BÀI TẬP LỜI GIẢI ĐỊNH LUẬT KIIRHOFF

Lời Giải - đáp số - chỉ dẫn
3.1. Hình 3.48.
1. a) Phương trình định luật Kiêckhop 2:
u
R
+u
C
=E. Chọn biến số là u
C
thì i=
dt
du
C
C
.
Từ đó có R. i+u
C
=R
dt
du
C
C
+u
C
=E hay
dt
du
C
+αu
C
=αE

Trong đó α=1/RC=1/τ=
10
1020105
1
63
=
−

[1/s]
Nghiệm là:
ttt
t
t
dtdt
C
CeE]eEC[e
]dteEC[e]dteEC[eu
α−αα−
α
α−
αα−
+=+=
α+=
∫
α+
∫
=
∫∫
.
Vì u

C
(0)=E+C=0 (đây là điều kiện ban đầu) nên C=-E→ u
C
(t)=E(1-e
-
α
t
)=100(1-e
-10t
)
Từ đó u
R
(t)=E-u
C
(t)=Ee
-
α
t
=100e
-10t
; i(t)=
t
R
e
R
E
R
)t(u
α−
=

=0,02e
-10t
hay tính
i(t)=
t
C
e
R
E
dt
du
C
α−
=
=0,02e
-10t
[A]
Đồ thị các đại lượng hình 3.49.
b) Theo công thức 3.7. thì u
C
(t)=Ae
-
α
t
+B
Hệ số α theo (3.8) thì α=1/R
tđ
C=1/RC=10[1/s] vì R
tđ
=R (khi đã đóng khoá K

và cho nguồn tác động bằng 0). Khi t→∞ thì u
C
(∞)=B=E vì lúc đó mạch ở chế độ
một chiều khi C nạp đầy đến điện áp bằng E. Khi t=0 thì u
C
(0)=A+B=A+E=0 nên
A=-E và u
C
(t)=E(1-e
-
α
t
)= 100(1-e
-10t
)
2. Nếu không mắc R thì tại t=0 có u
C
(0)=0 nên nguồn bị chập qua tụ C gây
hỏng nguồn.
H×nh 3.48
K
C
R
E
t
i(t)
0
H×nh 3.49
R
C

u (t)
u (t)
E
t
XL
0,95E
0,05E
97
3.2. i(t)=0,5(1-e
-200t
) [A];u
L
(t)=50e
-100t
[V] ; u
R
(t)=50(1-e
-100t
). [V]
3.3. R
1
=10 Ω ; L
1
=0,2H ; R
2
=20Ω ; L
2
=0,1H
3.4. Từ mạch hình 3.50 a) ngắt bỏ C, nhìn từ 2 điểm vừa cắt vào mạch khi
cho nguồn tác động bằng 0 sẽ có mạch hình 3.50b).Từ đó có:

Ω=
+
+=+= 30
3020
3020
18
312
.
)R//R(RR
td
;
500
10676630
11
6
≈==α
−
.,.
CR
td
[1/s]
Đầu tiên tính dòng i
1
(t)=Ae
-500t
+B;
i
1
(

1
3020
50
31
=
+
=
+
==∞=
∞→ RR
E
B)(i
t
)t
, vì khi đó mạch ở chế độ
một chiều xác lập, không có dòng một chiều qua C.

61
251120
50
0
0
321
11
,
,R//RR
E
BA)(i
t
)t(i =

+
=
+
=+==
=
, vì khi t=0
thì u
C
(0)=0 nên C thay bằng dây dẫn (hình 3.50c).
A=1,6-B=0,6 nên i
1
(t)=0,6e
-500t
+1 [A]
Các dòng khác có thể tính tương tự, tuy nhiên nên áp dụng các định
luật cơ bản để tính qua i
1
(t) sẽ nhanh hơn:
u
R1
(t)=R
1
i
1
(t)=12e
-500t
+20[V]; u
R3
(t)=E-u
R1

(t)=-12e
-500t
+30[V]

]A[e,
R
)t(u
)t(i
t
R
R
140
500
3
3
3
+−==
−
; i
R2
(t)=i
R1
(t)-i
R3
(t)=e
-500t
.[A]
]V[)e(e)t(iR)t(u)t(u
tt
RC

500500
223
1303030
−−
−=−=−=
Có thể kiểm tra giá trị u
C
(t) theo công thức:

)e(
t
.,.
e
dte
.,
)(udt)t(i
C
t
t
t
t
t
CR
500
6
500
0
500
0
6

2
130
0
106766500106766
1
0
1
−
−
−
−
−
−≈−==+
∫∫
[V]
H×nh 3.50
a)
K
C
R
E
R
R
1
2
3
i (t)
i (t)
i (t)
u (t)

2
3
1
C
R
R
R
1
2
3
R
R
R
1
2
i (t)
i (t)
2
1
b)
i (t)
3
c)
E
E=0
3
98
3.5. Hình 3.51
5460
40

,e,)t(i
t
+−=
−
;
]A[)e(,i
];A[e,,i
t
R
t
R
40
1
40
2
181
2172
−
−
−=
+=
.e,)t(u
t
L
40
846
−
=
[V]
3.6. L=0,5H

