Mô phỏng thuật toán bằng đồ thị

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, kết quả luận văn hoàn toàn là kết quả của tự bản thân
tôi tìm hiểu, nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của TS. Hồ Cẩm Hà.
Các tài liệu tham khảo được trích dẫn và chú thích đầy đủ.
Học viên
Nguyễn Thị Chinh
Trang 3
LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi muốn gửi lời cảm đến các Thầy, Cô trong khoa Công nghệ
thông tin- Trường Đại học Công nghệ - Đại học Quốc gia Hà nội đã truyền đạt
các kiến thức quý báu cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Đặc biệt,
tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn TS Hồ Cẩm Hà, người đã
tận tình chỉ bảo và hướng dẫn về mặt chuyên môn cho tôi trong suốt quá trình
thực hiện luận văn này.
Cũng qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu trường THPT
Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội, nơi tôi đang công tác đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập cũng như trong suốt quá trình thực
hiện luận văn tốt nghiệp.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn ủng hộ,
động viên tôi rất nhiều để tôi yên tâm nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Trong suốt quá trình làm luận văn, bản thân tôi đã cố gắng tập trung tìm hiểu,
nghiên cứu và tham khảo thêm nhiều tài liệu liên quan. Tuy nhiên, do thời gian
hạn chế và bản thân còn chưa có nhiều kinh nghiệm trong nghiên cứu khoa học,
chắc chắn bản luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót. Tôi rất mong được nhận sự chỉ
bảo của các Thầy Cô giáo và các góp ý của bạn bè, đồng nghiệp để luận văn
được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2011
Nguyễn Thị Chinh
Trang 4
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 7

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ THUẬT TOÁN 9
1. Khái niệm bài toán Tin học 9
2. Khái niệm thuật toán 9
3. Các tính chất của thuật toán 10
4. Độ phức tạp và xác định độ phức tạp của thuật toán 11
5. Chi phí thực hiện thuật toán 15
6. Ba bài toán trên mô hình đồ thị được đưa vào giảng dạy trong trường Trung học Phổ
thông Chuyên 15
6.1. Một số khái niệm cơ bản về đồ thị 15
6.1.1. Khái niệm đồ thị (Graph) 15
6.1.2. Các khái niệm cơ bản 16
6.2. Bài toán tìm kiếm trên đồ thị 18
6.2.1. Phát biểu bài toán 18
6.2.2. Giới thiệu thuật toán tìm kiếm DFS và BFS 19
6.2.3. Độ phức tạp tính toán của thuật toán DFS và BFS 21
6.3. Bài toán tìm đường đi ngắn nhất trên đồ thị có trọng số 21
6.3.1. Phát biểu bài toán 21
6.3.2. Giới thiệu thuật toán Ford - Bellman 22
6.2.3. Giới thiệu thuật toán thuật toán Dijkstra 23
6.3.4. Độ phức tạp 25
6.4. Các thuật toán tìm kiếm trên cây khung 25
6.4.1. Bài toán cây khung 25
6.4.2. Giới thiệu thuật toán Prim 26
6.4.3. Giới thiệu thuật toán Kruskal 27
6.4.5. Độ phức tạp 28
6.5. Bài toán tìm chu trình Hamilton qua tất cả các đỉnh của đồ thị 29
6.5.1. Phát biểu bài toán 29
6.5.2. Giới thiệu thuật toán tìm chu trình Hamilton: 30
Chương 2 MÔ PHỎNG THUẬT TOÁN 31
1. Khái niệm và chức năng của mô phỏng 31

