Đề HSG Toán 8 vòng huyện 09-10_có dáp án

Phòng GD- ĐT Hoà Bình KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm học: 2009-2010
Môn thi : Toán
Lớp: 8
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề )
ĐỀ:
Câu 1: ( 4 điểm) Cho biểu thức P =
842
44
23
2
−−+
++
xxx
xx

a. Rút gọn biểu thức P
b. Tìm giá trị của x để P có giá trị bằng
3
1−
Câu 2: ( 4 điểm)
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = ( x – 2 )(x – 5)( x
2
– 7x – 10)
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
B =
1
1
2
+− xx

Câu 3: ( 4 điểm ) Giải các phương trình sau:
a. x ( x
2
– 6x +11) = 6
b.
10
17
193
19
182
21
167
23
148
=
−
+
−
+
−
+
− xxxx
Câu 4: (4điểm)
Cho tam giác ABC (AB<AC) có đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng
a) NP là đường trung trực của AH.
b) Tứ giác MNPH là hình thang cân.
Câu 5: (4 điểm)
Cho
∆

ABC có diện tích bằng 30 (cm
2
). Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt
lấy M, N, D sao cho
1
3
AM BN CD
AB BC CA
= = =
. Tính diện tích
∆
MND?

- Hết-
Phòng GD – ĐT Hoà Bình HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
Năm học 2009-2010
Câu 1: a. P =
( )
( ) ( )
242
2
842
44
2
2
23
2
+−+
+
=

−−+
++
xxx
x
xxx
xx
( 0,75 đ)
=
( )
( )
( )
42
2
2
2
−+
+
xx
x
( 0,5 đ)
=
( )
( )( )( )
222
2
2
−++
+
xxx
x

( 0,75 đ)
=
2
1
−x
( 0,5 đ)
b. Tìm giá trị của x để P có giá trị bằng
3
1−
Ta có :
3
1−
=
2
1
−x
( 0,25 đ)

( )
32 =−−⇔ x
( 0,25 đ )

32 =+−⇔ x
( 0,25 đ)

1=−⇔ x
( 0,25 đ)

1−=⇒ x
( 0,25 đ)

Vậy với x = -1 thì P có giá trị bằng
3
1−
( 0,25 đ)
Câu 2: A = (x – 2)(x – 5)(x
2
– 7x – 10)
=
( )( )
107107
22
−−+− xxxx
( 0,5 đ)
=
( )
1001007
2
2
−≥−− xx
( 0,5 đ)
A
min
= -100 khi x
2
– 7x = 0 ( 0,5 đ)
Hay x ( x- 7) = 0 ( 0,25 đ)
Suy ra x = 0 ; x = 7 ( 0,25 đ)
b. B =
4
3

1
4
3
2
1
1
1
1
22
≤
+






−
=
+−
x
xx
( 0,75 đ)
hay
3
4
4
3
2
1

1
2
≤
+






−x
( 0,5 đ)
B
max
=
3
4
khi x -
2
1
= 0 ( 0,5 đ)
Hay x =
2
1
( 0, 25 đ)
: Câu 3 a. x ( x
2
– 6x +11 ) = 6

06116

3
=−+−⇔ xxx
( 0,5 đ)

⇔
( x – 3)(x-2)(x – 1) = 0 ( 0,5 đ)
Vậy S =
{ }
3;2;1
( 0,5 đ)
b.
10
17
193
19
182
21
167
23
148
=
−
+
−
+
−
+
− xxxx

04

17
193
3
19
182
2
21
167
1
23
148
=






−
−
+






−
−
+







−
−
+






−
−
⇔
xxxx
( 1đ)

0
17
125
19
125
21
125
23
125

=
−
+
−
+
−
+
−
⇔
xxxx
( 0,5đ )

( )
x−⇔ 125
0
17
1
19
1
21
1
23
1
=







+++
( 0,5 đ)
Vì
0
17
1
19
1
21
1
23
1
≠+++
( 0,5 đ)
Nên 125 – x = 0 suy ra x = 125 ( 0,25 đ)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 125 ( 0,25 đ)
Câu 4:


(vẽ hình, gt-kl đúng 0,5đ)

a) Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền
HN =
2
1
AC, HP =
2
1
AB (0,5đ)
Suy ra: NH = NA, PH = PA (0,5đ)

Nên: NP là đường trung trực của AH. (0,5đ)
b) Ta có: PN là đường trung bình tam giác ABC (PA = PB, NA = NC)
Suy ra PN // BC
⇒
PN // HM (H, M
∈
BC) (0,5đ)
⇒
Tứ giác MNPH là hình thang. (0,25đ)
Mặt khác: MP =
2
1
AC (tính chất đường trung bình) ( 0,5 đ)
HN =
2
1
AC (c/m trên) (0,25đ)
⇒
MP = HN (0,25đ)
Vậy hình thang MNPH có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân. (0,25đ)
MH
A
C
B
P
N
Câu 5 A

M
D ( vẽ hình 0,25 đ)

B N C
Ta có :
BA
BM
S
S
ABN
BMN
=
( chung đường cao từ N ) ( 0,5 đ)
Mà :
3
1
=
AB
AM
( 0, 25 đ)
Do đó :
3
13−
=
−
AB
AMAB
( 0,5 đ)
Hay :
3
2
=
AB

BM
( 0,25 đ)
Nên:
3
2
=
ABN
BMN
S
S
( 0,25 đ)
Tương tự :
3
1
==
BC
BN
S
S
ABC
ABN
( chung đường cao từ A ) ( 0,25 đ)
3
1
.
3
2
. =
ABC
ABN

ABN
BMN
S
S
S
S
( 0,5 đ)
9
2
=
ABC
BMN
S
S
( 0, 25 đ)
Tương tự:
9
2
;
9
2
==
ABC
ADM
ABC
DNC
S
S
S
S

( 0,5 đ)
Vậy: S
MND
= S
ABC
– S
ADM
– S
BMN
– S
DNC
( 0,25 đ)
=
3
1
S
ABC
= 10 ( cm
2
) ( 0,25 đ)
Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng được điểm tối đa của câu đó: