Đề Thi Học Sinh Giỏi TOÁN 12 - THPT Lê Quý Đôn - Thái Bình [2009 - 2010] pps

Sở Giáo dục - Đào tạo Thái Bình
Trờng THPT Lê Quý Đôn
*********
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Năm học 2009 2010
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: (6 điểm)
1/ Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số:
2
3 3
m
y x x
x

có 3
điểm cực trị.
Khi đó chứng minh rằng cả 3 điểm cực trị này đều nằm trên đờng cong có
phơng trình:
2
3( 1)y x
.
2/ Cho đồ thị (C) có phơng trình:
2
4 2 1y x x x
Tìm trên trục tung điểm A sao cho qua A kẻ đợc ít nhất một tiếp tuyến đến đồ
thị (C)
Bài 2: (3 điểm)
Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn:
2 2
2005

sin sin sinA B C
Biết góc A, B nhọn. Tính góc C.
Bài 3: (4 điểm)
Trong hệ trục toạ độ 0xy cho 3 điểm A(0;a), B(b;0), C(-b;0) với a>0, b>0.
1/ Viết phơng trình đờng tròn tiếp xúc với AB tại B.
2/ Gọi M là một điểm bất kỳ trên đờng tròn ở câu 1/. Gọi d
1
, d
2
, d
3
lần lợt là
khoảng cách từ M tới AB, AC và BC. Chứng minh rằng:
2
1 2 3
d .d d
Bài 4: (5 điểm)
1/ Giải phơng trình:
x x x
2004 2006 2.2005
2/ Với giá trị nào của m bất phơng trình:
2 2
2 4
log x 2x m 4 log (x 2x m) 5
nghiệm đúng với mọi

x 0;2
Bài 5: (2 điểm)
Xét các số thực x, y thoả mãn:
x 3 x 1 3 y 2 y

Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
P x y

Đáp án và biểu điểm
Bài
Nội dung
điểm
Bài 1:
1/ Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số:
2
3 3
m
y x x
x

có 3 điểm cực trị.
Khi đó chứng minh rằng cả 3 điểm cực trị này đều nằm trên
đờng cong có phơng trình:
2
3( 1)y x
.
3 đ
1/ + TXĐ:

D R \ 0
+ Tính
2
3 2
2
m 2x 3x m

y' 2x 3
x
x


xác định
x D
+ Hàm số có ba cực trị
y' 0
có ba nghiệm phân biệt
1 2 3
x ,x ,x
và
đổi dấu qua các nghiệm đó.
1
2

phơng trình
3 2
f(x) 2x 3x m 0
có ba nghiệm phân biệt
1 2 3
x ,x ,x
cùng khác 0.
CĐ CT
f(0) 0
f(x)có có CĐ, CT mà f .f 0

1
2
Xét
f(x) m 0 m 0
Xét
3 2
f(x) 2x 3x m
Có
2
x 0
f '(x) 6x 6x f '(x) 0
x 1






x
-
0
0
+
f(x)
+
0
-

0
+
1
2
Hàm số đạt cực đại tại
CĐ
x 0 f f(0) m
Hàm số đạt cực tiểu tại
CT
x 1 f f)(1) 1 m
CĐ CT
f .f 0 m(m 1) 0 1 m 0
Do đó hàm số có 3 cực trị
1 0
1
2
* Gọi 3 điểm cực trị là
1 1 2 2 3 3
A(x ;y ),B(x ;y );C(x ;y )
với
1 2 3
x ,x ,x
là
ba nghiệm của
3 2
f(x) 2x 3x m 0
+ Chứng minh:
Với hàm số
0 0
(x) 0 (x ) (x )

u(x)
y ,x TXĐ, y' 0,v' 0
v(x)

thì:
0
0
(x )
0
u'(x )
y
v'(x )

