Đề Thi HSG Toán 12 - THPT Chí Linh [2009 - 2010] doc

1
Trờng THPT
chí linh
***
Đề Thi học sinh giỏi lớp 12
năm học 2009 - 2010
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: ( 3,0 điểm)
1) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
1
1
x
y
x



tại giao điểm của đồ thị
hàm số với trục tung.
2) Cho hàm số
3 2
3 1y mx mx m
.
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x
1
,x
2
, x
3

thoả mãn : x
1
<1<x
2
<x
3
.
Câu 2: (1,5 điểm)
Tìm điểm cực trị của hàm số
2
sin
2
cos x
y x
Câu 3: (1,5 điểm)
Giải phơng trình :
4sin3 . os2 3.x c x cosx sinx
Câu 4: ( 3,0 điểm)
Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn tâm O đờng kính AC=2R. B là điểm di động
trên đờng tròn (O) ( B khác A,C). trên đờng thẳng d vuông góc với (P) tại A lấy điểm
S cố định. Mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với SC cắt SC, SB lần lợt tại M,N.
1) Cho

CAB


, SA=a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a,R,

.
2) Khi B di động trên đờng tròn (O). Đờng thẳng MN cắt đờng thẳng BC tại D.

Chứng minh rằng:
a) D nằm trên một đờng thẳng cố định.
b)
2 2 2 2
SCD SAC SAD ACD
S S S S


trong đó
, , ,
SCD SAC SAD ACD
S S S S

là diện tích các

SCD,

SAC,

SAD,

ACD.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho
0
2
x y


. Chứng minh rằng

sin
sinx x
y y

.
Hết
2
Hớng dẫn chấm toán 12
Cõu
Ni dung
im
Cõu1
(3,0)
1,5
1)1,5
Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
1
1
x
y
x



tại giao điểm của đồ thị hàm số với
trục tung.
x=0=> y=-1=> đồ thị hàm số cắt oy ti A(0;-1)
0,25
vi

1
0
1
x
x



1
3
3
1 1
( )
1 1
x x
y
x x



2 2
3 3
2
1 1 2 1
' ( ) ( )' ( )
1 1 ( 1) 1
x x x
y
x x x x

0,5
y(0)=2
0,25
Phng trỡnh tip tuyn ca th hm s ti A(0;-1) l
y=y(0)(x-0)-1<=> y=2x-1
0,5
2)(1,5)
Cho hàm số
3 2
3 1y mx mx m
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân
biệt có hoành độ x
1
,x
2
, x
3
thoả mãn : x
1
<1<x
2
<x
3
.
Honh giao im ca th hm s v truc honh l nghim ca phng trỡnh
3 2 3 2
3 1 0 ( 3 1) 1(1)mx mx m m x x

0,25
m=0 => (1) vụ nghim

3 2
1
0 (1) 3 1m x x
m

0,25
Xột f(x)=x
3
-3x
2
+1 , f(x)=3x
2
-6x, f(x)=0
0
2
x
x






bng bin thiờn
x
- 0 1 2 +
f(x)

+ 0 - - 0 +
f(x)
+
1
-1
3
-
0,25
3
Đồ thị hàm số cắt ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x
1
,x
2
,x
3
thoả mãn : x
1
<1<x
2
<x
3
<=> (1)
có 3 nghiệm phân biệt x
1
,x
2
,x
3
thoả mãn : x
1

<1<x
2
<x
3
<=> Đường thẳng (d):
1
y
m
 
cắt đồ
thị (C): f(x)=x
3
-3x
2
+1 tại 3 điểm phân biệt có hoành độ độ x
1
,x
2
,x
3
thoả mãn : x
1
<1<x
2
<x
3.
(d) cùng phương với ox cắt oy tại điểm có tung độ
1
m


.
0,25
Từ bảng biến thiên =>
0 1
1 1
1 0 0
1 1
0
3 1 ( ;1)
1 1 3
3
1
3 0 0
3
m
m
m
m m
m
m
m
m
m m
 


