ÔN THI Lượng Giác-logarit-bpt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (377.75 KB, 33 trang )
MỤC LỤC
PHẦN TRANG
MỤC LỤC 1
LƯỢNG GIÁC 1
HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT 19
CÁC BÀI TOÁN VỀ GIẢI VÀ BIỆN LUẬN 26
CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 28
CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH 30
LƯỢNG GIÁC
A - CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT.
I. ĐỊNH NGHĨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Đường tròn lượng giác.
2. Cung lượng giác và góc lượng giác.
3. Định nghĩa các hàm số lượng giác.
II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
III. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC ĐẶC BIỆT
IV. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
V. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VI. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LỰONG GIÁC
1. Công thức cộng.
2. Công thức góc nhân đôi
+) Công thức hạ bậc.
+) Khai triển các hàm số lượng giác theo tg góc chia đôi
+) Công thức góc nhân 3
3. Công thức biến đổi tích thành tổng.
4. Công thức biến đổi tổng thành tích.
VII. ĐỊNH LÍ HÀM SỐ SIN VÀ COSIN.
VIII. CÁC CÔNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
B. BÀI TẬP.
DẠNG 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC.
1. Tính hàm số lượng giác của cung a sau.
1) sina =
5
3
với 0 < a <
2
π
2) tga = -
2
với
2
π
< a <
π
3) cosa =
5
1
với -
2
π
< a < 0 4) sina =
3
1
với a ∈ (
2
π
, π )
5) tga = 2 với a ∈ (π,
2
3π
)
2. Chứng minh các đẳng thức sau:
1) sin
2
x + tg
2
x =
xcos
1
2
- cos
2
x 2) tg
2
x - sin
2
x = tg
2
xsin
2
x
3)
xtgxgcot
xsinxcos
22
22
−
−
= sin
2
xcos
2
x 4)
xtg1
)1
xcos
1
)(xgcot1(
2
2
2
+
−+
= 1
5) cosx + cos(2π/3 - x) + cos(2π/3 - x) = 0
6) sin(a + b)sin(a - b) = sin
2
a -sin
2
b = cos
2
b - cos
2
a
7)
batgtg1
btgatg
22
22
−
−
= tg(a +b)tg(a - b)
Trang 1
8) cos
3
xsinx - sin
3
xcosx =
4
1
sin4x 9)
xsinxcos
xsinxcos
+
−
=
x2cos
1
- tg2x
10)
xsin2x2sin
xsin2x2sin
+
−
= -tg
2
2
x
11) sin3xcos
3
x + sin
3
xcos3x =
4
3
sin4x
12) sinx - sin2x +sin3x = 4cos
2
x3
cosxsin
2
x
13) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos
2
x
14)
)xcos1(2
xcosxcosxsin
2
244
−
+−
= cos
2
2
x
15)
xtg31
xtg3
tgx
x3tg
2
2
−
−
=
3. Biểu diễn các biểu thức sau theo sinx và cosx.
1) sin(x +
2
5π
) - 3cos(x -
2
7π
) + 2sin(x + π ) 2) sin(x - π/2) + cos(x - π) - 5sin(
2
11π
+ x)
3) cos(π/2 + a) + cos(2π - a) + sin(π - a) + cos(π + a)
4) 2cosa - 3cos(π + a) - 5sin(π/2 - a) + cotg(
2
3π
- a)
5) cos(π - a) - 2sin(3π/2 + a) + tg(
2
3π
- a ) + cotg(2π - a)
4. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a.
1) A = cos
4
a + cos
2
asin
2
a +sin
2
a 2) B = cos4a - sin4a + 2sin
2
a
3) C = 2(sin
6
a + cos
6
a) - 3(sin
4
a + cos
4
a) 4) D =
gacot1
gacot1
−
+
-
1tga
2
−
5) E =
acos4a4sin
2
+
+
asin4acos
24
+
6) F = cos
2
a + sin(30
0
+ a)sin(30
0
- a)
7) G = sin
6
a + cos
6
a + 3sin
2
acos
2
a 8) H =
1acosasin
1acosasin
66
44
−+
−+
9) m là mọt số cho trước, chứng minh rằng nếu: m.sin(a + b) = cos(a - b)
Trong đó a - b
≠
kπ và m
≠
±
1 thì biểu thức:
A =
a2sinm1
1
−
+
b2sinm1
1
−
(m là hằng số không phụ thuộc vào a, b ).
5. Tính các biểu thức đại số.
1) Tính sin
3
a -cos
3
a biết sina -cosa = m
2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A =
2
a
tg
2
a
gcot
a2cos1
−
+
3) Biết
)bacos(
)bacos(
−
+
=
q
p
. Tính tga.tgb
4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b)
≠
k2π tính tg
2
a
.tg
2
b
5) Tính sin2x nếu: 5tg
2
x - 12tgx - 5 = 0 (
4
π
< x <
2
π
)
6. Tính giá trị các biểu thức mà không tra bảng.
1) A = cos20
0
cos40
0
cos60
0
cos80
0
2) B = cos
7
π
.cos
7
4π
.cos
7
5π
3) C = sin6
0
.sin42
0
.sin66
0
.sin78
0
4) Với a
≠
kπ chứng minh rằng: cosa.cos2a.cos4a. cos2na =
asin2
a2sin
1n
1n
+
+
, từ đó tính :
Trang 2
D = cos
65
π
. cos
65
2π
. cos
65
32π
5) Tính: E = sin5
0
.sin15
0
sin25
0
.sin35
0
. sin85
0
6) Tính: F = sin
18
π
.sin
18
3π
.sin
18
5π
.sin
18
7π
. sin
18
9π
7) A = sin37
0
.cos53
0
+ sin127
0
.cos397
0
8) A = tg110
0
+ cotg20
0
9) Tính sin15
0
và cos15
0
10) Tính tgx.tgy biết :
)yxcos(
)yxcos(
−
+
=
2
1
7. Chú ý các công thức sau:
1) 4sinx.sin(
3
π
- x)sin(
3
π
+ x) = sin3x 2) 4cosx.cos(
3
π
- x)cos(
3
π
+ x) = cos3x
3) tgx.tg(
3
π
- x)tg(
3
π
+ x) = tg3x 4) cosa.cos2a.cos4a cos2na =
asin2
a.2sin
1n
1n
+
+
5) để tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) + +(-1)
n
. cos(a +nx).
thì nhân 2 vế với 2cos
2
x
nếu cos
2
x
≠
0.
8.Các bài tập khác:
1. Chứng minh rằng : a)
oo
oo
15sin15cos
15sin15cos
−
+
=
3
b)
oo
oo
75sin75cos
75cos75sin
+
−
=
3
1
2. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = sin3x.sin
3
x + cos3x.cos
3
x
b) B =
xsin
xcos1+
[1 +
xsin
)xcos1(
2
2
−
]
c) C = cos3x.cos
3
x - sin3x.sin
3
x
3. Không dùng bảng số hãy tính:
a) A = tg20
o
.tg40
o
.tg60
o
.tg80
o
b) B =
o
10sin2
1
- 2sin70
o
c) C = sin
4
16
π
+ sin
4
16
3π
+ sin
4
16
5π
+ sin
4
16
7π
d) D = tg2
12
π
+ tg
2
12
3π
+ tg
2
12
5π
e) E = tg9
o
- tg27
o
- tg63
o
+ tg81
o
. f) F = cos
6
16
π
+ cos
6
16
3π
+ cos
6
16
5π
+
cos
6
16
7π
g) G
1
= sin18
o
.cos18
o
; G
2
= sin36
o
.cos36
o
h) H = cos
7
2π
+ cos
7
4π
+ cos
7
6π
i) I = sin
5
π
+ sin
5
23π
+ sin
6
π
+ cos
5
13π
k) K = cos
5
π
+ cos
5
2π
+ cos
5
3π
+ cos
5
4π
m) M = cos
5
π
- cos
5
2π
4. Với a ≠ kπ (k ∈ Z) chứng minh:
a) cosa.cos2a.cos4a cos16a =
asin.32
a32sin
b) cosa.cos2a.cos4a cos2
n
a =
asin2
a2sin
1n
1n
+
+
5. Tính: A = cos20
o
.cos40
o
.cos60
o
. 6. Tính: A = sin6
o
.sin42
o
.sin66
o
.sin78
o
.
7. Tính: A = cos
7
π
. cos
7
4π
. cos
7
5π
.
Trang 3
8. Tính: cos
65
π
. cos
65
2π
. cos
65
4π
. cos
65
8π
. cos
65
16π
. cos
65
32π
.
9.Tính: sin
18
π
. sin
18
3π
. sin
18
5π
. sin
18
7π
. sin
18
9π
.
10. Tính: cos
15
π
. cos
15
2π
. cos
15
3π
. cos
15
4π
cos
15
7π
.
11. Tính: sin5
o
. sin15
o
.sin25
o
sin85
o
.
12. Tính: 96
3
.sin
48
π
.cos
48
π
. cos
24
π
. cos
12
π
. cos
6
π
.
