Một số cách giải toán máy tính cầm tay

I- Dạng toán tìm BCNN và ƯCLN:
1- Tìm ƯCLN(a;b)
+Cách 1:
Lấy : a = b.m + r
b = r.m
1
+ r
1
; r = r
1
.m
2
+r
2
; r
n
= r
n-1
.m
n-1

Tức r
n
chia hết cho r
n-1
. Khi đó ƯCLN(a;b) = r
n-1
.
+ cách 2: Sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử:
+Tìm ƯCLN(a;b;c)
Gọi cln(a;b) = d. Thì cln(a,b,c)= cln(c;d)

2- Tìm BCNN
[ ]
;a b
.
+ cách 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
+Cách 2:
[ ]
( )
;
ln ;
a b
BCNN a b
uc a b
ì
=

+ Tìm bcnn(a;b;c)
Gọi BCNN(a;b) = d. thì BCNN(a;b;c) = (d;c).
Phơng pháp tìm số d
+ Tìm số d: a: b = m,cd
- cách 1: Số d = a b.m
- Cách 2: số d = b.0,cd ( nếu phần thập phân là hữu hạn)
- cách 3 : Nhập a =
ấn : Ans b = = = = (đến khi nhỏ hơn b là số d).
Ví dụ : viết quy trình bấm phín tìm số d: Khi chia 18901896 cho 2382001.
Giải;
+ Cách 1: 18901896 : 2382001 = 7,93
ấn 18901896 7 . 2382001 =
+ Cách 2: ấn 18901896 =
ấn ANS 2382001 = = =

+ cách 3: ấn 18901896 : 2382001 = 7,93 7 =
ì
2382001 (số d)
*Ví dụ: Tìm số d: 7
35
: 2005
Ta viết; 7
35
= 7
11.3
7
2
.
ấn
7

15 SHIFT STO A
ấn 2005 SHIFT STO B
ấn ALPHA A : ALPHA B =986187,87
ấn ALPHA A = ALPHA B
ì
986197 = 1758.
Ta suy ra: 7
11


1758(mod2005)
(7
11
)

3


1758
3


357(mod 2005) ta suy ra: 7
11.3
.7
2


1453(mod 2005).
Vậy. 7
35
: 2005 d 1453.
Cách 2; 7
11
=1977326743 = 986197
ì
2005 + 1758
7
11.3
(986197
ì
2005 + 1758)
3
: 2005 ( tìm số d)
1758

3
: 2005 d 357
Lấy 357
ì
7
2
: 2005 d 1453 vậy 7
35
: 2005 d 1453.
Tìm 5 chữ số tận cùng: 4
2048

Chính là tìm số d khi chia 4
2048
cho 100000
Phân tích 2048 = 2.2.2.2.2.2.2.2.2
5

4
16
= 4294967296 = (42949.10
5
+ 67296)
67296
2
= 45287.10
5
+ 51616
51616
2

= 26642.10
5
+ 11456

Nhận xét: Tìm số d của ( a + b)
n
: c
Nếu a chia hết cho c thì tìm số d ( a + b)
n
: c chính là tìm số d của b
n

chia cho c.
Dạng toán dãy số.
Ví dụ : Cho dãy số U
n + 1
= 2U
n
U
n 1.
biết U
1
= 2; U
2
= 20; Tính u
20
.
Giải:
+Khai báo: 2 shift sto A
20 shift sto B

+ lập công thức: 2 alpha B alpha A. Shift sto A
2 alpha A alpha B. Shift sto B
Dùng phím đẩy lên tìm công thức: 2B A shift sto A
2A B shift sto B ( Đến 20)
* Ví dụ: Cho dãy số :
3
1
1
3
n
n
x
x
+
+
=
Biết x
1

= 1/2. tìm x
30
.
Khai báo: ấn 1/2 =
Lập công thức: ( Ans x
3
+ 1): 3 = = = Tính đến lần 30.
+ Một số bài toán: cho dãy số:

1
2

( 1)
2
n
n
n
x
x n
x
+
= + >

a. cho x
1
=1 tính x
50.
b. Cho x
1
-1 tính x
50
.
c. Dãy số u
n+1
= 4u
n
+ 5u
n
biết u
1
= 2; u
2

