Luy n thii h c môn Toán năm h c 2012 – 2013Th yng Vi t HùngTài li u tham kh o:02. C ppt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (582.7 KB, 13 trang )
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Xét hàm số bậc ba :
3 3 2
3 3
′
= + + + ⇒ = + +
y ax bx cx d y ax bx c
DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
N
ế
u a = 0 thì
3 0
3
′ ′
= + → = ⇔ = −
c
y bx c y x
b
Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị.
Nếu a ≠ 0 :
+ Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức
là ∆ ≤ 0.
+ Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt.
Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0.
Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị.
Ví dụ 1: Biện luận số cực trị của hàm số
( )
= + − − −
3 2
1
1 1
3
y x m x mx
tùy theo giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải:
Ta có
(
)
2
2 1 .
′
= + − +
y x m x m
Hàm s
ố
không có c
ự
c tr
ị
khi y′ không
đổ
i d
ấ
u trên mi
ề
n xác
đị
nh (hay hàm s
ố
luôn
đồ
ng bi
ế
n ho
ặ
c ngh
ị
ch bi
ế
n trên
mi
ề
n xác
đị
nh),
đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi y′ = 0 vô nghi
ệ
m ho
ặ
c có nghi
ệ
m kép.
T
ừ
đ
ó ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n
( )
2
2
3 5 3 5
0 1 0 3 1 0 .
2 2
− +
′
∆ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤m m m m m
Hàm s
ố
có hai c
ự
c tr
ị
khi y′
đổ
i d
ấ
u trên mi
ề
n xác
đị
nh,
đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
2
3 5
2
0 3 1 0
3 5
2
+
>
⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔
−
<
m
m m
m
Kết luận :
- Hàm số không có cực trị khi
3 5 3 5
2 2
− +
≤ ≤m
- Hàm số có hai cực trị khi
3 5 3 5
; .
2 2
+ −
≥ ≤m m
Ví dụ 2: Biện luận số cực trị của hàm số
(
)
= + − + + −
3 2
2 2 3
y mx m x mx m
tùy theo giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m.
Hướng dẫn giải:
Ta có
(
)
2
3 2 2 2 .
′
= + − +
y mx m x m
TH1 :
m = 0.
Khi đó
4 ; 0 0
′ ′
= − = ⇔ =
y x y x
, trong trường hợp này hàm số có một cực trị.
TH2 :
m ≠ 0.
Hàm số không có cực trị khi
2
0
2 2 6
2 2 6
0
0
5
5
0
5 4 4 0
2 2 6
2 2 6
5
5
≠
− +
≥
− +
≠
≠
≥
⇔ ⇔ ⇔
′
∆ ≤
+ − ≥
− −
≤
− −
≤
m
m
m
m
m
m m
m
m
Tài liệu tham khảo:
02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA
Thầy Đặng Việt Hùng
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Hàm số có hai cực trị khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
2
2 2 6 2 2 6
0
0
5 5
0
5 4 4 0
0
− − − +
≠
≠
< <
⇔ ⇔ ⇔
′
∆ >
+ − <
≠
m
m
m
m m
m
Kết luận :
- Hàm số không có cực trị khi
2 2 6 2 2 6
; .
5 5
− + − −
≥ ≤m m
- Hàm s
ố
có m
ộ
t c
ự
c tr
ị
khi m = 0.
- Hàm s
ố
có hai c
ự
c tr
ị
khi
2 2 6 2 2 6
5 5
0
− − − +
< <
≠
m
m
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1.
Tìm m
để
các hàm s
ố
sau
đ
ây có c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u:
a)
(
)
3 2 2
2 1 2
= − + − +
y x mx m x
b)
(
)
(
)
(
)
3 2 2
3 1 2 3 2 1
= − − + − + − −
y x m x m m x m m
Bài 2.
Tìm m
để
hàm s
ố
(
)
(
)
3 2
1 2 2 2
= + − + − + +
y x m x m x m không có c
ự
c tr
ị
.
Bài 3.
Bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố
c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
( ) ( )
3 2
1
1 3 2 1
3
= + + + − +
y m x mx m x
DẠNG 2. TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Các bài toán xét đến tính chất cực trị của hàm bậc ba chỉ áp dụng khi hàm số có hai điểm cực trị (gọi là cực đại và cực
tiểu).
Gọi hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu là x
1
; x
2
. Khi đó x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
1 2
+ = −
=
B
x x
A
C
x x
A
Phương pháp thực hiện :
+ Tìm điều kiện để hàm có cực trị : y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔
∆ > 0, (*)
+ Tìm điều kiện của tham số để cực trị có tính chất K nào đó chẳng hạn.
+ Đối chiếu giá trị tìm được với điều kiện ở (*) để được kết luận cuối cùng.
