Đề Thi Học Sinh Giỏi TOÁN 12 - THPT Quế Võ 1 - Bắc Ninh [2009 - 2010] potx

sở gd & đt bắc ninh
trờng thpt quế võ 1
( Đề thi gồm có 01 trang)
đề thi chọn học sinh giỏi cấp trờng
năm học 2009-2010
Môn : Toán
Khối: 12
Thời gian 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
CU I: (2 im)
Cho hm s
23
3
xxy
(C).
1) Kho sỏt v v th hm s (C)
2) Gi
)(,,
321
CAAA
thng hng.Tip tuyn ti
321
,, AAA
ct (C) ln lt ti
321
,, BBB
.
Chng minh rng
321
,, BBB
cng thng hng
Câu II: (2 điểm )

1) Giải phơng trình:
2sinx cosx 1 1
sinx 2cosx 3 3



2) Giải hệ phơng trình :







322
loglog
yx
xy
yxy
Câu III: (2 điểm )
1) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:

xxmxxx 4512
2) Cho x,y,z là các biến số dơng, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

222
3
33
3
33
3
33
2)(4)(4)(4
x
z
z
y
y
x
xzzyyxP
CU IV: (2 im)
1) Cho tam giỏc ABC, bit C(4;-1), ng cao v ng trung tuyn k t nh A
cú phng trỡnh tng ng l:
1 2
: 2 3 12 0; : 2 3 0d x y d x y
. Lp phng
trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc ABC.
2) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng, cnh huyn BC = a,

B
. Cỏc mt bờn ca hỡnh chúp nghiờng u trờn ỏy mt gúc 60
0

. Chõn ng
cao ca hỡnh chúp k t S min trong ca tam giỏc ABC. Tớnh th tớch khi chúp.
Câu V: (2 điểm)
1) Có bao nhiêu cách chia hết 200 quyển sách ging nhau thành bốn phần biết rằng
mỗi phần có ít nhất 20 quyển sách .
2) Tìm hệ số không chứa x trong khai triển
20
3
1
2




x
x
.
.Ht
(Thớ sinh khụng c s dng ti liu trong khi lm bi)
H TấN NGI T HP
Phm Thu Thy
P N THI HC SINH GII CP TRNG NM HC 2009-2010
MễN TON KHI 12 (4 trang)
Cõu1
2 im
1) TX:R, S bin thiờn, th
2)Gi s
23)(),(
3

iiiiii
xxyCyxA
.
i
1,2,3
Honh giao im ca tip tuyn ti
i
A
ca (C) vi th (C) l
nghim pt:
iii
yxxxyxx ))(('23
3
i
xx 2
Vy
)268,2(
3

i
i
ii
xxxB
.Do
:)(
i
A
bxay .
nxmx
ii

.
3
qxpxB
iii
)2.(,2(
.Xột
)'(.:)(
'

i
Bqxpy
pcm
1.0
0.25
0.25
0.25
0.25
1) Giải phơng trình :
2sin cos 1 1
sin 2cos 3 3
x x
x x



( 1 )
ĐK : sinx 2cosx + 3

0,
x R

0,25
( 1 )

5sinx + 5cosx = 0
0,25
tanx = -1

4
x k



0,25
KL : Phơng trình có một họ nghiệm
4
x k



0,25
2) Giải hệ
log log (1)
2 2 3(2)
y x
x y
xy y

ĐK : x,y > 0, x

1, y

1
(1)

1 1 1
log log (1 log )
2 2 log

y x y
y
xy y x
x
0,25
đặt
log , 0
y
t x t
.
t
2
+ t 2 = 0
2
1
1

2
x y
t
x
t
y













+ x = y

hệ phơng trình có nghiệm x = y =
2
3
log
2
0,25
+
2
1

x
y

phơng trình (2) có dạng
2
1
2 2 3
y
y

( *)
với y > 1

2
1
2 2
2 1
y
y








phơng trình ( * ) vô nghiệm
0,25
Cõu 2

2 điểm
Với 0 < y < 1 :

2
1
2 1
2 2
y
y








Phơng trình (*) vô nghiệm
0,25
Hệ có nghiệm : y =
2
3
log
2
1) Tìm m để phơng có nghiệm
12 ( 5 4 )(1)x x x m x x
BG : ĐK 0 < x < 4
(1)

12 5 4x x x x x m

0,25

( ) 12 5 4f x x x x x x
Đặt
( ) 5 4 0
( ) 12 0
h x x x
g x x x x



0;4x
0,25
+ h(x) > 0 và g(x) > 0 với

0;4x

f(x) là hàm đồng biến trên đoạn

0;4
0,25

0 < x < 4

f(0) < f(x) < f(4)

12 5 4 12m
0,25
Cõu 3
2 điểm

2)

3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
4 4 4 2
x y z
P x y y z z x
y z x




với x,y,z > 0
Ta có : 4(x
3
+ y
3
) > ( x + y )
3
( 1 )
CM : (1)