=3; Tính u
10
. KQ: 2;3; 22; 103; 522; 2603;
13022; 65130
d. Cho dãy số : a
n+2
= 2a
n+1
- a
n
+ 3 biết a
1
= 1; a
2
= 2 tìm a
100
.
Số thập phân vô hạn tuần hoàn.
+ Dạng tuần hoàn đơn:

{
1 2
1 2
9

0,( )
99 9
n
n
n so

a a a
a a a =

+ Dạng tuần hoàn tạp:

{
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
9

0, ( )
99 9 00
n
n
n so
a a b b b a a
a a b b b

=
(bao nhiêu b bấy nhieu số 9 bao nhiêu a bấy nhiêu số 0)
Phép nhân tràn trên máy.
a
ì
b = (c + d )
ì
b
a
ì
b = (c +d)
ì

m +n)
a
2
= (c + d)
2

a
3
= ( c + d)
3

Chia không ghi hết trên máy.
a : m nếu số; a ghi không hết trên máy ta viết: a = (b + c) : m
Nếu b : m d R
1
c : m d R
2
. Thì số d: a : m là (R
1
+R
2
) : m.
Ví dụ : Tìm số thập phân thứ 2001 khi chia 1 cho 49.
Lấy 1: 49 = 0,020408163
Lấy : 0,020408163
ì
49 - - 1 = 0,000000013 ( lá số d thứ nhất)
Tức là: 1 = 0,020408163
ì
49 + 0,000000013.

Lấy 13: 49 = 0,265306122
Lấy 0,265306122
ì
49 - - 13 = 0,000000022 ( Số d thứ 2)
Lấy 22: 49 = 0,448979591
Lấy: 0,448979591
ì
49 - - 22 = 0,000000041 (số d thứ 3)
Lấy 41 :49 = 0,836734693
Lấy 0,836734693
ì
49 - - 41 = 0,000000043 (Số d thứ 4).
Lấy 43 : 49 = 0,877551020
Lấy : 0,877551020
ì
49 - - 43 = 0,000000002
Lấy 2: 49 = 0,040816326 Ta thấy phần kết quả đã lặp lại (040)
Vậy 1; 49 = 0.0204081632
Số 2001 = 47 . 42 + 27
Chú ý: Nếu a
1
= k
1
.b + c
1

Nếu: a
2
= k
2.

b + c
2
. Thì số d a
1
.a
2
: b chính là: c
1
.c
2
: b
- Ví dụ : Tính kết quả; 52906297178,48 : 565,432 = 52906279178480 : 465432
= (5290627917.10
4
+ 8480) : 565432
=(565432
ì
9356.10
4
+ 46125.10
4
+ 8480) : 565432
=(565432
ì
9356.10
4
+ 461258480) : 565432
=(565432
ì
9356.10

4
+ 565432
ì
7890): 565432
=565432(9356.10
4
+ 7890): 565432
= 93567890.
Tìm số d: a
n
: b ta viết a
n
= (c + d)
k
sao cho c
M
b tìm số d d
k
: b
- Ví dụ tìm số d 7
15
chia cho 2001.
7
15
= 7
7
.7
8
mà 7
7

chia 2001 d 1132
7
8
chia 2001 d 1486
Vậy só d 7
15
: 2001 chính là số d 1132
ì
1486 :2001 d 1486.
+ Cách khác 7
15
= 7
5
.3
= (16807)
3
= (2001
ì
8 +799)
3
mà 799: 2001 d 1486.
Các bài toán về đa thức.
Bài toán 1; tìm số d chia đa thức: f(x) = x
27
+ x
9
+ x
3
+ x chia cho x
2

- 1
Giải:
Giả sử đa thức d là: a.x + b:
Ta có: f(x) = (x
2
1).q(x) +a.x + b
Chọn các giá trị riêng sao cho x
2
1= 0.
Với x = 1 ta có a + b = 4
Với x = - 1 ta có a + b = -4
Giải hệ ta có : a = 4; b = 0, Vậy đa thức d là 4.x
Bài toán 2: Tìm số d trong phép chia x
1992
cho (x
4
1)(x
8
+ x
4
+ 1)
Giải : ta có (x
4
1)(x
8
+ x
4
+ 1) = x
12
1

