Đề Thi Học Sinh Giỏi TOÁN 12 - Tỉnh Ninh Bình - Vòng 1 [2009 - 2010] pps

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
Năm học: 2009 – 2010
MÔN TOÁN (VÒNG I)
Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu, 01 trang
Câu 1 (7 điểm)
a) Cho hàm số
3
3y x x m  
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.
b) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn
0
3
a b c
a b c
ab bc ca
 


  


   

. Chứng minh rằng:
( 2) 2abc  
và
( 2) 1 1 2a b c       
c) Cho hàm số

2
2 16 4 1y x x x   
có đồ thị (C). Tìm các điểm trên trục Oy mà qua đó có thể kẻ
tới (C) đúng một tiếp tuyến.
Câu 2 (4 điểm)
a) Giải hệ phương trình :
2
2
2
, (0 1).
x y a
y z a a
z x a

 

   


 

b) Trong một trại hè có 20 học sinh trường A, 25 học sinh trường B và 28 học sinh trường C. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn ra 22 học sinh, sao cho mỗi trường có ít nhất một em?
Câu 3 (2 điểm)
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức:
1
2 3 *
1

1
2
3 1
, n N
2 2
n n n
u
u u u







   


(N
*
là tập hợp các số nguyên dương).
Chứng minh rằng dãy số (u
n
) có giới hạn và tìm giới hạn của dãy số.
Câu 4 (5 điểm)
Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và S
1
, S
2
lần lượt là diện tích của các tam giác ABC, ABD;  là

số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC), (ABD). Gọi M là điểm thuộc cạnh CD và cách đều hai mặt phẳng
(ABC) và (ABD).
a) Chứng minh rằng:
1 2
2 sin
3
S S
V
AB


và
1
2
S
CM
DM S

.
b) Tính diện tích tam giác ABM theo V, S
1
, S
2
, .
Câu 5 (2 điểm)
Cho hàm số
* *
:f N N
(N
*

là tập hợp các số nguyên dương) thỏa mãn:
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ),
f xy f x f y
f x y f x f y



  

Tính f(2), f(3), f(2009).
HẾT
Họ và tên thí sinh: ……………………………………………….Số báo danh:………………………
Giám thị 1: Họ và tên:……………………………………………Chữ kí:…………………………………
Giám thị 1: Họ và tên:……………………………………………Chữ kí:…………………………………
với mọi bộ các số nguyên tố x, y
với mọi
*
x,y N
và
( , ) 1x y 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC