De thi đại học Ngân Hàng khối A

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
CÂU I :
Cho hàm số :
3
3y x x= −
(1)
1. Khảo sát hàm số (1)
2. Chứng minh rằng khi m thay đổi ,đường thẳng cho bởi phương trình y=m(x+1)+2 luôn cắt
đồ thò (1) tại một điểm A cố đònh.
Hãy xác đònh các gía trò của m để đường thẳng cắt đồ thò hàm số (1) tại 3 điểm A,B,C khác nhau
sao cho tiếp tuyến với đồ thò tại B vàC vuông góc với nhau.
CÂU II:
1. Giải phương trình :
3
4 1 3 2
5
x
x x
+
+ − − =
2. Tìm tất cả các giá trò của tham số a sao cho bất phương trình sau được nghiệm đúng với mọi
0x ≤

1
2 (2 1)(3 5) (3 5) 0
x x x
a a
+
+ + − + + <
3. Giải phương trình :

3 3
4sin cos3 4cos sin 3 3 3 cos 4 3x x x x x+ + =
CÂU III:
1. Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=1 thì :

1 1 1
3
3 3 3 3
3 3
a c a c
b b
a b c
 
 
 
+ + ≥ + +
2. Tính diện tích phần hình phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường
x
y xe=
, y = 0, x= -1,
x=2.
CÂU IV:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB= a, AD= 2a,AA’= a
1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và B’C.
2. Gọi M làđiểm chia trong đoạn AD theo tỉ số
3
AM
MD
=
Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (AB’C)

3. Tính thể tích tứ diện AB’D’C
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
Câu I:
1) Khảo sát hàm số:
y=
3
3x x−
(1)
TXĐ: D = R
y’=
2
3 3x −

1
1
y'=0
x
x
<=>
=−
=
[
y”=6x
y”=0  x=0 =>y=0
=> điểm uốn O(0, 0)
BBT:
Đồ thò:

2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng y = m(x + 1) + 2 luôn cắt đồ thò (1) tại 1 điểm cố
đònh A:

* Đường thẳng (d): y = m(x + 1) + 2 luôn đi qua điểm cố đònh A(-1, 2).
Thay A(-1, 2) vào (1) thoả =>A
∈
đồ thò (1).
Vậy: (d) luôn cắt đồ thò (1) tại điểm cố đònh A(-1, 2).
Đònh m để (d) cắt đồ thò (1) tại 3 điểm A, B, C phân biệt sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông góc
với nhau.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):

3
3x x−
= m(x + 1) + 2
⇒
(x+1)(
2
x
- x – 2 - m) = 0
(d) cắt (1) tại 3 điểm phân biệt.
1
2
2 0
(2)
x
x x m




= −
− − − =

⇔
⇒
(2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1.
{
0
( 1) 0g
⇔
∆>
− ≠

{
1 4(2 ) 0
0
m
m
⇔
+ + >
≠

9
4
0
m
m


⇔




>−
≠
Khi đó (2) có 2 nghiệm
B
x
,
C
x
=> hệ số tiếp tuyến tại B và C là: f’(
B
x
), f’(
C
x
)
Tiếp tuyến tại B và C vuông góc nhau
⇒
f’(
B
x
).f’(
C
x
) = -1
⇒
(3
2
B
x
-3)(3

2
C
x
- 3) = -1
⇒
9
2
B
x
2
C
x
- 9(
2
B
x
+
2
C
x
) + 9 = -1
⇒
9
2
P
-9(
2
S
- 2P) +10 = 0
Mà:

1
2
b
S
a
P m

= − =



= − −

=> 9
2
( 2 )m− −
- 9(1 + 4 + 2m) +10 = 0
=> 9
2
m
+18m – 9 = 0
=>
2
m
+2m-1=0
1 2
1 2
m
m


⇔


=− +
=− −
(loại)
So với điều kiện: m > -
9
4
và m
≠
-1+
2
.
Câu II:
1) Giải phương trình:
(4 1)x +
-
(3 2)x −
=
3
5
x +
Điều kiện: x
≥

2
3
, khi đó:
Phương trình

⇒
(4 1) (3 2)
(4 1) (3 2)
x x
x x
+ − −
+ + −
=
3
5
x +

⇒
3
(4 1) (3 2)
x
x x
+
+ + −
=
3
5
x +

⇒
(4 1)x +
+
(3 2)x −
= 5 (vì x
≥

2
3
nên x + 3
≠
0)

⇒
2
(4 1)(3 2)x x+ −
= 26 - 7x



2 26

7
3
2
344 684 0


⇔



≤ ≤
− + =
x
x x

2 26

7
3
324 2


⇔



≤ ≤
= ∨ =
x
x x

⇒
x = 2
2) Tìm a để bất phương trình nghiệm đúng với
∀
x
≤
0.
x.
1
2
x+
+(2a+1)
(3 5)

x
−
+
(3 5)
x
+
< 0
Bất phương trình
⇒
2a.
2
x
+ ( 2a + 1)
(3 5)
x
−
+
(3 5)
x
+
< 0