1
2
Từ đó
1
2
1 (x ) 1 1
y y 3x 6x 3
2
2
2 (x ) 2 2
y y 3x 6x 3
3
2
3 (x ) 3 3
y y 3x 6x 3
Chứng tỏ toạ độ 3 điểm cực trị thoả mãn phơng trình:
2 2

y 3x 6x 3 y 3(x 1)
1
2
2/ Cho đồ thị (C) có phơng trình:
2
4 2 1y x x x
Tìm trên trục tung điểm A sao cho qua A kẻ đợc ít nhất một
tiếp tuyến đến đồ thị (C)
3 đ
Vì
2 2 2
4x 2x 1 (x 1) 3x 0 x R
1
4
+ TXĐ: R
1
4
+ Tính
2
4x 1
y' 1
4x 2x 1



+ Lấy điểm
2
0 0 0 0 0 0
M(x ;y ) (C) y x 4x 2x 1

Tiếp tuyến (d) của (C) tại M có phơng trình dạng:
0
0 (x ) 0
y y y' .(x x )
2
0
0 0 0 0
2
0 0
4x 1
y 1 (x x ) x 4x 2x 1
4x 2x 1







1
2
+ Gọi
A d 0y A(0;a)
2
0
0 0 0 0
2
0 0
4x 1
a 1 ( x ) x 4x 2x 1

4x 2x 1







0
2
0 0
x 1
4x 2x 1



1
2
+ Xét hàm số:
0
0
(x )
2
0 0
x 1
a f
4x 2x 1

TXĐ: R.
Có
0 0
0
(x ) (x ) 0
2 2
0 0 0 0
3x
f ' f ' 0 x 0
(4x 2x 1) 4x 2x 1



1
2
0 0
(x ) (x )
x x
1 1
lim f ; lim f
2 2


x
0
-
0
+
0
(x )

f '
+
0
-
0
(x )
f
1
2

1
1
2
1
2

Với
0
1
x TXĐ thì - a 1
2

Kết luận: Điểm
1
A(0;a) với - a 1
2

1
2
Bi 2

Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn:
2 2
2005
sin sin sinA B C
Biết góc A, B nhọn. Tính góc C.
3 đ
+ Do C l góc của tam giác nên
2005
0 sinC 1 sinC sinC
1
2
2 2 2
(1) sin A sin B sin C
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
4R sin A 4R sin B 4R sin C
a b c
a b a b 2.a.b.cosC
cosC 0 (2)




1
+ Chứng minh:
2 2 2
sin A sin B sin C 2.cosA.cosB.cosC
1
2

Do đó:
2
2005
sinC sin C 2 2.cosA.cosB.cosC
(*)
Có:
2
2005
sinC sin C 2
2 2.cosA.cosB.cosC 2
cosA.cosB.cosC 0
cosC 0 (3) (vì A, B nhọn cosA>0, cosB>0)
1
2
Từ (2) và (3)
0
cosC 0 C 90
1
2
Bài 3:
Trong hệ trục toạ độ 0xy cho 3 điểm A(0;a), B(b;0), C(-b;0) với
a>0, b>0.
1/ Viết phơng trình đờng tròn tiếp xúc với AB tại B.
2 đ
Giả sử đờng tròn (C):
2 2 2
(x ) (y ) R


thoả mãn đầu bài

+ Có AB, AC đối xứng nhau qua 0y
I( ; ) 0y nên =0


1
2
+ (C) tiếp xúc với AB tại B
2
2 2
b
IB.AB 0
a
R AB
R b

2
4
2
2
b
a
b
R b
a











1
Vậy đờng tròn (C) có phơng trình:
2 4
2 2
2
b b
x y b
a
a

1
2
2- Gọi M là một điểm bất kỳ trên đờng tròn ở câu 1/. Gọi
1 2 3
d ,d ,d
lần lợt là khoảng cách từ M đến AB, AC và BC
2 đ
+ Phơng trình đờng thẳng AB:
x y
1 ax by ab 0
b a

Phơng trình đờng thẳng AC:
x y
1 ax by ab 0
b a


Phơng trình BC: y=0
1
2
+ Gọi
2
2 4
2 2
0 0 0 0
2

b b
M(x ;y ) (C) x y b
a
a




2
2 2 2
0 0 0
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
b
x y 2. .y b 0
a
a .x a y 2a.b .y a .b 0 (1)