13. Tính: 16.sin10
o
.sin30
o
.sin50
o
.sin70
o
. 14. Tính: sin10
o
.sin20
o
.sin30
o
sin80
o
.
15. Tính: cos9
o
.cos27
o
.cos45
o
.cos63
o
.cos81
o
. cos99
o
. cos117
o
.cos135
o
. cos153
o
.cos171
o
16. Tính: A = cos
5
π
+ cos
5
2π
B = cos
5
π
+ cos
5
3π
17. Chứng minh rằng : a) 4.cosx.cos(
3
π
- x).cos(
3
π
+ x) = cos3x.
b) 4.sinx.sin(
3
π
- x).sin(
3
π
+ x) = sin3x. c) tgx.tg(
3
π
- x).tg(
3
π
+ x) = tg3x.
Áp dụng tính: A = sin20
o
.sin40
o
.sin80
o
.
B = cos10
o
.cos20
o
.cos30
o
cos80
o
. C = tg20
o
.tg40
o
.tg60
o
.tg80
o
.
18. Chứng minh rằng :
a) sin
6
x + cos
6
x =
8
5
+
8
3
cos2x b) tgx =
x2sin
x2cos1−
Áp dụng tính:
A = sin
6
(
24
π
) + cos
6
(
24
π
) B = tg
2
(
12
π
) + tg
2
(3.
12
π
) + tg
2
(5.
12
π
)
19. Chứng minh rằng:
a) sin
4
x =
x4cos
8
1
x2cos
2
1
8
3
+−
b) sin
8
x + cos
8
x =
xcos
16
1
x4cos
16
7
64
35
++
Áp dụng tính A = sin
8
(
24
π
) + cos
8
(
24
π
)
B = sin
4
(
16
π
) + sin
4
(3.
16
π
) + sin
4
(5.
16
π
) + sin
4
(7.
16
π
)
20. Chứng minh rằng: tg
2
x + tg
2
(
x
3
−
π
) + tg
2
(
x
3
+
π
) = 9tg còn thiếu
21. Tính: cos(
7
2π
) + cos(
7
4π
) + cos(
7
6π
)
22. Tính cos(
5
π
) + cos(
5
2π
) + cos(
5
3π
) + cos(
5
4π
)
23. Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b) Tính: tga.tgb.
24. Chứng minh rằng:
00
00
75cos75sin
75cos75sin
+
−
=
3
1
Trang 4
DẠNG 2. CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC.
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
+ A + B + C = π
+
ba −
< c < a + b
+ a
2
= b
2
+ c
2
- 2a.b.cosC
+
R2
Csin
c
Bsin
b
Asin
a
===
+ S =
.r)ap(pr
R4
abc
Csin.ab
2
1
h.a
2
1
aa
−====
=
)cp)(bp)(ap(p −−−
Trong đó: p =
2
cba ++
r: bán kính đường tròn nội tiếp
r
a
: bán kính đường tròn ngoại tiếp góc A.
+ Định lý hàm tang:
2
ba
tg
)
2
ba
(tg
ba
ba
+
−
=
+
−
.;
)
2
cb
(tg
)
2
cb
(tg
cb
cb
+
−
=
+
−
;
)
2
ca
(tg
)
2
ca
(tg
ca
ca
+
−
=
+
−
+ Các công thức tính bán kính:
R =
Csin2
c
Bsin2
b
Asin2
a
==
r = (p - a)tg
2
A
= (p - b)tg
2
B
= (p - c)tg
2
C
=
A
2
C
2
B
2
cos
sin.sina
=
B
2
C
2
A
2
cos
sin.sinb
=
C
2
A
2
B
2
cos
sin.sinc
r
a
= p.tg
2
A
= p.tg
2
B
= p.tg
2
C
.
=
A
2
C
2
B
2
cos
cos.cosa
=
B
2
C
2
A
2
cos
cos.cosb
=
C
2
A
2
B
2
cos
cos.cosc
+ Đường trung tuyến :
m
a
2
=
4
a
2
cb
222
−
+
m
b
2
=
4
b
2
ca
222
−
+
m
c
2
=
4
c
2
ab
222
−
+
+ Đường phân giác:
l
a
=
cb
2
A
cos.bc2
+
l
b
=
ca
2
B
cos.ac2
+
l
a
=
ba
2
C
cos.ab2
+
+ Mở rộng định lí hàm sin và cosin:
CotgA =
s4
acb
222
−+
CotgB =
s4
bca
222
−+
CotgC =
s4
cba
222
−+
II. CÁC ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC.
1. sinA + sinB + sinC = 4cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C
.
2. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC.
Trang 5
3. sin3A + sin3B + sin3C = -4cos
2
A3
. cos
2
B3
. cos
2
C3
.
4. sin4A + sin4B + sin4C = -4sin2A.sin2B.sin2C.
5. cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin
2
A
.4sin
2
B
.4sin
2
C
.
6. cos2A + cos2B + cos2C = -1 -4cosA.cosB.cosC.
7. cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4sin
2
A3
. sin
2
B3
. sin
2
C3
.
8. cos4A + cos4B + cos4C = -1 + 4cos2A.cos2B.cos2C.
9. tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC.
10. tg2A +tg2B + tg2C = tg2A.tg2B.tg2C.
11. cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1
12. tg
2
A
. tg
2
B
+ tg
2
B
. tg
2
C
+ tg
2
C
. tg
2
A
= 1
13. cotg
2
A
+ cotg
2
B
+ cotg
2
C
= cotg
2
A
.cotg
2
B
. cotg
2
C
.
14. cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C = 1 - 2cosA.cosB.cosC.
15. cos
2
2A + cos
2
2B + cos
2
2C = 1 + 2cos2A.cos2B.cos2C.
16.
2
a
m
+
2
b
m
+
2
c
m
=
4
3
(a
2
+ b
2
+ c
2
).
17. la =
cb
2
A
cos.bc2
+
=
bc
2
)ap.(p.c.b −
.
18. r = p.tg
2
A
. tg
2
B
. tg
2
C
=
2
A
cos
2
C
sin
2
B
sina
.
19. R =
2
C
cos.
2
B
cos.
2
A
cos.4
p
.
20. r = 4R.cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C
.
21. sin
2
A
=
bc
)cp)(ap( −−
=
2
C
cos.
2
B
cos
2
A
sin.p
22. cos
2
A
=
c.b
)ap.(p −
.
23. tg
2
A
=
)ap(p
)cp)(bp(
−
−−
.
24. (
a
1
+
b
1
)l
c
+ (
a
1
+
c
1
)l
b
+
(
c
1
+
b
1
)l
a
= 2(cos
2
A
+ cos
2
B
+ +cos
2
C
).
III. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
1. Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính theo các công thức sau:
Trang 6
S =
)BAsin(.2
Bsin.Asin).ba(
22
−
−
=
4
1
(a
2
sin2B + b
2
sin2A) =
= p
2
.tg
2
A
. tg
2
B
.tg
2
C
= 2R
2
.sinA.sinB.sinC.
2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0
b) (b - c)cotg
2
A
+(c - a)cotg
2
B
+ (a - b)cotg
2
C
= 0.
c) (b
2
- c
2
)cotgA + (c
2
- a
2
)cotgB + (a
2
- b
2
)cotgC = 0.
d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB + (a + b)cosC. e) sin
2
CB −
=
a
cb −
cos
2
A
.
f) cos
2
CB −
=
a
cb +
sin
2
A
. g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C).
h) cosA + cosB = 2
c
ba +
sin
2
2
C
. i)
r
1
=
a
h
1
+
b
h
1
+
c
h
1
.
3. Tam giác ABC có 2a = b + c chứng minh rằng:
a) 2sinA = sinB + sinC. b) tg
2
B
. tg
2
C
=
3
1
.
4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. R, r là bán kính đường tròn ngoại
tiếp, nội tiếp của tam giác. Chứng minh rằng:
a) r = 4R.cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C
. b) IA.IB.IC = 4Rr
2
.
c) cosA + cosB + cosC = 1 +
R
r
5. Các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng công sai
của cấp số cộng đó được xác định theo công thức sau: d =
2
3
r(tg
2
C
- tg
2
A
)
6. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc. Chứng minh
rằng: b
2
+ c
2
= 5a
2
.
7. Chứng minh rằng:
a
l
2
A
cos
+
b
l
2
B
cos
c
l
2
C
cos
=
a
1
+
b
1
+
c
1
.
8. Chứng minh rằng các trung tuyến Â' và BB' vuông góc với nhau khi: cotgC =
2(cotgA + cotgB).
9. Cho
b
c
=
c
b
m
m
≠ 1 chứng minh rằng : 2cotgA = cotgB + cotgC.
10. Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến. gọi α =
AMB
. Chứng minh rằng:
a) cotgα =
s4
cb
22
−
. b) cotgα = cotgC - cotgB. c) cotgα =
CsinBsin2
)cBsin(2 −
11. Chứng minh rằng
b
c
là nghiệm của phương trình:
(1 + x
2
-2xcosA)(b
2
- bc) = a
2
(1 - x).