Mặt khác x
1992
1 = (x
12
)
166
1 chia hết x
12
1 vậy số d là 1.
*Bài toán 3: Tìm a, b sao cho f(x) = x
4
x
3
3.x
2
+ a.x + b, chia đa thức: x
2
x 2
d 2.x + 3.
Giải:
Ta có f(x) = (x
2
x 2).q(x) + 2.x + 3 Tìm các giá trị riêng sao cho x
2
x 2 có giá
trị bằng 0.
Với x = -1 ta có a + b = 4
Với x= 2 ta có 2a + b = 5, giải ra ta có a = 3; b= -1.
Bài toán 4: Tím số d khi chia x
100

cho x
2
3x + 2
Giải : x
100
= (x
2
3x + 2).q(x) +a.x +b
= (x 1).(x 2).q(x) + a.x + b
X = 1 ta có a + b = 1
X = 2 ta có 2.a + b = 2
100
Giải ra: a = 2
100
1 ; b = 2 2
100
Vậy số d R = 2
10
(x 1) (x 2).
Bài toán 5: Cho g(x) = x
5
+ x
4
+ x
3
+ x
2
+ x + 1, tìm d khi chia g(x
12
) cho g(x).

Giải;
- Ta có (x 1).g(x) = x
6
1 và : g(x
12
) = (x
12
)
5
+ (x
12
)
4
+ +x
12
+ 1
- g(x
12
) = (x
6
)
10
+ (x
6
)
8
+ (x
6
)
6

+ (x
6
)
4
+ (x
6
)
4
+ (x
6
)
2
+ 1
- g (x
12
) 6 = ((x
6
)
10
1)+ ((x
6
)
8
1) +((x
6
)
6
1) + ((x
6
)

4
1) +((x
6
)
2
1)
Với p(x) là đa thức theo x
6
Thay x
6
1= (x 1).g(x) ta đợc g(x
12
) = (x 1).g(x).p(x) + 6
Vậy số d là: 6.
Một số công thức toán học:
1- các công thức hình học:
- Gọi A, B, C làcác đỉnh của tam giác
- a; b; c là các cạnh của tam giác
- h
a,
h
b
, h
c
là các đờng cao tơng ứng của các cạnh trong tam giác.
- L
a
, L
b
, L

c
là

các đờng phân giác trong tơng ứng của các góc.
- M
a
, m
b
, m
c
là trung tuyến tơng ứng của các cạnh,
- L
/
a
, l
/
b
, l
/
c
là các đờng phân giác ngoài tơng ứng của các góc.
- R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác
- r là bán kính đờng tròn nội tiếp của tam giác.
- p là nửa chu vi của tam giác.
+ Định lý hàm số sin.

sin sin
a b c
R
A snB C

= = =
+ Định lý hàm số cô sin.

2 2 2
2 cosa b c bc A= + ì
+Định lý đờng trung tuyến.

2 2 2
2
2 2
2
2 4
cos
4 2
a
a
b c a
m
b c b
m A


+
=

+

= +




+ Công thức tính diện tích tam giác.

2
2
1
.
2
1
. .sin
2
. .
4
( )( )( )
( ) ( ) ( )
2. .sin .sin .sin
.sin .sin
2sin
a
a b c
s a h
s a b C
a b c
s p r

R
s p p a p b p c
s p a r p b r p c r
s R A B C
a B C
s
A







=
=
= ì =
=
= = =
=
=

( ).
2
2. . .cos
2
a
A
S p p a tg
A

b c
l
b c

=
=
+

+ công thức tính đờng phân giác:

2 . .cos
2
2
. . ( )
a
a
b c
L b c p p a
b c b c
= =
+ +
2 . .sin
2
2
. ( )( )
a
A
b c
L b c p b p c
b c b c

= =

+ Công thức tính các khoảng cách.

2 2 2 2 2
2 2
2 2
4 9
(sin sin sin )
9 4
1
8 cos cos cos )
8
(1 8sin .s in .sin )
2 2 2
OG R A B C
OH R A B C
A B C
OI R

= + +



= + +


=
*dạng toán Từ công thức truy hồi sang công thức tổng quát và ngợc lại.