Ta xét một số dạng tính chất điển hình.
Tính chất 1: Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x = x
o
Cách 1 (sử dụng điều kiện cần và đủ):
+ Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại
(
)
0 .
′
= ⇔ = →
o o
x x y x m
+ V
ớ
i m tìm
đượ
c, thay vào hàm s
ố
r
ồ
i kh
ả
o sát, t
ừ
b
ả
ng bi
ế
n thiên ta có k
ế
t lu
ậ
n v
ề
hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i, hay
c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ
i
ể
m x
o
hay không.
Cách 2 (s
ử
d
ụ
ng y’’) :
+ Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
(
)
( )
0
.
0
′
=
= ⇔ →
′′
<
o
o
o
y x
x x m
y x
+ Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
(
)
( )
0
.
0
′
=
= ⇔ →
′′
>
o
o
o
y x
x x m
y x
Chú ý:
Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i
(
)
( )
0
0
′
=
= ⇔
′′
≠
o
o
o
y x
x x
y x
Ví dụ mẫu: Cho hàm số
= − + − +
3 2
1
( 2) 1.
3
y x m x mx
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Hướng dẫn giải :
Ta có
(
)
2
2( 2) 2 2 2 .
′ ′′
= − + − ⇒ = − +y x m x m y x m
a) Hàm số có cực trị khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
2
1
0 5 4 0
4
> −
′
⇔ ∆ > ⇔ + + > ⇔
< −
m
m m
m
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.
Cách 1:
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì
(
)
0 0 0.
′
= ⇔ =
y m
+ Với m = 0 thì ta có
2
0
4 0
4
=
′
= − = ⇔
=
x
y x x
x
Ta có bảng biến thiên:
x
−∞ 0 4 +∞
y’
+ 0 − 0 +
y
CĐ +∞
−∞ CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0.
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.
Cách 2:
Hàm số đạt cực đại tại
(
)
( )
0 0
0
0 0
2( 2) 0
0 0
′
=
=
= ⇔ ⇔ ⇔ =
− + <
′′
<
y
m
x m
m
y
V
ậ
y m = 0 thì hàm s
ố
đ
ã cho
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x = 0.
c)
Tìm m
để
hàm s
ố
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i t
ạ
i x = 2.
Cách 1:
+ Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 2 thì
( )
4
2 0 4 4( 2) 0 5 4 .
5
′
= ⇔ − + − = ⇔ = − ⇔ = −
y m m m m
+ V
ớ
i
2 2
2
4 4 4 12 4
2 2 0
2
5 5 5 5 5
5
=
′ ′
= − → = − − + ⇔ = − + = ⇔
=
x
m y x x y x x
x
Ta có b
ả
ng bi
ế
n thiên:
x
−∞
2
5
2 +∞
y’
+ 0
−
0 +
y
CĐ +
∞
−∞
CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
x
= 2.
Vậy
4
5
= −
m là giá trị cần tìm.
Cách 2:
Hàm số đạt cực tiểu tại
( )
( )
4
2 0
5 4 0
4
2 .
5
2 0
5
2 0
0
′
=
+ =
= −
= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −
− >
′′
>
<
y
m
m
x m
m
y
m
V
ậ
y
4
5
= −
m thì hàm s
ố
đ
ã cho
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 2.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Cho hàm s
ố
3 2
(2 1) 2 3.
= − + − + −
y x m x mx
a)
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u.
b)
Tìm m
để
hàm s
ố
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i t
ạ
i x = −1.
c)
Tìm m
để
hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x = 3.
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Tính chất 2: Các điểm cực trị có hoành độ cùng dương, cùng âm, cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn α cho trước.
Hai điểm phân biệt cực trị cùng có hoành độ dương.
Khi đó ta có
1 2
2 1
1 2
0
0
0
0
0
B
S x x
A
x x
P x x C
A
−
>
= + >
> > → ⇔
= >
>
Hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
cùng có hoành
độ
âm.
Khi
đ
ó ta có
1 2
1 2
1 2
0
0
0
0
0
B
S x x
A
x x
P x x C
A
−
<
= + <
< < → ⇔
= >
>
Hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
có hoành
độ
trái d
ấ
u.
Khi
đ
ó ta có
1 2 1 2
0 0 0
C
x x P x x
A
< < ⇔ = < ⇔ <
Hai điểm cực trị cùng có hoành độ lớn hơn α.
Khi đó ta có
( )( )
( )
2
2
1 2 1 2
1 2
2 1
1 2
α α
0
α α
0
α α
0
α
2
α
2
α
2
α
C B
x x x x
x x
A A
x x
B
x x
B
A
A
−
− + >
− + + >
− − >
> > ⇔ ⇔ ⇔
−
+ >
−
>
>
Hai điểm cực trị cùng có hoành độ nhỏ hơn α.