12. Tam giác có 3 cạnh lần lượt là: (x2 +2); (x
2
- 2x +2);
(x
2
+ 2x + 2). Với giá trị nào của x(dương) thì tam giác đó tồn tại.
13. Cho m
a
= c. Chứng minh rằng:
Trang 7
a) bcosC = 3cosB. b) tgB = 3tgC. c) sinA = 2sin(B - C).
14. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. H chia đường cao xuất phất từ A theo tỉ số k
cho trước. Chứng minh rằng :
a) tgB.tgC = 1 + k. b) tgB + tgC = ktgA c) cos(B - C) = ( 1 +
k
2
)cosA.
15. Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng
minh rằng : cotg
2
A
cotg
2
C
= 3.
16. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tgA.tgB = 6;
tgC
tgA
=3. Chứng tỏ rằng: tgA,
tgB, tgC theo thứ tự đó lập 1 cấp số cộng.
17. Tam giác ABC có cotg
2
A
, cotg
2
B
, cotg
2
C
theo thứ tự lập một cấp số cộng.
Chứng minh rằng : a, b, c theo thứ tự cũng lập một cấp số cộng.
18. Tam giác ABC có: cotgA, cotgB, cotgC hteo thứ tự lập một cấp số cộng. Chứng
minh rằng a
2
, b
2
, c
2
theo thứ tự đó cũng lập một cấp số cộng.
19. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tgA = tgB + tgC. Chứng minh rằng
a) tgB.tgC = 3. b) cos(B- C) = 2cosA.
IV - NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN.
A. Chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi:
1. atgA + btgB = (a+b)tg
2
BA +
2. 2tgB + tgc = tg
2
B.tgC.
3.
)tgBtgA(
2
1
BcosAcos
BsinAsin
+=
+
+
4.
)BgcotAg(cot
2
1
BsinAsin
BcosAcos
22
22
22
+=
+
+
5.
Csin
Bsin.Asin2
2
C
gcot =
6. sin
2
A
cos.
2
B
sin
2
B
cos.
2
A
33
=
7. (p - b)cotg
2
B
tg.p
2
C
=
8.
22
ca4
ca2
Bsin
Bcos1
−
+
=
+
9. a
2
sin2B +b
2
sin2A=c
2
cotg
2
C
10. a.sin(B - C)+b.sin(C - A) = 0
11.
sin
2
A
cos.
2
B
sin
2
B
cos.
2
A
33
=
12. a = 2b.cosC. Chứng minh ∆ ABC cân tại A.
B.Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :
1.
tgC
tgB
Csin
Bsin
2
2
=
2. (b
2
+ c
2
)sin(C - B) = (C
2
- B
2
)sin(B - C)
3.
B2cos1
)CBcos(1
.2
b
)cb(
2
2
−
−−
=
−
4. sin(B - C)=
2
22
a
cb −
V. NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG.
A. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là:
1. cos2a + cos2B + cos2C = -1 2. tg2A + tg2B + tg2C = 0
3. sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC
B. Chứng minh tam giác vuông khi:
1.
Csin.Bsin
a
Ccos
c
Bcos
b
=+
2. cotg
2
B
=
b
ca +
Trang 8
3.
)bc(
bc
a
gAcot
Asin
1
≠
−
=+
4.
a
cb
gAcot
Asin
1 +
=+
5. cotg2C =
)gBcotgC(cot
2
1
−
6.
tgB
)BCsin(Asin
)CBcos(
=
−+
−
7.
tgA
AcosBsin
BcosAsin
=
+
+
8. sin
2
B
=
a2
ca −
9. cos
a2
ac
2
B +
=
10. tg
ac
ac
2
B
+
−
=
11. cos(B - C) =
2
a
bc2
12. S =
B2sina
4
1
2
13.
Ccos.Bcos.Asin
Ccos
1
Bcos
1
CsinBsin
=
+
+
14. 1 + cotg(45
0
- B) =
gAcot1
2
−
15. sin
4
C + 2sin
4
A + 2sin
4
B = 2sin
2
C(sin
2
A + sin
2
B)
16. 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15
17. (ĐHCĐ - 99) cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0
C. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn các điều kiện sau.
1. sin3A + sin3B + sin3C = 0 2. sin4A + sin4B + sin4C = 0
3. sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB
4. a
3
= b
3
+ c
3
5. c = Ccos2B + Bsin2B 6. (1+cotgA)(1 + cotgB) = 2
7. sin
2
A + sin
2
B =5sin
2
C 8.
a
l
1
c
1
b
1
=+
9. sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C ≤ 2 10. cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C ≤ 1
11. Chứng minh nếu trong tam giác ABC có:
sin
2
A
= sin
2
B
.sin
2
C
thì tg
2
B
. tg
2
C
=
2
1
và ngược lại.
12. Chứng minh rằng nếu a = 2c thì a
2
= bc + c
2
13 Trong tam giác ABC có đường cao CB cắt đường cao AD tại trung điểm H của
AD. Chứng minh rằng tgB.tgC = 2.
14. Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh huyền có độ dài bằng a.
Chứng minh rằng: sin
2
B
.sin
2
C
= l
b
.
2
c
a4
l
15. Cho tam giác vuông ABC tại A. Gọi I là góc giữa đường cao và đường trung
tuyến ứng với cạnh huyền. Chứng minh rằng: tg
2
I
= tg
2
CB −
16. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = BA chứng minh rằng:
tgB = 3tgC; sin A = 2sin(B - C)
17. (ĐHBK - 99) Cho A, B, C là 3 góc nhọn của một tam giác. Chứng minh rằng
điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức.
3)gCcotgBcotgA(cot
Csin
1
Bsin
1
asin
1
=++−++
18. (ĐHSP II - A99) Cho tam giác ABC với 3 góc đều nhọn. Chứng minh rằng:
(sinA)
2sinB
+ (sinB)
2sinC
+ (sinC)
2sinA
> 2
Bất đẳng thức trên có đúng không nếu tam giác ABC vuông, vì sao?
VI. BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
Trang 9
a. Hàm lồi lõm.
+ Tính chất hàm lồi:
)
2
yx
(f
2
)x(f)x(f
21
+
≤
+
∀x, y ∈ R
+ tính chất hàm lõm:
)
2
yx
(f
2
)x(f)x(f
21
+
≥
+
Ứng dụng 1: Xét hàm số y = sinx có y
"
= -sinx. Nếu x ∈ [0, π]
Còn thiếu
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. sinA + sinB +sinC ≤
2
33
2. 1 < sin
2
A
+ sin
2
B
+ sin
2
C
≤
2
3
3. 1 < cosA + cosB + cosC ≤
2
3
4. Sin
2
A + Sin
2
B + Sin
2
C ≥
4
9
5. 2 < cos
2
2
A
+ cos
2
2
B
+ cos
2
2
C
≤
4
9
6.
4
3
≤ sin
2
2
A
+ sin
2
2
B
+ sin
2
2
C
< 1.
7. sin
2
A
. sin
2
B
. sin
2
C
≤
8
1
8. sinA.sinB.sinC ≤
3
33
9. cosA.cosB.cosC ≤
8
1
10. cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C
≤
3
33
11. 1 + cosA.cosB.cosC ≥
3
.sinA.sinB.sinC 12.
Acos
1
+
Bcos
1
+
Ccos
1
≥ 6
13.
2
A
sin
1
+
2
B
sin
1
+
2
C
sin
1
≥ 6 14.
CsinBsinAsin
Csin.Bsin.Asin.2
++
≤
33
1
15. (1 +
Asin
1
) + (1 +
Bsin
1
) + (1 +
Csin
1
) ≥ 5 +
9
326
16. (1+
Asin
1
).(1+
Bsin
1
).(1+
Csin
1
).(1 +
Acos
1
)(1+
Bcos
1
)(1+
ccos
1
) ≥ 135 + 78
3
17. tg
2
A
+ tg
2
B
+ tg
2
C
≥
3
18. tg
2
2
A
+ tg
2
2
B
+ tg
2
2
C
≥ 1
19. tgA + tgB + tgC ≥ 3
3
. Với ∆ABC nhọn.
20. tg
2
A + tg
2
A + tg
2
A ≥ 9. Với ∆ABC nhọn. 21. tg
2
A
. tg
2
B
. tg
2
C
≥
33
1
22. cos
3
A + cos
3
A +
cos
3
A ≤
4
9
+
4
1
(cos3A + cos3B + cos3C).
23. 36r
2
≤ ab + bc + ca ≤ 9R
2
. 24. (a + b + c)(h
a
+ h
b
+ h
c
) ≥ 18S.
25. h
a
+ h
b
+ h
c
≥ 9r (
r
1
=
a
h
1
+
b
h
1
+
c
h
1
) 26. (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) ≤ abc
27. a
2
(b + c - a) + b
2
(a + c - b) + c
2
(a + b - c) ≤ 3abc.
