Phương pháp thu hẹp và loại đường dốc nhất cho ánh xạ và nửa nhóm không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Nguyễn Thị Thu Tính
PHƯƠNG PHÁP THU HẸP VÀ LOẠI ĐƯỜNG DỐC
NHẤT CHO ÁNH XẠ VÀ NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Thái Ngun - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Nguyễn Thị Thu Tính
PHƯƠNG PHÁP THU HẸP VÀ LOẠI ĐƯỜNG DỐC
NHẤT CHO ÁNH XẠ VÀ NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 60.46.0112
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG
Thái Ngun - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Mục lục
Mở đầu 2
1 Một số kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Khơng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Sự hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Khai triển trực giao. Tốn tử chiếu . . . . . . . . 5
1.1.3 Mối quan hệ giữa chuẩn và tích vơ hướng . . . . 6
1.2 Ánh xạ khơng giãn và nửa nhóm khơng giãn . . . . . . 7
1.2.1 Ánh xạ khơng giãn . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ khơng giãn . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Một số định lý điểm bất động . . . . . . . . . . 8
2 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất tìm điểm bất động
cho ánh xạ khơng giãn và nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 10

2.1 Một số phương pháp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Tìm điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn . . . 11
2.1.2 Tìm điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ
khơng giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất thu hẹp cho ánh
xạ khơng giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất thu hẹp cho nửa
nhóm ánh xạ khơng giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
i
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Kết luận 25
Tài liệu tham khảo 26
ii
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Lời cám ơn
Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học Khoa học-
Đại học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TS. Nguyễn
Bường. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo,
người hướng dẫn khoa học của mình, GS.TS. Nguyễn Bường, người đã
đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt q trình nghiên cứu của
tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cơ trong
khoa Tốn-Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun, đã
tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác
giả hồn thành bản luận văn. Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn chân
thành đến gia đình, lãnh đạo cơ quan đơn vị cơng tác, bạn bè, đồng
nghiệp những người đã tạo điều kiện, động viên tác giả hồn thành
luận văn này.
Tác giả
Nguyễn Thị Thu Tính
iii
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Bảng ký hiệu
H Khơng gian Hilbert thực.

∅ Tập rỗng.
M
⊥
Phần bù trực giao của M .
I Tốn tử đồng nhất.
A
∗
Tốn tử liên hợp của tốn tử A.
N(A) Khơng gian con khơng của tốn tử A.
R(A) Miền giá trị của tốn tử A.
P
C
x Phép chiếu của phần tử x lên tập C.
F Tập các điểm bất động chung của nửa nhóm
ánh xạ khơng giãn {T (t) : t > 0}.
F (T ) Tập các điểm bất động của ánh xạ T.
 Hội tụ yếu.
→ Hội tụ mạnh.
iv
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Mở đầu
Cho C là một tập con của khơng gian X và T là một ánh xạ từ C
vào X. Có tồn tại hay khơng một điểm x
0
trong C sao cho T x
0
= x
0
?
Và có thể có những cách nào để tìm ra điểm x
0

hay xấp xỉ điểm x
0
như
vậy? Điểm x
0
như vậy được gọi là điểm bất động của ánh xạ T .
Lý thuyết điểm bất động ra đời từ rất sớm và đã được mở rộng
cho nhiều lớp ánh xạ Lipschitz khác nhau như ánh xạ khơng giãn tiệm
cận, ánh xạ Lipschitz đều (hệ số Lipschitz lớn hơn 1 thực sự). Lý thuyết
điểm bất động gắn liền với tên tuổi nhiều nhà tốn học lớn như Brouwer,
Bannach, Schauder, Kakutani, Tikhonov, Browder, Ky Fan, Có nhiều
định lý khơng chỉ đề cập đến sự tồn tại điểm bất động của một ánh xạ
mà nó còn đề cập đến vấn đề xấp xỉ điểm bất động. Phương pháp tìm
điểm bất động của ánh xạ nói chung là một trong những kết quả kinh
điển được nghiên cứu, có nhiều ứng dụng thực tiễn. Các phương pháp
này đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu về một cải biên mới trong
phương pháp đường dốc nhất tìm điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn
và điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn, dựa trên
cơ sở bài báo của GS.TS.Nguyễn Bường. Đồng thời khái qt lại một
số phương pháp tìm điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn và một số
phương pháp tìm điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ khơng
giãn, được tổng hợp từ những tài liệu đã được cơng bố.
Luận văn gồm 2 chương với những nội dung chính sau đây:
1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 1. Nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở để theo dõi
luận văn.
Chương 2. Trình bày một số phương pháp tìm điểm bất động cho
ánh xạ khơng giãn và điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ khơng
giãn, bao gồm một số phương pháp cơ bản và một số mở rộng của chúng.