2. Lịch sử của mô phỏng thuật toán 32
3. Hiệu quả của mô phỏng thuật toán trong giảng dạy 34
4. Một số yêu cầu đối với mô phỏng thuật toán 38
4.1. Mô phỏng đúng theo thuật toán 38
4.2. Cho phép thực hiện theo từng bước 38
4.3. Mô phỏng thuật toán phải có tính động 38
4.4. Có thể thực thi với mọi bộ dữ liệu đầu vào 40
4.5. Có sự phân cấp người học 40
5. Quy trình mô phỏng thuật toán 40
5.1. Nghiên cứu và phân tích giải thuật 40
5.2. Mô phỏng dữ liệu vào và kết quả đầu ra 41
5.3. Chia thuật toán thành nhiều bước nhỏ rồi mô phỏng theo từng bước 42
5.4. Tổng hợp mô phỏng theo các bước 44
5.5. Sơ đồ cấu trúc chung của hệ thống mô phỏng 44
Trang 5
6. Đề xuất lựa chọn công cụ để phát triển chương trình mô phỏng thuật toán 45
6.1. Một số hệ thống mô phỏng thuật toán chung 46
6.2. Sử dụng công cụ mô phỏng thuật toán riêng biệt 50
6.3. Xây dựng hệ thống từ đầu 51
Chương 3 PHÂN TÍCH THIẾT KẾ HỆ THỐNG MÔ PHỎNG MỘT SỐ
THUẬT TOÁN TRÊN ĐỒ THỊ 52
1. Mục đích 52
2. Những yêu cầu thực tế 52
3. Đề xuất cho hệ thống mới 53
4. Thiết kế hệ thống mô phỏng một số thuật toán trên đồ thị 54
4.1. Lựa chọn công cụ lập trình 55
4.2. Chức năng mô phỏng của các thuật toán được cài đặt 57
4.2.1 Mô phỏng thuật toán tìm kiếm 57
4.2.2. Mô phỏng thuật toán Dijkstra 59
4.2.3. Mô phỏng thuật toán Ford – Bellman 61

4.2.4. Mô phỏng thuật toán Prim 61
4.2.5. Mô phỏng thuật toán Kruskal 63
4.2.6. Thuật toán tìm chu trình Hamilton 64
5. Giới thiệu chương trình 64
5.1. Tổng quan về hệ thống 64
5.1.1. Các đối tượng xây dựng cấu trúc đồ thị 65
5.1.2. Công cụ vẽ hình ảnh để mô phỏng 68
5.1.3.Chức năng chi tiết của các công cụ hỗ trợ cho quá trình mô phỏng 68
5.2. Giới thiệu các công cụ hỗ trợ mô phỏng do người dùng cài đặt 69
Chương 4 KẾT LUẬN 78
1. Những kết quả đạt được 78
2. Hướng phát triển 79
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 80
PHỤ LỤC 82
Trang 6
LỜI NÓI ĐẦU
Cách đây gần ba thập kỉ (khoảng những năm 80 của thế kỉ XX), ở nhiều
nước trên thế giới mô phỏng thuật toán đã được sử dụng trong việc giảng dạy
các môn Khoa học máy tính như một công cụ hữu hiệu để mô tả thuật toán một
cách trực quan, khoa học. Không những vậy nó còn cho người học biết chi tiết
từng bước hoạt động của thuật toán cùng với cấu trúc dữ liệu đi kèm thông qua
việc mô tả bằng đồ họa.
Những năm gần đây, ở Việt Nam môn Tin học đã được đưa vào chương
trình của học sinh trung học phổ thông như là một môn học chính thức. Tuy
nhiên trên thực tế, một số trường chuyên trên cả nước đã tuyển sinh học sinh
chuyên Tin từ cuối những năm 80 của thế kỉ XX. Những học sinh này cần nắm
chắc kiến thức cơ bản về Tin học như: các cấu trúc dữ liệu trừu tượng: stack,
queue, cây, cây nhị phân, cây nhị phân tìm kiếm, các chiến lược thiết kế thuật
toán: tham lam, quay lui, quy hoạch động… Trong đó, lý thuyết về đồ thị và
thuật toán trên đồ thị là một lĩnh vực rộng và phức tạp. Việc hiểu và cài đặt tốt