28. a(b
2
+ c
2
- a
2
) + b(a
2
+ c
2
- b
2
) + c
2
(a
2
+ b
2
- c
2
) ≤ 3abc
29. a(b - c)
2
+ b(c - a)
2
+ c(a - b)
2
+ 4abc ≥ a
3
+ b
3
+ c
3
30.
c
l
ab
+
a
l
bc
+
b
l
ac
≤ 6R.
Trang 10
31.
a
r
1
+
b
r
1
+
c
r
1
≥ 3
3
2
abc)cba(r
R4
++
32.
2
a
m
+
2
b
m
+
2
c
m
≥
3
s
33. tg
2
A
+ tg
2
B
+ tg
2
C
+ cotg
2
A
+ cotg
2
B
+ cotg
2
C
≥ 4
3
34. a
4
+ b
4
+ c
4
≥ 16S
2
. 35. a
2
+ b
2
+ c
2
≥ 4S
3
36. a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
≥ 16S
2
.
Chứng minh ∆ABC đều khi thỏa mãn các điều kiện sau:
1. R = 2r 2. S =
3
2
R
2
(sin
3
A + sin
3
B + sin
3
C)
3.
AsincCsinbBsina
Ccos.cBcosbAcosa
++
++
=
R9
p2
=
=
−+
−+
Ccosb2a
a
acb
acb
.4
2
333
5.
=
−−
−−
=
4
3
Csin.Bsin
cba
cba
a
333
2
6.
−−
−−
=
=
cba
cba
a
4
1
Ccos.Bcos
333
2
7. A, B, C là nghiệm của phương trình: tgx - tg
2
x
=
3
32
8. 2(acosA + bcosB + c.cosC) = a + b + c
9. sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C.
10. cosA + cosB + cos2C + cos2A + cos2b + cos2C = 0
11. cotg
2
A + cotg
2
B + cotg
2
C = 1 12.
cba
Ccos.cBcosbAcosa
++
++
=
2
1
13.
CsinBsinAsin
CcosBcosAcos
++
++
= 3.cotgA.cotgB.cotgC. Với ∆ABC nhọn <TBS>
14.
≥+
≥+
Ccos2BcosAcos
Csin2BsinAsin
15. 3tg
2
A + tg
2
B + tg
2
C = tg
2
A. tg
2
B. tg
2
C
16.
Asin
1
2
+
Bsin
1
2
+
Csin
1
2
=
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin2
1
17. cotg
2
A
+ cotg
2
B
+ cotg
2
C
= tgA + tgB + tgC.
18. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn: cotg
2
A
+ cotg
2
B
cotg
2
C
= 9
Chứng minh tam giấc ABC là tam giác đều.
19. (ĐH Dược - 99) Cho tam giác ABC thỏa mãn:
2
1
cba
Ccos.cBcos.bAcos.a
=
++
++
(A, B, C là các góc của tam giác a = BC, b = CA, c = AB).
Chứng minh tamgiác ABC là tam giác đều.
20. (HVKTQS - 99) Chứng minh để tam giác đều, điều kiện cần và đủ là:
p + R = (2 + 3
3
).r
21. (ĐH Thủy Lợi - 99) Cho tam giác ABC thỏa mãn:
2cosA.sinB.sinC +
3
(sinA + cosB + cosC) =
4
17
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh.
Trang 11
22. (ĐHNT - 99) Các góc của tam giác ABC thỏa mãn:
cotgA + cotgB + cotgC = tg
2
A
+ tg
2
B
+ tg
2
C
Chứng minh tam giác ABC đều.
23. (HVKKTMM - 99) CM rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn điều kiện:
sinA + sinB + sinC =sin2A + sin2B + sin2C thì tam giác ABC là tam giác đều.
24. (Sỹ Quan - 99) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
3
333
a
cba
cba
=
−−
−−
và cosB.cosC =
4
1
thì tam giác đó là tam giác đều.
25. (ĐHAN - 99) Tam giác nhọn ABC có các góc thỏa mãn:
2
C
sin
1
2
B
sin
1
2
A
sin
1
Ccos
1
Bcos
1
Acos
1
++=++
Chứng minh
∆
ABC là tam giác đều.
26. (CĐSP Bắc Ninh - 99) Chứng minh nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
sin2A + sin2B + sin2C thì tam giác ABC đều.
27. ĐHSPHN - A - 01Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn:
Ccos.Bcos.Acos.2
1
C2sin
1
B2sin
1
A2sin
1
222
=++
Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
28. ĐHSPHN - B – 01 Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A, B, C của
tam giác đó thỏa mãn hệ thức: cos2A +
3
(cos2B + cos2C) +
2
5
= 0
29. ĐHSP VINH - D – 01
Cho tam giác ABC thỏa mãn: sin(A + B).cos(A - B) = 2sinA.sinB
Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
30. ĐHBK - A – 01 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1.
Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C của
tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi:
3
m
Csin
m
Bsin
m
Asin
cba
=++
31. ĐH MỎ - 01 Chứng minh rằng không tồn tại tam giác mà cả 3 góc trong của nó
đều là nghiệm của phương trình:
0)6x2sin
2
1
xsin7)(1xcos4(
2
=−−−
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
I. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
1. Phương trình lượng giác cơ bản.
a) sinx = m
+) Nếu m >1 hoặc m < -1 thì phương trình vô nghiệm.
+) Nếu -1 ≤ m ≤ 1 đặt m = sinα khi đó phương trình đã cho có hai họ nghiệm:
π+α−π=
π+α=
2nx
2kx
.(k, n∈ Z)
+) Chú ý: Các trường hợp đặc biệt: m = 0, 1, -1.
• Các giá trị đặc biệt: m = ±
2
1
, ±
2
2
, ±
2
3
.
• Sau khi giải phải biết kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác.
• Không được áp dụng công thức một cách máy móc. Ví dụ giải :
sinx = cosx.
Trang 12
b) cosx = m
+) Nếu m >1 hoặc m < -1 thì phương trình vô nghiệm.
+) Nếu -1 ≤ m ≤ 1 đặt m = cosα khi đó phương trình đã cho có hai họ nghiệm:
π+α−=
π+α=
2nx
2kx
.(k, n ∈ Z)
+) Chú ý: (giống ý a))
c) tgx = m
+) Với ∀ m∈R đặt m = tgα khi đó phương trình đã cho có một họ nghiệm: x = α +
kπ (k ∈ Z).
+) Chú ý: +/ Các giá trị đặc biệt: m = 0, ±
3
, ±
3
3
+/ Không được áp dụng công thức nghiệm một cách máy móc.
d) cotgx = m (như ý c,)
2) Phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
a) Dạng: asinx + bcosx = c
b) Phương pháp giải: Sử dụng khai triển hàm bậc nhất của sin, cos để đưa phương
trình về dạng: Asin(x + ϕ) = c
⇔
sin(x + ϕ) =
A
c
.
c) Điều kiện có nghiệm: -1 ≤
A
c
≤ 1
⇔
A
c
≤ 1
⇔
A
2
≥ c
2
hay
a
2
+ b
2
≥ c
2
.
3) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
a) Phương trình đưa về sin. b) Phương trình đưa về cos.
c) Phương trình có thể đưa về tg.
+) Phương trình có thể khai triển theo tg góc chia đôi.
+) Phương trình đẳng cấp với sin và cos.
d) Phương trình đối xứng với sin và cosin. e) Phương trình đối xứng với tg và cotg.
` f) Phương pháp đặt ẩn phụ trong góc.
4) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đánh giá.
5) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đại số.
II. BÀI TẬP.
1. sin3x.sin
3
x + cos3x.cos
3
x = 1 2. cosx +
3
sinx =
3
3. sinx + sin2x = 3 + sin3x 4. tgx +
3
cõtg = 1 +
3
5. 3cotg2x + 2
2
sin
2
x = (2 + 3
2
)cosx 6. sin2x + 2sinxcosx + 2cos
2
x =
2
1
7. sinxcossx -
2
(sinx + cosx) = -1 8. sin2x(sinx + cosx) = ±
2
9. sin2x + 4(cosx - sinx) = 4 10.
)
4
x(tg).