Đặc biệt, ở chương này chúng tơi trình bày một số cải biên của phương
pháp đường dốc nhất cùng với một số phương pháp đã được biết đến
trong các tài liệu của Takahashi, Alber, Solodov, Saejung
Do thời gian và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế nên luận văn khó
tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý từ
q thầy cơ và các bạn đồng nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn!
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này chúng tơi sẽ nhắc lại một số định nghĩa, một số định lí
và bổ đề cơ bản trong khơng gian Hilbert.
1.1 Khơng gian Hilbert
Định nghĩa 1.1. Giả sử E là khơng gian véc tơ trên trường K. Tích
vơ hướng trên E là ánh xạ
ϕ : E × E → K
thỏa mãn
(i) ϕ(x, x) > 0 nếu x = 0; và nếu ϕ(x, x) = 0 thì x = 0.
(ii) ϕ(x, y) = ϕ(y, x).
(iii) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y).
(iv) ϕ(x
1
+ x
2
, y) = ϕ(x
1
, y) + ϕ(x
2
, y).
Kí hiệu
ϕ(x, x) = x, x.

Khi đó
x =

x, x.
xác định một chuẩn trên E.
3
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Định nghĩa 1.2. Khơng gian E cùng với tích vơ hướng trên nó gọi là
khơng gian tiền Hilbert.
Một khơng gian tiền Hilbert đủ được gọi là khơng gian Hilbert.
Một khơng gian tiền Hilbert khơng đủ bao giờ cũng có thể bổ sung
thành một khơng gian Hilbert.
Khơng mất tính tổng qt, trong luận văn này, chúng tơi thống nhất
dùng kí hiệu H để kí hiệu khơng gian Hilbert.
Ví dụ 1.3. Trong C
n
, với x = (ξ
1
, ξ
2
, , ξ
n
), y = (η
1
, η
2
, , η
n
), ta đặt:
x, y =
n


i=1
ξ
i
η
i
.
Khi đó, C
n
là một khơng gian Hilbert.
Ví dụ 1.4. Trong L
2
[a, b] ta đưa vào tích vơ hướng:
x, y =
b

a
x(t)y(t)dt, (x(t), y(t) ∈ L
2
[a, b]
thì L
2
[a, b] là một khơng gian Hilbert.
1.1.1 Sự hội tụ yếu
Định nghĩa 1.5. Dãy {x
n
} trong khơng gian Hilbert H được gọi là hội
tụ yếu đến phần tử x ∈ H, nếu:
lim
n→∞

x
n
, y = x, y, ∀y ∈ H
.
Sau đây, chúng tơi sẽ dùng kí hiệu  và → tương ứng biểu thị cho
sự hội tụ yếu và mạnh.
Mệnh đề 1.6. Giả sử H là khơng gian Hilbert, x
n
 x và y
n
→ y. Khi
đó, x
n
, y
n
 → x, y.
Định lý 1.7. Giả sử H là khơng gian Hilbert, x
n
 x trong H và
x
n
 → x. Khi đó, x
n
→ x.
4
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1.1.2 Khai triển trực giao. Tốn tử chiếu
Trong khơng gian Hilbert H ta có:
Định nghĩa 1.8. Hai véc tơ x, y ∈ H gọi là trực giao với nhau, ký hiệu
x⊥y, nếu x, y = 0. Véc tơ x gọi là trực giao với tập M ⊂ H nếu x là
phần bù trực giao của M.

Bổ đề 1.9. M
⊥
là khơng gian con đóng của H.
Định nghĩa 1.10. Cho một tốn tử tuyến tính liên tục A trong khơng
gian HilbertH, tồn tại một tốn tử duy nhất A
∗
để cho
Ax, y = x, A
∗
y.
Tốn tử A
∗
gọi là tốn tử liên hợp của A.
Một số tính chất của tốn tử liên hợp:
(i) (A
∗
)
∗
= A.
(ii) (A + B)
∗
= A
∗
+ B
∗
, (αA)
∗
= αA
∗
.

(iii) (AB)
∗
= B
∗
A
∗
.
(iv) N(A) =
R
(A
∗
)
⊥
, N(A
∗
) =
R
(A)
⊥
.
Trong đó, R(A) là miền giá trị của tốn tử A, N(A) là khơng gian
con khơng của tốn tử A.
Định lý 1.11. Cho M là một khơng gian con đóng của khơng gian
Hilbert H. Khi đó, bất kỳ phần tử nào của H cũng biểu diễn được duy
nhất dưới dạng:
x = y + z, với y ∈ M, z ∈ M
⊥
,
trong đó y là phần tử của M gần x nhất, tức là
x − y ≤ x − u , ∀u ∈ M.

Đặt P(x) = y, P gọi là tốn tử chiếu từ H lên M.
5
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Nhận xét.
(a) P liên tục và P  = 1.
(b) I − P là tốn tử chiếu lên khơng gian con đóng M
⊥
Định lý 1.12. Giả sử P là tốn tử tuyến tính liên tục trong khơng gian
Hilbert H. Khi đó,
P là tốn tử chiếu ⇔ P = P
∗
, P
2
= P.
Đồng thời, P là tốn tử chiếu lên khơng gian con đóng M = R(P ).
Định lý 1.13. Giả sử M
1
, M
2
là các khơng gian con đóng của khơng
gian Hilbert H. P
1
, P
2
tương ứng là các tốn tử chiếu lên M
1
, M
2
. Khi
đó, các mệnh đề sau là tương đương:
(i) M

1
⊥M
2
;
(ii) P
1
P
2
= 0 hoặc P
2
P
1
= 0;
(iii) P
1
+ P
2
là tốn tử chiếu.
Đồng thời P
1
+ P
2
là tốn tử chiếu lên M
1
⊕ M
2
.
Định lý 1.14. Giả sử M
1
, M

2
là các khơng gian con đóng của khơng
gian Hilbert H. P
1
, P
2
tương ứng là các tốn tử chiếu lên M
1
, M
2
. Khi
đó, các mệnh đề sau là tương đương:
(i) M
1
⊂ M
2
;
(ii) P
1
P
2
= P
1
hoặc P
2
P
1
= P
1
;

(iii) P
1
≤ P
2
, tức là P
2
− P
1
là một tốn tử dương.
(iv) P
2
− P
1
là tốn tử chiếu.
Đồng thời P
2
− P
1
là tốn tử chiếu lên M
2
ΘM
1
là phần bù trực giao của
M
1
trong M
2
.
1.1.3 Mối quan hệ giữa chuẩn và tích vơ hướng
Cho H là khơng gian Hilbert, với mọi phần tử x, y ∈ H, ta ln có:

a, Bất đẳng thức Cauchy-Schwarts:
|x, y| ≤ x . y
6
Số hóa bởi trung tâm học liệu />b, Đẳng thức hình bình hành:
x + y
2
+ x − y
2
= 2(x
2
+ y
2
).
Ngồi ra chúng ta còn có một số bổ đề sau:
Bổ đề 1.15. [7]
x + y
2
≤ x
2
+ 2y, x + y
.
Bổ đề 1.16. [2] Cho H là khơng gian Hilbert thực. Khi đó ta có đồng
nhất thức sau:
(i) x − y
2
= x
2
− y
2
− 2x − y, y.

(ii) λx + (1 − λ)y
2
= λx
2
+ (1 − λ)y
2
− λ(1 − λ)x − y
2
,
với λ ∈ [0, 1]
1.2 Ánh xạ khơng giãn và nửa nhóm khơng giãn
1.2.1 Ánh xạ khơng giãn
Định nghĩa 1.17. Cho (X, d
1
), (Y, d
2
) là hai khơng gian mêtric và ánh
xạ F : X → Y là ánh xạ tuyến tính. Nếu F thỏa mãn
d
2
(F x, F z) ≤ Md
1
(x, z)
với M là hằng số cố định và mọi x, z ∈ X thì F được gọi là ánh xạ
Lipschitz.
Giá trị M nhỏ nhất được gọi là hằng số Lipschitz L(F ) của F .
Nếu L(F ) < 1 và X = Y, d
1
= d
2

, ánh xạ F được gọi là ánh xạ co
với hằng số co L(F ).
Nếu L(F ) = 1, ánh xạ F được gọi là ánh xạ khơng giãn.
7
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ khơng giãn
Cho C là tập con lồi đóng của khơng gian Hilbert H. Xét tập hợp
{T (t) : t > 0} thỏa mãn:
(1) Với mỗi t > 0, T (t) là một ánh xạ khơng giãn trên C;
(2) T (0)x = x với mọi x ∈ C;
(3) T (s + t) = T(s) ◦ T (t) với mọi s, t > 0; và
(4) Với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (.)x biến đổi (0, ∞) vào trong C là liên
tục.
Khi đó {T (t) : t > 0} là một nửa nhóm ánh xạ khơng giãn trên tập
con lồi đóng C của khơng gian Hilbert .
Kí hiệu F là tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ khơng
giãn {T (t) : t > 0}. Nghĩa là F = ∩
t>0
F (T (t)) với F (T ) là tập điểm
bất động của ánh xạ T . Ta có F lồi đóng và F = ∅ nếu C compăc (xem
[6])
1.2.3 Một số định lý điểm bất động
Định lí điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng khá rộng rãi
là ngun lý ánh xạ co Banach. Dựa trên q trình lặp, nó có thể được
thực hiện trên máy tính để tìm điểm bất động của một ánh xạ co với
mức độ chính xác tùy ý.
Định lý 1.18. (Ngun lý ánh xạ co Bannach). Cho (X, d) là một khơng
gian mêtric đầy đủ và F : X → X là ánh xạ co. Khi đó F có duy nhất
một điểm bất động u và F
n
x → u với mỗi x ∈ X.