3.7. Hình 3.52.
Chưa đóng K: Mạch xác lập với dòng một chiều:
A
RR
E
)(i)(iI 5
20
100
00
21
210
==
+
===
; i
K
=0. Đây là trạng thai khởi điểm của
mạch
Khi đóng K: Mạch gồm 2 phần độc lập nhau, nhưng tạo thành 2 dòng dùng đi
qua khoá K. Hình 3.53a)
Mạch bên trái gồm R
1
và E là mạch thuần trở nên:
5
t
1
i
1
(t)
i

2
(t)
[s]
10
i
1
(t)=i
2
(t)
i
K
(t)
H×nh 3.53
[V]
1
i (t)
R
1
2
2
R
i (t)
K
i (t)
K
L
E
a)
b)
99

;A
R
E
i
R
10
10
100
1
1
===
Mạch bên phải là sự phóng điện tự do của L qua R
2
:

( ) ( )
;Aeti;
,L
R
;Ae)t(iti
t
R
t
LR
100
2
2
22
100

10
10
−α−
====α==
Vì i
2
(0)=5 nên A=5 → i
2
(t) =5e
-100t
. Khi t=1s thì i
2
(1)≈0;
i
K
(t)=i
1
(t)-i
2
(t)=10-5e
-100t
Khi hở K mạch lại có i
1
(t)=i
L
(t)=i
R2
(t) biến thiên theo quy luật hàm mũ nên
i
1

(t)=i
L
(t)=i
2
(t)=Be
-
α
1(t-1)
+C=
;
)(
CBe
1t2000
+
−−
);e()t(inªnB)s(i)s(i;AIC
)t(
LXL
12000
1550115
−−
−=−=⇒====
Đồ thị hình 3.53b)
3.8.Mạch đã cho trên hình 3.54a):
Tìm điều kiện ban đầu, tức tìm U
C1
(0) và U
C2
(0): Trước khi hở khoá K
mạch ở chế độ một chiều xác lập, không có dòng qua C

1
và C
2
nên sơ đồ tương
đương có dạng hình 3.54.b).
Giải mạch một chiều tìm được i
1
(0)=1,44A; i
3
(0)=0,4A, i
2
(0)=1,44-0,4=1,04A
U
C1
(0)=U
C2
(0)=U
R2
(0)=1,05.15 =15,6V.
Sau khi hở khoá K: Mạch tách là hai phần độc lập nhau (hình 3.54.c):
Phần mạch bên trái:
121
6
25
1510
α=== ;
.
R//RR
td
=

333
105006
1
6
≈
−

[1/s]
i
1
(t)=A
1
e
-333t
+B
1
;
21
25
30
21
1
111
,
RR
E
B)(i
t
)t(i ==
+

==∞=
∞⇒
21240240441
0
0
0
333
11
1
1
1111
,e,)t(i;,A;,
R
)(UE
BA)(i
t
)t(i
t
C
+===
−
=+==
=
−

[A]
u
R1
(t)=R
1

i
1
(t)=2,4e
-333t
+12[V]; u
R2
(t)=u
C1
(t)=E
1
-u
R1
(t)=18-2,4e
-333t
[V]

[ ]
Ae,)t(i)t(i)t(i;]A[e,,
R
)t(u
)t(i
t
C
t
R
333
211
333
2
2

2
4016021
−−
=−=−==
Phần mạch bên phải:
5555
1
9
23
23
,
CR
;RR
td
==α==
; i
3
(t)=A
2
e
-555t
+B
2
.
100
0
233
==∞=
∞⇒
B)(i

t
)t(i
vì dòng 1 chiều không qua đươc C
2
.
t
C
e,)t(i;,
R
E)(U
A)(i
t
)t(i
555
3
3
22
233
4040
0
0
0
−
==
−
===
=
[A]
3.9. Hình 3.55.
Vì nguồn chuyển qua giá trị max dương tại t=0 nên α

e
=90
0
, tức
e(t)=E
m
sin(100t+90
0
)[V]
Xác định điều kiện ban đầu: tức i
L
(0)=?
Dòng xác lập hình sin khi chưa đóng khoá K:
;e
E
e
j
E
,.j
eE
Z
E
I
,j
m
j
m
j
m
.

.
m
00
0
436390
90
510
10201010020
=
+
=
+
==
Lúc này Ampe kế chỉ gía trị hiệu dụng nên:
]V[E;]V[E;]A[
E
I
m
210010052
510
====
Trước khi đóng
khoá K dòng điện có biểu thức:
i(t)=
),tsin(),tsin(.
00
43631001024363100252 +=+
→điều kiện ban đầu là
I
L0

=5,66A
Biểu thức của nguồn: e(t)=100
2
sin(100t+90
0
)[V]
+Sau khi đóng khoá K: i=i
tự do
+i
cưỡng bức
=i
td
+i
Cb
]A[)tsin(e,)t(i
,,m;sinm,)(i;)tsin(me)t(i
Aemei
)tsin(i;eee
jjXR
E
I
t
t
t
t
L
R
td
Cb
j)(jj

L
.
m
mCb
.
0100
00100
100
045459090
451001041
41
2
2
10665451066504510010
451001010
210
2100
1010
2100
0000
++−=
−=−=+==++=
==
+===
+
=
+
=
−
−

−
−
−
3.10.
)tsin(e)t(i
t 0314
903141212 −+=
−
;
;]V)[et(sin)t(u
t
L
314
314120
−
−=

]V[)]tsin()t(e];V[)tcos(e)t(u
t
R
0314
453142120314120120 −=−=
−
101
3.11. Hình 3.56.
t,
L
e)t(i
7125
2