4
x(tg
xcosxsin
66
π
+
π
−
+
= -
4
1
11. sin2x + tgx = 2 12. sin2x + tgx + cos2x = 2 13.
xsin
1
2
+ sin
2
x = sinx +
xsin
1
14. 2(cos
2
x +
xcos
4
2
)= 9(cosx -
xcos
2
) +1 15.
xcos
1
2
+ cotg
2
x +
2
5
(tgx + cotgx) + 2 = 0
16. sin
3
(x -
4
π
) =
2
sinx 17. sin(
4
π
+
2
3
x) = 2sin
3
(
4
3π
+
2
x
) 18. sin
2
x + sin
2
2x = 1
Trang 13
19. sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x =
2
3
20. sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x + sin
2
4x = 2
21. cos
2
x + cos
2
2x =
2
1
22. cosx + cos2x + cos3x = 1
23. cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x = 1 24. cos
2
x + cos
2
2x +
cos
2
3x + cos
2
4x =
2
3
25. sinx.cos2x = sin2x.cos3x -
2
1
sin5x 26. sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos
2
x
27. sinx.sin2x.sin5x = 1 28. sin
4
x + (1 - sinx)
4
=
8
1
29. sin
4
x + (1 + sinx)
4
= 17
30. cos
4
x + (1 - cosx)
4
=
8
1
31. sin
4
x + cos
4
x -cos
2
x +
4
1
sin
2
2x = 2
32. sin
3
x + cos
3
x = 1 33. sin
3
x + cos
7
x = 1 34. sin
3
x + cos
7
x =
xcosxsin
1
66
+
35. sin
3
x +cos
3
x =
xcosxsin
1
44
+
36. sinx.sin2x.sin3x =
5
4
37. cosx.cos2x.cos3x =
5
4
38. sinx.sin2x.sin3x =
4
1
sin4x
39.
2
x
tg1
2
x
tg2
2
+
= y
2
- 4y +5 40. sin
3
x.sin3x + cos3x.cos
3
x = cos
3
4x.
41. sin3x.cos
3
x + cos3x.cos
3
x = a.(a = -
4
3
,
8
33
,
8
3
)
42.
32 +
.cosx +
32
sinx = m.(m = 1, 2) 43. cosx + 2cos2x =
6
17
+ cos3x.
44. 2tg
2
x +
2
cos
2
x = (1 + 2
2
)sinx. 45. 3sin2x + cosx =
3
11
- cos3x.
46.
31
31
tgx1
tgx1
).
31
31
1(
x2sin1
xsin21
+
−
+
+
−
+
−
+−
+
−
= 0. 47. 4cos
2
x + sinx.cosx + 3sin2x = 3.
48. sin
2
x - 4
3
sinx.cosx + 5cos
2
x =5. 49. (1-
1 1
2)sin x.cos x (sin x cosx) 0
2 2
− − + =
50. sin2x(sinx - cosx) = m.(m = ±
2
) 51.
)x
6
(gcot).
3
x(gcot
xcosxsin
44
−
ππ
+
+
=
8
7
.
52. cotgx - 2sinx = 1. 53. sinx + cotg
2
x
= 2. 54. cos2x + tg2x = 1.
55. 9cos
2
x +
xcos
4
2
= - 2(3cosx -
xcos
2
) + 15. 56.sin
2
x +
xcos
4
2
= - (sinx +
)
xsin
2
- 2.
57. 3tg
2
x +
xsin
3
2
+ m(tgx + cotgx) = 1.(m = 4) 58. sin
3
(x -
2
π
) = 2sinx.
59. sin(2x -
2
7π
) + sin(
2
3π
- 8x) + cos6x = 1. 60. sin
2
x + sin
2
2x =
2
a
.(a = 1, 3)
Trang 14
61. sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x = 2. 62. sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x +sin
2
4x =
2
5
.
63. cos
2
x + cos
2
2x = a (a = 0, 1, 2) 64. cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x = a (a =
2
3
, 3)
65. cos
2
x
+ cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x = 2 66. 2.sin
3
x + cos
2
2x = sinx
67. sin(x +
4
π
) = sin
3
x + cos
3
x 68. tgx - sinx = 1 - tgx.sinx
69. 2sin3x = cosx? 70. 6tg
2
x - 2cos
2
x = cos2x 71. sin
3
x + cos
7
x = 1
72. cosx.cos2x.cos3x =
5
4
73. cosx.cos2x.cos3x =
4
1
sin4x
74. cos
2
x + cosx.cosy + cos
2
y = 0 75. 2
2
.(sinx +cosx)cosy = 3 +cos2y
76. sin
2
x +
4
1
sin
2
3x = sinx.sin3x 77. sin
2
4x +cos
2
x = 2sin4x.cos
4
x
78. cos
2
3x +
4
1
cos
2
x = cos3x.cos
4
x 79. 2cos
3
x + cos2x + sin2x = 0
80. cos
3
x + sin3x = sinx – cosx 81. 2cos3x = sin3x
82. sin
2
2x - cos
2
8x = sin.
+
π
x10
2
17
83. tg
2
x =
xsin1
xcos1
−
+
84.
xcos
= -sin3x 85. cosx = cos
2
4
x3
86. cos2x = 2 - cos
4
x3
87.
2
cos
π
−
125
x
-
6
sin
π
−
125
x
= 2sin
π
+
3
2
5
x3
- 2sin
π
+
65
x3
88. (ĐHQG-D 99):
xcosxsin −
+
xcosxsin +
= 2
89. (ĐHQG -A 99): 8cos
3
π
−
3
x
= cos3x
90. (ĐHTN -A 99): cotg2x - tg
2
x =
xcos
1xcosxcos
2
32
−−
91. (ĐHSPII - B 99): 1 -
2
x
2
= cosx 92. (KTQD -99): sin
2
x + sin
2
3x = cos
2
2x + cos
2
4x
93. (ĐHTDTT-99): cos2x - 3cosx - 2 = 0 94. (ĐH MỞ -99): sin3x = 3sin - 2sin
2
x
95. (ĐH DƯỢC -99): sin
2
4x - cos
2
6x = sin(10,5
π
+ 10x)
96. (ĐHTCKT -99):
π
xsin
=
cox
97. (ĐHCĐ -99): 1+sinx+cosx+sin2x + cos2x = 0
98. (HVKTQS -99): ) 2sin
3
x - sinx = 2cos
3
x - cosx + cos2x
99. (ĐHY - HN -99): ) sinx - 4sin
3
x + cosx = 0
100.(HVBCVT -99): sin
π
+=
π
−
4
xsin.x2sin
4
x3
101.(ĐHGTVT-99): sin
4
x + cos
4
x =
−
π
π
+ x
6
gcot.
3
xgcot
8
7
102. (HVNH - 99): cos
3
x + cos
2
x + 2sinx - 2 = 0.
103. (CĐGTVT - 99):
2
sin2x(sinx + cosx) = 2.
104. (ĐHTL - 99): tg2x + sin2x =
2
3
cotgx. 105. (ĐHTS - 99):(sinx +cosx)
3
- 4sinx = 0
Trang 15
106. (ĐHKT - 99): 3tg
3
x - tgx +
xcos
)xsin1(3
2
+
- 8cos
2
−
π
2
x
4
= 0.
107. (ĐHNT - A - 99): sin3x.cos
3
x + sin
3
x.cos3x = sin
3
4x.
108. (ĐHNN - B - 99): cos
6
x + sin
6
x = cos
2
2x +
16
1
.
109. (ĐHNN - A - 99): 2sin
3
x - cos2x + cosx = 0.
110. (ĐH LUẬT - HN - 99): 4(sin3x - cos2x) = 5(sinx - 1).
111. (HVKTMM - 99): sin
8
x + cos
8
x =
32
17
.
112. (ĐH MỎ - 99): tgx.sin
2
x - 2sin
2
x = 3(cos2x + sinx.cosx).
113. (ĐHAN - 99): cotg
x
2
= tg
x
2
+ 2tg
1x
2
+
.
114. (ĐHQG B - 99): sin
6
x + cos
6
x = 2(sin
8
x + cos
8
x).
115. ĐHQGHN - A - 01: 2sin2x-cos2x = 7sinx + 2cosx - 4
116. ĐHQGHN - D - 01: sin3x = cosx.cos2x.(tg
2
x + tg2x)
117. ĐHSP - D - 01: tgx + 2c0tg2x = sin2x.
118. ĐHNN - 01: cos3x.cos
3
x - sin3x.sin
3
x = cos
3
4x +
4
1
119. ĐHBK - A - 01: sin2x + 2tgx = 3.
