đề tài tìm hiểu về dạng toàn phương

BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM
TP.HỒ CHÍ MINH
ĐỀ TÀI :
TÌM HIỂU VỀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG


GVHD : NGUYỄN TRƯỜNG SINH
NHÓM 13 :
DANH SÁCH THÀNH
VIÊN
•
Phạm Xuân Khánh
•
Chắng Gia Đức
•
Trần Thanh Phong
•
Phạm Thành Công
•
Lưu Hải Triều
•
Nguyễn Thanh Vương
Công Việc :
o
Làm PowerPoint
o
Hoàn thiện tài liệu
o
Tìm kiếm tài liệu
o

Tìm kiếm tài liệu
o
Thuyết trình bài
giảng
o
Xây dựng đề tài
Phần mở đầu :
GIỚI THIỆU
DẠNG TOÀN PHƯƠNG !
- Nhằm trang bị đầy đủ kiến thức cho tất cả các bạn
sinh viên về phần Đại số tuyến tính. Đặc biệt là những
kỹ năng cơ bản để học tốt những bài tập dạng toàn
phương,nhằm chuẩn bị cho tất cả các bạn sinh viên
trước kỳ kiểm tra cuối kỳ này. Đó cũng chính là một
trong những lý do, mà nhóm 13 chúng tôi làm đề tài
tiểu luận với việc “cung cấp kiến thức cho các bạn hiểu
rõ”. Chúng tôi chia bài tiểu luận thành những mục khác
nhau, với những mục riêng của từng phần. Trong đó có:
1.Tóm tắt lý thuyết và Giải bài tập ví dụ trong dạng toàn
phương. Ngoài ra chúng tôi còn đưa thêm một số bài
liên quan đến dạng toàn phương ,nhằm góp cho tất cả
các bạn hiểu rõ hơn về bài tập đó…
2. Tuy nhiên chắc chắn chúng tôi sẽ không tránh
khỏi những thiếu sót. Nhóm 13 rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp của tất cả các thầy
cô và các bạn sinh viên ở trong trường cũng như
ngoài trường, để lần sau nhóm 13 viết tiểu luận
đạt kết quả cao hơn.
- Nhóm 13 xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn
Trường Sinh, Trường Đại học Công Nghiệp Thực

phẩm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp nhóm 13
hoàn thành bài tiểu luận này.
Những chỉ dẫn và đóng góp của các bạn xin gửi
về Nhóm 13 qua Email:
Xin chân thành cảm ơn!
1. Định nghĩa :
- Cho
V
là không gian vector
n
chiều trên
R
, hàm :
xác định như sau, với mỗi
:V R
ω
→
1 2
( , , , )
n
x x x x V= ∈
2
11 1 12 1 2 13 1 3 1 1
2
22 2 23 2 3 2 2
2
33 3 3 3
2
( ) 2 2 2
2 2

2

n n
n n
n n
nn n
x a x a x x a x x a x x
a x a x x a x x
a x a x x
a x
ω
= + + + +
+ + + +
+ + +
+
I. Khái niệm dạng toàn phương
 Được gọi là dạng toàn phương trên
V.

Chứng minh định nghĩa :
- Dạng toàn phương V.
2
11 1 12 1 2 13 1 3 1 1
2
22 2 23 2 3 2 2
2
33 3 3 3
2
( ) 2 2 2
2 2

2

n n
n n
n n
n n n
x a x a x x a x x a x x
a x a x x a x x
a x a x x
a x
ω
= + + + +
+ + + +
+ + +
+
khi đó, sẽ có dạng ma trận sau:
11 12 1
12 22 2
1 2




n
n
n n n n
a a a
a a a
A
a a a

ω
 
 
 
=
 
 
 
 

Ví dụ : Cho dạng toàn phương:
3
1 2 3
2 2 2
1 1 2 1 3 2 2 3 3
2 2 2
1 1 2 2 1 1 3 3 1 2 2 3 3 2 3
: , ( , , )
( ) 2 4 6 2 8
2 2 2 3 3 8
R R x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x
ω
ω
→ =
= + − − + +
= + + − − − + + +
Ta viết lại :
Ta có :

Do đó ma trận có dạng toàn phương là :
2 2 3
2 1 1
3 1 8
A
ω
−
 
 ÷
= −
 ÷
 ÷
−
 
II. Dạng chính tắc của toàn phương :

Khi ma trận của dạng toàn phương là ma trận chéo















nn
a
a
a
000

0 0
0 0
22
11
Hay
)(
22
222
2
111 nnn
xaxaxax +++=
ω
 Thì ta gọi đó là dạng chính tắc của dạng
toàn phương.
K(x)=
2 2 2
1 2 3
2 8x x x
− +
ma trận tương ứng

Ví dụ minh họa:
2 0 0

0 1 0
0 0 8
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
L(x)=
2 2
1 3
5x x
+
ma trận tương ứng
1 0 0
0 0 0
0 0 5
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
V(x)=
2 2
1 2
6x x
−
ma trận tương ứng
1 0 0
0 6 0

0 0 0
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
1. Định lí 1 :
- Chỉ số quán tính dương(âm) trong dạng
chính tắc của một dạng toàn phương không
phụ thuộc vào phương pháp đưa dạng toàn
phương về dạng chính tắc.
III. Luật quán tính :
2. Định lí 2 :
- Cho dạng toàn phương Q(x) trên R
n
,Q(x)
xác định dương (âm) khi và chỉ khi số quán
tính dương (âm) bằng n.
2) Trong R
4
, dạng toàn phương
2 2 2
1 2 3
( ) 2 4Q x x x x
= + +
có chỉ số quán tính dương bằng 3 nên nó
xác định dương.

Ví dụ:
1) Trong R

3
, dạng toàn phương :
2 2 2 2
1 2 3 4
( ) 5 2 3Q x x x x x
= − − − −
có chỉ số quán tính âm bằng 4 nên nó xác
định âm
1) Một dạng toàn phương xác định dương
(âm) khi và chỉ khi ma trận của nó chỉ có
các giá trị dương (âm).

Nhận xét :
2) Một dạng toàn phương là nữa xác định
dương (âm) khi và chỉ khi ma trận của nó
có giá trị riêng = 0 và các giá trị riêng còn
lại đều dương (âm).
k
∆
1
0
∆<
3.Định lí 3 :
- Cho dạng toàn phương Q có ma trận là A.
Khi đó ta có :
a) Q xác định dương khi và chỉ khi các định
thức con chính của A đều dương;
b) Q xác định âm khi và chỉ khi các định
thức con chính của A đan dấu với
2 2 2

1 1 2 2 2 3 3 1 3
( ) 2 2 2 2 2Q x x x x x x x x x x
= − + − − − +
1 1 1
1 2 1
1 1 2
A
−
 
 ÷
= − −
 ÷
 ÷
− −
 
1
1 0 ;∆ = − <
2
1 1
1 0
1 2
−
∆ = = >
−
3
1 0A
∆ = = − <
Ma trận của dạng toàn phương là
Các định thức con chính


Vậy Q(x) là dạng toàn phương xác định
âm.

Ví dụ :
THE END !
Xin chân thành cảm ơn
mọi người đã lắng
nghe !