các thuật toán đó đòi hỏi thời gian và công sức rất lớn. Hiện nay, việc truyền đạt
các thuật toán trên đồ thị cho học sinh chuyên Tin gặp rất nhiều khó khăn. Có
nhiều rất nhiều lý do: Các thuật toán đó khó hình dung, việc tổ chức dữ liệu cho
nó cũng phức tạp, thời gian giảng dạy trên lớp có hạn, tài liệu tham khảo có thể
tự đọc, tự học vẫn còn ít….
Trong khuôn khổ đề tài này, chúng tôi xây dựng một chương trình nhằm
mô phỏng hoạt động của ba thuật toán giải ba bài toán cơ bản trên đồ thị theo
phân phối chương trình của Bộ Giáo dục với hai mục đích: để học sinh có thể dễ
dàng nắm bắt tư tưởng cũng như từng bước hoạt động cụ thể của các thuật toán,
để giáo viên có thể làm cho bài giảng về các thuật toán này trở nên dễ hiểu, dễ
tiếp thu hơn.
Nội dung luận văn được chia thành 3 chương:
Trang 7
Chương I. Những kiến thức cơ bản về thuật toán.
Ở chương này, chúng tôi trích nêu khái niệm về bài toán và thuật toán.
Các tính chất của thuật toán, xác định độ phức tạp của thuật toán…Cuối cùng,
chúng tôi giới thiệu ba thuật toán quan trọng trên đồ thị mà học sinh THPT sẽ
được học.
Chương II. Mô phỏng thuật toán.
Chương này chúng tôi trình bày khái niệm mô phỏng, các chức năng của
mô phỏng và các vấn đề liên quan như: lịch sử mô phỏng, nghiên cứu về hiệu
quả của nó trong giảng dạy và một số yêu cầu đối với việc mô phỏng thuật toán
nói chung.
Chương III. Phân tích thiết kế hệ thống mô phỏng một số thuật toán trên
đồ thị.
Ở chương 3, chúng tôi trình bày về quá trình phân tích, thiết kế và xây
dựng hệ thống mô phỏng trên ba thuật toán: thuật toán tìm kiếm (tìm kiếm theo
chiều sâu và tìm kiếm theo chiều rộng), thuật toán tìm đường đi ngắn nhất (thuật
toán Dijsktra) và thuật toán tìm cây khung cực tiểu trên đồ thị vô hướng có trọng
số (thuật toán Prim)…

Trang 8
Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ THUẬT TOÁN
1. Khái niệm bài toán Tin học
Trong phạm vi tin học, người ta quan niệm bài toán là một công việc nào
đó mà con người muốn máy tính thực hiện. [xem 1]
Khi dùng máy tính để giải bài toán, ta cần quan tâm tới 2 vấn đề: Dữ liệu
cần được đưa vào máy tính (Input) là gì và cần lấy ra (Output) thông tin gì? Nói
một cách khác, cho một bài toán là việc mô tả rõ Input và Output của bài toán.
Vấn đề còn lại là: Làm thế nào để từ Input ta có được Output?
2. Khái niệm thuật toán
Khác với Toán học (các yêu cầu của bài toán thường là chứng minh sự tồn
tại đáp án chứ không yêu cầu tìm một cách chi tiết để tìm ra đáp án đó), giải một
bài toán Tin học là việc đi tìm một lời giải cụ thể, tường minh để đưa ra Output
của bài toán dựa trên Input đã cho. Việc chỉ ra một cách tìm Output của bài toán
được gọi là một thuật toán. Có nhiều cách phát biểu khái niệm về thuật toán.
Dưới đây là cách phát biểu được chọn để đưa vào sách giáo khoa Tin học phổ
thông:
Khái niệm về thuật toán: thuật toán là một dãy hữu hạn các thao tác
được sắp xếp theo một trình tự nhất định để sau khi thực hiện dãy các thao
tác đó, từ input ta có output cần tìm [xem 1].
Trong lĩnh vực máy tính, cụm từ “thuật toán” đôi khi người ta dùng bằng
một từ khác: “giải thuật”.
Ví dụ về một thuật toán: Nhập vào một số nguyên dương N, kiểm tra số
đó có là số nguyên tố hay không?
Lời giải:
Input: Số nguyên dương N.
Trang 9
Output: Có/không tương ứng với N có là nguyên tố hay không?
Ý tưởng: Một số nguyên gọi là nguyên tố khi nó chỉ có ước là 1 và chính
nó. Từ định nghĩa suy ra:

