Dau hieu chia het.doc

Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
A. phần mở đầu

Lí do chọn đề tài:
1) Cơ sở khoa học
+) Các bài toán về Dấu hiệu chia hết có vai trò quan trọng trong trơng trình
toán THCS đặc biệt là phần tính chia hết trong tập hợp các số nguyên.
+) Để giải các bài toán về Dấu hiệu chia hết đòi hỏi học sinh phải vận dụng
linh hoạt,sáng tạo các kiến thức và tính chất chia hết, luỹ thừa, phép chia còn d,
kể cả môt số hằng đẳng thức cơ bản, số nguyên tố,.
+)Giải các bài toán chia hết giúp học sinh phát triển t duy, phát huy tính tích
cực, chủ động, sáng tạo trong giải toán đồng thời giáo dục ý thức tự giác, cẩn
thận, lòng say mê học tập.
2) Cơ sở thực tiễn:
+) Qua một số năm trực tiếp giảng dạy bộ môn toán ở trờng THCS tôi thấy
trong giảng dạy lý thuyết cũng nh giảng dạy các bài tập trong SGK ,trong sách
bài tập và một số sách tham khảo khác nếu chỉ cốt tìm ra đáp số và dừng lại ở đó
thì kiến thức thu đợc còn nhiều hạn chế . Còn giải ít bài tập nhng lại luôn suy
nghĩ trên mỗi bài tập đó tìm tòi thêm cách giải khác, khai thác thêm những ý của
bài toán và đề xuất thêm những bài tập tơng tự nh thế sẽ khắc sâu kiến thức
nhanh nhất và đạt hiệu quả cao nhất trong học tập đặc biệt là trong các kỳ thi.
+)Bài toán về dấu hiệu chia hết có mặt ở phần số học trong trơng trình toán
THCS, ở các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp chọn của
THCS , vào các lớp chuyên toán của các trờng THPT .
Giáo viên giảng dạy trên lớp chủ yếu tập chung vào các dấu hiệu chia hết cơ
bản nh : Chia hết cho 2; 3; 5; 9 mà cha tập chung vào khai thác sâu các dấu hiệu
chia hết khác,đặc biệt là các bài tập có tính chất phối hợp giữa các dấu hiệu chia
hết và tính chất chia hết.
+)Hiểu biết, nhận thức của học sinh về dạng toán này nhìn chung còn hạn chế,
t tởng học sinh còn sợ khi gặp dạng toán này. Vì vậy việc nghiên cứu các dấu
hiệu chia hết là một việc làm cần thiết góp phần nâng cao chất lợng dạy và học.

II) Mục đích và nhiệm vụ:
1. Mục đích:
Nghiên cứu các dấu hiệu chia hết trong trơng trình toán THCS giúp giáo viên
nâng cao năng lực tự học tập nghiên cứu đồng thời mở rộng, đào sâu và hoàn
thiện hiểu biết. Từ đó có phơng pháp giảng dạy tốt đạt hiệu quả cao nhất
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
1
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
2. Nhiệm vụ:
Thông qua việc nghiên cứu các dấu hiệu chia hết nhằm su tầm làm tài liệu cho
giáo viên góp phần nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.
Thông qua hệ thống lý thuyết Hệ thống bài tập giúp giáo viên định hớng
xác định trọng tâm trong việc bồi dỡng của mình, giúp cho học sinh có phơng
pháp học tập đúng đắn.
Thông qua chuyên đề này học sinh đợc củng cố lý thuyết và rèn kỹ năng khi
làm bàigóp phần nâng cao chất lợng học tập, chất lợng thi học sinh giỏi và chất l-
ợng thi vào các trờng chuyên, lớp chọn đạt kết quả tốt hơn.
III) Phơng pháp nghiên cứu:
Phơng pháp nghiên cứu qua các tài liệu tham khảo.
Phơng pháp phân tích , tổng kết kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy, bồi dỡng
học sinh giỏi.
Kiểm tra kết quả: Dự giờ đồng nghiệp, kiểm tra chất lợng học sinh, điều tra
trực tiếp thông qua các giờ học.
IV) Phạm vi và đối tợng nghiên cứu:
1, Đối tợng nghiên cứu: Học sinh trờng THCS Hải Phúc- Hải Hậu Nam
Định
2, Phạm vi nghiên cứu: Các dấu hiệu chia hết và tính chia hết trong chơng
trình toán THCS.

B Nội dung
I)Dấu hiệu chia hết cho 2:
1. Lý thuyết:
Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó
mới chia hết cho 2:
Tổng quát: A =
0
11n
n
a aaa



2

a
0

2

a
0


{0, 2, 4, 6, 8}
2. Ví dụ:
a)Ví dụ 1: Chứng minh số A = n.(5n + 3) chia hết cho 2 với mọi n

Z
Giải:

A = n.(5n + 3)
Nếu n chắn => n chia hết cho 2 => A

2
Nếu n lẻ => (5n + 3) chia hết cho 2 => A

2
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
2
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
Vậy A chia hết cho 2 với mọi n

Z
b) Ví dụ 2:
Chứng minh rằng ba số tự nhiên bất kỳ, có ít nhất 2 số mà hiệu chia hết cho 2
Giải:
Cách 1:
Giả sử ba số tự nhiên bất kỳ là a, b, c ta chia ba số tự nhiên a, b, c cho 2. Có
ba phép chia mà chỉ có hai số d do đó có ít nhất hai số tự nhiên khi chia cho 2 có
cùng số d, khi đó hiệu của hai số đó chia hết cho 2
Cách 2:
Giả sử ba số tự nhiên bất kỳ là a; b ; c và a > b > c
+) Nếu cả ba số a; b ; c đều chẵn hoặc lẻ thì các hiệu a b; b c; a c đều
là các số chẵn nên chúng đều chia hết cho 2.
+) Nếu có hai số chẵn,Giả sử là a; b suy ra a - b

2
+) Nếu có hai số lẻ. Giả sử là b; c suy ra b c

2
Vậy trong ba số tự nhiên a; b ; c luôn luôn có ít nhất hai số mà hiệu chia hết
cho 2
c) Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì
(n + 1)( n + 2)(n + 3).(2n)

2
n
Giải:
Đặt A = (n + 1)( n + 2)2n
Ta có A =
1.2.3 n
)3) (2n 2)(n 1)(nn1.2.3 n( +++
A =
1.2.3 n
n]2.4.6 2 [ 1)]2n[1.3.5 (
A =
1.2.3 n
.3 n
n
1)2(2n 1.3.5 2.1.
A = 1.3.5(2n 1). 2
n
Suy ra A

2
n
Vậy (n + 1)( n + 2)(n + 3).(2n)