 
  

 


  

         
  


  
  


 

 


KL:
1
( ;1)
3
m
0,5
Câu 2
(1,5đ)
T×m ®iÓm cùc trÞ cña hµm sè
2
sin
2
cos x
y x 

TXĐ: D=R
y’=-sin2x+cosx
0,25
y’=0 <=>cosx(1-2sinx)=0
2
cos 0
2 ( )
1
6
sinx
2
5
2
6
x k
x
x k k
x k







 







    






 



0,25
y’’=-2cos2x-sinx
0,25
2
x k


 
=>y’’=2-sin(
2
k



)>0=>
2
x k



 
là điểm cực tiểu của hàm số
0,25
2
6
x k


 
=>y’’=-3/2 <0=>
2
6
x k


 
là điểm cực đại của hàm số
5
2
6
x k


 
=>y’’=-3/2=>
5
2
6

x k


 
là điểm cực đại của hàm số
0,25
vậy- điểm cực tiểu của hàm số là
2
x k


 
( )k 
-điểm cực tiểu của hàm số là
2
6
x k


 
;
5
2
6
x k


 
( )k 
0,25

4
Câu 3
(1,5đ)
Gi¶i ph¬ng tr×nh :
4sin3 . os2 3.x c x cosx sinx 
(1)
(1)<=>
2sin5 2sinx 3.x cosx sinx  
0,5
2sin5 3.x cosx sinx  
0,25
3 1
sin5 cos sinx sin5 sin( )
2 2 3
x x x x

     
0,25
5 2
3 18 3
( )
2
5 2
3 6 2
x x k x k
k
x x k x k
  

  


 
    
 
  
 
 
    
 
 

0,5
Câu 4
(3,0đ)
1) 1,0đ
N
A
C
D
S
B
M
O
Trong tam giac vuông ABC có BC=AC.sinα=2Rsinα ; AB=AC.cosα
0,25
2
1
. 2 sin os
2
ABC

S AB AC R c
 

 
0,25
2
2
.
1 1 sin 2
. .2 sin os
3 3 3
S ABC ABC
aR
V SAS a R c

 

  
0,5
2)(2,0đ)
2a)(1,0đ)
( )
( )
( )
SC AMN SC AD
AD SAC
SA ABC SA AD
  

 


  

0,5
Do A cố định, (SAC) cố định nên D nằm trên đường thẳng cố định đi qua A và vuông góc với
(SAC)
0,5
5
2b)(1,0đ)
( ) ( )
AB BC BC AN
BC SAB BC SB AN SBC
SA BC AN SC
AN SB
 
 
      
 
 
 
 
0,25
Trong tam giác vuông SAB có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
(1)
AN SA AB SA AD AC
    
0,25
Nhân 2 vế của (1) với

2
.
9
S ACD
V
2 2 2 2
. . . .
2 2 2 2
2 2 2 2
9 9 9 9
S ACD S ACD S ACD S ACD
SCD SAC SAD ACD
V V V V
AN SA AD AC
S S S S
   
  
   
0,5
Câu 5
(1,0đ)
Cho
0
2
x y

  
. Chøng minh r»ng
sin
sinx x

y y

.
Xét
2
sinx cos sinx
( ) (0; ] '( )
2
x x
f x x f x
x x


   
0,25
( ) cos sinx
g'(x)= cos sinx cos sinx 0 [0; ]
2
g x x x
x x x x x

 
      
=> g(x) nghịch biến trên
[0; ]
2

0,25
2
( )

(0; ] ( ) (0) 0 '( ) 0 (0; ]
2 2
g x
x g x g f x x
x
 
         
=>f(x) nghịch biến trên
(0; ]
2

0,25
nên
0
2
x y

  
=>f(x)≥f(y)<=>
sin
sin
sinx y sinx x
x y y y
  
0,25
Người soạn
Vũ Chí Cương- THPT Chí Linh