- Nếu N = 1 thì thông báo là N không nguyên tố rồi kết thúc;
- Nếu 1< N < 4 thì thông báo N là số nguyên tố rồi kết thúc;
- Nếu N ≥ 4 và không có ước trong khoảng từ 2 đến
][ N
thì N là nguyên
tố.
Thuật toán: Có nhiều cách mô phỏng khác nhau. Dưới đây là cách
mô phỏng thuật toán dạng liệt kê các bước:
Bước 1. Nhập số nguyên dương N;
Bước 2. Nếu N = 1 thì thông báo là N không nguyên tố rồi kết thúc;
Bước 3. Nếu N < 4 thì thông báo N là số nguyên tố rồi kết thúc;
Bước 4. i ← 2;
Bước 5. Nếu
(*)
][ Ni >
thì thông báo N là nguyên tố rồi kết thúc;
Bước 6. Nếu N chia hết cho i thì thông báo N không nguyên tố rồi kết
thúc;
Bước 7. i ← i + 1 rồi quay lại bước 5;
3. Các tính chất của thuật toán
Dựa trên khái niệm về thuật toán và ví dụ ở trên ta thấy các thao tác trong
thuật toán phải được mô tả đủ chi tiết để một đối tượng cứ tiến hành thực hiện
theo đúng thứ tự các thao tác đó là có thể cho ra output dựa trên input tương
ứng. Một thuật toán phải đảm bảo được các tính chất sau:
Tính xác định: Sau khi thực hiện một thao tác thì hoặc là thuật toán kết
thúc hoặc là có đúng một thao tác xác định để thực hiện tiếp theo.
Trang 10
Tính đúng đắn: Sau khi thực hiện thuật toán ta phải nhận được đúng
Output cần tìm.
Tính dừng: Thuật toán phải kết thúc sau một số hữu hạn lần thực hiện.

Tính tổng quát: Thuật toán là đúng đắn với mọi bộ dữ liệu đầu vào của
bài toán.
Tính hiệu quả:
- Hiệu quả về thời gian: Ta quan tâm tới thời gian cần thiết để thực
hiện xong thuật toán đó. Thời gian đó phải nằm trong giới hạn cho phép.
- Hiệu quả về không gian: Dung lượng bộ nhớ cần thiết để lưu trữ
các đối tượng như bộ Input, bộ Output, kết quả trung gian và chương trình
được dùng để thực hiện thuật toán.
- Dễ cài đặt: thuật toán đó liệu có chuyển được thành chương trình
bằng một ngôn ngữ lập trình nào đó hay không.
Trước khi xây dựng thuật toán cho một bài toán nào đó, trước tiên phải
xác định được Input và Output là gì, thử trên một số ví dụ cụ thể để định hướng
cho việc xây dựng thuật toán. [xem 1]
4. Độ phức tạp và xác định độ phức tạp của thuật toán
Một thuật toán chỉ có thể giải một bài toán, nhưng một bài toán có thể giải
bằng nhiều thuật toán khác nhau. Làm thế nào để lựa chọn một thuật toán tốt để
giải một bài toán đã cho? Tất nhiên, người lập trình thường chọn thuật toán dễ
hiểu, dễ cài đặt. Theo đó, chương trình viết ra ít có khả năng có lỗi, việc nâng
cấp chương trình dễ dàng và nhiều người có thể thực hiện được. Nhưng nếu hiệu
quả của thuật toán (về mặt thời gian và không gian nhớ) là yêu cầu quan trọng
thì cần chọn một thuật toán chạy nhanh và sử dụng tài nguyên có sẵn một cách
hiệu quả. Như vậy dựa vào đâu để có thể kết luận thuật toán này “nhanh” hơn
thuật toán kia?
Trang 11
Có một cách để biết được thuật toán nào nhanh hơn bằng cách viết các
chương trình bằng cùng một ngôn ngữ lập trình cho các thuật toán rồi so sánh
trên các bộ Input giống nhau trên cùng một hệ thống để kết luận thuật toán nào
nhanh, thuật toán nào chậm. Tuy nhiên cách này không chính xác và tốn nhiều
thời gian.
Một cách khác để đánh giá thuật toán là dựa vào tiêu chí mỗi câu lệnh của

