Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein ppsx

Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP 139

Chương 5

THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN

Thuyết tương đối hẹp Einstein là một môn cơ học tổng quát, áp dụng cho các
vật chuyển động với vận tốc từ rất bé cho đến cỡ vận tốc ánh sáng và coi cơ học
Newton như một trường hợp giới hạn của mình. Chương này nghiên cứu các tiên đề
của thuyết tương đối hẹp Einstein, phép biến đổi Lorentz cùng các hệ quả của nó và
động lực học tương đối tính củ
a chất điểm chuyển động.
§5.1 CÁC TIÊN ĐỀ CỦA THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN
Cơ học Newton đã đạt được nhiều thành tựu to lớn trong suốt hai thế kỷ đến
nỗi nhiều nhà vật lý trong thế kỷ 19 đã cho rằng việc giải thích một hiện tượng vật lý
bất kỳ đều có thể thực hiện được bằng cách đưa nó về một quá trình cơ học tuân theo
các định luật Newton. Tuy nhiên với sự phát triển của khoa học người ta đã phát hiện
ra các hi
ện tượng mới không nằm trong phạm vi của cơ học cổ điển. Chẳng hạn, người
ta đã gặp những vật chuyển động nhanh với vận tốc vào cỡ vận tốc ánh sáng trong
chân không (c = 3.10
8
m/s). Khi đó xuất hiện sự mâu thuẫn với các quan điểm của cơ
học Newton, cụ thể là không gian, thời gian và vật chất phụ thuộc vào chuyển động,
chứ không phải độc lập với chuyển động như Newton quan niệm. Người ta nhận xét
rằng cơ học Newton chỉ đúng đối với các vật chuyển động với vận tốc nhỏ hơn vận tốc
ánh sáng trong chân không r
ất nhiều. Để mô tả sự chuyển động với vận tốc so sánh
được với vận tốc ánh sáng, Einstein đã xây dựng môn cơ học tương đối tính, gọi là
thuyết tương đối hẹp, vào năm 1905.
Sự đúng đắn của thuyết tương đối hẹp Einstein cho đến nay không cần bàn cãi

gì nữa vì nó đã được thử thách qua vô số thí nghiệm trong suốt thế kỷ qua. Hiện nay
nó trở thành tiêu chuẩn để
đánh giá sự đúng đắn của mọi thí nghiệm vật lý. Nếu một
thí nghiệm nào đó mà kết quả mâu thuẫn với thuyết tương đối hẹp thì các nhà vật lý
không đặt vấn đề nghi ngờ thuyết tương đối mà mặc nhiên khẳng định rằng trong thí
nghiệm đặt ra có cái gì đó chưa ổn.
Thuyết tương đối hẹp Einstein xây dựng trên hai nguyên lý là nguyên lý tương
đối Einstein và nguyên lý bất biến củ
a vận tốc ánh sáng. Hai nguyên lý đó phát biểu
như sau:
1. Nguyên lý tương đối Einstein: Mọi định luật vật lý đều như nhau trong
các hệ quy chiếu quán tính.
2. Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng: Vận tốc ánh sáng trong
chân không đều bằng nhau theo mọi phương và đối với mọi hệ qui chiếu quán tính. Nó
có giá trị c = 3.10
8
m/s và là giá trị vận tốc cực đại trong tự nhiên.
Nguyên lý tương đối Einstein là sự mở rộng của nguyên lý tương đối Galilée.
Nguyên lý tương đối Galilée áp dụng cho các hiện tượng cơ học, nói rằng các định
luật cơ học là giống nhau trong các hệ quy chiếu quán tính. Còn nguyên lý Einstein
140 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt ẹieọn
m rng ra cho tt c cỏc nh lut vt lý núi chung. Theo Einstein thỡ tt c cỏc nh
lut ca t nhiờn l nh nhau trong tt c cỏc h quy chiu quỏn tớnh. Vy nguyờn lý
tng i Einstein ó m rng nguyờn lý tng i Galilộe t cỏc hin tng c hc
sang cỏc hin tng vt lý núi chung.
Nguyờn lý v s bt bin ca vn tc ỏnh sỏng phn nh rừ rng s khỏc nhau
v v
n tc tng tỏc trong hai lý thuyt c in v tng i. Trong lý thuyt tng
i, vn tc truyn tng tỏc l hu hn v nh nhau trong tt c cỏc h quy chiu
quỏn tớnh. Thc nghim chng t vn tc khụng i ny l cc i v bng vn tc

ỏnh sỏng trong chõn khụng c = 3.10
8
m/s. Trong c hc Newton, quan nim s tng
tỏc gia cỏc vt l tc thi, tc vn tc tng tỏc l vụ cựng. iu ny gii thớch c
do vn tc trong c hc c in cú giỏ tr rt bộ, v << c. Vỡ vy vn tc ỏnh sỏng cú th
coi l ln vụ cựng trong c hc c in. Nh vy v mt hỡnh thc cú th chuyn t
thuyt tng i Einstein sang c h
c Newton bng cỏch cho c trong cỏc cụng
thc ca c hc tng i tớnh.