4(x
2
+ y
2
xy ) > ( x + y )
2

(x y)
2
> 0 . Dấu =
xảy ra khi và chỉ khi x = y
0,25
Tơng tự : 4 ( y
3
+ z
3
) > ( y + z)
3
. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi y = z
4 ( z
3
+ x
3
) > ( z + x)
3
. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi z = x
0,25
Do đó :

3 3 3 3 3 3
3
3 3 3
4 4 4 2( ) 6x y y z z x x y z xyz
0,25
Lại có:
2 2 2
3

6
2
x y z
y z x
xyz




Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
0,25
3
3
1
6 12P xyz
xyz





Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
1xyz
x y z





Vậy MinP = 12 khi và chỉ khi x = y = z = 1

0,25
Cõu 4
2 im
1) ( 1 im)
+ Vỡ BC
1
d
nờn BC nhn VTPT
(2; 3)n

ca
1
d
lm VTCP ca
mỡnh
0,25
d1
d2
C(1;-1)
A
B
M
PT:
3( 4) 2( 1) 0 3 2 10 0x y x y       
+ Tọa độ điểm A là nghiệm của hpt:
 
2 3 12 0 3
( 3;2)
2 3 0 2
x y x

A
x y y
    
  
  
AC (7; 3)   

VTPT của AC là
(3;7) :3( 3) 7( 2) 0 3 7 5 0
AC
n PT AC x y x y        

+ Gọi M là trung điểm BC . Khi đó tọa độ điểm M là nghiệm của hpt:
 
3 2 10 0 6
(6; 4)
2 3 0 4
x y x
M
x y y
   
  
   
Gọi B(x;y) thì
 
4 12 8
(8; 7) (11; 9)
1 8 7
x x
B AB

y y
  
     
    

VTPT
của AB là
(9;11) :9( 3) 11( 2) 0 9 11 5 0
AB
n PT AB x y x y        

+ KL:
0,25
0,25
0,25
2) (1 điểm)
B
C
A
O
S
I
K
H
+ Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC).
H,I,K lần lượt là hình chiếu của O trên AB, AC, BC.



0

60SHO SIO SKO   
là góc của các mặt bên hợp với đáy

các tam giác vuông SOH, SOI, SOK bằng nhau
0,25
OH OI OK O   
Cách đều 3 cạnh của
ABC
O
là tâm đường tròn nội tiếp
ABC
, bán kính
OH OI OK x  
Ta có diện tích ABC là:
1
. .
2
ABC
S p r AB AC 
Trong đó:
2
2 ;
.cos ; .sin ;
. sin cos
(1 sin cos )
p AB BC CA
AB a AC a BC a
AB AC a
r
AB AC BC a

 
 
 
  
  
  
   
Xét tam giác vuông SOH có:
0
.tan60 3SO OH r 
+ Thể tích SABC là:
2 2
3 2
3 2
1 1 . 1
. . . . . 3
3 3 2 6
1
( sin cos ) 3
sin 2 3
6
.
(1 sin cos ) 24 1 sin cos
6.sin 2
96cos cos( )
2 2 4
SABC ABC
AB AC
V S SO SO AB AC r
a

a
a
a
 

   

  
  
 
   


0,25
0,25
0,25
Câu5
1) (1đ)
2) (1đ)
1) Gọi x ,y, z, t là số sách mà từng phần có đựoc thì x.y.z.t thoả mán
điệu kiện
x,y,z,t


;20
x+y+z+t=200 (1)
( Đặt a=x-19;b=y-19;c=z-19;d=t-19)
(1) trỏ thành
124a b c d
(*)

( Đặt a=x-19;b=y-19;c=z-19;d=t-19) thì a,b,c,d dơng .
số cách chia quà là số nghiệm nguyên dơng của phơng trình (*)
+)Đặt 276 dấu chấm theo hàng ngang tạo đơc 275 khoảng trống
.Đặt 3 que tính vào ba khoảng trống bất kỳ .(phần dấu chấm đầu tiên
gán cho a. phần dấu chấm thứ hai gán cho b.phần dấu chấm thứ ba
gán cho c. phần dấu chấm thứ t gán cho d) nh vậy ta có một
nghiệm nguyên.
dcba
/ / /
vậy số nghiệm nguyên của pt(*) là số cách đặt 3 que và ba khoảng
trống bất kỳ là số tổ hợp chập 3 của 123.
KL :Số cách chia 200 quyển sách thoả mãn đàu bài là
3
123
C
2) Tìm hệ số không chứa x trong khai triển

6
560
20
20
0
20
3
1
20
2
1
20
0

20
20
3
1
2
1
20
3
2
22
1
2
k
k
k
k
k
k
k
k
x
xxxx
x
x
C
C

;
,0 20 k k
Hệ số không chứa x thì 60-5k=0 nên k=12( T/m)
Hệ số cần tìm là .
8
12
20
2
C
=32248320
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25