chương trình nguồn sẽ thực hiện bao nhiêu lần trên một tập dữ liệu vào. Việc
đánh giá đó không chỉ đánh giá, so sánh trong việc lựa chọn thuật toán mà còn
có thể hiệu chỉnh, cải tiến thuật toán đã có tốt hơn. Khi đánh giá thời gian thực
hiện thuật toán ta chú ý đặc biệt đến các phép toán mà số lần thực hiện không ít
hơn các phép toán khác – ta gọi là phép toán tích cực của thuật toán.
Cách đánh giá thời gian thực hiện thuật toán độc lập với hệ thống máy
tính dẫn đến khái niệm về Độ phức tạp của thuật toán. Thời gian thực hiện một
thuật toán bằng chương trình máy tính phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố. Một yếu
tố cần chú ý nhất đó là kích thước của dữ liệu đầu vào. Dữ liệu càng lớn thì thời
gian xử lý càng chậm. Nếu gọi n là kích thước dữ liệu đưa vào thì thời gian thực
hiện của một thuật toán có thể biểu diễn một cách tương đối như một hàm của n:
T(n). Thực tế, T(n) không những chỉ phụ thuộc vào kích thước n mà còn phụ
thuộc vào đặc tính, tình trạng thực tế của bộ dữ liệu đầu vào.
Ví dụ, với thuật toán sắp xếp dãy số đã cho thành dãy tăng dần thì thời
gian sắp xếp còn phụ thuộc vào dãy đầu vào đã là dãy tăng dần, dãy được sinh
ngẫu nhiên hay được sắp xếp theo thứ tự ngược lại. Vì thế cần phải xem xét các
trường hợp tốt nhất, trung bình và xấu nhất. [Xem 2]
Việc xác định độ phức tạp của một thuật toán bất kỳ có thể rất phức tạp.
Tuy nhiên, trong thực tế, đối với một số thuật toán ta có thể phân tích bằng một
số quy tắc đơn giản:
4.1. Quy tắc max
Trang 12
Nếu thuật toán T có thời gian thực hiện T(n) =O(f(n)+g(n)) thì có thể coi
T có độ phức tạp là O(max(f(n), g(n)))
4.2. Quy tắc tổng
Nếu thuật toán T gồm hai đoạn thuật toán liên tiếp T1 và T2 và nếu T1 có
thời gian thực hiện T1(n) = O(f(n)), T2 có thời gian thực hiện là T2(n) = O(g(n))
thì thời gian thực hiện T sẽ là:
T(n) = T1(n) + T2(n) = O(f(n)+ g(n))
4.3. Quy tắc nhân

Nếu đoạn chương trình T có thời gian thực hiện là T(n) = O(f(n)). Khi đó,
nếu thực hiện k(n) lần đoạn chương trình T với k(n) = O(g(n)) thì độ phức tạp sẽ
là O(g(n).f(n))
4.4. Một số tính chất
Theo định nghĩa về độ phức tạp tính toán ta có một số tính chất:
a) Nếu một thuật toán có độ phức tạp là hằng số, tức là thời gian thực hiện
không phụ thuộc vào kích thước dữ liệu vào thì ta ký hiệu độ phức tạp tính toán
của thuật toán đó là O(1).
b) Với một thuật toán có độ phức tạp cấp logarit của f(n), người ta ký hiệu
là O(logf(n)) mà không cần ghi cơ số của logarit.
c) Với P(n) là một đa thức bậc k thì O(P(n)) = O(n
k
). Vì thế, một thuật
toán có độ phức tạp cấp đa thức, người ta thường ký hiệu là O(n
k
)
d) Một thuật toán có cấp là các hàm như 2
n
, n!, n
n
được gọi là một thuật
toán có độ phức tạp hàm mũ. Những thuật toán như vậy trên thực tế thường có
tốc độ rất chậm. Các thuật toán có cấp là các hàm đa thức hoặc nhỏ hơn hàm đa
thức thì thường nhanh hơn các thuật toán hàm mũ. Tuy nhiên, khi chọn một
thuật toán để giải một bài toán thực tế phải có một sự mềm dẻo nhất định dựa
vào những điều kiện thực tế cho phép.
Trang 13
Dưới đây là một số hàm số hay dùng để ký hiệu độ phức tạp tính toán và
bảng giá trị của chúng để tiện theo dõi sự tăng của hàm theo đối số n.
Hàm