Đ5.2. PHẫP BIN I LORENTZ
1 S mõu thun ca phộp bin i Galilộe vi thuyt tng i Einstein
Trong c hc c in Newton, thi gian l tuyt i cũn vn tc tuõn theo quy
lut cng vn tc. iu ny mõu thun vi thuyt tng i Einstein, trong ú thi
gian ph thuc chuyn ng v cụng thc cng vn tc (2.68) khụng cũn ỳng na.
chng minh nhn xột ny, ta hóy xột h quy chiu quỏn tớnh Oxyz v h quy chi
u
quỏn tớnh Oxyz chuyn ng dc theo trc Ox vi vn tc V. Ta t mt ngun
sỏng ti im A trờn trc Ox trong h O v hai im B v C i xng qua A nh
trờn hỡnh 5.1.
Hỡnh 5.1: Chng minh s
mõu thun ca phộp bin
i Galilộe vi thuyt tng
i Einstein.
z
O
y
x
B A C
z

x

y

O
Trc tiờn ta xột cụng thc cụng vn tc (2.68). Theo nguyờn lý tng i
Galilộe vn tc ỏnh sỏng trong h O theo chiu dng ca trc x s bng (c + V) cũn
theo chiu õm bng (c V). iu ú mõu thun vi nguyờn lý vn tc ỏnh sỏng bt
bin
i vi cỏc h quy chiu quỏn tớnh trong thuyt tng i.
Bõy gi xột n mõu thun v tớnh cht tng i v tuyt i ca thi gian.
i vi h O thỡ ngun sỏng A ng yờn vỡ nú cựng chuyn ng vi h O. Theo
thuyt tng i thỡ vn tc tớn hiu ỏnh sỏng truyn i mi phng u bng c nờn
Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP 141

trong hệ O’ các tín hiệu sẽ đến các điểm B và C cách đều A cùng một lúc. Nhưng các
tín hiệu sáng sẽ đến các điểm B và C không đồng thời trong hệ O. Trong hệ này vận
tốc truyền ánh sáng vẫn bằng c nhưng vì điểm B chuyển động đến gặp tín hiệu sáng
gửi từ A đến B còn điểm C chuyển động ra xa khỏi tín hiệu gửi từ A đến C, do đó
trong hệ O tín hiệu sáng sẽ gửi t
ới điểm B sớm hơn. Như vậy trong hệ O, theo thuyết
tương đối thì các điểm B và C nhận tín hiệu sáng không đồng thời, còn theo thuyết cơ
học cổ điển, các tín hiệu sáng đến B và C đồng thời do quan niệm thời gian không phụ
thuộc hệ tọa độ.

2 – Phép biến đổi Lorentz
Phép biến đổi Galilée dẫn tới quy luật cộng vận tốc (2.68), mà quy luật này
mâu thuẫn với nguyên lý v
ề sự bất biến của vận tốc ánh sáng. Như vậy phép biến đổi
Galilée không thỏa mãn các yêu cầu của thuyết tương đối. Phép biến đổi các tọa độ

không gian và thời gian khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác thỏa
mãn các yêu cầu của thuyết tương đối là phép biến đổi Lorentz.
Xét hai hệ quán tính Oxyz và O’x’y’z’, hệ O’ chuyển động so với hệ O với
vận tốc V theo phương x (Hình 5.2). Giả sử lúc đầu hai gốc O và O’ c
ủa hai hệ trùng
nhau. Gọi (x,y,z,t) và (x’,y’,z’,t’) là các tọa độ không gian và thời gian trong các hệ O
và O’.
Gốc tọa độ O’ của hệ O’ có tọa độ x’ =
0 trong hệ O’ và x = Vt trong hệ O. Do
đó biểu thức x - Vt phải triệt tiêu đồng
thời với tọa độ x’. Muốn thế phép biến
đổi tuyến tính phải có dạng:
z
O
y
x
V
G
z’
x’
y
’
O’
x’ = α(x – Vt) (5.1)
trong đó α là một hằng số nào đó.
Tương tự, gốc tọa độ O của hệ
O có
tọa độ x = 0 trong hệ O và x’ = -Vt’
trong hệ O’. Do đó ta có
x = β(x’ + Vt’) (5.2)

Theo nguyên lý tương đối
Einstein, mọi định luật vật lý đều như
nhau trong các hệ quy chiếu quán tính. Như vậy các phương trình (5.1) và (5.2) có thể
suy ra lẫn nhau bằng cách thay V
⇔
-V, x
⇔
x’ và t
⇔
t’, do đó β = α.
Hình 5.2: Minh họa phép biến đổi
Lorentz.
Theo nguyên lý bất biến của vận tốc ánh sáng, nếu trong hệ O ta có x = ct thì
trong hệ O’ ta có x’ = ct’. Thay các biểu thức này vào (5.1) và (5.2) ta được: ct’ =
α(ct – Vt) = αt(c – V) (5.3a)
ct = α(ct’ + Vt’) = αt’(c + V) (5.3b)
Nhân cả hai hệ thức với nhau ta đi tới phương trình: c
2
= α
2
(c
2
– V
2
)
142 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt ẹieọn
T ú ta cú:
2
2
1