120. ĐH Mỏ - 01:
0)gxcot.x2gcot1(
xsin
2
xcos
1
48
24
=+−−
121. ĐHTL - 01:
)
2
x3
10
sin(
2
1
)
2
x
10
3
sin( +
π
=−
π
122. ĐHNNI - B: sin2x - cos2x = 3sinx +cosx - 2
123. ĐH Dược - 01:
x3gcotx2gcotxtgx3gcot.xgcot.xtg
2222
+−=
124. ĐHKTẾ - 01:
3xcos4xcos)28316(643 −=−−+
125. ĐHTCKT - 01:
0x2cos3x3sinxsin
222
=−+
126. ĐHTM - 01:
04gxcot5tgx5xtg2
xsin
2
2
2
=++++
127. ĐHCĐ - 01:
xsin21
2
x
cos
2
x
sin
44
−=+
128. ĐH HÀNG HẢI - 01:
)xsin1(22xsin4)
4
x2cos()
4
x2cos( −+=+
π
−+
π
+
129. ĐHAN - D - 01: sin2x = 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx
130. HVKTQS - 01:
xcos)232(xsin22xgcot3
22
+=+
131. HV QUÂN Y - 01: 3sinx + 2cosx = 2+ 3tgx
132. ĐH Y TB - 01:
+
π
−
π
++=
π
−+
π
−
π
− )x
3
cos()x
3
cos(xsin43)
8
x(cos2)
8
xcos()
8
xsin(32
22
133. HVNH - TPHCM - 01:
)x2sin1(2x3cos2x3cos
22
+=−+
134. ĐHAN - A - 01
1) Giải phương trình: 2cosx
xsinx28cos223x10n1s2 +=+
2) Tính giá trị biểu thức: P =
ooo2o2
70cos50cos70sin50sin −+
135. ĐHQGHN - A - 01 Chứng minh rằng :
Trang 16
2
13
24cos21cos15cos418cos12cos
ooooo
+
−=−+
136. TSĐH - B – 2002
x6cosx5sinx4cosx3sin
2222
−=−
137. TSĐH - A - 2002. Tìm nghiệm thuộc (0, 2π) của phương trình:
3x2cos
x2sin21
x3sinx3cos
xsin5 +=
+
+
+
138. TSĐH - A – 2003
x2sin
2
1
xsin
tgx1
x2cos
1gxcot
2
−+
+
=−
139. TSĐH - B - 2003 cotgx - tgx + 4sin2x =
x2sin
2
140. TSĐH - B - 2004 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tg
2
x.
DẠNG 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
I - CÁC DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
1) Dạng cơ bản:
a) sinx < m(1)
• Nếu m > 1 bất phương trình nhận mọi x là nghiệm.
• nếu m ≤ -1 bất phương trình vô nghiệm.
• Nếu -1 < m ≤ 1 đặt m = sinα ( -
2
π
< α ≤
2
π
) nghiệm (1) là:
π+α<<π+α−π− 2kx2k
b) sinx > m
• Nếu m < -1 nghiệm là mọi x
• nếu m ≥ 1 bất phương trình vô nghiệm.
• Nếu -1 ≤ m < 1 đặt đặt m = sinα ( -
2
π
< α ≤
2
π
) nghiệm (1) là:
π+α−π<<π+α 2kx2k
c) cosx < m , cosx > m, cosx ≤ m, cosx ≥m.
d) tgx < m, tgx ≤ m, tgx > m, tgx ≥ m
e) cotgx < m, cotgx ≤ m, cotgx > m, cotgx ≥ m
2) Phương pháp đặt ẩn phụ.
Như phương trình lượng giác.
II - BÀI TẬP LUYỆN.
Giải bất phương trình :
1) sin2x >
2
1
2) tg
2
x
< tgx. 3) sin3x >
2
3
. 4) sinx.
xsin
≤
2
1
.
5) sin
6
x + cos
6
x
≤
16
7
. 6)
xcos
1
≥
2
. 7) tg
2
x
≤
3. 8)
1xcosxsin
xcosxsin
+−
+
9)
xsin
1
> -2. 10)
xsin
1
< 2. 11) sin
2
x
≥
4
32 −
. 12)
1x2sin4
2xsin
−
−
> 2
13) cos
2
x <
4
1
14) sinx
xsin
≤
2
1
15)
xcosxsin
xcosxsin
−
+
>0 16)
4xcos3x2cos
2x2sin
−+
−
<0
17)
3
tgx + cotgx ≥
13
2
−
18)
xsin41
2
−
> 1+2cosx 19)
xcosxsin +
> 1
20) 4cos12x + 8cos6x + sinx ≥ -7 21) cos
2
x.sinx > -
18
7
22) sin
4
x + cos
4
x ≥
16
1
Trang 17
23) sin
3
x.sin3x - cos
3
x.cos3x < -
8
5
24) sin
6
x + cos
6
x ≤
4
1
25) sin
6
x + cos
6
x ≤
2
1
x2cos
8
15
−
26) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x ≤ 1
27) 2cos2x + sin
2
x.cosx + sĩncos
2
x > 2(sĩn + cosx) 28) 4(sin
4
x +cos
4
x) > 2sĩn.cosx + 3
29) sin3x >
≥≤≤ x2tg;
3
1
x2gcot;
2
1
x2cos;
2
3
1 30) sinx > sin3x; cos
2
x <
4
1
31)
1x2cosx2sin
1x2cosx2sin
−+
+−
≤ 0 32)
xcos21
xcos1
x2cos1
xcos
−
−
>
+
33) sinx + cosx > 1
34) sin2x.sin3x -cos2x.cos3x > sin10x 35) sinx + cosx > cos
6
π
36) sinx > 4
xcos3
3
37) 3cos
2
.sinx - sin
3
x ≤
2
1
38) 2 + tgx +cotgx < 0
39) tgx + cotgx < tg
4
π
40)
2xcosxsin <+
41)
1xcosxsin
3
3
≥+
42)
xcos
3
2
< 4tgx
DẠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
I - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
II - BÀI TẬP LUYỆN.
1.
π
=+
=
3
2
yx
2
1
ysin.xsin
2.
π
=−
=
6
yx
1tgy.tgx
3.
=+
=+
2ysinxsin
2ysinxsin
22
4.
π
=−
=+
3
yx
2
3
ycosxcos
5.
π
=+
=+
4
yx
2
1
ycosxsin
22
6.
π
−=+
π
+=+
)
4
xsin(2gycottgy
)
4
ysin(2gxcottgx
7.
π
=+
=
2
yx
4
3
ysin.xsin
8.
=+
−=+
2x2sin3y2sin
tgy.tgx1tgytgx
9.
π
=+
=
4
3
yx
2
1
ycos.xcos
10.
π
=+
−=
4
yx
625tgy.tgx
11.
π
=−
=
6
yx
4
3
ycos.xsin
12.
=−
=+
0yx
1ysinxsin
13.
π
=+
=+
2
yx
2
1
ycosxsin
22
14.
=+
=+
4
5
ysinxcos
2
3
ysinxsin
22
15.
−=+
−=+
1x2sin3y2sin
tgy.tgx1tgytgx
16.
=+
+=−
1y2cos3x2cos
tgy.tgx1tgytgx
17.
=+
−=
2ysinxsin
yxtgy.tgx
Với -
2
π
< x, y <
2
π
Trang 18
18.
π
−=+
π
+=+
)
3
ycos(2gxcottgx
)
3
xsin(2gycottgy
19.
=+
−=−
1ysinxsin
yxycosxcos
Với -
2
π
< x, y <
2
π
20.
=+
−=−
2tgytgx
yxysinxsin
Với -
2
π
< x, y <
2
π
HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT.
A - CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT.
I. HÀM MŨ
1) Định nghĩa:
2) Tính chất:
3) Đồ thị:
II. HÀM NGƯỢC
1) Định nghĩa:
2) Điều kiện đủ để hàm số có hàm ngược:
3) Đồ thị hai hàm số bgược nhau:
III. HÀM LOGARIT
1) Định nghĩa:
2) Tính chất:
3) Bảng biến thiên và đồ thị:
4) Các định lí về logarit:
B - BÀI TẬP.
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
I - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ:
1) Phương trình mũ cơ bản:
+ Dạng: a
f(x)
= a
g(x)
Với (a > 0, a ≠ 1)
⇔ f(x) = g(x)
+ Dạng: f(x)
g(x)
= f(x)
h(x)
⇔
=
≠
>
)x(h)x(g
1)x(f
0)x(f
f(x) = 1
2) Phương pháp logarit hóa:
3) Phương pháp đặt ẩn phụ:
Nguyên tắc của phương pháp đặt ẩn phụ đối với các loại phương trình và bất phương
trình là như nhau. Song tùy theo đặc thù của từng loại phương trình mà ta có những đặc
trưng riêng, đối với những phương trình mũ thường có các loại sau:
+) Đặt a
x
= t ⇒ Được phương trình đối với biến t.
+) Tích không đổi ( hay cho dưới dạng tích cơ số bằng 1).
+) Đẳng cấp.
4) Phương pháp đánh giá:
a) Phương pháp chung
Giả sử phải giải phương trình: f(x) = g(x) (1)mà ta đánh giá được:
≤
≥
A)x(g
A)x(f
Thì (1) có nghiệm khi và chỉ khi:
=
=
A)x(g
A)x(f
b) Đánh gia theo đồ thị:
Giả sử phải giải phương trình: f(x) = g(x).(1)
Trang 19
Mà ta đánh giá được: f(x) là hàm đồng biến còn g(x) là hàm nghịch
biến. Thì (1) có nghiệm duy nhất ( vì đồ thị hàm đồng biến chỉ cắt đồ thị hàm
nghịch biến tại 1 điểm). Thường ta sẽ nhẩm được nghiệm duy nhất này dưới
dạng nghiệm nguyên.
5) Phương pháp đại số:
II - BÀI TẬP LUYỆN:
1. 4
x
+ 2
x
- 6 = 0 2. 5
2x−
= 3 – x 3. 3
x
+ 4
x
= 5
x
4. 2
x2x
2
−
.3
x
= 1,5.
5. 5
x
1x
x
8.
−
= 500 6. x
x + 3
= 1 7.