6
−
=
)tcos(ee
)t(i)t(i)t(i
)tcos(e)t(i
t,t
K
t
07125418
21
0418
1
3731420610
373142010
−+−−
=−=
−+−=
−−
−
3.12. a)u
C
(t)=200(1-e
-4t
)
b)R=5 KΩ ;C=50 µF.
3.13. Hình 3.13.
a) u
C
(t)=u

R
(t)=100e
-20t
; i(t)=2e
-20t
;
b) W
R
(t)=5(1-e
-40t
) ;t
1
≈17,33 mS.
3.14.
Jun,
e
dteW;e
e
)t(p;eu)b
;Jun,.W;V)(uU);e(u)a
t
t
R
t
t
R
t
R
ECp¹nC
t

C
10
0
80
888
5000
200
200
10
2
200
1052001200
80
0
8080
2
402
40
2
640
=
∞
−
=====
===∞=−=
−
∞
−−
−
−

−−
∫
3.15. a)Nguồn điện áp:
s,;,R
td
5151 =τΩ=
b) Nguồn dòng:
s;R
td
22 =τΩ=
3.16. Mạch điện hình 3.57.
Sau khi đóng khoá K, vì nguồn là lý tưởng nên:
- Có dòng độc lập qua R
1
là i
1
(t)=E/R
1
=2[A]
- C được nạp qua R
2
theo quy luật hàm mũ
102

)e()e(Eu
t
t
CR
C
500

1
11501
2
−
−
−=−=
[V]

t
C
C
e
dt
du
C)t(i)t(i
500
2
6
−
===
[A]
Tại thời điểm t=1 s thì u
C
(1s)=150(1-e
-500
)≈150V (đây là điều kiện ban đầu
khi hở K).
Sau khi hở khoá K:lúc đó C phóng điện qua R
1
và R

2
từ giá trị u
C
(1s)=150V
theo quy luật hàm mũ:
u
C
(t)=150e
)t(
t
)RR(C
e
1125
21
1
150
−−
+
−
=
[V] ;
]A[e,
RR
)t(u
)t(i
)t(
C
1125
21
1

51
−−
=
+
=
;

]A[e,
dt
du
Chaye,)t(i)t(i)t(i
)t(
C
)t(
C
11251125
12
5151
−−−−
−==−=−==
3.17. Mạch điện hình 3.58
a) Điện áp nạp cho tụ: u
C
(t)=E(1-e
-
α
t
) với

RC

11
=
τ
=α
=1000

)ee(
R
E
)e(e
R
E
)e(eEC
dt
dW
)t(p
;)e(
CE
u
CW
tttt
tt
E
C
t
C
E
α−α−α−α−
α−α−
α−

−=−=
−α==
−==
2
22
2
2
2
2
1
1
1
22
020250
22
11
=α+α−=−====
α−α−α−α− tttt
C
ee)'ee()t(
.
pkhiVAmax)t(p
C
;mS.,te,eeHay
ttt
6930502
1
10002
111
=→=→=

−α−α−
t
c
t
C
.,,
MAXC
e
td
du
C)t(i;)e()t(u
]V[E),,(
E
)ee(
E
p
10001000
2
2690690
2
101100
10025050
1010
250
−−
−−
==−=
=⇒−≈−==
103
b)

Jun,
E
CW
E
50
2
2
==
c)
Jun,
e
dtRiW
t
R
50
02000
10
2000
3
0
2
=
∞
−
==
−
∞
∫
3.18. Hình 3.59.
i

1
(t)=7,5(1- e
-1000t
); i
2
(t)=10e
-500t
;
i(t)= i
1
(t)+ i
2
(t)
3.19. Hình 3.60.
Trước khi hở khoá K:
00
1
0
0
0
1
562645
45
45
45
2456330102
2
230
260
2301303030

30103110
2020
402020
2040
,jj
CLR
mCm
j
j
m
m
j
CLR
CL
e,)j(eZ
.
I
.
U
;e
e
Z
.
E
.
I
e)j(jZ
j)j(
j
)j(j

Z
;jZ;jZ
−
−
−
=−==
===
=−=−=
−=−=
+
+−
=
−==

209010002
272805626100024563
241421
4020
24563
0
0
9090
5626
00
0
1
−=−=
−=−=
==
+

==
−−
−
)(i);tsin()t(i
V,)(u);,tsin(,)t(u
ee,
j
e,
Z
.
U
.
I
LL
CC
jj
,j
LR
Cm
Lm
Sau khi hở khoá K:
- Về mặt lý thuyết thì U
C
giữ mãi ở mức -28,27V (má trên của tụ là âm,
má dưới là dương). Thực tế tụ sẽ phóng điện qua không khí. Thời gian
phóng tuỳ thuộc vào độ dẫn điện (độ ẩm) của không khí.
- Dòng ở phần còn lại là i
L
(t)=Ae
-

α
t
+B(t).
B(t) xác định như sau:
)tsin(,)t(Be,
jZRR
.
B
.
B
L
m
m
045
1
4510005151
4040
260
0
−=⇒=
+
=
++
=
−
104
Từ đó
.
L
RR