Trong đó, F
n
x = F (F
n−1
x) và F
n
x được gọi là bước lặp thứ n của
F x với n = 1, 2, và x = F
0
(x)
Ngun lí ánh xạ co Bannach phát biểu cho ánh xạ co trong một
khơng gian mêtric đầy đủ tùy ý. Cho khơng gian một cấu trúc phức tạp
hơn ta có thể nới lỏng tính co của ánh xạ thành tính khơng giãn, tất
8
Số hóa bởi trung tâm học liệu />nhiên tính duy nhất của điểm bất động khó có thể bảo tồn. Trong luận
văn này, chúng ta xét khơng gian Hilbert thực như sau:
Cho T là một ánh xạ khơng giãn trên C. Sau đây là một số định lí
điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert.
Định lý 1.19. (Browder-Goebel-Kirk). Cho C là một tập khác rỗng, lồi
đóng, bị chặn trong khơng gian Hilbert. Khi đó, mỗi ánh xạ khơng giãn
T : C → C có ít nhất một điểm bất động.
Bổ đề 1.20. [2]. Giả sử T là ánh xạ khơng giãn trên một tập con lồi
đóng C của khơng gian Hilbert H, nếu T có một điểm bất động thì
I − T là nửa đóng. Nghĩa là: Nếu {x
k
} ⊂ C hội tụ yếu đến x ∈ C và
dãy {(I − T )x
k
} hội tụ mạnh tới y thì (I − T )x = y.
Bổ đề 1.21. [7]. Nếu C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng

gian Hilbert thực H, T là một ánh xạ khơng giãn trên C, {x
n
} là một
dãy trong C thỏa mãn x
n
 x và x
n
− T x
n
→ 0, thì x − T x = 0.
Bổ đề 1.22. [7]. Mọi khơng gian Hilbert H có tính chất Randon-Riesz
hoặc tính chất Kadec-Klee, tức là với dãy {x
n
} ⊂ H thỏa mãn x
n
 x
và x
n
 → x , thì x
n
→ x.
9
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 2
Phương pháp lai ghép đường dốc
nhất tìm điểm bất động cho ánh
xạ khơng giãn và nửa nhóm ánh
xạ khơng giãn
Cho H là một khơng gian Hilbert với tích vơ hướng và chuẩn được
biểu thị bởi ký hiệu lần lượt là ., . và ., và cho C là một tập hợp
con lồi giới nội, khác rỗng của H. Ký hiệu P

C
x là phép chiếu mêtric
của một phần tử x ∈ H lên tập C. Ta đã biết rằng P
C
là một ánh xạ
khơng giãn trên H với mọi tập hợp con lồi đóng C trong H. Nhắc lại
rằng một ánh xạ T được gọi là khơng giãn trên C, nếu T : C → C và
T x−T y ≤ x−y với mọi x, y ∈ C. Sử dụng ký hiệu F (T ) để ký hiệu
tập hợp các điểm bất động của T , có nghĩa là F (T ) = {x ∈ C : x = Tx}.
Chúng ta đã biết rằng F (T ) khơng rỗng, nếu C giới nội, chi tiết hơn
xem [2].
Cho {T (t) : t > 0} là một nửa nhóm ánh xạ khơng giãn trên C. Giả
thiết rằng F = ∩
t>0
F (T (t)) = ∅. Ta biết rằng F là một tập con lồi
đóng [8] và F = ∅, nếu C giới nội [6].
10
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Đã có nhiều phương pháp để tìm điểm bất động trong F (T ) hay điểm
bất động chung trong F. Sau đây chúng tơi sẽ trình bày một số phương
pháp xấp xỉ tìm điểm bất động đã và đang được nhiều nhà tốn học
quan tâm, nghiên cứu.
2.1 Một số phương pháp cơ bản
Phần này chúng tơi sẽ trình bày một số phương pháp cơ bản tìm
điểm bất động của ánh xạ khơng giãn và nửa nhóm ánh xạ khơng giãn
cùng với một số mở rộng của nó. Chẳng hạn như phương pháp lặp
Mann, phương pháp lặp Halpern, phương pháp lặp Ishikawa, phương
pháp xấp xỉ mềm, phương pháp đường dốc nhất đối với ánh xạ khơng
giãn và phương pháp lặp Mann-Halpern đối với nửa nhóm khơng giãn.
Các chứng minh của các phương pháp khơng được trình bày chi tiết
trong mục này.