N
logN NlogN N
2
N
3
2
n
1
0
0
1
1
2
2
1
2
4
8
4
4
2
8
16
64
16
8
3
24
64
512

256
16
4
64
256
409
65536
32
5
160
1024
32768
4292967296
Ví dụ: Tính giá trị của đa thức P(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+ +a
1
x+a
0
với a
0
, a
1
, , a

n
, x
nhập từ bàn phím.
Thuật toán 1:
1.Input n, a
0
, a
1
,a
2
,…a
n
, x;
2. S:=a
0
;
3.for i := 1 to n do begin
3.1 p:=1;
3.2 for j := 1 to i do p:= p*x;
3.3 S:= S+a
i
*p;
End;
4. Output s;
Với mỗi giá trị i của vòng lặp 3, vòng lặp 3.2 thực hiện i vòng lặp nên khi
n = i nó thực hiện đủ n vòng lặp. Vậy vòng lặp 3 thực hiện
2
)1( −nn
lần câu lệnh
sau do nên thời gian tính toán tỉ lệ thuận với n

2
.
Vậy độ phức tạp tính toán của thuật toán trên là O(n
2
).
Thuật toán 2: Vì x
n

=x * x
n-1

nên có thể tận dụng kết quả của lần tính trước cho
lần tính sau:

Trang 14
1. Input n, a
0
, a
1
,a
2
,…a
n
, x;
2. S := a
0
;P:=1;
3. for i := 1 to n do begin
3.1 P:=p*x;
3.1 S:= S+p;

End;
4. Output S;
Hai lệnh 2 và 4 đều có độ phức tạp tính toán là O(1). Vòng lặp 3 cần thực
hiện n lần hai thao tác tính S và p.Vậy số lần thực hiện lệnh 3 là 2n. Do vậy, độ
phức tạp tính toán của thuật toán trên là O(n).
5. Chi phí thực hiện thuật toán
Khái niệm độ phức tạp tính toán đặt ra là để đánh giá chi phí thực hiện
một thuật toán về mặt thời gian. Nhưng chi phí thực hiện thuật toán còn có rất
nhiều yếu tố khác nữa: không gian bộ nhớ phải sử dụng là một ví dụ. Tuy nhiên,
trên phương diện phân tích lý thuyết, ta chỉ có thể xét tới vấn đề thời gian bởi
việc xác định các chi phí khác nhiều khi rất mơ hồ và phức tạp. Đối với người
lập trình thì khác, một thuật toán với độ phức tạp dù rất thấp cũng sẽ là vô dụng
nếu như không thể cài đặt được trên máy tính, chính vì vậy khi bắt tay cài đặt
một thuật toán, ta phải biết cách tổ chức dữ liệu một cách khoa học, tránh lãng
phí bộ nhớ không cần thiết. Có một quy luật tương đối khi tổ chức dữ liệu: Tiết
kiệm được bộ nhớ thì thời gian thực hiện thường sẽ chậm hơn và ngược lại. Biết
cân đối, dung hoà hai yếu tố đó là một kỹ năng cần thiết của người lập trình.
[Xem 2]
6. Ba bài toán trên mô hình đồ thị được đưa vào giảng dạy trong trường
Trung học Phổ thông Chuyên
6.1. Một số khái niệm cơ bản về đồ thị
6.1.1. Khái niệm đồ thị (Graph)
Là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh đó. Được
mô tả hình thức: G = (V, E). Trong đó:
Trang 15
V gọi là tập các đỉnh (Vertices) và E gọi là tập các cạnh (Edges). Có thể
coi E là tập các cặp (u, v) với u và v là hai đỉnh của V.
Một số hình ảnh của đồ thị:
Đồ thị vô hướng Đồ thị có hướng
6.1.2. Các khái niệm cơ bản