⇒
2a + (2a + 1)
3 5
2
x
 
−
 ÷

 ÷
 
+
3 5
2
x
 
+
 ÷
 ÷
 
< 0
Nhận xét:
3 5
2
x
 
+
 ÷
 ÷
 
3 5
2
x
 
−
 ÷
 ÷
 
=1

Do đó: t =
3 5
2
x
 
+
 ÷
 ÷
 
thì
3 5
2
x
 
−
 ÷
 ÷
 
=
1
t
(t > 0)
Thế vào bất phương trình ta được:
2a + (2a + 1)
1
t
+ t < 0
⇒
2at + 2a + 1 +
2

t
< 0 (vì t > 0)
⇒
2a(t + 1) < -
2
t
-1
⇒
2a <
2
1
1
t
t
− −
+
(*) (vì t > 0)
Xem hàm số: y =
2
1
1
t
t
− −
+
Với x
≤
0 thì 0 < t
≤
1

Ta có: y’=
( )
2
2
2 1
1
t t
t
− − +
+
, y’= 0
⇒
t= -1
2±
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận:
Bất phương trình đúng
∀
x
≤
0
⇒
(*) đúng
∀
t < (0, 1)
⇒
2a < -1
⇔
a< -
1

2
3) Giải phương trình: 4
3
sin x
cox3x + 4
3
cos x
sin3x + 3
3
cos4x = 3
Phương trình
⇔
4sinxcos3x(1 -
2
cos x
) + 4cosxsin3x(1 -
2
sin x
) + 3
3
cox4x – 3 = 0
⇔
4(sinxcos3x + cosxsin3x) - 4sinxcosx(cos3xcosx + sin3xsinx) + 3
3
cos4x – 3 = 0
⇔
4sin4x - 2sin2xcos2x + 3
3
cos4x – 3 = 0
⇔

4sin4x - sin4x + 3
3
cos4x – 3 = 0
⇔
3sin4x + 3
3
cos4x = 3
⇔
sin4x +
3
cos4x = 1
⇔
1
2
sin4x +
3
2
cos4x =
1
2
⇔
sin4xcos
3
π
+ cos4xsin
3
π
=
1
2

⇔
sin
4
3
x
π
 
+
 ÷
 
= sin
6
π
4 2
3 6
5
4 2
3 6
x k
x k
π π
π
π π
π


⇔


+ = +

+ = +
24 2
8 2
k
x
k
x
π π
π π


⇔



−
= +
= +
Đáp số:
24 2
8 2
k
x
k
x
π π
π π
−
= +
= +




(k
∈
Ζ
)
Câu III:
1) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 thì:
1
3
a
+
1
3
b
+
1
3
c
≥
3
3 3 3
a b c
a b c
 
+ +
 ÷
 
Vì a, b , c có vai trò như nhau nên ta có thể giả sử:

a
≤
b
≤
c =>
1
3
a

≥

1
3
b

≥

1
3
c
Trước hết ta chứng minh bổ đề:
Nếu a
≤
b
≤
c và A
≤
B
≤
C thì:

(a + b + c)(A + B + C)
≥
3(aA + bB + cC) (*)
Thật vậy:
(*)
⇔
aB + aC + bA + cA + cB - 2aA - 2bB - 2cC
≥
0

⇔
(a - b)(B - A) + (b - c)(C - B) + (c - a)(A - C)
≥
0
Đúng vì (a - b)(B - A)
≥
0;(b - c)(C - B)
≥
0 và (c - a)(A - C)
≥
0
Vậy: a
≤
b
≤
c thì
1
3
a
≥

1
3
b
≥
1
3
c
=>(a + b + c)
3 3 3
a b c
a b c
 
+ +
 ÷
 
≥
3
3 3 3
a b c
a b c
 
+ +
 ÷
 
(đpcm)
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x
x
e
, y = 0, x = -1, x = 2.
Ta có: S=

2
1
x
xe dx
−
∫
= -
0
1
x
xe dx
−
∫
+
2
0
x
xe dx
∫
Đặt u = x => du = dx, dv =
x
e
dx, chọn v =
x
e
Vậy: S= -
0
0
1
1

x x
xe e dx
−
−
 
−
 
 
∫
+
2
2
0
0
x x
xe e dx
 
−
 
 
∫
= -
( )
0
1
x x
xe e
−
 
−

 
 
+
( )
2
0
x x
xe e
 
−
 
 
=
2
1
e
 
−
 ÷
 
+
( )
2
1e +
= 2 +
2
e
-
2
e

(đvdt)
Câu IV:
1) Tính khoảng cách giữa AD và BC:
Ta có: AB
⊥
AD
AB
⊥
BC
=> AB = a là khoảng cách giữa AD và BC.
2) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (A’BC):
Chọn hệ trục Oxyz như sau: O = A, Ox qua AD, Oy qua AB, Oz qua AA’ => A(0, 0, 0), B’(0, a, a),
C(2a, a, 0).
Phương trình mặt phẳng (AB’C):
VTCP:
'AB
uuuur
= (0; a; a) và
'AC
uuuur
= (2a; a; 0)
=> Pháp vectơ:
n
r
=
', 'AB AC
 
 
uuuur uuuur
= (-

2
a
; 2
2
a
; -2
2
a
) hay (1, -2, 2)
=>(AB’C): x - 2y + 2z = 0
Ta có: M(
3
2
a; 0; 0) Khoảng cách từ M đến (AB’C) là:
d(M,(AB’C))=
3
2
9
a
=
2
a
3) Tính thể tích tứ diện AB’D’C:
Ta có: D’(2a, 0, a) =>
'AD
uuuur
=(2a, 0, a)
' 'AB D C
V
=

1
6
', . 'AB AC AD
 
 
uuuur uuur uuuur
=
1
6
3 3
2 2a a− −
=
3
2
3
a