2.1.1 Tìm điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn
Giả sử H là một khơng gian Hilbert thực, C là một tập con lồi đóng
khác rỗng của Hvà T là một ánh xạ khơng giãn trên C.
Năm 1953, Mann đã đề xuất phương pháp tìm điểm bất động của T
như sau:
x
0
∈ C là một phần tử bất kỳ,
x
n+1
= α
n
x
n
+ (1 − α
n
)T x
n
, (2.1)
Đây là thuật tốn mở rộng của Kransnocelskii và chỉ hội tụ yếu trong
H. Ơng đã chứng minh rằng, nếu dãy α
n
được chọn sao cho

∞
n=1
α
n
(1 − α
n

) = ∞
11
Số hóa bởi trung tâm học liệu />thì dãy {x
n
} sẽ hội tụ yếu về một điểm bất động của ánh xạ T . Ở đây
T : C → C là một ánh xạ khơng giãn từ tập con lồi đóng khác rỗng của
khơng gian Hilbert H vào chính nó. Tuy nhiên, trong trường hợp H là
một khơng gian Hilbert vơ hạn chiều thì dãy lặp xác định bởi (2.1) chỉ
hội tụ yếu mà khơng hội tụ mạnh.
Định lý 2.1. Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của khơng gian
Bannach E và T : C → C là ánh xạ liên tục. Nếu dãy {x
n
} xác định
bởi (2.1) hội tụ mạnh đến điểm p ∈ C thì p là điểm bất động của T .
Kết quả sau đây được ứng dụng nhiều trong xấp xỉ điểm bất động
của ánh xạ khơng giãn.
Mệnh đề 2.2. Cho C là tập con lồi, khác rỗng của khơng gian định
chuẩn X và T : C → C là ánh xạ với điểm bất động p trong C sao cho
T x − p ≤ x − p
với mọi x ∈ C. Khi đó dãy lặp {x
n
} xác định bởi (2.1) với {α
n
} ⊂ [0, 1],
tồn tại lim
n→∞
x
n
− p.
Reich đã mở rộng kết quả của Mann cho trường hợp T : C → C từ

một tập con lồi đóng khác rỗng của một khơng gian Bannach lồi đều
với chuẩn khả vi Fréchet và ơng cũng đã chứng minh được rằng nếu dãy
{α
n
} được chọn sao cho

∞
n=1
α
n
(1 − α
n
) = ∞ thì dãy {x
n
} sẽ hội tụ
yếu về một điểm bất động của ánh xạ T . (Chi tiết hơn xem [4])
Năm 1967, Halpern đã đề xuất sơ đồ lặp tìm điểm bất động của T
như sau:
x
n+1
= β
n
u + (1 − β
n
)T x
n,
n ≥ 0, (2.2)
trong đó u, x
0
là hai phần tử cố định trong C và {β

n
} ⊂ (0, 1). Halpern
đã chỉ ra rằng các điều kiện lim
n→∞
β
n
= 0 hoặc

∞
n=0
β
n
= 0 là điều kiện
cần để dãy lặp (2.2) hội tụ về một điểm bất động của T . Đề xuất này
của Halpern đã được nghiên cứu bởi Reich.
12
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Năm 1974, phương pháp lặp Ishikawa được đề xuất bởi Ishikawa. Với
phương pháp lặp này thì dãy lặp {x
n
} được xác định bởi
x
1
∈ C,
y
n
= β
n
+ (1 − β
n
)T (x

n
),
x
n+1
= α
n
x
n
+ (1 − α
n
)T (x
n
), n ≥ 1,
(2.3)
trong đó {α
n
} và {β
n
} là các dãy số thực trong đoạn [0, 1].
*Chú ý: Trong trường hợp β
n
= 1, ∀n thì phương pháp lặp Ishikawa
(2.3) trở thành phương pháp lặp Mann (2.1). Tuy nhiên, S.A. Mutan-
gadura và C. E. Chidume đã xây dựng một ví dụ cho trường hợp T là
một ánh xạ Lipschitz giả co thì dãy lặp Ishikawa hội tụ về một điểm bất
động của T nhưng dãy lặp Mann lại khơng hội tụ.
Năm 2006 Yanes và Xu đã cải tiến phương pháp lặp (2.2) như sau:
x
0
∈ C là một phần tử bất kì,

y
n
= β
n
x
0
+ (1 − β
n
)T x
n
,
C
n
=

z ∈ C : y
n
− z
2
≤ x
n
− z
2
+ β
n
(x
o

2
+ 2x

n
− x
0
, z)

