ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ LẦN 44 - 2003

Năm 2003
Ngày thi thứ nhất ( Tokyo, 13/07/2003)
Câu 1: Cho A là một tập hợp con của tập hợp S= {1,2,3, , 1 000 000} gồm 101 phần tử. Chứng minh rằng tồn tại
100 phần tử t
i
(i=1,2, 100) của S sao cho các tập hợp
A
i
= {t
i
+ x | x thuộc A}, i=1,2, 100, là đôi một rời nhau.
Câu 2: Xác định tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) sao cho
là một số nguyên dương.
Câu 3: Cho một h́nh lục giác lồi có tính chất sau: Với bất kỳ cặp cạnh đối diện nào, khoảng cách giữa hai trung điểm
của chúng đều bằng tổng độ dài hai cạnh đó. Chứng minh rằng tất cả các góc của lục giác đó bằng nhau.
Thời gian làm bài: 4h30' , Thang điểm: Mỗi câu 7 diểm.
Ngày thi thứ hai (Tokyo, 14/07/2003)
Câu 4: Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp. Gọi P, Q , R lần lượt là chân của các đường vuông góc hạ từ đỉnh D xuống
các đường thẳng BC, CA và AB. Chứng minh rằng PQ=QR khi và chỉ khi các đường phân giác của hai góc ABC và
ADC gặp nhau trên cạnh AC
Câu 5: Cho n là một số nguyên dương và là các số thực thoả măn
a) Chứng minh rằng

b) Chứng minh rằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi là một cấp số cộng
Câu 6: Cho p là một số nguyên tố, chứng minh rằng tồn tại một số nguyên tố q, sao cho với mọi số nguyên n,
không chia hết cho q.
Thời gian làm bài: 4h30' , Thang điểm: Mỗi câu 7 diểm.