Khi
đ
ó ta có
( )( )
( )
2
2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
α α
0
α α
0
α α
0
α
2
α
2
α
2
α
C B
x x x x
x x
A A
x x
B
x x
B
A
A
−
− + >
− + + >
− − >
< < ⇔ ⇔ ⇔
−
+ <
−
<
<
Hai điểm cực trị có hoành độ thỏa mãn x
1
<
α
< x
2
.
Khi
đ
ó ta có
( )( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
α α α 0 α α 0 α α 0
−
< < ⇔ − − < ⇔ − + + < ⇔ − + <
C B
x x x x x x x x
A A
Tính chất 3: Sử dụng Vi-ét cho hoành độ các điểm cực trị.
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
. Khi đó x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
1 2
+ = −
=
B
x x
A
C
x x
A
Ví dụ 1: Cho hàm số
= + − − +
3 2
( 1) 3 .
y x m x mx m
a) Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u.
b) Tìm m
để
hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn
+ =
1 2
1 2
1 1
2 .
x x
x x
c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều lớn hơn 2.
d) Tìm m để hoành độ điểm cực đại của hàm số nhỏ hơn 1.
Hướng dẫn giải:
Ta có
2
3 2( 1) 3
′
= + − −
y x m x m
a)
Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi ph
ươ
ng trình y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
( )
2 2
7 3 5
2
0 ( 1) 9 0 7 1 0 *
7 3 5
2
− +
>
′
⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ + + > ⇔
− −
<
m
m m m m
m
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Vậy với
7 3 5
2
7 3 5
2
− +
>
− −
<
m
m
thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.
b) Gọi x
1
; x
2
là hoành
độ điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x
1
; x
2
là hai nghi
ệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
1 2
2(1 )
3
−
+ =
= −
m
x x
x x m
Ta có
2 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2(1 ) 1 13
2 2 2 3 1 0 .
3 6
+
− − ±
+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ + − = ⇔ =
x x
m
x x x x m m m m
x x x x
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
1 13
6
m
− +
= là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
c)
G
ọ
i x
1
; x
2
là hoành
độ
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u. Khi
đ
ó x
1
; x
2
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình y′ = 0.
Theo
đị
nh lí Vi-ét ta
đượ
c
1 2
1 2
2(1 )
3
−
+ =
= −
m
x x
x x m
Theo bài ta có
( )( )
(
)
1 2 1 2
1 2
2 1
1 2
2 4 0
4(1 )
2 2 0
4 0
2
3
2(1 )
4
4
1 6
3
− + + >
−
− − >
− − + >
> > ⇔ ⇔ ⇔
−
+ >
>
− >
x x x x
m
x x
m
x x
m
x x
m
8
8
0
8 5.
3
5
5
+
> −
>
⇔ ⇔ ⇔ − < < −
< −
< −
m
m
m
m
m
Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
7 3 5
8
2
m
− −
− < < là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
d)
Ta có
1
2
1 2
2
1
6
0 3 2( 1) 3 0
1
6
′
− − ∆
= =
′
= ⇔ + − − = ⇔ → <
′
− + ∆
= =
m
x x
y x m x x x
m
x x
B
ả
ng bi
ế
n thiên
x
−∞ x
1
x
2
+∞
y’
+ 0 − 0 +
y
C
Đ
+∞
−∞ CT
Ta th
ấ
y hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
1
1
6
′
− − ∆
=
m
x
Theo bài ta có
( )
1
2
5 0
1
1 1 6 5
6
5
− − ≥
′
− − ∆
′ ′
= > ⇔ − − ∆ > ⇔ ∆ < − − ⇔
′
∆ < − −
m
m
x m m
m
2 2
5
5
8 5.
3 24
7 1 10 25
≤ −
≤ −
⇔ ⇔ ⇔ − < ≤ −
> −
+ + < + +
m
m
m
m
m m m m
Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
7 3 5
8
2
m
− −
− < < là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
// Ví d
ụ
này th
ầ
y tính nh
ầ
m nhé, hê hê //
Ví dụ 2: Cho hàm số
= − + + −
3 2
3( 1) 9 .
y x m x x m
Tìm m
để
hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn
− ≤
1 2
2.
x x
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Ta có
2
3 6( 1) 9.
′
= − + +
y x m x
Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2
khi y
′
= 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1 2
; 0
′
⇔ ∆ >
x x
( )
2
1 3
( 1) 3 0 *
1 3
> − +
⇔ + − > ⇔
< − −
m
m
m
Theo
đị
nh lý Vi-et ta có
1 2
1 2
2( 1)
3
+ = +
=
x x m
x x
Khi
đ
ó:
( ) ( )
2 2
2
1 2 1 2 1 2
2 4 4 4 1 12 4 ( 1) 4 3 1
− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤
x x x x x x m m m
Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
3 1 3
1 3 1
− ≤ < − −
− + < ≤
m
m
là các giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số
= + − + − + +
3 2
(1 2 ) (2
.