,
Q
n
= {z ∈ C : x
n
− z, x
0
− x
n
 ≥ 0} ,
x
n+1
= P
C
n
∩Q
n
(x
0
).
(2.4)
Hai tác giả trên đã chứng minh rằng nếu T là một ánh xạ khơng giãn
trên một tập con lồi đóng C với F (T ) = ∅ và dãy {β
n
} ⊂ (0, 1) được

chọn sao cho lim
n→∞
β
n
= 0, thì dãy {x
n
} xác định bởi (2.4) hội tụ mạnh
về P
F (T )
(x
0
) khi n → ∞. (Xem trong [4])
Năm 2009, S. Y. Cho; S. M. Kang và X. Qin đã cải tiến phương pháp
13
Số hóa bởi trung tâm học liệu />lặp Ishikawa dạng
x
1
∈ C,
Z
n
= px
n
+ (1 − p)S(x
n
),
y
n
= β
n
x

n
+ (1 − β
n
)T (z
n
),
x
n+1
= α
n
u + γ
n
x
n
+ µ
n
y
n
, n ≥ 1,
(2.5)
trong đó S : C → C là một ánh xạ giả co chặt và T : C → C
là một ánh xạ khơng giãn. Với u là một phần tử bất kỳ trong C và
{α
n
} , {γ
n
} , {µ
n
} , {β
n

} là các dãy số nằm trong đoạn [0, 1], và p là một
hằng số nào đó.(Xem trong [4])
Dựa trên phương pháp lặp Kransnocelskii-Mann tìm điểm bất động
của các ánh xạ khơng giãn từ một tâp con lồi, đóng trong khơng gian
Hilbert thực vào chính nó, Moudafi đã đưa ra phương pháp xấp xỉ mềm
và cũng đã chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp như sau:
Định lý 2.3. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian
Hilbert H, T là ánh xạ khơng giãn trên C và thỏa mãn F(T ) = ∅, f là
ánh xạ co trên C với hằng số ˜α ∈ [0, 1), dãy {x
k
} là dãy sinh bởi:
x
1
∈ C,
x
k
=
λ
k
1 + λ
k
f(x
k
) +
λ
k
1 + λ
k
T x
k

, k ≥ 1,
(2.6)
x
k+1
=
λ
k
1 + λ
k
f(x
k
) +
λ
k
1 + λ
k
T x
k
, k ≥ 1,
(2.7)
trong đó, λ
k
⊂ (0, 1) thỏa mãn các điều kiện sau
(M1) lim
k→∞
λ
k
= 0;
(M2)


∞
k=1
λ
k
= 0;
(M3) lim
k→∞



1
λ
k
+1
−
1
λ
k



= 0.
Khi đó dãy {x
k
} xác định bởi (2.7) hội tụ mạnh tới p
∗
∈ F (T ),
ở đây, p
∗
= P

F (T )
f(p
∗
) và với điều kiện (M1) dãy {x
k
} xác định bởi
(2.6) hội tụ tới p
∗
.
14
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Lưu ý: p
∗
= P
F (T )
f(p
∗
) tương đương với bất đẳng thức biến phân
p
∗
∈ F (T ) : p
∗
− f (p
∗
), p − p
∗
 ≥ 0, ∀p ∈ F (T )
Xu đã mở rộng (2.6) cho ánh xạ khơng giãn cho khơng gian Bannach
đều. Gần đây, Ceng, Ansari và Yao cũng đưa ra một số cải tiến (2.6)
trong khơng gian Bannach phản xạ mà nó thừa nhận một dãy ánh xạ
liên hợp liên tục hay có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Jung chứng minh

được sự hội tụ mạnh của (2.7) trong khơng gian Bannach phản xạ có
chuẩn khả vi Gâteaux đều với điều kiện (M1)-(M3). Ngồi ra còn một
số mở rộng khác của (2.6), (2.7) khơng được giới thiệu ở trong luận văn
này.(Chi tiết xem trong [3]-[5])
Năm 2007, Alber [1] đưa ra phương pháp kiểu đường dốc như sau:
x
n+1
= P
C
(x
n
− µ
n
(I − T )x
n
), n ≥ 0, x
0
∈ C, (2.8)
ở đây I là ký hiệu cho ánh xạ đồng nhất thức trong H, và đã chứng
minh được rằng nếu dãy các số thực dương {µ
n
} được chọn sao cho
µ
n
→ 0 khi n → ∞ và {x
n
} giới nội, thì:
(i) Có tồn tại một điểm hội tụ yếu ˜x ∈ C của {x
n
};