2
n
với mọi số nguyên dơng n
Nhận xét: Với bài tập trên ta có thể chứng minh đợc
(n + 1)( n + 2)(n + 3).(2n) chia hêt cho 1.3.5(2n - 1)
II) Dấu hiệu chia hết cho 5:
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
3
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
1) Lý thuyết:
Các số có tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia
hết cho 5
Tổng quát: A =
0
11n
n
a aaa



5

a
0

5

a
0

{0; 5}
2.Ví dụ
a)
Ví dụ 1: ( Bài 76 ncft Toán 6)
Ch A = 13! 11 ! Hỏi A có chia hết cho 5 không ?
Giải:
Có A = 13.12.11.2.1 11.10.9.2.1
A = 11! (13.12 1)
A = 11! ( 156 1)
A = 11! . 155
Vì 155

5 nên 11! . 155

5 hay A chia hết cho 5
+) Nhận xét: Với bài tập trên ta còn chỉ ra đợc A

11! ; A

2 ; A

31
b)Ví dụ 2(Bài 10 Toán nâng cao và các chuyên đề Toán 7)
Cho đa thức P(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d với các hệ số a; b; c; d là số nguyên.

Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi x thì các hệ số a ; b ;c ;d
cũng chia hết cho 5.
Giải
Vì đa thức P(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d chia hết cho 5 với mọi x do đó
P(0) = d thì chia hết cho 5
P(1) = a + b + c + d chia hết cho 5
P(-1) = - a + b c + d chia hết cho 5
Từ hai điều kiện trên suy ra b + d chia hết cho 5 mà d

5 nên b

5
P(2) = 8a+ 4b + 2c + d chia hết cho 5 mà d

5 ; b

5 nên 8a + 2c chia hết
cho 5
Từ (a + b + c + d)

5 và (- a + b c + d)

5 ta lại có 2a + 2c chia hết cho 5
Vì thế 8a + 2c (2a + 2c) = 6a chia hết cho 5 mà (6, 5) = 1 nên a

5 từ đó ta

lại có c

5
Vậy mọi hệ số a; b; c; d đều chia hết cho 5
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
4
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
c)Ví dụ 3: (bài 34 toán chọn lọc cấp II tập 2)
Tìm một số tự nhiên n, biết rằng n
2
+ 1 chia hết cho 5
Giải
Số tự nhiên n có một trong các dạng sau: 5k; 5k + 1; 5k + 2;5k + 3; 5k + 4
( với k

N)
+) Khi n = 5k thì n
2
+ 1 = (5k)
2
+ 1 = 25k
2
+ 1 không chia hết cho 5
+) khi n = 5k + 1 thì n
2
+ 1 = (5k + 1)
2
+ 1 = 25k
2

+10k +1 +1
= 25 k
2
+10k +2 không chia hết cho 5
+) Khi n = 5k + 2 thì n
2
+ 1 = ( 5k + 2)
2
+1 = 25k
2
+ 20k + 4 + 1
= 5( 5k
2
+ 4k + 1) chia hết cho 5
+) Khi n = 5k + 3 thì n
2
+ 1 = (5k + 3)
2
+ 1= 25k
2
+ 30k + 10
= 5(5k
2
+ 6k + 2) chia hết cho 5
+) Khi n = 5k + 4 thì n
2
+ 1 = ( 5k + 4)
2
+ 1 = 25k
2

+ 40k + 16 +1
= 25k
2
+ 40k +17 không chia hết cho 5
Vậy n
2
+ 1 chia hết cho 5 khi n = 5k +2 hoặc n = 5k + 3 (với k

N)
Từ kết quả bài tập trên ta có n
2

5

n

5 ; n
2
5

n 5, số d của phép chia
n
2
cho 5 là 0 ; 1 hoặc 4
*Nhận xét:
+) Một số chia hết cho cả 2 và 5 khi có tận cùng bằng 0
Tổng quát: : A =
0
11n
n

a aaa

chia hết cho cả 2 và 5 khi và chỉ khi
a
0
= 0
+) Ví dụ :
Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho cả 2 và 5
Giải
Số chia hết cho cả 2 và 5 phải có tận cùng bằng 0. từ 1 dến 10 chỉ có 1 số nh
vậy đó là 10. Vì vậy từ 1 đến 100 có cả thảy 1.10 = 10 (số chia hết cho cả 2 và 5)
Với bài tập trên ta có thể đặt thêm các câu hỏi từ 1 đến 100 có bao nhiêu số
chia hết cho 2; cho 5 ; cho 3: cho 9 ; cho cả 2; 3; 5; 9
Ngoài ra ta còn có thể xét với các số từ 1 đến 1000,
III)Dấu hiệu chia hết cho 3
1.Lý thuyết:
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó
mới chia hết cho 3
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
5
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
Tổng quát:
A =
0
11n
n
a aaa

A

3

a
n
+a
n 1
+ + a
1
+ a
0

3
2)Ví dụ
a)Ví dụ 1: Tìm các chữ số m; n sao cho m n = 6 và
175 nm
chia hết cho 3
Giải:
Theo đầu bài ta có
175 nm


3 ( 5 + m + 7 + n + 1)

3
(12 + 1 + m + n)

3
(1 + m + n)

3 (vì 12

3) (1)
Vì m n = 6 mà m, n là các chữ số nên
6

m

9
0

n

3
=> 6

m + n

12 (2)
Vì m n là số chẵn nên m + n là số chẵn (3)
Từ (1) và (2) suy ra m + n

{6; 8 ; 10; 12}
Kết hợp với (1) suy ra m + n

{8}
Ta có

=
=+
6
8
nm
nm
=>





=
=
7
1
m
n
Vậy m = 7 và n = 1
b)Ví dụ 2: ( Toán tuổi thơ số 20)
Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3, chỉ đợc viết bởi các chữ số 0; 1 ;2 và
không lớn hơn 2004
Giải
Trớc hết ta viết thêm những chữ số 0 vào phía trớc của các số thoả mãn yêu
cầu đề bài chúng đều có dạng
abcd
trong đó a, b, c, d chỉ đợc viết bởi các số 1, 0

, 2 việc này không làm thay đổi giá trị cũng nh tính chất chia hết cho 3 của các
số đó
Rõ ràng nếu b; c ;d đợc xác định thì a cũng đợc xác định duy nhất để
abcd
chia hết cho 3 ( nếu x là số d của tổngb + c + d khi chia cho 3 thì a = 0 nếu x = 0
hoặc a = 3 x nếu a