1
c
V

=
(5.4)
Thay vo (5.1) v = vo (5.2) ta c:
2
2
1
c
V
Vtx
'x


=
;
2
2
c
V
1
Vt'x'
x

+
=
(5.5)
Mt khỏc s ph thuc gia t v t l:

2
2
2
1
c
V
x
c
V
t
't


=
;
2
2
2
c
V
1
x'
c
V
t'
t

+
=

(5.6)
Do h O chuyn ng dc theo trc x nờn y = y v z = z. Vỡ vy ta c cỏc cụng
thc bin i Lorentz nh sau:
x =
2
2
1
c
V
Vtx


; y = y; z = z; t =
2
2
2
1
c
V
x
c
V
t


(5.7)
x =
2
2
c

V
1
Vt'x'

+
; y = y; z = z; t =
2
2
2
c
V
1
x'
c
V
t'

+
(5.8)
T cỏc biu thc (5.7) v (5.8) ta thy rng khi c hay khi
c
V
0 thỡ
chỳng tr thnh: x = x Vt ; y = y ; z = z ; t = t (5.9)
x = x + Vt ; y = y ; z = z ; t = t (5.10)
ngha l tr thnh cỏc cụng thc bin i Galiộe trong c hc c in.
Đ5.3. TNH NG THI V QUAN H NHN QU
1 Tớnh ng thi
Trong mc 5.2.1 ta ó xột cỏc tớn hiu sỏng t im A n cỏc im B v C
nm trờn trc x ca h O. Cỏc tớn hiu sỏng n B v C ng thi trong h O nhng

khụng ng thi trong h O. kho sỏt mt cỏch tng quỏt tớnh ng thi trong cỏc
Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP 143

hệ quy chiếu quán tính, ta giả sử rằng trong hệ O có hai sự kiện A
1
(x
1
,y
1
,z
1
,t
1
) và
A
2
(x
2
,y
2
,z
2
,t
2
) với x
2
≠ x
1
. Hệ O’ chuyển động với vận tốc V so với hệ O theo trục x.
Khoảng thời gian trong hệ O là t

2
– t
1
. Khi đó khoảng thời gian của hai sự kiện này
trong hệ O’ là:
t’
2
– t’
1
=
2
2
12
2
12
1
c
V
)xx(
c
V
tt
−
−−−
(5.11)
Từ (5.11) thấy rằng, nếu hai sự kiện A
1
và A
2
xảy ra đồng thời trong hệ O, nghĩa là t

2

= t
1
, hay t
2
– t
1
= 0, thì trong hệ O’ ta có t’
2
≠ t’
1
, tức là hai sự kiện A
1
và A
2
không xảy
ra đồng thời trong hệ O’, trừ trường hợp x
2
= x
1
.
Vậy khái niệm đồng thời là khái niệm tương đối, hai sự kiện có thể xảy ra
đồng thời trong hệ quán tính này nhưng không đồng thời trong hệ quán tính khác.
2 – Quan hệ nhân quả
Liên hệ nhân quả là một liên hệ giữa nguyên nhân và kết quả. Nguyên nhân
bao giờ cũng xảy ra trước kết quả, quyết định sự ra đời của kết quả. Giả sử sự kiện
A
1
(x

1
, t
1
) là nguyên nhân và A
2
(x
2
, t
2
) là kết quả thì t
2
> t
1
. Để xét trong hệ O’, ta chú ý
rằng trong hệ O thì x
1
= vt
1
và x
2
= vt
2
, do đó
t’
2
– t’
1
=
2
2

12
2
12
1
c
V
)vtvt(
c
V
tt
−
−−−
=
2
2
2
12
1
1
c
V
c
Vv
)tt(
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
−−
(5.12)
Do v < c và V < c nên khi t
2
> t
1
ta có t’
2
> t’
1
. Như vậy trong hệ O’, sự kiện A
1
cũng
là nguyên nhân và sự kiện A
2
cũng là kết quả. Vậy thứ tự nhân quả được tôn trọng
trong các hệ quy chiếu quán tính.

§5.4 SỰ CO NGẮN LORENTZ
Ta hãy so sánh độ dài và
khoảng thời gian trong hai hệ quán
tính O và O’.
Hình 5.3: Minh họa sự co ngắn
Lorentz.
z
O
y
x
z’

x’

y
’
O’
V
1 2
x
2
x’
2
x
1
x’
1
1 – Độ dài:
Giả sử có một thanh đứng
yên trong hệ O’ (Hình 5.3), đặt dọc
theo trục O’x’, độ dài của nó trong
hệ O’ là: ∆x’ = x’
2
– x’
1
Độ dài của nó trong hệ O là:
∆x = x
2
– x
1
.
144 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt ẹieọn