(ii) Mọi điểm tụ yếu của {x
n
} đều thuộc về F (T );
(iii) Nếu F (T ) là một điểm, có nghĩa là F (T ) = {˜x}, thì {x
n
} hội tụ
yếu về ˜x.
Tiếp đó, dựa theo thuật tốn của Solodov và Svaiter [11], Nakajo và
Takahashi [8] đã đề xuất một quy trình lặp hội tụ mạnh như sau:
x
0
∈ C với bất kỳ phần tử nào,
y
n
= α
n
x
n
+ (1 − α
n
)T x
n
,
C
n
= {z ∈ C : y
n
− z ≤ x
n
− z},

Q
n
= {z ∈ C : x
n
− x
0
, z − x
n
 ≥ 0},
x
n+1
= P
C
n
∩Q
n
(x
0
), n ≥ 0,
(2.9)
15
Số hóa bởi trung tâm học liệu />ở đây {α
n
} ⊂ [0, a] với a ∈ [0, 1), để tìm một điểm bất động của một
ánh xạ khơng giãn T trên C, và đã chỉ ra rằng dãy {x
n
} xác định bởi
(2.1) hội tụ mạnh về P
F (T )
(x

0
) khi n → ∞, trong đó P
F (T )
(x
0
) là hình
chiếu của x
0
và F (T ) là tập các điểm bất động của T .
2.1.2 Tìm điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ khơng
giãn
Nhắc lại rằng, ta kí hiệu F là tập điểm bất động chung của nhóm
ánh xạ khơng giãn {T (t) : t > 0}, nghĩa là F = ∩
t>0
F (T (t)) thì F là
tập lồi đóng và F = ∅ nếu C compăc (xem [6]).
Năm 2003, Dựa theo thuật tốn của Solodov và Svaiter [11], Nakajo
và Takahashi [8] đã đề xuất một phương pháp lặp để tìm điểm bất động
chung cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn {T (t) : t > 0} như sau:
x
0
∈ C với bất kỳ phần tử nào,
y
n
= α
n
x
n
+ (1 − α
n

)T
n
x
n
,
C
n
= {z ∈ C : y
n
− z ≤ x
n
− z},
Q
n
= {z ∈ C : x
n
− x
0
, z − x
n
 ≥ 0},
x
n+1
= P
C
n
∩Q
n
(x
0

), n ≥ 0,
(2.10)
ở đây T
n
được định nghĩa bởi
T
n
y =
1
λ
n

λ
n
0
T (s)yds,
với mỗi y ∈ C, α
n
∈ [0, a], với a ∈ [0,1) và {λ
n
} là một dãy các số
dương tiến tới vơ cùng.
Tiếp theo, năm 2008, Takahashi, Takeuchi cùng các đồng nghiệp [12]
16
Số hóa bởi trung tâm học liệu />đã đề xuất một thuật tốn đơn giản của (2.10) có dạng như sau:
x
0
∈ H, C
1
= C, x

1
= P
C
1
x
0
,
y
n
= α
n
x
n
+ (1 − α
n
)T
n
x
n
,
C
n+1
= {z ∈ C
n
: y
n
− z ≤ x
n
− z},
x

n+1
= P
C
n+1
x
0
, n ≥ 1.
(2.11)
Họ đã chỉ ra rằng (ở Định lý 4.4 [12]) nếu 0 ≤ α
n
≤ a < 1, 0 < λ
n
< ∞
với mọi n ≥ 1 và λ
n
→ ∞, thì {x
n
} hội tụ mạnh tới u
0
= P
F
x
0
.
Cùng thời gian đó, Saejung [9] cũng xét một thuật tốn tương tự mà
khơng dùng tới tích phân:
x
0
∈ H, C
1

= C, x
1
= P
C
1
x
0
,
y
n
= α
n
x
n
+ (1 − α
n
)T (t
n
)x
n
,
C
n+1
= {z ∈ C
n
: y
n
− z ≤ x
n
− z},

x
n+1
= P
C
n+1
x
0
, n ≥ 1,
(2.12)
với 0 ≤ α
n
≤ a < 1, lim inf
n
t
n
= 0, lim sup
n
t
n
> 0, và cùng với
lim
n
(t
n+1
− t
n
) = 0. Khi đó {x
n
} hội tụ mạnh tới u
0