1000
1
=
+
=α
; i
L
(t)=Ae
-1000t
+1,5sin(1000t-45
0
).
Khi t=0 thì i
L
(0)=-
2
=A+1,5sin(-45
0
)=A-1,5.0,707=A-1,06.→A=-0,35
i
L
(t)=-0,35e
-1000t
+1,5sin(1000t-45
0
) [A].
3.20. Mạch điện hình 3.61.
Vì khi nguồn đạt giá trị dương bằng giá trị
hiệu dụng thì khoá K hở ra nên:
u(0)=

00
ee
135hoăo45
2
1
arcsin;sin200
2
200
===
αα
.
Trước khi hở khoá K mạch ở chế độ hình sin xác lập:
Với L=50mH, C=20 µF thì
s/rad
LC
1000
1
0
==ω
=ω nên mạch ở trạng thái
cộng hưởng:

=
ω
+ω+
+=
Lj
Cj
R
RZ

11
1
2R=100 Ω

];A[)sin()(i;e
j
e
Z
.
U
.
I
;
.
Ue
.
IR
.
U;e
e
Z
.
E
.
I
L
j
j
L
Lm

Lm
Cm
j
mLm
j
j
m
m
245202
50
100
1002
100
200
045
45
4545
45
0
0
00
0
−=−====
======
−

]V[)sin()(u
C
250
2

2
100451000
0
===
Sau khi hở khoá K:Mạch tách làm 2 phần:
Mạch bên phải:
t
RC
t
c
ee)t(u
1000
250250
−
−
==
Mạch bên trái:
)t(BAe)t(BAe)t(i
t
t
L
R
L
+=+=
−
−
1000
B(t) là dòng cưỡng bức hình sin khi mạch ở chế độ xác lập mới:
105

)tsin()t(B
j
e
LjR
E
B
j
m
.
.
100022
22
5050
200
0
45
=
=
+
=
ω+
=
]A[)tsin(e)t(iA)sin(A)(BA)(i
)tsin(Ae)t(i
t
LL
t
L
1000222202200
100022

1000
1000
+−=→−==+=+=
+=
−
−
3.21.Hình 3.62
a) +Biến là u
C
:
,u.,'uHayu'u.
cccc
444
10537107501503104 =+=+
−
+Biến là i:
;.i.,'i
44
107510750 =+
+Biến là i
1
:
4
1
4
1
1053710750 .,i.,'i =+
+Biến i
3
: Vì R

1
=R
2
và mắc song song nên dạng
như i
1
+Biến là i
2
=i
C
:
;i.,'i 010750
2
4
2
=+
b)
)e(u
t
C
7500
150
−
−=
[V]
]A[e)t(i
]A[e)t(i]:;A[)e()t(i)t(i
t
tt
7500

7500
2
7500
31
510
1515
−
−−
+=
=−==
3.22. Hình 2.21b: τ=1,5 mS; Hình 2.21c: τ=2mS; Hình 2.21d: τ=3 mS;
3.23. Hình 2.63 a)Phương pháp kinh điển:
;BAe)t(i
50
2,0
10
L
R
α;Ω10R//RRR
t50
td
21td
+=
====+=
−

;A;
RR
E
BA)(i

t
)t(i
;
.
R//RR
E
B)(i
t
)t(i
24
20
80
0
0
6
200
1580
15
50
10
80
0
0
2
21
−===
+
=+==
=
==

+
=
+
===
=
106
]A[eii)t(i];A[e)t(i
]V[e)t(uE)t(u];V[eiR)t(u;]A[e)t(i
t
R
t
t
RR
t
R
t
50
21
50
2
50
2
5050
4422
2020206062
−−
−−−
−=−=+=
+=−=−==+−=
b) Phương pháp toán tử:Z(p)=R+[R

1
//(R+PL)]=
p,
p
p,
)p,(
2015
2004
2015
20510
10
+
+
=
+
+
+
];A[e)e,,()t(i
,
pp
p
A;,
pp
p
A
)
p
A
p
A

(
p
p
.
pp
p,
.
p)p(Z
)p(E
)p(I
tt 5050
21
21
2650514
50
50
75
51
050
75
50
4
50
754
2004
152080
−−
−=−=
−=
−=

+
==
=+
+
=
+
+=
+
+
=
+
+
==
3.24. Hình 3.64.
Z(p)=5+
=
+
+=
+
−−
p p
56
103181
10
5
10103181
10

p.
p,

5
103181
0159015
−
+
+
; E(p)=
22
314
314100
+p
.

)
p
BpB
p
A
(
p
p
.
p
)p(,
)p(.
.
p
.
p,
p.

.
p
.
)p(Z
)p(E
)p(I
22
21
22
5
22
5
22
314
943
6280
943
314
314
6280
94301590
31410318
314
100314
0159015
103181
314
100314
+
+

+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
==
−−

399010376310376
314943314
1943
0
314943943314
2
4
1
4
2
2
21
1

221
2
1
22
,B;.,B;.,A
B.A
BB
BA
pBpBp.BpB.AAp
==−=⇒





=+
=+
=+
+=+++++
−−

)
p
,p.,
p
.,
(
22
44
314

399010376
943
10376
6280
+
+
+
+
−
−−
),tcos(,
t
e)tsin,cos,(.
t
e
)tsin.,cos.,(
t
e.,[
)tsin
,
cos.,(
t
e.,[)t(i
09434943
449434
49434
3663314922843147123143761062804
3141071231410376103766280
314
314