0
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
6
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
Có ba cách chọn mỗi chữ số b; c; d trong các chữ số 0; 1 ; 2 nên sẽ có 3
ì
3
ì
3 =27 cách chọn các số
abcd
Vì khi chọn a trong các chữ số 0; 1; 2 thì các chữ số 0; 1; 2 có vai trò nh nhau
nên sẽ có 27 : 3 = 9 cách chọn số
2bcd
trong các số này chỉ có duy nhất 2001 <
2004
Vậy số tự nhiên chia hết cho 3 chỉ đợc viết bởi các chữ số 0; 1; 2 và không lớn
hơn 2004 là 27 9 + 1 = 19 số. Dựa vào quy luật trên ta có:
0000 2001 1002
2010
1011 0012
1020 0021
2022

2100
1101 0102
1110 0111
2112

0120
2111
1122
1200 0201
2202
0210
2211
1212
2220
1221 0222
(các số ghạch chân là những số lớn hơn 2004)
Có 19 số thoả mãn điều kiện đề bài là:
0; 12; 21; 102; 111; 120; 201; 210; 222; 1002; 1011; 1020; 1101; 1110; 1122;
1200; 1212; 1221; 2001
b)
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì:
3
n + 3
+3
n + 1
+2
n + 3
+2
n + 2

chia hết cho 6
Giải:
Ta có 3
n + 3
+3
n + 1
+2
n + 3
+2
n + 2
= 3
n + 1
(3
2
+ 1) + 2
n +2
(2 + 1)
= 3
n + 1
.10 +3.2
n + 2
= 2. 5. 3
n + 1
+ 3.2
n + 2
Rõ ràng mỗi số hạng của tổng đều có một thừa số chia hết cho 2, một thừa số
chia hết cho 3 nên chia hết cho 6
Vậy 3
n + 3
+3

n + 1
+2
n + 3
+2
n + 2
chia hết cho 6
IV)Dấu hiệu chia hết cho 9
1)Lý thuyết:
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
7
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
+)Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số
đó mới chia hết cho 9
+) Tổng quát:
A =
0
11n
n
a aaa


A

9

a
n
+a
n 1

+ + a
1
+ a
0

9
2)Ví dụ
a)Ví dụ 1: Tìm các số a và b biết b a = 2 và
782 ba
chia hết cho 9
Giải
Ta có
782 ba

9 (2 + a + 8 + b + 7)

9
8 + a + b

9 (1)
Vì b a = 2 mà a, b là các chữ số nên
92 b
70 a
=>
162 + ab
(2)
Vì b a là số chẵn nên a + b là số chẵn (3)
Từ (1) và (2) suy ra a + b

{2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16}

Kết hợp với (1) suy ra a + b

{10}
Ta có





=
=+
2
10
ab
ba
=>




=
=
4
6
a
b
Vậy a = 4 và b = 6 ta có số 24867
b)Ví dụ 2:
Biết rằng A = 654
ì

7

9 số 100ch
99 . . . 999
+ 1965. Chứng minh rằng A chia hết cho 9
Giải
Cách 1: phân tích biểu thức A ta có
A = = 654 .

9 số ch 100
999 997
+ 1965
A = 654 . (
3

0 số ch 100
01000
) +1965
A = 654

0 số ch 100
01000
- 1962 +1965
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
8
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
A = 654

0 số ch 99

0000
3
Vì 6 + 5 + 4 + 3 = 18 chia hết cho 9 nên 654

0 số ch 99
0000
3 chia hết cho 9
Cách 2: Ta phân tích A theo cach khác
A = = 654
ì

9 số 100ch
99 . . . 999
7+ 1965
A = 654
ì
19657 +

số 100ch
999 99
A = 654
ì

số ch 101
999 99
- 1308 + 1965
A = 654
ì

số ch 101

999 99
+657
Ta thấy 654
ì

số ch 101
999 99
và 657 đều chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9
Nh vậy kết quả bài toán trên hoàn toàn không phụ thuộc vào số chữ số 9 trong
số 999.997
*)Nhận xét :
+)Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho cả 3 và 9
+) A =
0
11n
n
a aaa

chia hết cho cả 2; 5 ; 3; 9 khi và chỉ khi







=
+++ +
0 a
9 a aaa

0
011-nn

Ví dụ 3 Thay các chữ a; b bởi các chữ số thích hợp để A =
ba392
chia hết cho
cả 2; 5; 3 và 9
Giải:
Để A

2 và A

5 thì b = 0 khi đó A =
3092a
Vì A =
3092a

9 nên (9 + 2 + a + 3 + 0)

9
=> 5 + a

9
Mà a là chữ số nên 5

5 +a

14
Do đó 5 + a = 9 => a = 4 ta có số 92430
Ta có 92430 : 3 + 30810

Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
9
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
Vậy ta có số 92430
V)Dấu hiệu chia hết cho 4 ; cho 25
1)Lý thuyết:
a)Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng lập thành một số
chia hết cho 4
b) Tổng quát:
A =
0
11n
n
a aaa


A

4


0
aa
1

4
b)Dấu hiệu chia hết cho 25:
+)Một số chia hết cho 25 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng lập thành một số
chia hết cho 25

+)Tổng quát
A =
0
11n
n
a aaa


A

25


0
aa
1

25
2)Ví dụ
a)Ví dụ 1: Biết N =
dcba
Chứng minh rằng N

4 khi và chỉ khi a + 2b

4
Giải
Cần: Giả sử N =
dcba

4

1000d + 100c +10b +a a

4

1000d +100c + 8b + 2b + a

4

4( 250d + 25c + 2b ) + (2b + a)

4

2a + b

4
Đủ
Có N=
dcba
= 1000d + 100c + 10b + a
= 1000d + 100c + 8b + 2b + a
= 4(250d + 25c + 2b) +(2b + a)
Vì 4(250d + 25c + 2b)
4 a 2bvà
+
4
Nên 4(250d + 25c + 2b) +(2b + a)
4Nhay4
a) Ví dụ 2:

Cho n số a
1
; a
2
; ; a
n-1
; a
n
mỗi số nhận giá trị - 1 hoặc 1
và a
1
a
2
+ a
3
a
4
++a
n-1
a
n
+ a
n
a
1
= 0 chứng minh rằng n chia hết cho 4
Lời giải:
Vì mỗi số a
1
; a

2
; ; a
n-1
; a
n
bằng - 1 hoặc 1
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
10
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
Nên mỗi số a
1
a
2
; a
2
a
3
; a
3
a
4
;a
n-1
a
n;
a
n
a
1

=1 cũng bằng 1 hoặc 1
Mà a
1
a
2
+ a
3
a
4
++a
n-1
a
n
+ a
n
a
1
= 0 nên số số hạng bằng -1 bắng số số hạng bằng
1suy ra n = 2k ( k