Dựng cỏc biu thc:
2
2
22
,
2
c
V
1
Vtx
x


=
;
2
2
11
,
1
c
V
1
Vtx
x


=

ta xỏc nh c di trong h O:

x = x
2
x
1
=
2
2
1212
c
V
1
)tV(t)x(x


(5.13)
Nu di x c o trong h O ti cựng mt thi im t
2
= t
1
, thỡ
2
2
12
12
c
V
1
xx
x'x'

=
hay
2
2
c
V
1x'x =
(5.14)
Vy di dc theo phng chuyn ng ca thanh trong h O nh hn trong
h O, ngha l di thanh trong h quy chiu m thanh chuyn ng ngn hn
di ca thanh trong h m thanh ng yờn. Núi khỏc i, khi vt chuyn ng, kớch
thc ca nú b co ngn theo phng chuyn ng, gi l s co ngn Lorentz. Do ú
mt qu cu t trờn con tu v tr chuyn
ng rt nhanh so vi Trỏi t thỡ phi hnh
gia trờn tu v tr nhỡn thy nú cú dng hỡnh cu cũn ngi quan sỏt ng trờn Trỏi
t thy nú cú dng hỡnh bu dc, co ngn theo phng chuyn ng ca tu v tr.
Nh vy di cú tớnh tng i, ph thuc vo chuyn ng. Khi h O chuyn ng
vi vn tc V << c thỡ cụng thc (5.14) tr thnh x x, ngha l di khụng ph
thuc vo chuyn ng nh
ó quan nim trong c hc c in.
2 Khong thi gian
Ta hóy xột hai s kin ti cựng mt im (x,y,z) trong h O. Khong thi
gian gia hai s kin ny l t = t
2
t
1
. Ta hóy xỏc nh khong thi gian gia hai
s kin ny trong h O. S dng (5.6):
2

2
2
2
2
1
c
V
'x
c
V
t
t
,

+
=
;
2
2
2
1
1
1
c
V
'x
c
V
t
t

,

+
=

Ta cú:
2
2
,
1
,
2
12
c
V
1
tt
ttt


==
hay t = t
2
2
c
V
1
(5.15)
Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP 145

Như vậy khoảng thời gian ∆t’ của một quá trình trong hệ O’ chuyển động bao giờ
cũng nhỏ hơn khoảng thời gian ∆t xảy ra của cùng quá trình đó trong hệ O đứng yên. Nếu
trong hệ O’ gắn một đồng hồ và trong hệ O cũng gắn một đồng hồ thì khoảng thời gian của
cùng một quá trình xảy ra được ghi trên đồng hồ của hệ O’sẽ nhỏ hơn khoảng thờ
i gian ghi
trên đồng hồ của hệ O. Điều đó có nghĩa là đồng hồ chuyển động chạy chậm hơn đồng hồ
đứng yên. Thời gian được tính theo đồng hồ chuyển động cùng với vật được gọi là thời gian
riêng của vật đó. Vậy thời gian riêng luôn luôn bé hơn thời gian được tính theo đồng hồ
chuyển động đối với vật. Như vậy khoảng th
ời gian có tính tương đối và phụ thuộc vào chuyển
động. Khi vận tốc V của hệ O’ rất nhỏ hơn vận tốc ánh sáng c thì từ công thức (5.15) ta có ∆t’
≈ ∆t, tức là khoảng thời gian không phụ thuộc vào chuyển động như đã quan niệm trong cơ
học cổ điển,
3 – Khoảng không - thời gian
Sự bất biến của vận tốc ánh sáng dẫn đến kết quả là không gian và thời gian liên quan
với nhau và chúng lập thành một không – thời gian duy nhất. Mối liên hệ đó có thể được biểu
diễn nhờ không – thời gian 4 chiều tưởng tượng mà theo ba trục người ta đặt các tọa độ không
gian x, y, z còn trục thứ tư là trục thời gian t, hay chính xác hơn, là tọa độ thời gian ct, có cùng
thứ nguyên như tọa độ không gian. Một biến cố nào đó trong không – thời gian 4 chiều ứng
với các tọa độ x, y, z, ct. Ta gọi đó là đi
ểm vũ trụ. Một đường nào đó trong không gian 4 chiều
gọi là đường vũ trụ. Bình phương khoảng cách ∆s
2
giữa hai điểm vũ trụ được gọi là bình
phương khoảng không - thời gian, liên hệ qua bình phương khoảng cách không gian ∆A
2
= ∆x
2

+ ∆y

2
+ ∆z
2
và bình phương khoảng thời gian c
2
∆t
2
như sau:
∆s
2
= c
2
∆t
2
- ∆A
2
= c
2
∆t
2
- ∆x
2
- ∆y
2
- ∆z
2
(5.16)
Khoảng không – thời gian trong không gian 4 chiều ∆s

bất biến khi chuyển từ hệ quán

tính này sang hệ quán tính khác. Thật vậy, giả sử trong hệ Oxyzt khoảng này là ∆s, được xác
định theo công thức (5.16). Khoảng không - thời gian trong hệ Ox’y’z’t’ chuyển động với vận
tốc V dọc theo trục Ox là ∆s’, được xác định như sau:
∆s’
2
= c
2
∆t’
2
- ∆A’
2
= c
2
∆t’
2
- ∆x’
2
- ∆y’
2
- ∆z’
2
(5.17)
Sử dụng các công thức (5.11) và (5.13) ta có :
∆t’ =
2
2
2
c
V
1