3990
31410376103766280
−+−=++−≈
=++−
=++−=
−−−
−−−−
−−−
i(t)=-4e
-943t
+8,922cos(314t-63,36
0
)= 4e
-943t
+8,922sin(314t+26,64
0
) [A]
Chú ý: biến đổi dùng công thức:
107

)
a
b
ctgarcxcos[ba
)
b
a
tgarcxcos(ba)
b
a

tgarcxsin(baxsinbxcosa
−+
=−++=++=+
22
02222
90
22
2
432
42
2
43
32
443
2
32
22
2
22
43
2
22
2
22
5225
314
18852
943
2
188522

8429741943314
0943
0
8429741943943314
314
943
943314
8429741
10
943314
42087491
31410318
1
943314
31462800
103181
10
+
+−
+
+
=
=−≈≈⇒





=+
=+

=+
=+++++
+
+
+
+
=
++
==
++
=
+++
+
=
+
=
−−
p
p
p
)p(I
;B;B;A
BA
BB
BA
BpBpBpBApA
p
BpB
p
A

)p)(p(
)p(U
)p(I
)p)(p(
)p(.)p)(p(
)p(
p.
).p(I)p(U
C
C
),tcos(,
t
e]tsintcos[
t
e
]tsintcos[
t
e)t(i
0943943
943
2
56713143262314632422
314
314
1885
32422
++=+−+
=+−+=
−−
−

i
2
(t)=2e
-943 t
+6,32cos(314t+71,56
0
).= 2e
-943 t
+6,32sin(314t-18,43
0
).
)p)(p(
p
)p)(p(
p
)p)(p(
p
pC).p(U)p(I
C
943314
6280
943314
1031842074819
943314
1031842074819
2222
6
22
6
1

++
=
++
=
++
==
−−

22
2653
63
2
65
53
665
2
53
22
3
22
653
314
86266
943
6
862666
0943314
6280943
0
6280943943314

314
943
+
+
+
+
−
==≈−≈⇒





=+
=+
=+
=+++++
+
+
+
+
=
p
,p
p
)p(I;,B;B;A
BA
BB
BA
pBpBpBpBApA

p
BpB
p
A

),tsin(,
t
e),tcos(,
t
e
)tsintcos(
t
e)tsin
,
tcos(
t
e)t(i
09430943
943943
2
5671314326643183143266
314231466314
314
8626
31466
++−=−+−
=++−≈++−=
−−
−−
i

1
(t)=- 6e
-943t
+6,32cos(314t-18,43
0
)= - 6e
-943t
+6,32sin(314t+71,56
0
) [A]
Chú ý: Nếu tính theo công thức 3.9, tức giải theo kiểu BT3.9 sẽ thấy đơn
giản hơn nhiều.
3.25. Đưa về sơ đồ toán tử tương đương như ở
hình 3.65 sẽ có phương trình:
108
Hình 3.24
L
R
1
R
1
R
3
L
3
C
2
i(t) M
N
L

1
.i
L1
(0)
L
2
.i
L2
(0)
p
)(u
C
0

p
)(u
)(i)LL(
]
Cp
)LL(pRRR)[p(I
C
L
0
0
1
21
21321
++
=+++++

00
2
1
2
1
2
3
2
1
4
3
4
1
2
3
11
33
=→−=+=
+=+=→
−
−
−
−
−
−
)(u;ee
dt
di
L)t(iR)t(u
]A[ee)ee()t(i

MN
t
t
MN
t
t
t
t
3.26. Hình 3.66.
e(t)=100sin(314t-34
0
)=100sin314tcos34
0
-cos314tsin34
0
=83sin314t- 56cos314t

;
314p
26062p56
314p
p56
314p
83.314
)p(E
222
+
+−
=
+

−
+
=
Mạch RLC nối tiếp:
p
.,p.,p
.
p.
p.,
pC
pLR)p(z
632
3
6
3
1046210421
10282
10144
1
108224
1
++
=++=++=
−
−
−
==
)p(Z
)p(E
)p(I

=
+++
+−
)p)(.,p.,p(
pp
22632
2
3141046210421
2606256
355

=
++
+
+
+
+
]
.,p.,p
DCp
p
BAp
[
63222
1046210421314
355


)
.,Pp

P,
p
,p,
()p(I
,A;,C;D;,B
D.,B
C.,B.,A
DB.,.A
CA
6222
26
236
3
104621420
7300910
314
89200910
355
009100091073892
031410462
260623141042110462
5610421
0
++
−
−
+
−
=
=−=−==








=+
=++
−=++
=+

)
.,Pp
P,
p
,p,
()p(I
6222
104621420
7300910
314
89200910
355
++
−
−
+
−
=

109

]V[)tsin(e)tsin(,Ri)t(u
]A[)tsin(e,)tsin(,)t(i
t
R
t
07100
07100
11139870453142418
1113986871745314564
+−+≈=
+−+=
−
−

==
pC
)p(I)p(U
C
1
p
.
)p)(.,p.,p(
pp
144
10
3141046210421
2606256
355

6
22632
2
+++
+−
=
]
.,p.,p
NMp
p
KHp
[.,
63222
6
1046210421314
10462
++
+
+
+
+

]
.,p.,p
,p.,
p
.,p.,
[.,)p(U
.,HM;,N;.,K;.,H
NK.,

MKH.,
NKH
HMMH
NNppM
.,Kp.,KKpp.,Hp.,H
C
632
5
22
35
6
535
26
26
222
632623
1046210421
032010932
314
1029910932
10462
1093203201029910932
2606231410462
56314142010462
01420
0
314314
10462104211046210421
++
+

+
+
+−
=









=−===−=
=+
−=++
=++
−=⇒=+
+++
+++++
−−−
−−−

)tcos(e)tcos()t(u
t
C
07100
3813989245314102
++−≈
−

[V]
3.27.Hình 3.67.
tsine,)t(i)t(i
t
R
866698710
500
1
−
−==
[A]
tsine,)t(i
t
8663961510
500
2
−
−=
[A]
)tsin(.e,)t(i
t 0500
3
60866667 +=
−
[A]
3.28. Hình 3.68.
110

tt
ee)t(i

605195
9
−−
−≈
=i
C
(t)
tt
R
tt
L
e,e,)t(i)t(i
e,e,i)t(i
605195
1
605195
2
88118838
8828828
−−
−−
−+==
−+==
3.29. Hình 3.69.
1. Xuất phát từ các phương trình:
;dtu
L
i;iii;iRu
;
dt

du
Ci;euu
cLCLR
c
CCR
∫
=+==
==+
1
Từ đó chứng minh được:
ẩn là u
C
:
RC
'e
CL
u
RC
'u
''u
cc
c
=++
ẩn là i:
RLC
e
R
"e
LC
i

RC
'i
"i +=++
1
ẩn là i
2
=i
C
:
R
''e
LC
i
CR
'i
''i =++
22
2
ẩn là i
1
=i
L
:
CRL
e
i
CL
i
CR
i

'"
=++
111
11
2.Thực hiện một số ký hiệu qua các thông số mạch từ quan hệ L=4R
2
C:

00
2
2
2
1
1
2
11
22
11
ω===
ρ
=
ρ
===ω
LC
C
L
C
C
RC
;

C
L
R;
LC
111

;
p
E
)p(eeE)t(e
;
)p(
]pp[R
)p(
]
RC
p
)p[(R
)p(C
]
RC
p
)p[(RC
)p(C
p)p(RC
)p(C
p
R
)p(LC
pL

R
LCp
pL
R
pc
pL
pC
pL
R)p(Z
t
α+
=⇒=
ω+
ω+ω+
=
ω+
+ω+
=
ω+
+ω+
=
ω+
+ω+
=
ω+
+=
ω+
+=
+
+=

+
+=
α−
0
0
2
0
2
2
00
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2

0
22
0
22
2
1
1
1

]
)p(
C
p
C
p
A
[
R
E
)p)(p(
p
R
E
)pp)(p(
p
R
E
)p(Z
)p(e
)p(I

2
0
2
0
1
0
2
0
2
0
2
0
2
00
2
2
0
2
0
2
ω+
+
ω+
+
α+
=
ω+α+
ω+
=
ω+ω+α+

ω+
==
Tìm các hệ số theo công thức Heviside:

2
0
2
0
2
2
00
2
2
0
2
2
00
2
2
0
2
22 )(
p
pp
p
A
ω−α
ω+α
=
ω+αω−α

ω+α
=
α−=
ω+ω+
ω+
=

2
0
0
0
2
2
0
2
0
2
0
2
1
0
2
0
0
2
0
2
2
22
2

)(
p
)p(
)p()p(p
p
]
p
p
[
dp
d
C
p
p
p
C
ω−α
αω−
=
ω−=
α+
ω+−α+
=
ω−=
α+
ω+
=
ω−α
ω
=

ω−=
α+
ω+
=

[ ]
=++=
ω+
ω−α
ω
+
ω+
ω−α
αω
−
α+
ω−α
ω+α
=
ω−ω−
α−
tt
t
o
etCeCAe
R
E
)t(i
]
)p(

)(p
)(
p
)(
[)p(I
00
21
0
2
0
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0
2
1
2
1
2
1

]et
)(
e

)(
e
)(
[
R
E
t
o
t
t
00
0
2
2
0
0
2
0
2
0
2
0
2
2
ω−ω−
α−
ω−α
ω
+
ω−α

αω
−
ω−α
ω+α
b) Các thông số mạch đã cho đúng với quan hệ L=4R
2
C α=100 ; E
0
=100V ;

=






ω−α
ω
+
ω−α
αω
−
ω−α
ω+α
=
=ω+α=ω−α−=ω−α===ω
ωω−
α−
−

t
o
t
t
o
te
)(
e
)(
e
)(
R
E
)t(i
;.;)(;;
,
.,
00
0
2
2
0
0
2
0
2
0
2
0
42

0
242
00
4
2
2
10510100200
50
100
10250
1

[ ]
ttt
tttttt
etee
teeete
.
e
.
e
.
200200100
200200100200
4
4
200
4
4
100

4
4
321620
8454
10
108
10
104
10
105
25
100
−−−
−−−−−−
+−
=+−=






+−
u
R
(t)

=Ri(t)=2000e
-100t
-1600e

-200t
+3200te
-200t
[V]
112
u
C
(t)=e(t)-u
R
(t)= 1600e
-200t
-3200te
-200t
-1900e
-100t
[V]
3.30. Hình 3.70. Dùng phương pháp toán tử tìm được i(t)=2+4,25e
-100t
sin400t
[A] ; từ đó tìm u
L
, rồi tìm u
C
=e-u
L
;
i
R
=u
C