) 2
y x m x m x m
Tìm m
để
hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn
− >
1 2
1
.
3
x x
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
2
3 (1 2
.
)2 2= − +
′
+
−
x m x m
y
Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2
khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
; x
2
( )
2 2
5
(1 2 ) 3(2 ) 4 5 0
*
4
1
>
′
⇔ ∆ = − − − = − − > ⇔
< −
m
m m m m
m
Theo
đị
nh lý Vi-et ta có
1 2
1 2
(1 2 )
3
2
2
.
3
−
+ = −
−
=
m
x x
m
x x
Khi
đ
ó
( ) ( )
2 2
2
1 21 2 2 1 21
1
4 4(1 2 ) 4(2 1
1
9
3
)
⇔−
= + − > ⇔ − − − >
> − x x x x mx mx x x
2
3 29
8
16 12 5 0
3 29
8
+
>
⇔ − − > ⇔
−
<
m
m m
m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
3 29
8
1
+
>
< −
m
m
là các giá trị cần tìm.
Ví d
ụ
4: Cho hàm s
ố
= − − + − +
3 2
1 1
( 1) 3( 2) .
3 3
y x m x m x
Tìm m
để
hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn
+ =
1 2
2 1.
x x
Hướng dẫn giải:
Ta có
2
2( 1) 3( 2).
′
= − − + −
y x m x m
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
2
5 7 0,
′
⇔ ∆ = − + > ∀
m m m
Khi
đ
ó ta có
( )( )
1 2 2 2 2
1 2 1 2 1
1 2 1 2
1 2
2( 1) 1 2 2( 1) 3 2
3( 2) 3( 2) 1 2(2 2 ) 4 3
2 1 2 1
3( 2) 3 2 4 3 3 6
+ = − − + = − = −
= − ⇔ = − ⇔ = − − = −
+ = + =
= −
⇒
− − = −
x x m x x m x m
x x m x x m x m m
x x x x
x x m m m m
2
4 34
8 16 9 0 .
4
− ±
⇔ + − = ⇔ =m m m V
ậ
y
4 34
4
− ±
=m là các giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Ví d
ụ
5: Cho hàm s
ố
= + + + +
3 2
(1– 2 ) (2 – ) 2.
y x m x m x m
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u
đồ
ng th
ờ
i hoành
độ
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u nh
ỏ
h
ơ
n 1.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
2
3 2(1 2 ) 2 ( ).
′
= + − + − =
y x m x m g x
Do h
ệ
s
ố
a = 3 > 0 nên yêu c
ầ
u bài toán tr
ở
thành y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2
1 2
4 5 0
5 7
1 (1) 5 7 0
4 5
2 1
1
2 3
′
∆ = − − >
< < ⇔ = − + > ⇔ < <
−
= <
m m
x x g m m
S m
Ví dụ 6: Cho hàm số
= +
3 2
4 – 3 .
y x mx x
Tìm m
để
hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn
= −
1 2
4 .
x x
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
2 2
12 2 3 36 0.
′ ′
= + − ⇒ ∆ = + >
y x mx m
Khi
đ
ó
1 2
1 2
1 2
4
9
.
6 2
1
4
= −
+ = − → = ±
= −
x x
m
x x m
x x
BÀI T
Ậ
P LUY
Ệ
N T
Ậ
P:
Bài 1:
Cho hàm số
3 2
( 2) ( 1) 2.
= + + − − +
y x m x m x
a)
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b)
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 3.
c)
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
10.
+ <x x
d)
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều nhỏ hơn −1.
Bài 2:
Cho hàm số
(
)
(
)
3 2 3
2 3 3 6 5 1 4 1.
= − + + + − −
y x m x m x m
a)
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b)
Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ đều nhỏ hơn 2.
Bài 3:
Tìm m để hàm số
(
)
(
)
3 2
1 2 2 2
= + − + − + +
y x m x m x m có hai điểm cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm
cực tiểu nhỏ hơn 2.
Bài 4:
Cho hàm số
( )
( )
3 2 2
2
1 4 3 2.
3
= + + + + + + +
y x m x m m x m
Gọi x
1
, x
2
là hoành dộ hai điểm cực trị của hàm số.
a)
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1.
b)
Tìm m sao cho biểu thức
(
)
1 2 1 2
2= − +
P x x x x
đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
Bài 5:
Cho hàm s
ố
3 2
1
( 6) 1.