1
2
0 0 0 0
1 2 3 0
2 2 2 2
| ax by ab | | ax by ab |
d ;d ;d | y |
a b a b

Khi đó:
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
0 0 0
0 0
1 2
2 2 2 2
| a x b y 2a.b .y a .b |
| a x (by ab) |
d .d (2)
a b a b




Từ (1)
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
a x a y 2.a.b .y a b 0
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
a x 2.a.b .y a b a y (3)
Thay (3) vo (2) ta có:
2 2 2 2
2 2
0 0
1 2 0 3
2 2
| a y b y |

d .d | y | d
a b



Bài 4
1- Giải phơng trình:
x x x
2004 2006 2.2005
2 đ
Giả sử x
0
là một nghiệm của phơng trình
0 0 0
0 0 0 0
x x x
x x x x
2004 2006 2.2005
2006 2005 2005 2004


1
2
Đặt:
0 0
x x
f(t) (t 1) t
f(t)
liên tục trên R
Nên

f(t)
liên tục trên

2004;2005
và có
f(2005) f(2004)
Và:
0 0 0 0
x 1 x 1 x 1 x 1
0 0 0
f '(t) x (t 1) x t x (t 1) t




1
2
Nên

2004;2005 để f'( )=0


0 0
0 0
x 1 x 1
0
0
0 0
x 1 x 1
0 0

x ( 1) 0
x 0
x 0 x 0
x 1 0 x 1
( 1)


















1
2
Thử lại
0 0
x 0,x 1
thoả mãn.
Kết luận: Nghiệm phơng trình: x=0, x=1

1
2
2- Với giá trị nào của m bất phơng trình:
2 2
2 4
log x 2x m 4 log (x 2x m) 5
nghiệm đúng với

x 0;2
3 đ
Điều kiện:
2
2
2
4
x 2x m 0
x 2x m 1
log (x 2x m) 0








1
4
Bpt
2 2

4 4
log (x 2x m) 4 log (x 2x m) 5
(1)
Đặt
2
4
t log (x 2x m)
đk: t 0
Bpt (1)
2
t 4t 5 0
0 t 1
t 0






1
2
2
4
0 log (x 2x m) 1
2
4
2
4
log (x 2x m) 0
log (x 2x m) 1

2
2
x 2x m 1
x 2x m 4








1
2
Do đó để bất phơng trình đã cho nghiệm đúng

x 0;2
2
2
x 2x m 1
x 2x m 4

nghiệm đúng

x 0;2
2
2
x 2x 1 m
x 2x 4 m








nghiệm đúng

x 0;2
1
4


x 0;2

2
x 0;2
M in f(x) 1 m
(với f(x)=x 2x)
Maxf(x) 4 m










Xét
2
f(x) x 2x với 0 x 2
Có:
f '(x) 2x 2 f(x) 0 x 1
Bảng biến thiên:
x
-
0
1
2
+
f(x)
-
0

+
f(x)
0
-1
0
1
2


x 0;2
x 0;2
M in f(x) 0
Maxf(x) 1










Do đó (*)
1 1 m m 2
2 m 4
0 4 m m 4

Kết luận:
2 m 4
1
2
Bài 5:
Xét các số thực x, y thoả mãn:
x 3 x 1 3 y 2 y
Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
P x y
2 đ
Giả thiết (1):

x y 3 x 1 y 2
Xét hệ:
x y P
3( x 1 y 2) P







(I)
1
2
Đặt:

u x 1 0
v y 2 0







Hệ (I):
2
2 2
P
u v
3(u v) P
3
1 P
u v P 3
u.v P 3
2 9

(II)
1
2
Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi hệ (II) có nghiệm u,v:
u 0,v 0
2
2
2 2
P 1 P
t t P 3 0
3 2 9
18t 6Pt P 9P 27 0 có 2 nghiệm không âm





1
2
' 0
c 9 3 21
0 P 9 3 15
a 2

b
0
a













Kết luận:
9 3 21
Min P ,MaxP 9 3 15
2


1
2