/R; i
C
=i-i
R
u
C
(t)=100-103e
-100t
sin(400t+104
0
) [V]
i
R
(t)=2-2,06e
-100t
sin(400t+104
0
) [A]
i
C
(t)= e
-100t
[4,25sin400t+2,06sin(400t+104
0
)]
=4,49sin400t+28
0
) [A]
Để biến đổi i
C

dùng công thức:A
1
sin(ωt+ϕ
1
)+A
2
sin(ωt+ϕ
2
)=A sin(ωt+ϕ) với

2211
2211
1211
2
2
2
1
ϕ+ϕ
ϕ+ϕ
=ϕϕ−ϕ++=
cosAcosA
sinAsinA
arctg;)cos(AAAAA
3.31. Hình 3.71. Lập hệ phương trình roán tử
cho 2 vòng thuận chiều kim đồng hồ, tìm được:
).pp(
p
)p(I)p(I
V
42

1
102200
500
++
==
→
i(t)= 5e
-100t
sin100t [A]
i
1
(t)=i
2
(t)= 2,5e
-100t
sin100t [A]

)t(u)t(u)t(u)dt(Ri)i(u
;
dt
di
)ML(
dt
di
M
dt
di
Lu
LRCR
L

−−=→=
+=+=
121
1
3.32. Hình3.72 Tìm điều kiện ban đầu:
]A[I
);tsin()t(i;e
LjR
E
I
L
L
j
m
.
m
.
2
451002222
0
0
1
45
0
=
+==
ω+
=
113
+Sau khi đóng khoá K: Chuyển về sơ đồ toán tử tương

đương cần chú ý đến điện áp toán tử hỗ cảmM.I
L10
ở
nhánh 2. Lập hệ phương trình toán tử với 2 vòng thuận
chiều kim đồng hồ.





−
=−++−
+=+−+
LIMI
)p(pMI)p(pMI)p(pLI)p(pLI
I.L)p(e)p(pMI)p(pLI)p(I)pLR(
LL
VVVV
LVVV
00
2121
0221
22


]
p
p,
,p
,

[)p(I
V
42
1
10
96281
33133
280
2
+
+
+
+
−
=

]A[)tcos(,e,
]tsin,tcos,[e,)t(i)t(i
t,
t,
V
033133
33133
1
3710023560
1009601002812560
−+−≈
++−==
−
−

]
p
,p.,
,p
.,
p
.,
[,)p(I
V
42
333
2
10
7201069
33133
10121057
33133
+
+
+
+
−
−
=
−−−

)e,()tcos(,
)]tcos(.e.,.,[,)t(i)t(i

t,
t,
V
331330
033313333
22
28013710061
3710012101012105733133
−
−−−−
+−−=
−+−−==
i
1
(t)=i(t)-i
2
(t)=1+1,6cos(100t-37
0
)+0,28e
-133,33t
[A]
3.33. Mạch hình 3.73.
Giải tương tự như BT3.32 được
114
3.34. Mạch điện hình 3.74a.
Điều kiện ban đầu:
i
L2
(0)=E
2

/R=2A.→Sơ đồ toán tử tương đương hình 3.74b








+=+++
+=+++
20
2
121
20
1
221
2
LVVV
LVVV
LI
p
E
MpI)p(I)LR()p(RI
MI
p
E
MpI)p(RI)LpR)(p(I
Thay số vào sẽ có:








+
=+++
+
=+++
p
p,
)p(I)p,()p(I)p,(
p
p,
)p(I)p,()p(I)p,(
VV
VV
12040
20601060
24020
106020120
21
21
=∆
(120+0,2p) (60+0,2p)-
(60+0,1p)
2
=0,03(p+200)(p+600).
p

p
p
)p,)(p,(
p
)p,)(p,(
720024120401060
240202060
1
+
=
++
−
++
=∆
36060
240201060
1204020120
2
+=
++
−
++
=∆
p,
p
)p,)(p,(
p
)p,)(p,(
]A[eeii)t(i
)t(i]A[ee)t(i

)t(i]A[e)t(i
tt
VV
tt
V
t
V
600200
211
2
600200
2
200
1
2
2
24
−−
−−
−
+−=−=
=−−=
=−=
115
]
p
A
p
A
p

A
[
)p)(p(p,
p
)p(I
V
600200
800
600200030
720024
3
21
1
1
+
+
+
+=
++
+
=
∆
∆
=
3
1
3
1
3
1

10251
600200
300
10251
200600
300
1052
0600200
300
−
−−
−=
−=+
+
=
−=
−=+
+
==
=++
+
=
.,
p)p(p
p
A
.,
p)p(p
p
A;.,

p)p)(p(
p
A
tt
VV
ee)t(i)t(i];
p
,
p
,
p
,
[,)p(I
600200
111
2
600
251
200
25152
80
−−
−−==
+
−
+
−=
)p()p)(p(
p
)p)(p(,

p,
)p(I
V
200
2
600200
600
2
600200030
36060
1
2
+
=
++
+
=
++
+
=
∆
∆
=

]A[e)t(t)t(i)t(i
]A[e)t(i)t(i
t
VV
t
V

600
213
200
22
2
2
−
−
−=+=
==
3.35.Chỉ dẫn: Phương trình đặc trưng hay( phương trình đặc tính) của mạch là
phương trình định thức toán tử ∆(p)=0(của hệ phương trình lập theo phương
pháp dòng mạch vòng hoặc điện thế nút).Lúc đó tính phản ứng F
K
(p) thì ngiệm
của đa thức mẫu số chính là nghiệm của phương trình ∆(p)=0.Khi phân tích đa
thức mẫu số thành các thừa số bậc 1 và bậc 2 dạng mẫư số là p-p
K
=p+α
K
và
p
2
+2α
i
p+β
i
2
.Vì trong mạch thực bao giờ cũng có tổn hao nên α
i