∆x
c
V
∆t
−
−
và ∆x’ =
2
2
c
V
1
V∆∆x
−
−
t
, mặt khác ∆y’ = ∆y ; ∆z’ = ∆z
Từ các công thức này có thể suy ra rằng: ∆s’
2
= ∆s
2
(5.18)
nghĩa là khoảng không - thời gian bất biến khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính
khác. Từ sự bất biến đó ta suy ra sự bất biến của khoảng thời gian riêng như sau:
Từ công thức : ∆t’ = ∆t
2
2
c
V
1−

,
146 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt ẹieọn
ta cú : t =
c
1
222
t)(Vtc =
c
1
222
tc A =
c
1
s (5.19)
Trong ú A = Vt. Cụng thc (5.19) cho thy rng khong thi gian riờng t l vi khong
khụng - thi gian gia hai bin c. Khong ny bt bin nờn khong thi gian riờng cng bt
bin, tc l khụng ph thuc vo s chuyn ng ca vt ó cho c quan sỏt trong h quy
chiu no.
Vớ d 5.1: Vt chuyn ng phi cú vn tc bao nhiờu chiu di ca nú
gim i 25%.
Gii

Chiu di x ca vt chuyn ng vi vn tc v liờn h vi chiu di x ca
vt ú ng yờn nh sau:
2
2
c
V
1x'x =
=

2
1x'
trong ú = v/c.
gim tng i ca chiu di l: =
x'
xx'

= 1 -
2
1
T ú suy ra: =
2
)(11 . Thay s = 0,25 ta c = 0,6614.
Vy vn tc ca vt: v = c = 0,6614ì3.10
8
1,99.10
8
m/s.

Vớ d 5.2: Cú hai con tu v tr vi
di bng nhau v bng x = 230 m.
Chỳng i ngc chiu nhau vi vn tc tng
i v (Xem hỡnh v). Mt ngi v trớ A ca
con tu 1 o c khong thi gian nhỡn thy
t u B n u C ca con tu th 2 l t =
3,57 às. Hóy xỏc nh vn tc tng i v gia hai con tu.
Tu 1
A
Tu 2
v

B C
Gii
Gi AB l s kin i
m A trựng vi im B cũn AC l s kin im A trựng
vi im C. Khong thi gian gia hai s kin AB v AC o bi ngi tu 1 ti v
trớ A l t = 3,57 às. di ca tu 2 do ngi núi trờn o c l: x = vt =
ct
Trong ú = v/c. Mt khỏc, di x ca tu 2 do ngi tu 1 o c liờn h vi
di riờng x ca tu 2 nh sau:
x = x
2
1
T hai cụng thc trờn ta c: ct = x
2
1
Nghim ca phng trỡnh ny l: =
22
')(c
'
xt
x
+


Thay s : c = 3.10
8
m/s; t = 3,57 às = 3,57.10
-6
s; x = 230 m
ta c: = 0,210. Do ú v = 0,210ì3.10

8
m/s = 0,63.10
8
m/s.
Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP 147

Ví dụ 5.3: Trong hệ quán tính O một chớp sáng xanh phát ra tại thời điểm t
B

và một chớp sáng đỏ phát tiếp theo sau
đó tại thời điểm t
R
, khoảng thời gian
giữa hai chớp sáng là ∆t = t
R
– t
B
= 5,35
µs. Nguồn sáng xanh nằm tại tọa độ x
B

còn nguồn sáng đỏ nằm tại tọa độ x
R
,
khoảng cách giữa hai nguồn sáng là ∆x
= x
R
– x
B
= 2,45 km. Hệ quán tính O’

chuyển động dọc theo trục x với vận tốc
v so với hệ O và β = v/c = 0,855. Hãy
xác định khoảng cách và khoảng thời
gian giữa hai nguồn sáng trong hệ O’.
y
z
x
×
x
B
t
B
×
x
R
t
R
y’
z’
x’
O’
O
Giải
Theo (5.11) và (5.13) thì:
t’
R
– t’
B
=
2

2
BR
2
BR
c
v
1
)x(x
c
v
tt
−
−−−
hay ∆t’ =
2
β1
c
∆x
β∆t
−
−

x’
R
– x’
B
=
2
2
BRBR

c
v
1
)tv(t)x(x
−
−−−
hay ∆x’ =
2
β1
βc∆t∆x
−
−
,
trong đó β = v/c. Thay số: ∆t = t
R
– t
B
= 5,35 µs = 5,35.10
-6
s;
∆x = x
R
– x
B
= 2,45 km = 2,45.10
3
m; β = 0,855 ; c = 3.10
8
m/s ,
ta được: ∆x’ = 2078 m = 2,08 km và ∆t’= -3,147.10

-6
s = -3,15 µs.
Kết quả trên cho thấy trong hệ O’, do ∆x’ > 0 nên tọa độ nguồn sáng đỏ x’
R

> x’
B
như trong hệ O nhưng khoảng cách giữa hai nguồn bằng 2,08 km, nhỏ hơn
khoảng cách giữa hai nguồn trong hệ O (2,45 km). Về mặt thời gian, do ∆t’ < 0 nên t’
R

< t’
B
, tức là nguồn sáng đỏ chớp trước nguồn sáng xanh, điều này ngược lại thứ tự
trong hệ O, tại đó nguồn sáng xanh chớp trước nguồn sáng đỏ.

