ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI (ĐẦU NĂM) MÔN : TOÁN LỚP 8 THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng potx

Giáo viênTôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI (ĐẦU NĂM)
MÔN : TOÁN LỚP 8
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2 điểm): Tìm x biết: a) | x –
3
2
| <
3
1

b) – 3
x
= – 6561
c) (2x – 1)
2008

= (2x – 1)
2010
Bài 2 (2 điểm): a) Số tự nhiên có dạng A = 1+2
3
2009
là số nguyên tố hay hợp số?
Giải
thích.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B = 2x
2
+ y
2
+2xy – 8x + 2025

c) Tìm x, y, z biết : 10x
2
+ y
2
+ 4z
2
+ 6x – 4y – 4xz + 5 = 0
Bài 3 (1,5 điểm ): Một khối 8 có
3
2
số học sinh đội tuyển Toán bằng
4
3
số học sinh
đội tuyển Anh và bằng
5
4
số học sinh đội tuyển Văn. Đội tuyển Văn có số học sinh ít
hơn tổng số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh. Tính số học sinh của mỗi đội
tuyển.
Bài 4 (1,5 điểm): Cho x(m + n) = y(n + p) = z(p + m) trong đó x, y, z là các số khác
nhau và khác 0 ,chứng minh rằng:
)yx(z
mp
)xz(y
pn
)zy(x
nm
−
−

=
−
−
=
−
−
Bài 5 (3điểm ): Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa
Avà B. Trên tia đối của tia AC lấy điểm I sao cho AI = AM.
a) Chứng minh rằng : CM
⊥
BI.
b) Trên BC lấy điểm P sao cho BP = 2CP. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC
có chứa điểm A, vẽ tia Px sao cho góc xPB bằng 60
0
. Tia Px cắt tia CA tại D. Tính số
đo góc CBD .
Giáo viênTôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI
MÔN :TOÁN LỚP 8
Bài 1(2 điểm):
a) |
3
2
x
−
| <
3
1
⇔
3

1
−
<
3
2
x
−
<
3
1

⇔
3
1
< x < 1 (0,5 điểm)
b) – 3
x
= – 6561 hay: – 3
x
= – 3
8

⇒
x = 8 (0,5 điểm)
c) (2x – 1)
2008

= (2x – 1)
2010
⇔

(2x – 1)
2010
– (2x – 1)
2008

=

0


⇔
(2x – 1)
2008
1– (2x–1)
2
= 0

⇔
(2x – 1)
2008
(1– 2x + 1) (1+ 2x

– 1) = 0 (0,5 điểm)

⇔
2x – 1= 0 hoặc 2 –2x = 0 hoặc 2x = 0 (0,25 điểm)

⇔
x =
2

1
; x = 1 ; x = 0 (0,25 điểm)
Bài 2(2 điểm):
a) 3
2009

3 nên có thể viết 3
2009
= 3n (n
∈
N)
⇒
A = 1+2
3
2009
=1
3
+2
3n
=1
3
+(2
n
)
3
(0,25 điểm)
=(1+2
n
) 1– 2
n

+(2
n
)
2

⇒
A là hợp số (0,25 điểm)

b) B = 2x
2
+ y
2
+2xy – 8x + 2025
= x
2
+ 2xy + y
2
+ x
2
– 8x + 16+ 2009
= (x + y)
2
+ (x – 4)
2
+ 2009
≥
2009 (0,25 điểm)
Đẳng thức xảy ra
⇔
x + y = 0 và x – 4 = 0

⇔
x = 4 ; y = – 4 (0,25 điểm)
Giá trị nhỏ nhất của B là 2009
⇔
x = 4 ; y = – 4 (0,25 điểm)
c) 10x
2
+ y
2
+ 4z
2
+ 6x – 4y – 4xz + 5 = 0
9x
2
+ 6x + 1+ y
2
– 4y + 4+ 4z
2
– 4xz + x
2
= 0
(3x + 1)
2
+ (y – 2)
2
+ (2z– x)
2
= 0 (0,25 điểm)
Do đó : 3x + 1 = 0 và y – 2 = 0 và 2z – x = 0 (0,25 điểm)
⇔

x =
3
1
−
; y = 2; z =
6
1
−
(0,25 điểm)
Bài 3 (1,5 điểm): Gọi số học sinh đội tuyển Toán, Anh,Văn thứ tự là x, y, z
(x, y, z
∈
N) .Ta có
z
5
4
y
4
3
x
3
2
==
⇒
12
1
.
5
z4
12

1
.
4
y3
12
1
.
3
x2
==
(0,5điểm)

⇒

2
19
38
15)1618(
z)yx(
15
z
16
y
18
x
==
−+
−+
===
(0,5điểm)

Tính đúng: x = 36; y = 32; z = 30 và kết luận (0,5điểm)
Bài 4(1,5 điểm ) : Vì xyz
≠
0 nên : x(m + n) = y(n + p) = z(p + m)
Giáo viênTôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng

⇒
xyz
)mp(z
xyz
)pn(y
xyz
)nm(x +
=
+
=
+
(0,25 điểm)
hay :
xy
mp
xz
pn
yz
nm
+
=
+
=
+

(0,25 điểm)
=
yzxz
)nm()pn(
xyyz
)mp()nm(
xzxy
)pn()mp(
−
+−+
=
−
+−+
=
−
+−+
(0,5điểm)
=
)yx(z
mp
)xz(y
pn
)zy(x
nm
−
−
=
−
−
=

−
−
(0,5điểm)
Bài 5(3điểm):
Hình vẽ (0,25điểm)
a)Tia IM cắt BC tại H (0,25điểm)
ABC
∆
vuông cân tại A nên
0
45C
=
∧
,
IAM
∆
vuông cân tại M nên
0
45I
=
∧
(0,25điểm)
IHC
∆
có
∧
C
+
0
90I

=
∧

⇒
∧
H
= 90
0

⇒
IH
⊥
BC (0,25điểm)
-Chứng minh được M là trực tâm của
IBC
∆
⇒
CM
⊥
BI. (0,5điểm)

b) Gọi E là điểm đối xứng với B qua PD
⇒
EP = PB = 2PC (0,25điểm)
⇒
∆
BPE cân tại P nên đường trung trực PD cũng là phân giác
⇒
BPD = DPE = 60
0

⇒
EPC = 60
0
(0,25điểm)
- Chứng minh được
EPC
∆
vuông tại C (0,25điểm)
- Chứng minh được CD là phân giác của
∆
PCE
- Chứng minh được ED là phân giác ngoài tại đỉnh E của
∆
PCE (0,25điểm)
- Chứng minh được yEP = 150
0

⇒
DEP = 75
0
(0,25điểm)
- Chứng minh được PBD = 75
0
hay CBD = 75
0
(0,25điểm)



*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó.

A
C
H
M
I
B
P
A
B
C
K
x
D
y
E