-Phơng trính sai phân:
1
. . 0 (1.1)
n n
a x b x
+
+ =
mọi n = 0;1;2;3
Mọi nghiệm của (1.1) có dạng
( )
n
n
b
x C
a
=
(1.2) mọi n= 0;1;2
Để tìm C ta thay giá trị : x
0
= ? đã cho vào công thức (1.2)
Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phơng trình
1 0
1
2 0;1;2 ,
3
n n
x x n x
+
= = =
Công thức nghiệm tổng quát là:

( )
n
n
b
x C
a
=
với
0
1
3
x =
ta có:
0
1 1
(2)
3 3
C C = =
Vởy nghiệm tổng quát là:
1
.2
3
n
n
x =
- Phơng trình sai phân dạng:
1
. . (1.7)
n n
a x b x d

+
+ =
mọi n = 0;1;2
- nghiệm của (1.7) có dạng
/
( )
n
n n
b
x C x
a
= +
(1.8) mọi n= 0;1;2
-
/
n
x
là nghiệm riêng của phơng trình (1.7) đợc tính:
/
1
.
n
x C d
=
- Để tính C
1
ta thay
/
1
.

n
x C d
=
vào (1.7) tính đợc C
1
thay vào (1.8) kết hợp gá trị x
0
= ?
ban đầu đã cho để tính C. để hoàn thiện công thức (1.8)
- Ví dụ : x
0
= 1,5; 5x
n-1
+ 3x
n
= 2
n
(1.9)
- Ta có
3
5
b
a
=
và
/
1
.2
n
n

x C
=
thay vào (1.9) 5.C
1
.2
n+1
+ 3C
1
.2
n
2
n
= 0
Giải ra ta đợc
/
1
1 1
.2
13 13
n
n
C x
= =
Với x
0
= 1 ta có :
3 1
1 ( ) .2
5 13
n n

C
= +
Giải ra tìm đợc
12 12 3 1
.2
13 13 5 13
n
n
n
C x

= = +
ữ

Một số phơng pháp tìm nghiệm riêng của phơng trình:
1
. . (1.7)
n n
a x b x d
+
+ =
- Giả sử d
n
là một đa thức bậc k của n
- Nếu
0a b
+
thì : x
n
/

= Q
k
(n) (đa thức bậc k của n)
- Nếu a + b = 0 Thì : x
n
/
= n Q
k + 1
(n) (đa thức bậc k + 1 của n)
Ví dụ : Tìm công thức tổng quát của dãy số:
x
0
= 1, 3.x
n+1
2.x
n
= n +1 (1.10) với n = 0;1;2 ta có
2
3
b
a
=
Nghiệm thuầm nhất
2
( )
3
n
n
x C
=

vì
0a b
+
và d
n
= n + 1 nên nghiệm riêng có dạng:
x
n
/
= C
1
.n + C
2
Thay vào phơng trình (1.10) 3.( C
1
.(n+1) + C
2
) 2. (C
1
.n + C
2
) = n + 1 đúng
mọi n suy ra C
1
= 1; C
2
=2. Vậy nghiệm tổng quát đã cho là:
2
( )
3

n
n
x C
=
+ n + 2
Với x
0
= 1 ta có :
0
2
1 ( ) 0 2
3
C
= +
vậy C = 3
+ Ta có:
2
3( )
3
n
n
x
=
+ n + 2
Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phơng trình: x
0
= 1; x
n+1
= x
n

+ 2n
2
, với n

0
1
b
a
=
vậy nghiệm thuần
1 .
n
n
x C
=
Nghiệm riêng: vì a + b = 0 và d
n
= 2.n
2
nghiệm riêng x
n
/
= n(C
1
.n
2
+ C
2
n + C
3

) thay vào :
x
n+1
= x
n
+ 2n
2
Ta có: (n+ 1) (C
1
(n+1)
2
+ C
2
(n+1) + C
3
) n(C
1
.n
2
+ C
2
n + C
3
) = 2n
2

Suy ra :
1 2 3
2 4
; 2;

3 3
C C C
= = =
Thay vào x
n
/
= n(C
1
.n
2
+ C
2
n + C
3
) để xác định x
n
/
sau đó thay x
n
/
vào công thức tổng quát và
kết hợp giá trị X
0
ban đầu tìm C từ đó có công thức nghiệm tổng quát.
+ Dạng sai phơng bậc hai:

2 1
. . . 0
n n n
a x b x C x

+ +
+ + =
Công thức nghiệm tổng quát:
1 1 2 2
.
n n
n
x C C

= +
Tính:
1 2
,

ta giải phơng trình
2
. . 0a b c

+ + =
Để tinh C
1
; C
2
ta thay x
n
bằng 2 giá trị x
0
x
1
đã cho ban đầu thay vào công thức:

1 1 2 2
.
n n
n
x C C

= +
ta giải hệ phơng trình tìm C
1,
C
2

+ Nếu :
2
. . 0a b c

+ + =
có nghiệm kép thì
1 1 2 2
.
n n
n
x C C

= +
=
1 2
( )
n
n

x C C n

= +
-Ví dụ Tìm nghiệm của phơng trình: x
n+2
= 3x
n+1
+28x
n
điều kiện ban đầu x
0
=7, x
1
=-6
+ ta giải phơng trình
2
3 28 0

=
đợc:
1 2
4, 7

= =
Nghiệm tổng quát có dạng:
1 2
.( 4) 7
n n
n
x C C

= +
Tìm C
1,
; C
2
thay x
0
=7, x
1
=-6 vào
1 2
.( 4) 7
n n
n
x C C
= +
ta giải hệ phơng
trình tìm C
1
= 5; C
2
= 2 Thay vào
1 2
.( 4) 7
n n
n
x C C
= +
Ta có:
5( 4) 2 7

n n
n
x
= + ì
+ Xét dạng tuyến tính không thuần nhất:
2 1
. . .
n n n n
a x b x C x d
+ +
+ + =
( d
n
là hàm số
của biến tự nhiên n , n = 0;1;2 )
- nghiÖm tæng qu¸t:
/
1 1 2 2
.
n n
n n
x C C x
λ λ
= + +
( x
n
/
lµ nghiÖm riªng)
+ trêng hîp: d
n

= d.p
/
Ph¬ng tr×nh cã d¹ng:
/
2 1
. . . .
n n n
a x b x C x d p
+ +
+ + =
NghiÖm riªng lµ:
/
1 2
2
.
,
. .
n
d q
x khi q q
a q b q c
λ λ
= ≠ ≠
+ +
/
1 1 2 2
.
n n
n n
x C C x

λ λ
= + +
HoÆc
1
/
1 2 1 2
.
, ;
2 .
n
n
nd q
x khi q hoac q
a q b
λ λ λ λ
−
= = = ≠
+
( )
2
/
1 2
.
1 .
2
n
n
d q
x n n khi q
a

λ λ
−
= − = =
+ vÝ dô: T×m nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh: x
n-2
- 8.x
n+1
+ 15.x
n
=2.5
n+1
Khi ®ã ph¬ng tr×nh:
2
8 15 0
λ λ
− + =
cã nghiÖm:
λ
1
= 3;
λ
2
= 5
- v× 2.5
n+1
= 10.5
n
vµ; q = 5 =
λ
2

1
λ
≠

- NghiÖm riªng cã d¹ng:
1 1
. 10 .5
.5
2 . 2.1.5 8
n n
n
n
nd q n
x n
a q b
− −
= = =
+ −
+ Trêng hîp: d
n

≡
d khi ®ã ph¬ng tr×nh cã d¹ng:
2 1
. . .
n n n
a x b x C x d
+ +
+ + =
NghiÖm riªng cã d¹ng:

/
n
d
x
a b c
=
+ +
( a+b+c
≠
0)
- Trờng hợp a + b+ c = 0 phơng trình có nghiệm kép: thì nghiệm riêng là:
/
.
2
n
d n
x
a b
=
+
Khi 2.a + b

0
Còn
/
( 1)
2
n
d
x n n

a
=
Khi 2.a + b =0
+ Quy trình tìm:
- Giải phơng trình tìm :

1,2

- Tìm nghiệm riêng x
n
/
.
- Thay nghiệm riêng và các giá trị ban đầu; x
0
, x
1
vào công thức tổng quát:
/
1 1 2 2
.
n n
n n
x C C x

= + +
Để giải hệ phơng trình tìm C
1
và C
2
.