Có thể phân loại đồ thị theo đặc tính và số lượng của tập các cạnh E: Cho
đồ thị G = (V, E). Ta có một số khái niệm sau [xem 3- tập 1]:
Đơn đồ thị: G được gọi là đơn đồ thị nếu giữa hai đỉnh u, v của V có nhiều nhất
là 1 cạnh trong E nối từ u tới v.
Đa đồ thị: G được gọi là đa đồ thị nếu giữa hai đỉnh u, v của V có thể có nhiều
hơn 1 cạnh trong E nối từ u tới v.
Đồ thị vô hướng: G được gọi là đồ thị vô hướng nếu các cạnh trong E là không
định hướng, tức là cạnh nối hai đỉnh u, v bất kỳ cũng là cạnh nối hai đỉnh v, u.
Hay nói cách khác, tập E gồm các cặp (u, v) không tính thứ tự (u, v) ≡ (v, u)
Đồ thị có hướng: G được gọi là đồ thị có hướng nếu các cạnh trong E là có định
hướng, có thể có cạnh nối từ đỉnh u tới đỉnh v nhưng chưa chắc đã có cạnh nối
từ đỉnh v tới đỉnh u. Hay nói cách khác, tập E gồm các cặp (u, v) có tính thứ tự:
(u, v) ≠ (v, u). Trong đồ thị có hướng, các cạnh được gọi là các cung. Đồ thị vô
Trang 16
hướng cũng có thể coi là đồ thị có hướng nếu như ta coi cạnh nối hai đỉnh u, v
bất kỳ tương đương với hai cung (u, v) và (v, u).
Ví dụ:
Vô hướng Có hướng Vô hướng Có hướng
Đơn đồ thị Đa đồ thị
Cạnh liên thuộc, đỉnh kề, bậc
Đối với đồ thị vô hướng G = (V, E). Xét một cạnh e ∈ E, nếu e = (u, v) thì
ta nói hai đỉnh u và v là kề nhau (adjacent) và cạnh e này liên thuộc (incident)
với đỉnh u và đỉnh v.
Với một đỉnh v trong đồ thị, ta định nghĩa bậc (degree) của v, ký hiệu
deg(v) là số cạnh liên thuộc với v. Dễ thấy rằng trên đơn đồ thị thì số cạnh liên
thuộc với v cũng là số đỉnh kề với v.
Đối với đồ thị có hướng G = (V, E). Xét một cung e ∈ E, nếu e = (u, v) thì
ta nói u nối tới v và v nối từ u, cung e là đi ra khỏi đỉnh u và đi vào đỉnh v.
Đỉnh u khi đó được gọi là đỉnh đầu, đỉnh v được gọi là đỉnh cuối của cung e.
Với mỗi đỉnh v trong đồ thị có hướng, ta định nghĩa: Bán bậc ra của v ký

hiệu deg
+
(v) là số cung đi ra khỏi nó; bán bậc vào ký hiệu deg
-
(v) là số cung đi
vào đỉnh đó
Đường đi: Một đường đi độ dài k từ đỉnh u đến đỉnh v là dãy (u = x
0
,
x
1
, , x
k
= v) thoả mãn (x
i
, x
i+1
) ∈ E (là 1 cạnh của đồ thị) với ∀i: (0 ≤ i ≤ k).
Trang 17
1 2
B
3
4
5
Đỉnh u gọi là đỉnh xuất phát, v gọi là đỉnh kết thúc của đường đi. Đường đi
không có cạnh nào đi qua hơn 1 lần gọi là đường đi đơn.
Chu trình: Đường đi có đỉnh xuất phát trùng với đỉnh kết thúc gọi là chu
trình. tương tự ta có khái niệm chu trình đơn.
6.2. Bài toán tìm kiếm trên đồ thị
6.2.1. Phát biểu bài toán

