Đề thi HSG tỉnh Ninh Bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn Toán – Vòng 1
(Dùng cho tất cả các thí sinh)
Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1: (2 điểm)
Tính giá trị biểu thức:
( )
( )
x 5 2 2 5 5 250
3 3
y
3 1 3 1
x x y y
A x y
x xy y
= + −
= −
− +
+
= −
− +
Câu 2: (2,5 điểm)
Cho phương trình (m + 1)x
2
– 2(m – 1) + m – 2 = 0 (ẩn x, tham số m).
a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thỏa mãn:
1 2
1 1 7
x x 4
+ =
Câu 3: (1,0 điểm)
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một ca nô chạy xuôi
dòng từ bến A tới bến B, nghỉ 1 giờ 20 phút ở bến sông B và ngược dòng trở
về A. Thời gian kể từ lúc khởi hành đến khi về bến A tất cả 12 giờ. Tính vận tốc
riêng của ca nô và vận tốc dòng nước biết vận tốc riêng cảu ca nô gấp 4 lần
vận tốc dòng nước.
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O cắt
đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B. Điểm M chuyển động trên (d) và
nằm ngoài đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường
tròn (O; R) (N, P là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn,
xác định tâm đường tròn đó.
b) Chứng minh MA.MB = MN
2
.
c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều.
d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
Câu 5: (1 điểm)
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:
4 5

23
x y
+ ≥
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
6 7
B 8x 18y
x y
= + + +
Đáp án:
Câu 1:
x = 10;
y = 3
A = x – y = 7
Bài 2:
a) Với m = 2 thì x
1
= 0; x
2
= 2/3.
b) m = -6.
Bài 3:
ĐS: Vận tốc ca nô: 12 km/h
Vận tốc dòng nước: 3 km/h
Bài 4:
a, b) Dễ quá rồi.
c) Tam giác MNP đều khi OM = 2R
d) Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là đường thằng d’ song
song với đường thẳng d (trừ các điểm ở bên trong đường tròn).
Bài 5:
6 7

B 8x 18y
x y
2 2 4 5
8x 18y 8 12 23 43
x y x y
= + + +
   
 
= + + + + + ≥ + + =
 ÷
 ÷  ÷
 
   
Dấu bằng xảy ra khi
( )
1 1
x;y ;
2 3
 
=
 ÷
 
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 43 khi
( )
1 1
x;y ;
2 3
 
=

 ÷
 