3
= + + + −
y x mx m x
Tìm giá trị của m để
a)
hàm số có cực trị.
b)
hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
, x
2
thỏa mãn
1 1
1 2
1 1
.
3
+
+ =
x x
x x
c)
hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1.
d)
hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
Tính ch
ấ
t 4: Các c
ự
c tr
ị
n
ằ
m cùng phía, khác phía v
ớ
i các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
.
+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu.
+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hoặc hàm số có cực trị với
y
CĐ
.y
CT
< 0.
+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại một điểm hoặc hàm số có cực trị với y
CĐ
.y
CT
>
0.
Ví d
ụ
1: Cho hàm s
ố
= + + +
3 2
3 – 2
y x x mx m
, v
ớ
i m là tham s
ố
.
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u n
ằ
m v
ề
hai phía c
ủ
a tr
ụ
c hoành.
Hướng dẫn giải:
Ta có
2
3 6
′
= + +
y x x m
, hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Tức là
9 3 0 3.
′
∆ = − > ⇔ <
m m
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và Ox:
( )
3 2
2
1
3 – 2 0
( ) 2 2 0, 1
= −
+ + + = ⇔
= + + − =
x
x x mx m
g x x x m
Hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –1
Ta có điều kiện
3 0
3
( 1) 3 0
′
∆ = − >
⇔ <
− = − ≠
m
m
g m
Vậy m < 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho hàm số
= − + + − − + −
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4
y x m x m m x
, v
ớ
i m là tham s
ố
.
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u n
ằ
m v
ề
hai phía c
ủ
a tr
ụ
c tung.
Hướng dẫn giải:
Ta có
2 2
3 2(2 1) ( 3 2)
′
= − + + − − +
y x m x m m
Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi y
′
= 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
( )
(
)
2
2
0 2 1 3 3 2 0
′
⇔ ∆ > ⇔ + − − + >
m m m
2
13 3 21
2
13 5 0
13 3 21
2
− +
>
⇔ + − > ⇔
− −
<
m
m m
m
Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu
(
)
2
3 3 2 0 1 2.
− + < ⇔ < <
m m m
K
ế
t h
ợ
p
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c 1 < m < 2 th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Ví d
ụ
3: Cho hàm s
ố
= − + − −
3 2
1
(2 1) 3
3
y x mx m x
, v
ớ
i m là tham s
ố
.
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u n
ằ
m v
ề
cùng m
ộ
t phía c
ủ
a tr
ụ
c tung.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
2
2 2 1
′
= − + −
y x mx m
Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
2
0 2 1 0 1
′
⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ ≠
m m m
Hàm s
ố
có các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u n
ằ
m v
ề
cùng m
ộ
t phía c
ủ
a tr
ụ
c tung khi ph
ươ
ng trình y′ = 0 có hai nghi
ệ
m cùng
d
ấ
u
1
0 2 1 0 .
2
⇔ > ⇔ − > ⇔ >
ac m m
Kết hợp điều kiện ta được
1
1
2
< ≠
m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tính ch
ấ
t 5: Các bài toán c
ự
c tr
ị
khi y
′
′′
′
= 0 gi
ả
i
đượ
c nghi
ệ
m ‘
đẹ
p’
Khi phương trình y′ = 0 có
( )
2
ax b
∆ = +
thì điều kiện để hàm số có cực trị là
( )
2
0 0 .
b
ax b x
a
∆ > ⇔ + > ⇔ ≠ −
Khi đó,
1
2
0
x x
y
x x
=
′
= ⇒
=
và s
ử
d
ụ
ng yêu c
ầ
u c
ủ
a
đề
bài
để
gi
ả
i ra tham s
ố
.
Ví d
ụ
1: Cho hàm s
ố
= − + − − +
3 2 2 3
3 3( 1) .
y x mx m x m m
Tìm giá tr
ị
c
ủ
a m
để
hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
. Khi
đ
ó, tìm m
để
kho
ả
ng cách t
ừ
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i
đế
n g
ố
c t
ọ
a
độ
b
ằ
ng
2
l
ần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ
O
.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
2 2 2 2
3 6 3( 1) 0 2 1 0
′ ′
= − + − ⇒ = ⇔ − + − =
y x mx m y x mx m
Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1 0,
′
⇔ ∆ = > ∀
m
Khi
đ
ó
(
)
( )
1 1;2 2
0
1 1; 2 2
= − ⇒ − −
′
= ⇔
= + ⇒ + − −
x m A m m
y
x m B m m
Do h
ệ
s
ố
a = 1 > 0 và m + 1 > m − 1 nên A là
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i và B là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
.