§5.5. TỔNG HỢP VậN TốC
Giả sử u là vận tốc của một chất điểm đối với hệ O và u’ là vận tốc cũng của
chất điểm đó đối với hệ O’. Ta hãy xác định công thức tổng hợp vận tốc liên hệ giữa u
và u’. Từ (5.7) ta có:
2
2
1
c
V
Vdtdx
'dx
−
−
=

;
2
2
2
1
c
V
dx
c
V
dt
'dt
−
−
=

148 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt ẹieọn
Do ú:
x
2
x
2
,
x
u
c
V
1
Vu
dx

c
V
dt
Vdtdx
dt'
dx'
u


=


==
(5.20a)
hay:
,
x
2
,
x
u
c
V
1
Vu
u
+
+
=
x

(5.20b)
Trong ú: u
x
=
d
t
dx
.

x
2
2
2
y
2
2
2
,
y
u
c
V
1
c
V
1u
dx
c
V
dt

c
V
1dy
dt'
dy'
u


=


==
(5.21)
x
z
,
z
u
c
V
c
V
u
dx
c
V
dt
c
V
dz

'dt
'dz
u
2
2
2
2
2
2
1
11


=


==
(5.22)
Cỏc cụng thc (5.20) (5.22) biu din quy lut tng hp vn tc trong thuyt
tng i.T cỏc cụng thc ny suy ra tớnh bt bin ca vn tc ỏnh sỏng trong cỏc h
quy chiu quỏn tớnh.
Tht vy nu u
x
= c thỡ: u
x
=
c
c
c
V

Vc
=


2
1

Khi cỏc giỏ tr vn tc V, u
x
v u
x
rt bộ so vi vn tc ỏnh sỏng thỡ cỏc cụng thc tng hp vn
tc (5.20a) v (5.20b) tr thnh: u
x
= u
x
V v u
x
= u
x
+ V
ú chớnh l cỏc cụng thc tng hp vn tc trong c hc c in Newton.

Đ5.6. NG LNG V KHI LNG CA CHT IM CHUYN NG
Phng trỡnh c bn ca chuyn ng cht im trong trng hp c in l:

dv
Fmam
dt

==
(5.23)
hay:
dp
F
dt


=
(5.24)
Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP 149

trong đó là động lượng của chất điểm chuyển động với vận tốc và có
khối lượng m không đổi. Trong cơ học tương đối, phương trình (5.23) không còn phù
hợp mà phải dùng phương trình (5.24), trong đó khối lượng trong công thức của động
lượng
pmv
→→
= v
→

p
G
không còn là một hằng số mà thay đổi theo vận tốc của chất điểm. Các công
thức đối với động lượng và khối lượng có dạng như sau:

2
2
o

c
v
1
vm
vmp
−
==
G
G
G
(5.25)
2
2
o
c
v
1
m
m
−
=
(5.26)
Trong các công thức (5.25) và (5.26), m là khối lượng động, nghĩa là khối
lượng của chất điểm trong hệ mà nó chuyển động với vận tốc v, còn m
0
là khối lượng
tĩnh, tức là khối lượng của chất điểm trong hệ mà nó đứng yên. Như vậy khối lượng
trong các công thức (3.23) và (3.24) của cơ học cổ điển là khối lượng tĩnh vì khi vận
tốc v << c thì
2

2
c
v
1−
≈ 1 và m ≈ m
0
.
Bây giờ ta hãy nêu ra lặp luận suy ra các công thức (5.25) và (5.26). Theo
định nghĩa trong cơ học cổ điển thì động lượng được xác định theo công thức:
p = m
0
v = m
0
∆
t
∆x
(5.27)
Trong đó ∆x là khoảng đường của hạt chuyển động được đo bởi người quan sát còn ∆t
là thời gian cũng do người quan sát đo được. Tuy nhiên trong cơ học tương đối, động
lượng xác định theo phương pháp đo như vậy không bảo toàn đối với tất cả các hệ
quán tính. Để khắc phục khó khăn đó, trong cơ học tương đối, động lượng được định
nghĩa lại như sau:
p = m
0
't
x
∆
∆
(5.28)
Trong đó ∆t’ là thời gian đo bởi người cùng chuyển động với hạt mà không phải đo

bởi người quan sát hạt. Đối với người chuyển động cùng với hạt thì hạt đứng yên, do
đó ∆t’ là thời gian riêng của hạt chuyển động.
Theo (5.15) thì ∆t’ =
2
2
c
v
1∆t −
hay
2
2
c
v
1
1
∆t'
∆t
−
=
(5.29)
150 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt ẹieọn
T (5.28) v (5.29) ta c: p = m
0
t
x