2xx
2
x
−−
= 1 8. 5
1 + x
+ 5
1 - x
= 24
9. 2
x + 3
= 5
x
10. (x
2
- x + 1)
x2x
2
+
= 1 11. 4
x
+ 6
x
= 9
x
12. 2
x
+ 3
2
x
= 1
13. 2
3x+
= 3
5x2x
2
−+
14. 4
x
+ 4
-x
+ 2
x
+ 2
-x
= 10 15. 2
xcos−
=
xlog
π
+
x
log
π
16. 4
x
= 2.14
x
+ 3.49
x
17. 3.25
2x−
+ (3x - 10)5
2x−
+ 3 - x = 0
18. 9
x
+ 2(x - 3).3
x
= 5 - 2x 19.
)12.3(log
x
2
−
= 2x + 1 20. (
5
+ 2)
1x+
= (
5
- 2)
1x
1x
+
−
21.
3
x
)83( −
+
3
x
)83( +
= 2,5 22.
4 x
x
= x
4
x
23. 25
x
- 2(3 - x)5
x
+ 2x - 7 = 0
24. (
3
1
)
x
2
+ 3. (
3
1
)
1
x
1
+
= 12 25. 8 - x.2
x
+ 2
3-x
- x = 0 26. 2
x
+ 2
-x
= 2.cos
3
x
27. 2
x
= sin
2
x 28. 2
x
.3
x-1
.5
x-2
= 12 29. (5 -
21
)
x
+ 7(5 +
21
)
x
= 2
x+3
30. (26 + 15
3
)
x
+ 2. (7 + 4
3
)
x
- 2. (2 +
3
)
x
= 1
31. (7 + 3
5
)
x
+ 16. (7 - 3
5
)
x
= 2
x+3
32. 4
xsin
2
+ 2
xcos
2
= 2 +
2
33. 4
x
= 3.2
xx+
+ 4
x1+
34. 5
x
2
1+
-7.10
x
1
+2.4
x
1
=0 35. (20+14
2
)
3
x
+(20- 14
2
)
3
x
= 4
x
36. (9 -
45
)
2
x
+ 2
x−
(
30
-
6
)
x
= 2 37. (2 +
3
)
x
+ 2.(
2
26 +
)
x
= 3
38.
2
1
x
4
+
- 5.3
1x2 −
= 3
2
1
x−
- 4
x
39. ĐHQGHN – 00 (2 +
2
)
xlog
2
+ x. (2 -
2
)
xlog
2
= 1 + x
2
40. ĐHSP - D – 00 3
2x
- 8.3
x4x ++
- 9.9
4x+
= 0
41. ĐHTL – 00 2
1x2
2
+
- 9.2
xx
2
+
+ 2
2x2 +
= 0
42. ĐH Y HN – 00 2
3x
- 6.2
x
-
)1x(3
2
1
−
+
x
2
12
= 1
43. ĐHBK – 99 4
)x10lg(
- 6
xlg
= 2.3
)x100lg(
2
44. ĐHCĐ - 99 x
7xlog5xlog
3
2
3
+−
=
11x
1
11x
1
2
++
−
−+
45. ĐH MỎ - 01:
0x.36x
5
7
x3log
6
=−
46. ĐHSPHN - A - 01:
2x653
xx
+=+
DẠNG 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
I - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
1. Bất phương trình mũ cơ bản:
+Dạng: a
f(x)
> a
g(x)
(1)Với (a > 0, a ≠ 1)
Khác với phương trình mũ, tùy theo cơ số a ta sẽ áp dụng tính chất đồng biến hay
nghịch biến của hàm số mũ để biến đổi (1):
• Nếu 0 < a < 1 thì (1) ⇔ f(x) < g(x)
• Nếu a > 1 thì (1) ⇔ f(x) > g(x)
Trang 20
+Dạng: [f(x)]
g(x)
> [g(x)]
f(x)
(2)
Do ở (2) cơ số có chứa x nên ta phải đặt điều kiện f(x) > 0 và f(x) ≠ 1 (chú ý khi ở (2)
có dấu bằng) do đó ta có 2 trường hợp nghiệm sau:
<
<<
<
>
)x(g)x(f
1)x(f0
)x(f)x(g
1)x(f
2. Phương pháp Logarit hoá:
Phương pháp Logarit hoá trong việc giải bất phương trình mũ.
Vấn đề: Sau khi lấy logarit hoá hai vế thì chiều của bất phương trình sẽ lấy như thế
nào?
Khi đó tùy theo cơ số a của phép logarit hóa:
+Nếu 0 < a < 1 hàm log
a
x là nghịch biến khi lấy logarit hóa thì ta phải đổi chiều.
+Nếu a > 1 thì khi lấy logarit hóa cơ số a ta sẽ giữ nguyên chiều.
3. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Thông thường khi giải bất phương trình f(x) > g(x) (1). Việc giải trực tiếp theo biến x
gặp khó khăn thì ta thường đặt t = ϕ(x) để đưa (1) về bất phương trình của t đơn giản
hơn.
(1) ⇔ h(t) > 0 (2) (Hoặc là h(t)< 0).
Giải (2) thì tìm miền nghiệm của t, sau đó ta thay t = ϕ(x) để tìm miền nghiệm của biến
x.
4. Phương pháp đánh giá:
Trong phương trình mũ ta đã gặp 2 phương pháp đánh giá thì trong bất phương trình
mũ ta cũng gặp 2 phương pháp này, vấn đề là việc trình bày trong phương pháp đồ thị.
Bài toán: Giải bất phương trình: f(x) > g(x).
Trong đó: y = f(x) là hàm luôn đồng biến.
y = g(x) là hàm luôn nghịch biến.
Theo phương pháp về giải phương trình thì f(x) = g(x) có nghiệm, giả sử nghiệm là x
0
.
+Ta có x = x
0
⇔ f(x
0
) = g(x
0
) = d → x
0
không là nghiệm.
+Nếu x > x
0
→ f(x) > f(x
0
) = d =g(x
0
) > g(x) → x > x
0
là nghiệm của bất phương trình.
+Nếu x < x
0
→ f(x) < f(x
0
) = d = g(x
0
) < g(x) → x < x
0
không là nghiệm.
Vậy:
Nghiệm là x > x
0
.
II - BÀI TẬP LUYỆN.
Giải các bất phương trình mũ sau:
1. 9
x
- 2.3
x
- 15 > 0. 2. 4
x
- 10.e
x
+ 16 > 0. 3. 5.5
2x
-26.5
x
+ 5 > 0.
4. 3
x+1
+3
1-x
< 10 5.
11) x - (x
x2x2
2
≤+
+
6.
0
12
122
x
xx1
≥
−
+−
−
7.
x35
2x
−>
−
8.
5008.3
x
1x
x
<
−
9.
05x23).2x(29
xx
>−+−+
10.
12)
3
1
.(3)
3
1
(
1
x
1
x
2
<+
+
11.
02)13.(3
xx
≥−+
12.
0
12
1x22
x
x1
≤
−
+−
−
13.
2
12
1x24
x
x
<
−
+−
14.
1x
1x
1x
)25()25(
+
−
−
−≥+
15.
|1x|xx2x
)
3
1
(3
2
−−−
≥
16.
x1x
31
1
13
1
−
>
−
+
Trang 21
17.
7575)245(2
xxx
+≥−−+
18.
xxx
543 >+
19.
)24.(48
xx
−≤
20.
222
xx21xx21xx2
15.34925
−+−+−
≥+
21.
0x35).10x3(25.3
2x2x
≤−+−+
−−
22.
3x
1x
1x
3x
)310()310(
+
+
−
−
−<+
23. ĐHTCKT 98:
1xxxx
42.34
++
+≤
24. ĐHNN 98:
)32.(4)32)(347()32(
xx
+>−+++
25. HVBCVT 98:
2
x
1x21x
1223 <−
++
26. ĐHY HN 99:
163.32.2
xxx
−>+
27.
34)1132()113.2(
1x21x2
≤−++
−−
28.
xx2x2
5.9x2x53.5.x3x3x2x53
2
−−
+−+>+−+
29.
x22x2
3.x4x3x52.3.x2x2x3x52 +−−>+−−
30.
6x2x.3.233.xx4
2xx1x2
++<++
+
31. ĐHXD - 01:
)8e.x(xe.8x
1x21x4
−>−
−−
32. ĐH Y THÁI BÌNH – 01
x22x2
3.x42x5x3.x2.3x22x5x3 ++−−>++−−
33. ĐHSP - D - 01:
1
23
23.2
xx
2xx
≤
−
−
+
DẠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
I - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
1) Phương pháp cơ bản:
Là phương pháp mà trong đó có một phương trình của hệ có dạng cơ bản hoặc đưa hệ
về dạng cơ bản. Khi đó từ phương trình cơ bản ta rút ra được quan hệ hoặc được một
biến, thay vào các phương trình để giải các ẩn còn lại.