Z
+
)
Mặt khác ta có( a
1
a
2
).( a
2
a

3
)..(a
n-1
a
n
). (a
n
a
1
) = (a
1
a
2
a
3
a
n
)
2
=(

1)
2
=1 nên số số
hạng bằng 1 là số chẵn : k = 2p ( p

Z
+
)
Khi đó n = 2k = 2.2p = 4p là số hết cho 4

c) Ví dụ 3:Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có hai chữ số, biết rằng một số chia hết
cho 4 số kia chia hết cho 25.
Lời giải:
Gọi hai số tự nhiên liên tiếp phải tìm là n và n+1 ta xét 2 trờng hợp
+Trờng hợp 1: n
4
và n+1
25
Vì n+1 là số có hai chữ số chia hết cho 25 nên
n+1
{ }
75,50,25

khi đó n
{ }
74,49,24

trong các số trên chỉ có 24 chia hết
cho 4 . Hai số phải tìm là 24; 25.
+ Trờng hợp 2:
n+1 chia hết cho 4 và n chia hết cho 25
Vì n là số có hai chữ số và chia hết cho 25 nên n
{ }
75,50,25

khi đó n+1
{ }
76,51,26

Trong các số trên chỉ có 76 chia hết cho 4. Hai số phải tìm là 75; 76

Vậy hai số phải tìm thoả mãn yêu cầu là 24,25 và 75, 76
d)Ví dụ 4:
Chứng minh rằng trong hai số chẵn liên tiếp có một số là bội của 4
Giải:
Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n và 2n +2 (n
N

) có hai khả năng hoặc n chẵn
hoặc n lẻ
+Nếu n chẵn thì n=2k (k
N

)
=> 2n=2.2k = 4k => 2n
4
Khi đó 2n +2 =4k + 2 không chia hết cho 4
+ Nêú n lẻ thì n = 2k + 1 ( k
N

)
=> 2n = 2 (2k +1) = 4k + 2 không chia hết cho 4 => 2n không chia hết cho 4
khi đó 2n + 2 = 2(2k +1) +2 = 4k + 4 = 4 ( k + 1)

4 => 2n + 2

4
Vậy trong hai số chẵn liên tiếp có một số là bội của 4
VI. Dấu hiệu chia hết cho 8, cho 125
1, Lí thuyết
a.Dấu hiệu chia hết cho 8

+Một số chia hết cho 8 khi và chỉ khi số đó có ba chữ số tận cùng lập thành
một số chia hết cho 8
+Tổng quát: N =
88
0120121
aaaaaaaa
nn


Chứng minh:
Ta có N = a
n
. 10
n
+ a
n-1
.10
n-1
++ a
2
.100 + a
1
.10+ a
0

N = 1000 A+B
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
11
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết

Trong đó: A = a
n
.10
n-3
+ a
n-1
.10
n-4
++ a
3

B = 100a
2
+ 10a
1
+a
0

Vì 1000
8
nên 1000A
8
=> N
8

8
012
aaaB
=
b.Dấu hiệu chia hết cho 125

+/Một số chia hết cho 125 khi và chỉ khi số đó có ba chữ số tận cùng lập thành
một số chia hết cho 125
N =
125125
0120121
aaaNaaaaa
nn


2.Ví dụ
a.Ví dụ 1: Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8.
Lời giải:
Vì trong 4 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có hai số chẵn liên tiếp. Gọi 2 số
chẵn liên tiếp là 2n và 2n + 2 ( n
N

) có hai khả năng hoặc n chẵn hoặc n lẻ
+ Nếu n chẵn thì n = 2k (k
N

)
=> 2n = 2 .2k =4k
4
=> 2n

4
Khi đó 2n+2 = 4k+ 2

2
Suy ra: 2n(2n+2)

8
+ Nếu n lẻ thì 2n là số chẵn chia hết cho 2 khi đó 2n+2 = 2(n+1)

4
Suy ra 2n(2n + 2)

8
Vậy tích của 4 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 8
b.Ví dụ 2: : Chứng minh rằng n
2
+ 4n + 5 không chia hết cho 8 với mọi số n
lẻ.
Giải:
Đặt n = 2k + 1 ta có
n
2
+ 4n + 5 = ( 2k + 1)
2
+ 4(2k + 1) + 5
= (4k
2
+4k + 1) +( 8k + 4) + 5
= (4k
2
+ 4k) + (8k + 8) + 2
= 4k(k + 1) + 8(k + 1) + 2
Đây là tổng của ba hạng tử , hạng tử đầu là 4k(k + 1) là tích của hai thừa số,một
thừa số là 4 chia hết cho 4, một thừa số là k(k + 1) chia hết cho 2
=> 4k(k + 1) chia hết cho 8

Hay 4k(k + 1) chia hết cho 8
+Hạng tử thứ hai là 8(k + 1) chia hết cho 8
+Hạng tử thứ ba là 2 không chia hết cho 8
Vậy n
2
+ 4n + 5 không chia hết cho 8 (đpcm)
c. Ví dụ 3:
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
12
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có ba chữ số, biết rằng một số chia hết cho 125,
số kia chia hết cho 8.
Giải:
Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp phải tìm là n và n+1
Ta xét 2 trờng hợp:
+ Trờng hợp 1: n

125 và n + 1

8
vì n là số lẻ có ba chữ số và

125 nên
n
{ }
875,625,375,125

khi đó n +1
{ }

876,626,376,126

trong các số trên chỉ có 376

8
Vậy hai số phải tìm là: 375 và 376
+ Trờng hợp 2:
n+1

125 và n

8
Vì n+1 là số lẻ có ba chữ số và chia hết cho 125 nên n+1
{ }
875,625,375,125


Khi đó : n
{ }
874,624,374,124

Trong các số trên chỉ có 624

8
Vậy hai số phải tìm là 624 và 625
Kết luận: Bài toán có 2 đáp số:
375 và 376
624 và 625
VII) Dấu hiệu chia hết cho 7
1/Lí thuyết

Cho số N = a
n
.10
n
+ a
n-1
.10
n-1
+ + a
1
.10 + a
0
Gọi A=
10
0
aN

số N

7

2a
0
A

7 (A < 2a
0
) hoặc A- 2a
0

7 (2a
0
< A)
Chứng minh:
Ta có N =a
n
.10
n
+ a
n-1
.10
n-1
+ + a
1
.10 + a
0

= 10( a
n
.10
n-1
+ a
n-1
.10
n-2
+ + a
1
) + a
0

= 10.A +a
0
(A=
10
0
aN

)
= A(7+3) + 7 a
0
6 a
0
= 7(A+a
0
) +3(A 2a
0
)
-Nếu A < 2a
0
thì N = 7 (A + a
0
) 3(2a
0
- A)
Khi đó 2a
0
A chia hết cho 7 khi và chỉ khi N