Theo bài ta có
2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2
= − +
= ⇔ + + = ⇔
= − −
m
OA OB m m
m
V
ậ
y
3 2 2
= − ±m
là các giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Ví dụ 2: Cho hàm số
(
)
−
= − + − + −
2
3
3 1
1
(3 2) 1.
3 2
m x
y x m x m
Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ lớn hơn 2.
c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x
1
; x
2
thỏa mãn
+ >
3 3
1 2
28
x x
d) hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i các
đ
i
ể
m có hoành
độ
x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn
+ =
2 2
1 2
2 12
x x
Hướng dẫn giải :
Ta có
(
)
(
)
2 2
3 1 3 2 0 3 1 3 2 0.
y x m x m y x m x m
′ ′
= − − + − ⇒ = ⇔ − − + − =
a) Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi y
′
= 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
Ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n
( ) ( )
2
2
0 3 1 4. 3 2 0 9 18 9 0 1
m m m m m
∆ > ⇔ − − − > ⇔ − + > ⇔ ≠
b)
V
ớ
i
(
)
( )
3 1 3 1
1
2
1 0
3 1 3 1
3 1
2
m m
x
m y
m m
x m
− − −
= =
′
≠ ⇒ = ⇔
− + −
= = −
Hoành
độ
các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u l
ớ
n h
ơ
n 2 khi
3 1 2 1.
m m
− > ⇔ >
V
ậ
y v
ớ
i m > 1 thì hàm s
ố
đ
ã cho có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và hoành
độ
c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u l
ớ
n h
ơ
n 2.
c) Ta có
( )
3
3 3
1 2
4
28 1 3 1 28 3 1 3 .
3
x x m m m
+ > ⇔ + − > ⇔ − > ⇔ >
d) Do vai trò bình
đẳ
ng c
ủ
a x
1
; x
2
nên ta có hai tr
ườ
ng h
ợ
p x
ả
y ra
V
ớ
i
( )
2
2 2
1 2 1 2
1 10
1; 3 1 2 12 2 3 1 12 3 1 10
3
x x m x x m m m
±
= = − ⇒ + = ⇔ + − = ⇔ − = ± → =
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ồ
n t
ạ
i c
ự
c tr
ị
ta
đượ
c
1 10
.
3
m
±
=
V
ớ
i
( )
2
2 2
1 2 1 2
22 2 22
3 1; 1 2 12 2 3 1 1 12 3 1
2 6
x m x x x m m m
±
= − = ⇒ + = ⇔ − + = ⇔ − = ± → =
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ồ
n t
ạ
i c
ự
c tr
ị
ta
đượ
c
2 22
.
6
m
±
=
Ví d
ụ
3: Cho hàm s
ố
+=
+
3 2
3y x x
m
Tìm m
để
hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i các
đ
i
ể
m A, B sao cho
.
=
0
120
AOB
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
2
0
3 6 0
2 4
= ⇒ =
′ ′
= + ⇒ = ⇔
= − ⇒ = +
x y m
y x x y
x y m
V
ậ
y hàm s
ố
có hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
A(0 ; m) và B(−2 ; m + 4).
Ta có
(0; ), ( 2; 4).
= = − +
OA m OB m
Để
0
1
120 cos
2
= ⇒ = −
AOB AOB
( )
( )
2 2
2
2 2
4 0
( 4) 1
4 ( 4) 2 ( 4)
3 24 44 0
2
4 ( 4)
4 0
12 2 3 2
4
12 2 3
3
3
3
− < <
+
⇔ = − ⇔ + + = − + ⇔
+ + =
+ +
− < <
− +
⇔ ⇔ = = − +
− ±
=
m
m m
m m m m
m m
m m
m
m
m
V
ậ
y
2
4
3
= − +m là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Ví d
ụ
4: Cho hàm s
ố
= − + − −
3 2
3 3 1
y x mx m
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m này
đố
i x
ứ
ng nhau qua (d): x + 8y
−
−−
−
74 = 0.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
( )
2
0
3 6 3 2 0
2
=
′ ′
= − + = − − ⇒ = ⇔
=
x
y x mx x x m y
x m
Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
⇒
m ≠ 0
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Khi dó, các điểm cực trị của hàm số là
3 3
(0; 3 1), (2 ;4 3 1) (2 ;4 )
− − − − ⇒
A m B m m m AB m m
Trung
đ
i
ể
m I c
ủ
a AB có to
ạ
độ
3
( ;2 3 1)
− −
I m m m
Đườ
ng th
ẳ
ng d:
(
)
: 8 74 0
+ − =
d x y có m
ộ
t véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng
(8; 1)
= −
u
.