.
t'
t

= m
0
v
2
2
c
v
1
1

(5.30)
Cụng thc ny nu vit di dng vector ta c cụng thc (5.25), trong ú
khi lng tuõn theo cụng thc (5.26). Theo cụng thc (5.26) khi lng ca vt tng
lờn khi nú chuyn ng.
Đ5.7. NNG LNG CA CHT IM CHUYN NG
1 Cụng thc W = mc
2
Khi ht chuyn ng di tỏc dng ca ngoi lc, nng lng ca nú thay i.
bin thiờn nng lng ca cht im bng cụng ca ngoi lc tỏc dng lờn cht
im ú: dW = dA (5.31)
n gin ta xột trng hp ngoi lc
cựng hng vi chuyn di
. Khi ú: dW = dA = = F ds (5.32)
F

sd
G
F

ds

Thay F =
d
t
dp
vo (5.32), trong ú p xỏc nh theo (5.30), ta cú:
dW =
ds
c
v
1
vm
dt
d
2
2
0

=
ds
dt
dv
c
v
1c
vm
dt
dv
c
v
1
m
2/3
2
2
2
2
0
2
2
0

+


Mt khỏc:
vdv
dt
ds
dvds
dt
dv
==

Do ú: dW =
2/3
2
2
0
2
2
2
2
2
2
0
c
v
1
vdvm
c
v
1c
v
1
c
v
1
vdvm

=























+

(5.33)
T cụng thc m =
2
2
0
c
v
1
m

suy ra: dm =
vdv
c
v
1c
m
2/3
2
2
2
0

(5.34)
Kt hp hai cụng thc (5.33) v (5.34) ta cú: dW = c
2
dm (5.35)
Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP 151

Tích phân biểu thức (5.35) ta được: W = mc
2
+ C (5.36)
Trong đó C là hằng số. Từ điều kiện W = 0 khi m = 0 ta có C = 0.
Vậy: W = mc
2
(5.37)
Công thức này xác định mối liên hệ giữa khối lượng tương đối tính và năng
lượng toàn phần của vật, thường gọi là công thức Einstein.
2 – Năng lượng tĩnh và động năng
Năng lượng toàn phần W của chất điểm bằng tổng số của năng lượng tĩnh W
0

khi nó đứng yên và động năng W
d
khi nó chuyển động:
W = W
0
+ W
d
(5.38)
Năng lượng tĩnh của chất điểm đứng yên là: W
0
= m

0
c
2
(5.39)
Năng lượng tĩnh là nội năng của hạt, không liên quan đến sự chuyển động của nó. Đối
với một vật phức tạp gồm nhiều hạt thành phần thì năng lượng tĩnh của vật gồm năng
lượng tĩnh của các hạt thành phần, động năng chuyển động của các hạt thành phần đối
với khối tâm của vật và năng lượng t
ương tác giữa chúng. Thế năng của vật trong
trường lực ngoài không tham gia vào năng lượng tĩnh cũng như năng toàn phần của
vật. Cần lưu ý rằng thuật ngữ “năng lượng toàn phần” trong cơ học tương đối tính có ý
nghĩa khác so với trong cơ học cổ điển. Trong cơ học Newton, năng lượng toàn phần
là tổng động năng và thế năng của hạt còn trong cơ
học tương đối, năng lượng toàn
phần là tổng năng lượng tĩnh và động năng của hạt.
Động năng: W
d
= W – W
0
= mc
2
– m
o
c
2
= m
o
c
2

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
1
c
v
1
1
2
2
(5.40)
Trong trường hợp cổ điển, khi v << c, thì
2
2
2
2
c

v
2
1
1
1
c
v
1
1
−
≈
−
.
Do đó: W
d
= m
0
c
2

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜

⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
1
c
v
1
1
2
2
2
0
2
2
2
0
vm
2
1
c
v
2
1
cm =≈
(5.41)
Công thức này trùng với động năng trong cơ học cổ điển.
3 – Liên hệ giữa năng lượng và động lượng:

Viết lại công thức Einstein như sau:
152 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện
W = mc
2
=
2
2
2
0
c
v
1
cm
−
hay
42
0
2
2
2
cmW
c
v
1 =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
−

⇒ W
2

2
22
42
0
c
vW
cm +=
⇒ W
2
=
2242
0
2
242
42
0
cpcm
c
vcm
cm +=+
(5.42)
Trong đó đã thay mv = p.
Vậy: W = c

22
0
2
cmp + (5.43)
là cơng thức liên hệ giữa năng lượng và động lượng tương đối.
Trong trường hợp phi tương đối khi p << m
0
c, (5.43) có dạng:
W = m
0
c
2

2
0
cm
p
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
≈ m
0
c

2

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
2
0
cm
p
2
1
1
= m
0
c
2

+
0
2
m2
p
(5.44)
Như vậy, động năng trong cơ học cổ điển liên hệ với động lượng như sau:
W
d
=
0
2
m2
p
(5.45)
Cơng thức (5.45) có thể suy ra từ cơng thức (5.41) khi thay v =
0
m
p
.
Ví dụ 5.4: Có thể gia tốc cho electron đến động năng nào nếu độ tăng tương
đối của khối lượng khơng được q 5%.
Giải
Sử dụng cơng thức tính động năng W
d
= (m – m
0
) c
2
thì độ tăng tương đối của

khối lượng : δ =
0
0
m
mm
−
=
2
0
d
cm
W
, từ đó W
d
= δ×m
0
c
2
Thay số δ = 0,05; m
0
c
2
= 0,511 MeV, ta được W
d
= 2,56.10
-2
MeV.