7
-Nếu A > 2a

0
thì N=7( A+a
0
) +3(A - 2a
0
)
Khi đó A - 2a
0


7

N

7
2)Ví dụ
a.Ví dụ 1:
Chứng minh rằng trong 7 số sau: n; n + 30; n + 2.30; n + 3.30; n + 4.30;
n + 5.30; n + 6.30 có một và chỉ một số chia hết cho 7
Giải
Hiệu của 2 số trong 7 số đã cho có dạng
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
13
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
R= ( n+ k.30) - ( n + m.30) = (k - m) 30 với m,k nguyên và
)(60;60 mkmmk

=>-6
0;6

mkmk
Số (k - m)30

7 tức là k = m. Do đó mỗi số hạng n + k.30 với k = 0; 1; 2; 6
khi chia hết cho 7 có số d khác số d của một số khác có dạng đó chia hết cho 7 có
số d bằng 0. Tức là có 1 và chỉ 1 trong 7 số đã cho chia hết cho 7
b.Ví dụ 2:
Chứng minh rằng một số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 7 khi và chỉ khi
tổng chữ số hàng chục và 5 lần chữ số hàng đơn vị chia hết cho 7.
Giải:
Gọi số tự nhiên có hai chữ số là
ab
( a, b

N; 1
9 a
;0
b
9)
Ta phải chứng minh
ab

7 (a + 5b)

7
Hiển nhiên ta có đẳng thức sau
2(10a + b) + (a + 5b) = 21a + 7b = 7(3a + b) (1)
Nếu (10a + b)

7 thì từ (1) suy ra ( a + 5b)

7 (vì 7(3a + b)

7)
Nếu (a +5b)

7 thì từ (1) suy ra 2.(10a + b)

7 (vì 7.(3a + b)

7)
Nhng 2 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau nên 10a + b

7
c.Ví dụ 3 Chứng minh rằng
a) 5
5
5
4
+ 5
3
chia hết cho 7
b) 2
10
+ 2
11
+ 2
12
: 7 là số tự nhiên

Giải:
a)Ta có5
5
5
4
+ 5
3
= 5
3
(5
2
5 + 1) = 5
3
(25 5 + 1) = 5
3
.21

7
Vậy 5
5
5
4
+ 5
3
chia hết cho 7
c)
2
10
+ 2
11

+ 2
12
: 7 = 2
10
(1 + 2 +2
2
) :7= 2
10
(1 + 2 + 4):7 =( 2
10
.7):7 = 2
10
Vậy2
10
+ 2
11
+ 2
12
: 7 là số tự nhiên

VIII) Dấu hiệu chia hết cho 10
1.Lí thuyết
Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi chữ số tận cùng là 0
Tổng quát: N =
0
11n
n
a aaa

10

a
0
=0
2.Ví dụ
a.Ví dụ 1
Chứng minh rằng
7
7
7
7
77
77
chia hết cho 10
Cách 1:
Đặt
( )
7
7
7
= a khi đó
( )
[ ]
497
7
7
7
7

7
7 aa ==






Bài toán đa về dạng chứng minh (a
49
a)

10
Ta có: a
49
a = a(a
48
1) = a(a
4
- 1)
( )
[ ]
1
11
4
++a

Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
14

Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
= a( a
4
1) .N
Ta thấy a( a
4
1) là số chẵn nên chia hết cho 2
mà a
4
1

5 ( và a
4
có tận cùng là 1)
Mà (1; 5) = 1 nên bài toán đợc chứng minh
Cách 2:
Bài toán đợc chứng minh xong nếu ta chỉ ra đợc
7
7
7
7
7
và
7
7
7
có chữ số tận
cùng là giống nhau.
Thật vậy xét chữ số tận cùng của các luỹ thừa 7; 7
1

,,7
7
có chữ số tận cùng t-
ơng ứng là 7; 9; 3; 1; 7; 9; 3
Xét các chữ số tận cùng của các luỹ thừa 3; 3
1
; 3
2
; ; 3
7
chữ số tận cùng tơng
ứng là 3; 9; 7; 1; 3; 9; 7
Vậy số
7
7
7
=
( )
7
7
7
có chữ số tận cùng là 7
7
7
7
7
7
có chữ số tận cùng là 7 ( Điều phải chứng minh)
b.Ví dụ 2:
Cho A= 2001

2010
1917
2000
Hỏi A có chia hết cho 10 không ?
Giải:
Ta thấy 2001
2010
có tận cùng là 1
1917
2000
= ( 1917
4
)
500
mà 1917
4
có tận cùng là 1 nên ( 1917
4
)
500
cũng có tận
cùng là 1
=>2001
2010
1917
2000
có tận cùng là 0
Vậy 2001
2010
1917

2000


10
c.Ví dụ 3: Chứng minh rằng
3
n + 2
2
n + 2
+ 3
n
2
n
chia hết cho 10
Giải
Ta có 3
n + 2
2
n + 2
+ 3
n
2
n
= (3
n + 2
+ 3
n
) (2
n + 2
+ 2

n
)
= 3
n
(3
2
+ 1) 2
n
(2
2
+ 1) = 3
n
. 10 2
n
. 5
Ta nhận thấy số bị trừ và số trừ chia hết cho 10 nên hiệu chia hết cho 10 nghĩa
là 3
n + 2
2
n + 2
+ 3
n
2
n
chia hết cho 10 (đpcm)
IX. Dấu hiệu chia hết cho 11
a.Lí thuyết
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu của tổng các chữ số hàng lẻ và hàng
chẵn chia hết cho 11
Tổng quát: A =

0123451
aaaaaaaa
nn

A

11
( ) ( )
[ ]
11
531420
++++++ aaaaaa
Chứng minh
Ta có : A = a
0
.10
0
+a
1
.10 +a
2
.10
2
+ a
3
.10 + a
4
.10
4
++ a

n-1
.10
n
+ a
n
.10
n

A = ( a
0
+ 10
2
.a
2
+
)101010( )10
5
5
3
3
1
4
4
+++++
aaa
a
A=
[ ] [ ]
)1100001()11001()111( )19999()199(
531420

+++++++++ aaaaaa
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
15
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
A=
( )
[ ] [ ]
531 420
)19091.11()19.11()111()1909.11(19.11 aaaaaa +++++++
+
A= Bội 11 + (a
0
+ a
2
+a
4
+) ( a
1
+a
3
+a
5
+)
Do đó A

11


( ) ( )

[ ]

531420
++++++ aaaaaa


11
2.Ví dụ:
a.Ví dụ 1:
Tìm chữ số a để



589
58 5588
alan
aaa


Xét số
58a


11

(5 + 8 - a)

11

(11 + 2 - a)