A và B
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i nhau qua d
⇔
( )
3
8(2 3 1) 74 0
2
. 0
+ − − − =
∈
⇔ ⇔ ⇔ =
⊥
=
m m m
I d
d m
AB d
AB u
V
ậ
y m = 2 là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Ví dụ 5: Cho hàm số
( )
= − + − +
3 2
3
3 1 1
2
m
y x x m x
Tìm m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2.
c) hàm số đạt cực đại tại x = 0.
d) hàm số không có cực đại, cực tiểu.
e) đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng d: y = 9x + 1
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
a)
Ta có
( ) ( )
( )
3 2 2 2
3
3 1 1 3 3 3 1 3 1
2
m
y x x m x y x mx m x mx m
′
= − + − + ⇒ = − + − = − + −
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Ta có điều kiện
( )
2
0 2 0 2.
m m
∆ > ⇔ − > ⇔ ≠
V
ậ
y v
ớ
i m ≠ 2 thì hàm s
ố
đ
ã cho có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u.
b)
Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ
i
ể
m x = 2 khi h
ệ
sau có nghi
ệ
m
(2) 0
, ( )
(2) 0
′
=
′′
>
y
I
y
Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó
4 2 1 0 3
( ) 3
12 3 0 4
m m m
I m
m m
− + − = =
⇔ ⇔ ⇒ =
− > <
Giá trị m = 3 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
c) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 khi hệ sau có nghiệm
(0) 0
, ( )
(0) 0
′
=
′′
>
y
I
y
Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó hệ
1 0 1
( ) 1
3 0 0
m m
I m
m m
− = =
⇔ ⇔ ⇒ =
− < >
Giá trị m = 1 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
d) Hàm số không có cực đại, cực tiểu khi y′ không đổi dấu ⇔ y′ = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ (m – 2)
2
≤ 0
Bất phương trình trên chỉ có nghiệm duy nhất m =2.
Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho không có cực trị.
e) Xét phương trình y’ = 0 ta được x
2
– mx + m – 1 = 0
( )
1
1
2
2
2
2
3 2
2
1
2
2
2
2
3 5 4
1
2
2
m
m m
y
x m
m
m m
m m
x
y
−
+ −
=
= = −
∆ = − ⇒ ⇒
− +
− +
= =
=
G
ọ
i A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
) là các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u. Khi
đ
ó
2
3 8 6
2 ;
2
m m
AB m
− +
= −
Đườ
ng th
ẳ
ng qua các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u song song v
ớ
i d : y = 9x + 1 khi
( )
2
2 2
3 8 6
2
2
/ / 2 4 9 3 8 6 27 74 58 0
9 1
d o
m m
m
AB u m m m m m vn
− +
−
⇔ = ⇔ − = − + ⇔ − + = →
−
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Cho hàm s
ố
(
)
2
3
2 1
1
2(2 1) 3.
3 2
m x
y x m x
−
= − − + +
Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành âm.
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x
1
; x
2
thỏa mãn
4 4
1 2
17
x x
+ >
d)
hàm s
ố
đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i các
đ
i
ể
m có hoành
độ
x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn
2 2
1 2
2 12
x x
+ =
Bài 2:
Cho hàm s
ố
(
)
2
3 2
3 1
1
(2 ) 2.
3 2
m x
y x m m x
+
= − − + −
Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.
c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x
1
; x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
40
x x
− =
d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía của trục Oy.
Bài 3: Cho hàm số
3
3 2
= − +
y x mx
a) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của hàm số cắt đường tròn tâm I(1; 1) bán kính bằng 1 tại hai
điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
b) Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách từ O đến đường thẳng đi qua CĐ, CT lớn nhất.
Tính chất 6: Phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu và một số ứng dụng điển hình
Lấy y chia cho y′ ta được
. ( ) ,
′
= + +
y y g x ax b
khi đó đường thẳng d : y = ax + b chính là đường thẳng đi qua các điểm
cực đại, cực tiểu của hàm số.
Tác dụng lớn nhất của việc tìm được phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu là lấy được tung độ của chúng.
Thật vậy, gọi M, N là các điểm cực đại, cực tiểu thì
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
+ +
M x ax b N x ax b
, trong đó x
1
; x
2
là hai nghiệm của
phương trình y′ = 0 và ta có thể dùng Vi-et được.
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )= − + + − + −
3 2 2 3 2
3 3 1
y x mx m x m m
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u. Khi
đ
ó, hãy vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng qua các
đ
i
ể
m
đ
ó.
Hướng dẫn giải :
Ta có
2 2 2 2
3 6 3(1 ) 0 2 1 0
′ ′
= − + + − ⇒ = ⇔ − + − =
y x mx m y x mx m
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
1 0,
′
⇔ ∆ = > ∀
m
Vậ
y hàm s
ố
luôn có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a m.