Ví dụ: giải hệ
=
=
+
+
12yx
12yx
xy
yx
2) Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ta thường đặt các biến:
=
=
)y(g
bv
au
)x(f
Để đưa hệ với các biến x, y thành hệ với các biến
u,v thường gặp( Đối xứng loại 1, loại 2, đẳng cấp )
Ví dụ: giải hệ
=+
=+
4yx
822
yx
3) Phương pháp đánh giá:
Là tổng hợp phương pháp đánh giá của việc giải phương trình. Có thể kết hợp các
phương trình của hệ để đánh giá.
Ví dụ: giải hệ
−≥+
≤+
2yx
122
yx
II - BÀI TẬP LUYỆN
Bài 1: Gải các hệ sau:
1)
=
=
182.3
123.2
yx
yx
Trang 22
2)
=
=
−
3
y
3
)
2
1
(4
xlog
yxx
9
3)
=−
=
2
1
xlogylog
x2
44
xy
4)
=+
=+
++
++−
18.y32.x2
22.y32.x
yxyx2
yx21yx
5)
≤++−−
=
−−
−−−
8)3y(1yy4
32
2
4y
3log3x2x
2
2
6)
−≥+
≤+
−−+
3log2y3x
24.34
4
1y21yx
7)
=
=
yx
yx
ba
yx
Với a, b > 0
8)
=
=
−+
y.xy.x
yx
22
yxyx
10)
≥+−−−
=
−
−+−
1)1y(2y33y
74
2
1y2
7log12x8x
4
2
11)
=
−+=+
−
5122
9yxyx2
y3x
22
12)
=
=+
++
1y
3yx
2xx
2
13)
=
=
−+
1y.x
yx
2
yxyx
14)
+=++
=+
+−+
1x1xyx3
2.322
2
x3y2y1x3
15)
=++−−
=
−
−−
8)3y(1yy4
53
2
y4
5log3x2x
3
2
16)
−=
+
=
4
x
y2
x
myx
99.
3
1
y2
x
y
1
a) Giải hệ khi m = 3
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
17)
=
=+
+
2464
126464
yx
y2x2
18)
=−
=−
723
7723
2
y
2
x
yx
2
2
19) ĐH MỎ - 01:
=−+
=+
−
−
06)yx(8
13)yx(
yx4
xy4
4
4
20) TSĐH - B - 2004. Giải hệ phương trình:
=+
=−−
25yx
1
y
1
log)xy(log
22
4
4
1
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
I - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
1) Phương trình logarit cơ bản:
+) Dạng: log
a
f(x) = b ⇔ f(x) = a
b
với 0 < a ≠ 1.
+) Dạng: log
a
f(x) = log
a
g(x) ⇔
=
>
>
)x(g)x(f
0)x(g
0)x(f
+) Dạng: log
)x(f
g(x) = log
)x(f
h(x) ⇔
=
≠<
>
>
)x(h)x(g
1)x(f0
0)x(g
0)x(h
2) Phương pháp mũ hóa:
Khi phương trình logarit không có cùng cơ số thì ta thường đưa phương trình này về
phương trình mũ không chính tắc bằng phương pháp mũ hóa:
Ví dụ: log
2
(1 +
x
) = log
3
x
3) Phương pháp đặt ẩn phụ:
Trang 23
4) Phương pháp đánh giá:
Như phương trình mũ.
II - BÀI TẬP LUYỆN
1. log
x
16 - log
x
2 =
2
1
. 2. log
x
log
3
(9
x
- 7) = 1 3. log
12
(
4
xx +
) =
2
1
.log
9
x
4. log
3
(3
3
x
+
) + log
3
(3
9
1x
+
+
) = 2 5. log
2
(x + 3
xlog
6
) = log
6
x 6. lg(
1x +
) = log
3
x
7. log3x + log
3
x + log
3
1
x = 6 8. log
2
x + log
8
x = 8 9. log
x
2.log
2x
2.log
2
4x = 1
10. log
9x
27 - log
3x
3 + log
9
243 = 0 11. log
x
2.log
2x
2 = log
8x
2
12. HVBCVT – 99 log
x
2
2 + log
2
4x = 3
13. ĐH Y HN – 99 log
5
x + log
3
x = log
5
3.log
9
225
14. ĐH THỦY SẢN - 99 log
x21−
(6x
2
- 5x + 1) - log
x31−
(4x
2
-4x +1) - 2 = 0
15. ĐHXD - 99 log
x
(cosx - sinx) - log
x
1
(cosx + cos2x) = 0
16. ĐHNNHN – 99 log
2
x - log
4
x = -
6
7
17. log
2
(x -
1x
2
−
).log
3
(x +
1x
2
−
) = log
6
(x-
1x
2
−
)
18. ĐH KINH TẾ - 00 (
13x4x
2
++−
).log
5
5
x
+
)16x2x8.(
x
1
2
+−−
= 0
19. ĐHBK - 00 log
4
(x + 1)
2
+ 2 = log
2
x4 −
+ log
8
(x + 4)
3
20. ĐHQG - 00 log
5
x = log
7
(x + 2)
21. ĐHTN - 00 log
9
(x
2
-5x + 6)
2
=
3xlog
2
1x
log.
2
1
3
3
−+
−
22. HVBCVT - 00 log
3
(x
2
+ x+ 1) - log
3
x = 2x - x
2
23. ĐHNT - 00 log
xsin
4.log
xsin
2
2 = 4
24. x
5,4xlg3xlg
22
−−
= 10
xlg2−
25. ĐHAN - A - 01
)1x(log2
2log
1
)1x3(log
2
3x
2
++=+−
+
26. ĐH LUẬT – 01
2
22
x4log6log
2
3.2xx2log.4 =−
27. ĐHNT TPHCM - A - 01
2x3x)
5x4x2
3xx
(log
2
2
2
3
++=
++
++
28. ĐHSP VINH - A - 01
)1xx(log)1xx(log).1xx(log
2
20
2
5
2
4
−−=−+−−
29. ĐHNNI - B - 01
2xlog)x2(log
x2
x
2
=++
+
30. ĐHKTQD - 01
4)21x23x6(log)x4x129(log
2
3x2
2
7x3
=+++++
++
31. TSĐH - A - 2002. Cho phương trình:
01m21xlogxlog
2
3
2
3
=−−++
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc [1, 3
3
].
DẠNG 5: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
I - CÁC PNƯƠNG PHÁP GIẢI.
1) Bất phương trình logarit cơ bản:
+) Dạng: log
a
f(x) > b ⇔ f(x) > a
b
Nếu a > 1.
⇔ f(x) < a
b
nếu 0 < a < 1
Trang 24
+) Dạng: log
a
f(x) > log
a
g(x) ⇔
>
>
)x(g)x(f
0)x(g
Nếu a > 1
⇔
<
>
)x(g)x(f
0)x(f
Nếu 0 < a < 1
+) Dạng: log
)x(f
g(x) > log
)x(f
h(x) ⇔
>>
>
<<
<<
0)x(h)x(g
1)x(f
)x(h)x(g0
1)x(f0
2) Phương pháp mũ hóa:
Như trong phần phương trình logarit
Ví dụ: giải bất phương trình log
2
(1 +
x
) > log
3
x.
3) Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ: giải bất phương trình
0xlog3xlog.7xlog.20
2
2
x
3
x16x4
>−+
4) Phương pháp đánh giá:
Ví dụ: giải bất phương trình
2)1x2(logxlog
52
>++
II - BÀI TẬP LUYỆN.
Giải các bất phương trình sau:
1.
2)3x8x5(log
2
x
>+−
2.
1xlog.x7log
7
−<
3.
1)x7(log)1x(log)1x(log
2
1
2
1
2
1
>−−++−
4.
1)x3(log
2
xx3
>−
−
5.
1x
1x
loglog
1x
1x
loglog
3
1
2
132
+
−
<
−
+
6.
3
x4
x26
log
3
a
>
−
−
7.
xlog2
xlog1
2
2
2
)64,0()25,1(
+
−
<
8.
2)7x5x(log)15x5x(log
2
3
2
2
≤+−+++−
9.
1x3x2log
1
2
3
1
+−
>
)1x(log
1
3
1
+
10. ĐH LUẬT – 99
)3x(log53xlogxlog
2
4
2
2
1
2
2
−>−+
11. ĐHQG A – 99
2
1x
1x8x
log
2
2
≤
+
++
12. ĐHQG D – 99
1)2x3x(log
2
2
1
≥+−
13. ĐHTC - 99
xlog4
x
32
log9
8
x
logxlog
2
2
1
2
2
3
2
2
1
4
2
<+−
14. ĐHTL – 99
)2x3x2(log1)2x3x2(log
2
2
2
4
++>+++
15. ĐH KIẾN TRÚC – 99
)1x(log.
11x2
1
log)1x(log2
5
1525
−
−−
≥−
16. ĐHNN – 99
2)xx(log
2
1x
>−
−
17.
0)16x2x8(
x
1
5
x
log)13x4x(
2
5
2
>++−+++−
Trang 25