11

2 - a

11
Vì a là chữ số mà 2- a

11 nên a = 2
Vậy với a = 2 thì

589
58 5588
alan
aaa


11
b. Ví dụ 2:
Chứng tỏ rằng số có dạng
abcabc
bao giờ cũng chia hết cho 11
Giải: Có
111001.)11000(1000 abcabcabcabcabcabc
=+=+=
c.Ví dụ 3:
Tìm số A =
abcd
biết

abcd
chia hết cho 11; a = b + c và
bc
là số chính
phơng
Giải:
Vì
bc
là số chính phơng nên chữ số tận cùng c chỉ có thể là 0; 1; 4; 5; 6; hoặc
9
Mặt khác
abcd


11 nên a + c- b d nhận các giá trị 0;

11
Ta xét các trờng hợp sau:
+Nếu a + c b - d =0
dc
cba
dbca
=



+=
+=+
2
nếu c = 0 thì d = 0 ; nếu c = 1 thì d = 2; nếu c = 4 thì d = 8

Ta đợc các số 9812; 1012 ; 4048
+ Nếu a+c-b-d =11
112
11
=



+=
=+
dc
cba
dbca
=>c > 5 và d lẻ
nếu c = 6 => d = 1
nếu c = 9 => d =7
Ta đợc các số: 7161; 9361; 9097
+ Nếu a + c b d = 11



+=
=+

cba
dbca 11
=>d - 2c = 11 vì d < 9 nên hệ vô nghiệm
Vậy tìm đợc 6 số là: 9812; 9361; 9079; 7161; 4048; 1012
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến

16
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
d.Ví dụ 4:
Chứng minh rằng nếu
11gecdab
++
thì
degabc


11
Giải:
Có:
degabc
=
ab
.1000 +
cd
.100 +
eg
= 9999
ab
+
ab
+ 99
cd
+
cd
+
eg

=(9999
ab
+99
cd
) + (
ab
+
cd
+
eg
)
Vì (
11)999999 cdab
+
và
11)( egcdab
++
nên
11degabc
X, Dấu hiệu chia hết cho 13
Một số chia hết cho 13 khi và chỉ khi hiệu của tổng các số đợc ghép bởi 3 chữ
số liên tiếp nhau với số đợc lập bởi 3 chữ số liên tiếp theo (tính từ phải sang trái)
chia hết cho 13
Tổng quát:
N=
13 )( )(13
345678012011
+++

aaaaaaaaaaaaa

nn
Ví dụ
Chứng minh rằng một số chia hết cho 13 khi và chỉ khi tổng của số chục và 4
lần chữ số hàng đơn vị của số đó chia hết cho 13
Giải:
Cách 1: Cho số N =
011011
10 4010 aaaaaaaa
nnnn
++

Và xét số M bằng tổng của số chục và bốn lần chữ số hàng đơn vị
M = a
n
a
n-1
a
1
+ 4a
0
Ta có 10M N =
011011
10 4010 aaaaaaaa
nnnn
+

=39 a
0
chia hết cho 13
Từ đó nếu M chia hết cho 13 thì 10 M chia hết cho 13. Vậy N chia hết cho 13

Đảo lại:Nếu N chia hết cho 13 thì 10 M chia hết cho 13 mà ( 10,13)=1 nêm M
chia hết cho 13
Cách 2: Giả sử số N đã cho gồm a chục và b đơn vị
N = 10a + b ( a nguyên dơng;
90

b
)
Xét số M = a + 4b
Ta có 10 M N = 10 a + 40 b 10a b = 39 b
Sau đó kết luận tiếp nh ở cách 1.
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
17
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
C.Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho a
1
; a
2
; a
3
;;a
n
là các số nguyên thoả mãn các điều kiện
a
1
+ a
2
+ + a

n-1
+a
n
= s
a
1
5
+ a
2
5
+ + a
n-1
5
+a
n
5
= p
Chứng minh rằng Nếu S

30 thì P

30
Bài 2
Chứng minh rằng nếu (n; 6) = 1 thì (n
2
- 1)

24
Bài 3:
Cho a, b, c , d là các số nguyên. Chứng minh rằng tích của các hiệu b - a;

c -a; d - a và c b chia hết cho 12
Bài 4:
Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng
(
14
14
3
2
23
+
+
+
n
n

+5)

22
Bài 5:
Chứng minh rằng một số gồm một số chẵn các chữ số, trong đó chữ số đầu
tiên và cuối cùng là 1, các chữ số còn lại là 0 luôn luôn chia hết cho 11
Bài 6:
Chứng minh rằng tổng của hai số nguyên chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng
của các lập phơng của hai số đó cũng chia hết cho 6
Bài 7:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên m,n
a.mn(m
2
n
2

)

3
b.n(n + 1)(2n + 1)

6
Bài 8:
Với n chẵn Chứng minh rằng
20
n
+ 16
n
3
n
1

323
Bài 9:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n
n
5
n

30
Bài 10
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 17 là tổng của ba
lần số chục và hai lần số hàng đơn vị chia hết cho 17.
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
18

Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
Bài 11:
Chứng minh rằng tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120.
Bài 12:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên m thì 4m
3
+ 9m
2
19m 30

6
Bài 13:
Chứng minh rằng n
3
+ 3n
2
n 3

48 với mọi n là số nguyên lẻ.
Bài 14:
Cho n là số nguyên dơng. Chứng minh rằng trong hai số
A=2
2n+1
+ 2
n+1
+1
B=2
2n+1
- 2
n+1

+1
Có một số không chia hết cho 5
Bài 15: Chứng minh rằng
a.Số gồm 81 chữ số 1 thì chia hết cho 9
b.Số gồm 27 nhóm chữ số 10 thì chia hết cho 27
Bài 16:
Cho S = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ 2
5
+ + 2
99
+ 2
100
Chứng minh
a. S

31
b. S

3
c. S

15.
D. Hớng dẫn lời giải
Bài 1:

Hiệu p s =
`
)
nnnn
aaaaaaaaaaaa
+++=+++
5
2
5
21
5
121
55
2
5
1
()()(
Ta có : a
5
k
- a
k
= a
k
(a
2
k
+1)(a
2
k

- 1) = a
k
(a
k
- 1)(a
k
+1)(a
2
k
+1)
Rõ ràng a
k
(a
k
- 1)(a
k
+1) chia hết cho 6
Vậy a
5
k
a
k
chia hết cho 6
-Nếu a
k
= 5m thì a
5
k
a
k