= P
F
x
0
.
Nhận xét. Nếu C ≡ H, thì C
n
và Q
n
trong (2.9)- (2.12) là hai nửa
khơng gian. Vì vậy, điểm chiếu x
n+1
lên C
n
∩ Q
n
hay C
n+1
trong các
phương pháp này có thể tìm được bằng cơng thức hiện trong [11]. Nhưng
nếu C là một tập con của H, thì C
n
và Q
n
trong thuật tốn này khơng
phải là hai nửa khơng gian. Khi đó vấn đề đặt ra là: Xây dựng những
tập lồi đóng C
n
và Q
n

như thế nào nếu chúng ta có thể biểu diễn x
n+1
của thuật tốn nói trên trong một cơng thức tương tự như đã trình bày
trong [11]? Vấn đề này vừa mới được giải quyết gần đây trong [3], [4]
và [5]. Trong cơng trình ấy, C
n
và Q
n
trong (2.9) và (2.10) được thay
thế bằng hai nửa khơng gian và y
n
là vế phải của (2.8) với một chút
cải biên. Trong luận văn này, sử dụng ý tưởng đó, chúng tơi giới thiệu
một phương án mới của (2.11)-(2.12) trong đó C
n+1
trở thành một nửa
17
Số hóa bởi trung tâm học liệu />khơng gian H
n+1
được xác định dưới đây. Cụ thể hơn, chúng tơi xét đến
những thuật tốn được trình bày ở mục 2.2 và 2.3 dưới đây.
2.2 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất thu hẹp
cho ánh xạ khơng giãn
Trong mục này chúng tơi xét đến thuật tốn sau:
x
0
∈ H = H
0
, y
n

= x
n
− µ
n
(I − T P
C
)x
n
,
H
n+1
= {z ∈ H
n
: y
n
− z ≤ x
n
− z},
x
n+1
= P
H
n+1
x
0
, n ≥ 0,
(2.13)
để tìm ra một phần tử trong F(T ). Chúng tơi sẽ chứng minh rằng q
trình lặp (2.13) hội tụ mạnh tới một điểm bất động của T .
Trước hết, chúng tơi trích dẫn một số điều sau cần thiết cho việc

chứng minh kết quả của chúng tơi.
Bổ đề 2.4. [7] Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng
gian Hilbert thực H. Với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất một z ∈ C sao
cho z − x ≤ y − x với mọi y ∈ C, và z = P
C
x khi và chỉ khi
z − x, y − z ≥ 0 với mọi y ∈ C.
Định lý 2.5. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian
Hilbert thực H và cho T là một ánh xạ khơng giãn trên C sao cho
F (T ) = ∅. Giả sử rằng {µ
n
} là một dãy trong (a, 1) với a ∈ (0, 1]. Khi
đó, các dãy {x
n
} và {y
n
}, như đã xác định ở (2.13), hội tụ mạnh tới
một điểm u
0
= P
F (T )
x
0
.
Chứng minh.
Trước hết, chú ý rằng y
n
− z ≤ x
n
− z tương đương với

y
n
− x
n
, x
n
− z ≤ −
1
2
y
n
− x
n

2
.
18
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Do đó, H
n
là một nửa khơng gian.
Tiếp theo, chúng tơi chỉ ra rằng F (T ) ⊂ H
n
với mọi n ≥ 0.
Dễ dàng nhận được F (T ) = F (T P
C
) := {p ∈ H : T P
C
p = p} với
mọi ánh xạ T từ C đến C. Vì vậy chúng ta có, với mỗi p ∈ F (T ) ta có
y

n
− p = (1 − µ
n
)x
n
+ µ
n
T P
C
x
n
− p
= (1 − µ
n
)(x
n
− p) + µ
n
(T P
C
x
n
− T P
C
p)
≤ (1 − µ
n
)x
n
− p + µ

n
x
n
− p
= x
n
− p.
Do đó, p ∈ H
n
với mọi n ≥ 0.
Mặt khác, từ F(T ) là một tập con lồi đóng khác rỗng của H, theo
bổ đề 2.4, tồn tại duy nhất phần tử u
0
∈ F(T ) sao cho u
0
= P
F (T )
x
0
.
Từ x
n+1
= P
H
n+1
x
0
, ta thu được
x
n+1

− x
0
 ≤ z − x
0

cho mọi z ∈ H
n+1
. Với u
0
∈ F (T ) ⊂ H
n+1
, ta có
x
n+1
− x
0
 ≤ u
0
− x
0
 ∀n ≥ 0. (2.14)
Bây giờ, ta chỉ ra rằng
lim
n→∞
x
n+m
− x
n
 = 0, (2.15)
với mỗi số ngun cho trước m > 0.

Thật vậy, từ định nghĩa của H
n+1
suy ra H
n+1
⊆ H
n
. Do đó ta có
x
n
− x
0
 ≤ x
n+1
− x
0
 ∀n ≥ 0.
Cho nên, tồn tại lim
n
x
n
− x
0
 = c.
Mặt khác, theo bổ đề 2.4, x
n+m
∈ H
n
và x
n
= P

H
n
x
0
, ta nhận được:
x
n
− x
0
, x
n+m
− x
n
 ≥ 0.
19
Số hóa bởi trung tâm học liệu />