Ví dụ 5.5: Xác định độ biến thiên năng lượng của electron ứng với độ biến
thiên khối lượng bằng khối lượng của electron.

Giải
Do W = mc
2
nên ∆W = ∆mc
2
= m
0
c
2
Thay số m
0
c
2
= 0,511 MeV, ta được ∆W = 0,511 MeV.

Ví dụ 5.6: Một electron có động năng W
d
= 2,53 MeV. Hãy xác định năng
lượng tồn phần và động lượng của nó.
Giải
Năng lượng tồn phần W = W
0
+ W
d
, trong đó W
0
= m
0
c
2

= 0,511 MeV còn
W
d
= 2,53 MeV. Do đó W = 0,511 MeV + 2,53 MeV = 3,04 MeV.
Chửụng 5: THUYET TệễNG ẹOI HEẽP 153

Theo cụng thc (5.41) thỡ W
2
= , do ú p =
2242
0
cpcm +
22
0
2
)c(mW
c
1


Thay s W = 3,04 MeV; m
0
c
2
= 0,511 MeV ta c p = 3,00 MeV/c.
BI TP CHNG 5
5.1 Vt chuyn ng phi cú vn tc bao nhiờu kớch thc ca nú theo phng
chuyn ng gim i hai ln.
5.2 Ht mezon trong cỏc tia v tr chuyn ng vi vn tc bng 0,95 ln vn tc ỏnh sỏng.
Hi khong thi gian theo ng h ngi quan sỏt ng yờn trờn trỏi t ln hn thi

gian sng ca ht mezon bao nhiờu ln?
5.3 Khi lng ht tng thờm bao nhiờu nu tng vn tc ca nú t 0 n 0,9 ln
vn tc ỏnh sỏng. Cho bit khi lng tnh ca ht l m
0
= 6,6444.10
-27
kg.
5.4 Khi lng ca electron chuyn ng bng hai ln khi lng ngh ca nú. Tỡm
ng nng ca electron trờn. Cho bit khi lng tnh ca electron l m
0
= 9,1.10
-
31
kg.
5.5 Tỡm vn tc ca ht mezon nu nng lng ton phn ca ht mezon gp 10 ln
nng lng ngh ca nú.
5.6 Mt s kin xy ra trong h quy chiu O ti ta x = 100 km v thi gian t =
200 às. Hi s kin ú cú ta bao nhiờu trong h quy chiu O chuyn ng
dc theo trc x ca h O vi vn tc V = 0,95 c, vi c = 3.10
8
m/s. Gi s khi t =
t = 0 thỡ x = x.
5.7 H quy chiu O chuyn ng vi vn tc V = 0,6c so vi h quy chiu O. Hai s
kin c ghi nhn. Trong h O s kin 1 xy ra ti x = 0 v t = 0 cũn s kin 2
xy ra ti x = 3 km v t = 4 às. Hóy xỏc nh thi gian ca hai s kin ny trong
h O.
5.8 Ngi quan sỏt trong h quy chiu O nhỡn thy chp sỏng mu v trớ cỏch
ụng ta 1200 m ri sau ú mt chp sỏng mu xanh cỏch 480 m theo cựng chi
u
vi chp sỏng . ễng ta o c khong thi gian gia hai chp sỏng l 5 às.

Hóy tớnh:
a. Vn tc tng i ca h quy chiu O so vi h O, trong ú ngi quan sỏt
th hai nhỡn thy hai chp sỏng v xanh xy ra ti cựng mt v trớ.
b. Th t cỏc chp sỏng m ngi quan sỏt trong h O nhỡn thy.
c. Khong thi gian gia hai chp sỏng m ngi quan sỏt trong h O o c.
5.9 Mt ht chuyn ng dc theo trc xtrong h quy chiu O vi vn tc u = 0,4c.
H O chuyn ng vi vn tc V = 0,6c so vi h quy chiu O theo trc x. Hóy
tớnh vn tc ca ht ú trong h quy chiu O.
5.10 Mt ht v tr bay v phớa trỏi t theo trc trỏi t n cc bc vi vn tc v
1
=
0,8c. Mt ht v tr khỏc bay v phớa trỏi t theo trc trỏi t ngc chiu vi
ht th nht n cc nam vi vn tc v
2
= 0,6c. Hóy tớnh vn tc tng i gia
ht th nht v ht th hai.