5
-Nếu a
k
= 5m+1 thì a
2
k

5
-Nếu a
k
= 5m+2 thì a
2
k

5
Nh vậy bao giờ cũng có a
5
k
- a
k


5 nên a
5
k
a
k

30
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
19
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
Hiệu p - s có đợc khi cho k nhận giá trị từ 1 đến n nh vậy p - s chia hết cho 30.
Suy ra nếu s chia hết cho 30 thì p cũng chia hết cho 30.
Bài 2:
Theo giả thiết vì (n, 6) =1 nên (n, 2) = 1 và (n, 3) = 1 vì n - 1 và n +1 là hai số
chẵn liên tiếp nên (n - 1)(n + 1) = n
2
1 chia hết cho 8. Mặt khác tích của 3 số
liên tiếp (n - 1)(n + 1)n chia hết cho 3 mà (n, 3) = 1 nên một trong hai số n - 1
và n + 1 chia hết cho 3. Vì (3, 8 ) = 1 => n
2
1

24.
Bài 3:
Đặt A= (b - a)(c - a)(d - b)(c - b)
có 12 = 4.3 và (3, 4) =1 ta phải chứng minh A

4 và A

3
+)Chứng minh A

3
Lấy 4 số nguyên a, b, c, d

3 ta đợc 4 phép chia nhận các số d có thể là 0, 1,
2. Theo nguyên tắc Đi rích lê phải tồn tại hai phép chia có cùng số d khi chia
cho 3 thì hiệu hai số này chia hết cho 3 => A

3(1)
+)Chứng minh A

4
Lấy 4 số nguyên a, b, c, d chia cho 4 ta đợc 4 phép chia nhận các số d có thể là
0, 1, 2, 3
.Nếu tồn tại hai số khi chia cho 4 có cùng số d thì hiệu của chúng chia hết cho
4 => A

4
.Nếu trong 4 số a, b, c, d không có số nào có cùng số d khi chia cho 4 thì phải
có hai số chẵn nhận các số d là 0,2 và hai số lẻ nhận số d là 1, 3 suy ra có hai
hiệu chia hết cho 2 => A

4 (2)
Từ (1)và (2) kết hợp với (3, 4) =1 suy ra A

12
Bài 4:
Ta có4
2n
- 1 = (4 +1)(4
2n-1
- 4
2n-2

++(-1))

5
Mặt khác 2
4n+1
= 2.4
2n
= 2(4
2n
1) +2

5 d 2
Hay 2
4n+1
= 5k+2
+/Đặt M =
2243.923.92323
5252
14
+=+=+=+
+
+
kkk
n
vì 243

11 d 1 nên 3
5k+2
+ 2 = 243
k

11 d 1
Vậy 9.243
k

11 d 9 do đó 9.243
k
+ 2

11
Ta lại có 3
4n+1
= 3.9 = 3.81
n
khi chia 3.81
n
cho 10 thì d 3
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
20
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
Vậy 3
4n+1
= 10q+3
+/Đặt N =
11)1132(8332.83232
223102
14
+=+=+=+
+

+
qqq
n
= 8.33 (32
2q-1
- 32
2q-2
+ -1) + 11

11
Do đó A = M + N

11
Mặt khác A là số chẵn mà (2, 11) = 1
Vậy A

22
Bài 5:
Chứng minh bằng phơng pháp quy nạp toán học
Giả sử số đã cho có n chữ số trong đó có n là số chẵn
-Với n = 2 mệnh đề đúng vì 1001

11
-Giả sử mệnh đề đúng với n = 2k tức là
1101 1000
2


0 số chuk
Ta phải chứng minh cho mệnh đề đúng với n = 2k + 2. Thật vậy

N =
01 1000
22
=
+

số ch k
1101 1000
2


số ch k
+

số ch 12
0 990
+k
=

số ch k2
01 1000
+ 99 .

số ch k2
0 1000
=
1101 1000
2

số ch k
theo giả thiết quy nạp và số 99 chia hết cho 11. Vậy N

11
Bài 7:
a.Cách 1: có mn(m
2
- n
2
) = mn(m - n)(m + n) (1)
Xét 3 trờng hợp:
+/TH1: m và n có cùng số d trong phép chia cho 3 khi đó m - n

3 ( vì hiệu hai
số d bằng 0) => mn(m
2
- n
2
)

3.
+/TH2: m, n không chia hết cho 3 và khác số d trong phép chia cho 3 khi đó
m +n

3 (vì số d 1 + 2 =3

3)
Do đó mn(m - n)(m + n)

3

+/TH3: m hoặc n chia hết cho 3 thì mn(m
2
- n
2
)

3
b.Cách 2:
Có mn(m
2
- n
2
) = mn(m
2
1 - n
2
+ 1)
=mn[(m
2
-1) - (n
2
- 1)] = mn(m - 1)(m + 1) - mn(n - 1)(n + 1)
vì mn(m - 1)(m + 1)

3 và mn(n - 1)(n + 1)

3
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
21

Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
nên mn(m - 1)(m + 1) - mn(n - 1)(n + 1)

3 hay mn(m
2
- n
2
)

3
Bài 8:
Có 323 = 17.19
Có 20
n
+ 16
n
3
n
1 = (20
n
1) + (16
n
+ 3
n
)
Vì 20
n
- 1

(20 - 1) = 19 và 16

n
- 3
n

(16 + 3) = 19 vì n chẵn
nên 20
n
+ 16
n
3
n
1

19 (1)
mặt khác 20
n
+ 16
n
3
n
1 = (20
n
3
n
) + (16
n
+ 1)
vì (20
n
3

n
)

(20-3) = 17 và (16
n
+ 1)

(16 + 1) = 17 ( vì n chẵn)
nên 20
n
+ 16
n
3
n
1

17 (2)
Từ (1) và (2) kết hợp với (17, 19) = 1
=>20
n
+ 16
n
3
n
1

17.19
hay 20
n
+ 16

n
3
n
1

323
Bài 9:
Cách1: Ta có 30 = 3.5.2
n
5
- n = n(n
4
- 1) = n (n
2
- 1)(n
2
+ 1)
=n(n - 1)(n + 1)(n
2
+ 1)
có n(n - 1)(n + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên n(n - 1)(n + 1)

6
Ta phải chứng minh n(n
2
- 1)(n
2
+ 1)

5

*Lấy n chia cho 5 thì n = 5k hoặc n = 5k
1
hoặc n = 5k
2
xét các trờng hợp ta chỉ ra n
5
- n

6
vậy n
5
n

30 với mọi n
Cách 2:
Có n
5
n = n(n
4
- 1) = n (n
2
- 1)(n
2
+ 1)
n(n - 1)(n + 1)(n
2
4 + 5)
=n(n - 1)(n + 1)[(n - 2)(n + 2)+ 5]
=(n - 2)(n -1) n (n + 1)(n + 2) + 5(n - 1)(n + 1)n
vì n - 2; n + 1; n - 1; n + 2; n là 5 số nguyên liên tiếp nên ít nhất có một số chia

hết cho 2, 1 số chia hết cho 3, một số chia hết cho 5
mà 2, 3, 5 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau nên (n - 2)(n - 1) n (n +1)(n+2)
chia hết cho 2.3.5 = 30 (1)
-Tơng tự chỉ ra 5(n - 1)(n + 1) n chia hết cho 5.6 = 30 (2)
Từ (1) và (2) =>(n - 2)(n - 1) n (n + 1)(n + 2)+5(n - 1)(n + 1)n chia hết cho 30
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
22
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
hay n
5
- n

