diện tích. Ví dụ ngay sau đây minh họa cho điều đó.
Ví dụ 19. Tính diện tích mặt xuyến T . Xét lân cận tọa độ tương ứng với tham số hóa
X(u, v)=((a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sin v,r sin u), (0 <u<2π, 0 <v<2π).
Lân cận tọa độ này phủ S chỉ trừ một đường kinh tuyến và một vĩ tuyến. Ta tính được hệ số của
dạng cơ bản thứ nhất như sau:
E + r
2
,F=0,G=(r cos u + a)
2
.
Do đó,
√
EG − F
2
= r(r cos u + a).
Xét miền R

là ảnh của Q


qua X với
Q

= {(u, v) ∈ R
2
:0+ ≤ u ≤ 2π −, 0+ ≤ v ≤ 2π −}.
Miền R

phủ gần hết T chỉ trừ hai dải nhỏ chứa đường kinh tuyến và vĩ tuyến nêu trên. Khi  dần
về không thì A(R

) dần về diện tích của T. Ta tính A(R

).
A(R

)=

Q

r(r cos u + a)dudv =

2π−
0+
(r
2
cos u + ra)du

2π−
0+

dv
= r
2
(2π − 2)(sin(2π −) − sin )+ra(2π −2)
2
.
Cho  −→ 0, ta có
A(T )=4π
2
ra.
2.4 Mặt định hướng
Định nghĩa 11. Một mặt chính qui S gọi là định hướng được nếu có một ánh xạ liên tục p −→ N(p)
biến điểm p ∈ S thành một pháp vector đơn vị N(p) ⊥ T
p
(S). Một mặt chính qui định hướng là
mặt chính qui định hướng được cùng với ánh xạ p −→ N(p).
Ví dụ 20. Dễ thấy rằng mặt phẳng là một mặt định hướng được.
Ví dụ ngay sau đây cho ta thấy có những mặt không định hướng được.
21
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý. Version 1)
Ví dụ 21. Mặt M¨obius. Lấy một dải giấy hình chữ nhật. Dán hai cạnh đối diện lai với nhau sau
khi đã xoắn 180
0
. Mặt nhận được chính là mặt M¨obius. Chúng ta dễ nhận thấy rằng một vector
pháp sẽ đổi chiều sau khi trượt dọc theo đường chính giữa mặt đúng 1 vòng. Điều này cho thấy
mặt M¨obius là không thể định hướng được.
Hai mệnh đề tiếp theo cho ta các ví dụ khác về các mặt chính qui định hướng được.
Mệnh đề 2.4.1. Cho h : U ⊂ R
2
−→ R là một hàm khả vi. Khi đó đồ thị của h là một mặt chính

qui định hướng được.
Chứng minh. Xét tham số hóa
X(u, v)=(u, v, h(u, v)), (u, v) ∈ U.
Khi đó X(U )=G
h
và X là đơn ánh. Xét
N ◦ X =
X
u
∧ X
v
|X
u
∧ X
v
|
=
(−h
u
,h
v
, 1)

1+h
2
u
+ h
2
v
Vì 1+h

2
u
+ h
2
v
> 0, nên N là liên tục. ✷
Mệnh đề 2.4.2. Cho f : U ⊂ R
3
−→ R là hàm khả vi và a là một giá trị chính qui của f. Khi
đó S = f
−1
(a) là một mặt chính qui định hướng được.
Chứng minh. Lấy điểm bất kỳ p ∈ S, giả sử p =(x
0
,y
0
,z
0
). Xét đường tham số c(t)=
(x(t),y(t),z(t)),t∈ (−, ) ⊂ R trên mặt S đi qua p với c(0) = p. Vì đường cong nằm trên
mặt nên
f(x(t ),y(t),z(t)) = a, ∀t ∈ I.
Đạo hàm cả hai vế tại t =0, ta nhận được
f
x
(p)x

(0) + f
y
(p)y


(0) + f
z
(p)z

(0) = 0.
Từ đây suy ra vector tiếp xúc của c tại t =0trực giao với (f
x
,f
y
,f
z
) tại p. Do điểm p và đường
tham số c được lấy tùy ý nên ta suy ra rằng
N(x, y, z)=

f
x

f
2
x
+ f
2
y
+ f
2
z
,
f

y

f
2
x
+ f
2
y
+ f
2
z
,
f
z

f
2
x
+ f
2
y
+ f
2
z

xác định trên toàn bộ S. Do a là điểm chính qui nên f
2
x
+ f
2

y
+ f
2
z
> 0 tại mọi điểm của mặt. Do
đó N là liên tục. ✷
22