Chia y cho y′ ta
đượ
c
2
1
2
3 3
′
= − + − +
m
y x y x m m
G
ọ
i
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
là các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
, khi
đ
ó
( )
( )
1
2
2
1 1 1
2
2 2 2
1
2
3 3
1
2
3 3
′
= − + − +
′
= − + − +
x
x
m
y x y x m m
m
y x y x m m
Do
( ) ( )
( )
1 2
2
2
1 1
2
2 2
2
0 , : 2
2
= − +
′ ′
= = ⇒ ⇔ ∈ = − +
= − +
x x
y x m m
y y A B d y x m m
y x m m
V
ậ
y, ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng qua hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
đ
ã cho là
2
2
= − +
y x m m
.
Ví d
ụ
2: Cho hàm s
ố
= − − +
3 2
3 2
y x x mx
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d: y =
−
−−
−
4x + 3.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
2
3 6
′
= − −
y x x m
Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
(
)
0 9 3 0 3, *
′
⇔ ∆ > ⇔ + > ⇔ > −m m
Chia y cho y′ ta
đượ
c
1 1 2
2 2
3 3 3 3
′
= − − + + −
m
xy
m
x y
G
ọ
i
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
là các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
, khi
đ
ó ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng qua A, B là
( )
2
: 2 2
3 3
∆ = − + + −
m m
y x
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Theo bài ta có
2
2 4
3
3
2 3
3
/ / : 4 3
− + = −
⇔ ⇔ =
∆ = − +
− ≠
⇒
m
m
m
d y x
Đố
i chi
ế
u v
ớ
i (*) ta
đượ
c m = 3 là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số
= − − +
3 2
3 2
y x x mx
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m này cách
đề
u
đườ
ng th
ẳ
ng (d): y = x
−
−−
−
1.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
2
3 6
′
= − −
y x x m
Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi y
′
= 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
(
)
0 9 3 0 3, *
′
⇔ ∆ > ⇔ + > ⇔ > −
m m
Chia y cho y
′
ta
đượ
c
1 1 2
2 2
3 3 3 3
′
= − − + + −
m
xy
m
x y
Gọi
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
là các điểm cực trị, khi đó phương trình đường thẳng qua A, B là
( )
2
: 2 2
3 3
= − + + −
m m
AB y x
Các điểm cực trị cách đều đường thẳng (d) : y = x − 1 nên xảy ra 1 trong 2 trường hợp:
TH1:
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng (d)
2 3
2 1 ,
3 2
− + = ⇔ = −
⇔
m
m (thỏa mãn)
TH2:
Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng
( )
1 2 1 2
1 1
2 2
+ +
⇔ = − ⇔ = −
I I
y y x x
d y x
( ) ( )
1 2 1 2
2 2 2
2 2 2 2 3 .2 6 0
3 3 3 3
− + + + − = + − ⇔ + = − ⇔ =
⇔
m m m m
x x x x m
Vậy
3
0;
2
= = −
m m là các giá trị cần tìm.
Ví d
ụ
4: Cho hàm s
ố
= − +
3 2
3
y x x mx
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m này
đố
i x
ứ
ng nhau qua (d): x
−
−−
−
2y
−
−−
−
5 = 0.
Hướng dẫn giải :
Ta có
2
3 6
′
= − +
y x x m
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
(
)
0 9 3 0 3, *
′
⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ <m m
Chia y cho y′ ta được
1 1 2 1
2
3 3 3 3
′
= − + − +
y x y m x m
Gọi
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
là các điểm cực trị, khi đó
( )
2 1 2
2 2
3
:
3 3
− + ⇒ = −
=
AB
m x m kA mB y
Ta có
( )
1
: 2 5 0
2
− − = ⇒ =
d
d x y k
A, B đối xứng nhau qua (d) thì ta phải có
( ) ( )
1 2
. 1 2 1 0
2 3
⊥ ⇔ = − ⇔ − = − ⇔ =
AB d
AB d k k m m
Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2).
Ta thấy I ∈ (d), do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua (d).
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.
BÀI T
Ậ
P LUY
Ệ
N T
Ậ
P:
Bài 1:
Cho hàm số
3 2
3( 1) 9 2
= − + + + −
y x m x x m
Tìm m
để
hàm s
ố
có
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i và
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i nhau qua
đườ
ng th
ẳ
ng
( )
1
: .
2
=
d y x
Đ
/s: m = 1
Bài 2:
Cho hàm s
ố
3 2
3 2
= − − +
y x x mx
Tìm m
để
hàm s
ố
có
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i và
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u và
đườ
ng th
ẳ
ng qua các
đ
i
ể
m
đ
ó t
ạ
o v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
(
)
: 4 5 0
+ − =
d x y
một góc 45
0
.
Đ/s:
.
= −
1
2
m