30
Bài 10:
Gọi số chục của số đã cho là a và số đơn vị là b (
10,;,;0 < baNbaa
)
Số đã cho có dạng là 10a + b
Khi đó tổng 3 lần số hàng chục và 2 lần số hàng đơn vị là 3a + 2b
Ta phải chứng minh 10a + b

17

3a + 2b

17
(=>) Nếu 10a + b

17 => 3a + 2b

17
có 10a + b

17
=> 2(10a + b)

17
=>17a + 3a + 2b

17
=> 3a + 2b

17 (vì 17a

17)
(<=) nếu 3a + 2b

17 thì 10a +

17
có 3a + 2b

17
=> 3a + 2b + 17a

17
=> 20a + 2b

17

=> 2(10a + b)

17
mà (2, 7) = 1 nên 10a + 2b

17
Bài 11:
Gọi 5 số nguyên liên tiếp là n, n +1;,n + 4
Ta có 120 = 3.5.8 mà 3, 5 ,8 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải chứng
minh cho n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) chia hết cho 3, 5 và 8
Bài 12:
Có 6 = 3.2 mà (3, 2) = 1 nên 4m
3
+ 9m
2
19m 30

6
khi 4m
3
+ 9m
2
19m 30 chia hết cho 3 và 2
Có 4m
3
+ 9m
2
19m 30 = 4m
3
+ 4m

2
+5m
2
24m +5m 30
=4m(m
2
+ m - 6) +5(m
2
+ m - 6)
=(m
2
+ m - 6) (4m+5)
=(m - 2)(m + 3)(4m + 5)
+) nếu có m dạng 3 k (k

Z) thì m + 3

3 => (m - 2)(m + 3)(4m + 5)

3
+) Nếu m =3k +1 (k

Z) thì 4m + 5 =12k + 6

3 => (m - 2)(m+ 3)(4m +5)

3
+) Nếu m = 3k + 2 (k

Z) thì m - 2 = 3k

3 =>(m - 2)(m + 3)(4m + 5)

3
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
23
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
Do đó (m - 2)(m + 3)(4m + 5)

3 với mọi m

Z ( 1)
Lập luận tơng tự ta cũng đợc (m - 2)(m + 3)(4m + 5)

2 với mọi m

Z (2)
Từ (1) và (2) kết hợp với (2, 3)=1
=>(m - 2)(m + 3)(4m + 5)

6 với mọi m

Z
Bài 13
Có n
3
+ 3n
2
- n 3 = n

2
(n + 3) (n + 3)
=(n+3)(n
2
- 1)=(n + 3)(n - 1)(n + 1)
vì n là số nguyên lẻ nên n = 2k + 1 (k

Z)
khi đó (n + 3)(n + 1)(n - 1) = (2k + 1 + 3)(2k + 1 + 1)(2k + 1 - 1)
=8k(k + 1)(k + 2)
vì k ; k + 1; k + 2 là ba số nguyên liên tiếp nên k(k + 1)(k + 2)

6
=>8k(k + 1)(k + 2)

48
Vậy n
3
+ 3n
2
- n 3 chia hết cho 48 với mọi số nguyên lẻ
Bài 14.
Có a
n
b
n
=(2
2n+1
+ 2
n+1

+ 1)( 2
2n+1
- 2
n+1
+ 1)
= (2
4n+2
- 2
2n+2
+1) = 4
2n+1
- 2
2n
+ 1
mà 4
2n+1
+1 = 4(16
n
1) + 5 = 4(16 - 1)(16
n-1
+ 16
n-2
++ 16 + 1) + 5

5 (1)
có a - b = 2
n+2
là số chẵn không hết cho 5
do đó hai số a, b khi chia cho 5 không cùng số d (2)
Từ (1) và (2) suy ra trong hai số a, b bao giờ cũng có một và chỉ một số chia hết

cho 5.
Bài 15
a. A =

1 11
81 1 số
B=

1 11
9 số
Đặt C = A : B =
10 0010 0010 001
88
8

0 số0 số
0 số
gồm 9 chữ số 1 và các chữ số 0 chia hết cho 9
Vì C

9; B

9 => A

9
b. Đặt D =
10 1010

10 số 27
.

10 0010 001
17
17

0 số
0 số
Ta thấy thừa số thứ nhất có tổng các chữ số bằng 9 nên chia hết cho 9. Thừa số
thứ hai có tổng các chữ số bằng 3 nên chia hết cho 3.
Vậy D = 9 k .3q (k,q
*
N
)
= 27k.q
Ngời Thực Hiện
Trần Thị Hải Yến
24
Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết
Vậy D

27
Bài 16:
a)
.s = 2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
99
+ 2
100

s = (2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ 2
5
) + +(2
96
+ 2
97
+ 2
98
+ 2
99
+ 2
100
)
s = 2(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
) ++ 2
96
(1 + 2 + 2
2

+ 2
3
+ 2
4
)
s=2.31++2
96
.31
s=31.(2 + 2
6
++ 2
96
)

31
=> S

31
b).
s = (2 + 2
2
) + + ( 2
99
+ 2
100
)
s = 2(2 + 1) ++2
99
(2 + 1)
s = 3(2 + 2

3
++ 2
99
)
=> s

3
c).
s = (2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ 2
5
) + +(2
96
+ 2
97
+ 2
98
+ 2
99
+ 2
100
)
s =2(1 + 2 + 2
2
+ 2

3
) + + 2
97
(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
)
s = 2.15 ++ 2
97
.15
s = 15(2 + 2
5
+ + 2
97
)

15
=> S

15
E.Kết luận
I/ Những kết quả đạt đợc
Qua quá trình trực tiếp giảng dạy và bồi dỡng HSG chuyên đề Dấu hiệu chia
hết tôi thấy học sinh đã nắm đợc dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9, đồng thời mở
mở rộng để xét tính chia hết cho 4 và 25, cho 8 và 125, cho 7 cho 10, cho 11, 13,
19, 29 , 39,49 30 , 48, 120
Từ một bài toán về dấu hiệu chia hết cụ thể nếu chiụ khó tìm tòi, suy nghĩ
có thể tìm đợc nhiều cách giải đề xuất đợc những bài toán thú vị thiết lập đợc
Ngời Thực Hiện

Trần Thị Hải Yến
25