>0vì thực tế khi
t→ ∞ thì các thành phần tự do là
t
k
k
eA
α−
và
t
i
e
α−
phải tiến tới 0.(Xem các công
thức 6,12-14,16 bảng3.1).Nghĩa là các ngiệm thực α
k
phải là số thực âm,các
nghiệm phức dạng
222
iiiii
jj ω±α−=α−β±α−
cũng phải có phần thực âm,
tức các nghiệm phải nằm ở nửa trái của mặt phẳng phức.
3.36. Hình 3.75.
( )
dtR
)(de
dt
)(di
dt
)(di

;
dt
)(di
;
R
)(e
i)(i;)(i
LCR
e
i)
LCR
RR
(
dt
di
)
LCR
LCRR
(
dt
di
1
3
12
1
312
1
2
1
212

1
21
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0000
+
===
+
=+=+=
=
+
+
+
+
116
3.37. Hình 3.76.
Hằng số thời gian của mạch τ=RC=500.10
-5
=5.10
-3
s =5mS. Hệ số tắt dần của dao
động: α=1/τ=200
Trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ t

X
=12,5mS
u
c
(t)=10(1-e
-
α
t
) =10(1- e
-200t
)[V] ;
u
R
(t)=10 e
-200t
[V]
i(t)=0,02e
-200t
[A] = 20e
-200 t
[mA] ;
Tại t=t
X
=12,5 ms = 12,5.10
-3
s
u
C
(t
X

) ≈ 9,18 [V]; i(t
X
) =1,64 [mA]. ;
u
R
(t
X
)≈0,82 [V].

Trong khoảng thời gian t
X
≤ t: Đó là quá trình dao động tự do:
u
C
(t)=9,18e
-200(t-tx)
[V]u
R
(t)=- 9,18e
-200(t-tx)
[V] i
R
(t)=-18,4e
-200(t-tx)
[mA].
Đồ thị hình 3.76
3.38.Phân tích tương tự như BT3.37.
3.39.
u(t)=






<
≤≤
<
ts,khi
s,tkhi]V[t
tkhi
0100
01002000
00
Trong khoảng thời gian 0
÷
0,01 s: Tác động là hàm tuyến tính nên sẽ dùng
phương pháp toán tử Laplas:
117
]A[,e),(),(is,ti¹T
]A[et)t(i
p
pp
)p(I
p
)p(
C;
p
p
C;
p

p
A
p
C
p
C
p
A
)p(p)p,(p
)p(Z
)p(u
)p(I
X
t
736020102002010010
22002
2002
100
2
2
0
100
00020
200
0
100
00020
2
100
00020

100
100
00020
1010
2000
1
100
2
2
12
2
2
21
22
≈++−=→=
++−=→+−
+
=
−=
=
+
−==
=
+
==
−=
=
++
+
=

+
=
+
==
−
−
Trong khoảng thời gian 0,01 s<t
Dao động tự do trong mạch với i(t)=0,736e
-100(t-0,01)
;
i(t
1
)=0,736e
-1
≈0,270A; i(t
2
)=0,736e
-2
≈0,0996 [A].
3.40.
]A];V[
[
ts,khie,
s,tkhie,e
)t(i
ts,khie,
s,tkhi)ee(
),t(
tt
),t(

tt



<−
≤≤−
=



<
≤≤−
−−
−−
−−
−−
005034440
0050050
00502217
00500100
005050
50100
005050
10050
3.41.a)








<−
==
−≈≤≤−
≈≤≤−
=
−−
−−
−
ts,khi]V[e
)t(ucãs,ti¹T
]V)s,(u;s,ts,khi]Ve,
]V,)s,(u;s,tkhi]V)e(
)t(u
),t(
C
C
),t(
C
t
C
[[
[[
02040
0014890
400200200101002163
26301001001100
020100
11

010100
100
118











<
−≈
≤≤
−
≈
≤≤
=−=
−−
−−
−
ts,khi]V[e
]V[,)s,(u
;s,ts,khi
]Ve,
]V[,)s,(u
s,tkhi]V[e

)t(u)t(u)t(u
),t(
R
),t(
R
t
CR
02040
260020
020010
2163
836010
0100100
020100
010100
100















<
−≈
≤≤
−
≈
≤≤
=
−−
−−
−
ts,khi]A[e,
]A[,)s,(i
;s,ts,khi
]A[e,
]A[,)s,(i
;s,tkhi]A[e
)t(i
),t(
),t(
t
02040
60020
020010
6321
3680010
0100
020100
010100
100
Đồ u

C
(t),u
R
(t)thị hình 3.77.Đồ thị i(t) lặp lại dạng u
R
(t)nhưng có tỷ lệ xích
theo trục tung nhỏ hơn 100 lần.
b)
∫∫
++=
2
1
1
2
0
2
t
t
R
t
R
R
dt
R
u
dt
R
u
(t)W
c)q(t)= Cu(t)

119