Cho đồ thị G = (V, E) và s và t là hai đỉnh của đồ thị.
Yêu cầu: Hãy chỉ ra một đường đi từ s đến t (nếu có).
Ví dụ: Xét một đồ thị vô hướng và một đồ thị có hướng dưới đây:
Trên cả hai đồ thị, (1, 2, 3, 4) là đường đi đơn độ dài 3 từ đỉnh 1 tới đỉnh
4. Bởi (1, 2) (2, 3) và (3, 4) đều là các cạnh (hay cung.
Làm sao để duyệt tất cả các đỉnh có thể đến được từ một đỉnh xuất phát
nào đó? Vấn đề này đưa về một bài toán liệt kê mà yêu cầu của nó là không
được bỏ sót hay lặp lại bất kỳ đỉnh nào. Vì vậy, cần phải xây dựng những thuật
toán cho phép duyệt một cách hệ thống các đỉnh, những thuật toán như vậy gọi
là những thuật toán tìm kiếm trên đồ thị. Trong lý thuyết đồ thị, người ta quan
tâm đến hai thuật toán cơ bản nhất: thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu và thuật
toán tìm kiếm theo chiều rộng.
Trang 18
6.2.2. Giới thiệu thuật toán tìm kiếm DFS và BFS
a. Thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu DFS (Depth – First – Search)
Tư tưởng của thuật toán có thể trình bày như sau: Bắt đầu từ s, mọi đỉnh u
kề với s tất nhiên sẽ đến được từ s. Với mỗi đỉnh u đó, những đỉnh v kề với u
cũng đến được từ s Ý tưởng đó gợi ý cho ta viết một thủ tục đệ quy DFS(u)
mô tả việc duyệt từ đỉnh u bằng cách thông báo thăm đỉnh u và tiếp tục quá trình
duyệt DFS(v) với v là một đỉnh chưa thăm kề với u. Để quá trình duyệt không
lặp lại bất kì đỉnh nào, ta dùng kỹ thuật đánh dấu, khi thăm một đỉnh, ta sẽ đánh
dấu đỉnh đó lại để các bước duyệt đệ quy kế tiếp không thăm lại đỉnh đó nữa.
Vấn đề còn lại: Để in ra được đường đi từ đỉnh xuất phát s, trong quá trình
duyệt DFS(u), trước khi gọi đệ quy DFS(v) với v là một đỉnh kề với u mà chưa
đánh dấu, ta lưu lại “vết” đường đi từ u tới v bằng cách đặt trace[v] := u, tức là
trace[v] là đỉnh liền trước v trong đường đi từ s tới v. Khi quá trình tìm kiếm
theo chiều sâu kết thúc, đường đi từ S tới F sẽ là:
t ← Trace[t] ← ….← Trace[u
1
] ← Trace[s] ← s.

Truy ngược đường đi này sẽ cho ta hành trình đi từ s đến t. Có thể mô tả
thủ tục DFS dạng giả mã như sau:
Procedure DFS(u∈V);
Begin
< 1. Thông báo tới được u >;
< 2. Đánh dấu u là đã thăm>;
< 3. Xét mọi đỉnh v kề với u mà chưa thăm, với mỗi đỉnh v đó >;
Begin
Trace[v] := u; {Truy vết đường đi}
DFS(v); {Gọi đệ quy duyệt bắt đầu với v}
End;
End;
Trang 19
Begin
<Input: đồ thị G, s, t >;
<Khởi tạo: Tất cả các đỉnh đều chưa bị đánh dấu >;
DFS(s);
<Output:
- Nếu t chưa bị đánh dấu thì kết luận: Không có đường từ s->t>;
- Nếu t đã bị đánh dấu thì dựa vào Trace tìm đường đi từ s->t>;
>;
End.
b. Thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng BFS (Breadth – First – Search)
Ý tưởng của phương pháp cài đặt này là "lập lịch" duyệt các đỉnh. Khi
thăm một đỉnh ta sẽ lên lịch thăm tất cả các đỉnh kề nó sao cho thứ tự duyệt là
ưu tiên chiều rộng (đỉnh nào gần s hơn sẽ được duyệt trước). Ví dụ: Bắt đầu, ta
thăm đỉnh s. Quá trình thăm S sẽ lên lịch duyệt những đỉnh (u
1
, u
2

, , u
p
) kề với
s (những đỉnh gần s nhất). Tiếp theo sẽ thăm đỉnh u
1
, khi thăm u
1
sẽ lại lên lịch
duyệt những đỉnh (v
1
, v
2
, v
q
) kề với u
1
. Nhưng rõ ràng các đỉnh này "xa" s hơn
những đỉnh u nên chúng chỉ được duyệt đến khi tất cả những đỉnh u đã duyệt
xong. Tức là thứ tự duyệt đỉnh sau khi đã thăm u
1
sẽ là: (u
2
, u
3
, u
p
, v
1
, v
2

, ,
v
q
). Do việc lập lịch như mô tả ở trên nên cần phải xếp hàng cho các đỉnh đã lên
lịch theo đúng thứ tự. Khi thêm đỉnh nào đó ta sẽ thêm vào cuối hàng (vì đỉnh
lên lịch sau chắc chắn xa hơn các đỉnh đã lên lịch (vào hàng) rồi. Chính vì
nguyên tắc đó nên danh sách chứa những đỉnh đang chờ sẽ được tổ chức dưới
dạng hàng đợi (Queue).
Ta sẽ dựng giải thuật như sau:
Bước 1: Khởi tạo: free[s] = true; free[v] = false ∀v ∈V\{s}
First:=1; Last:=1; Queue[Last]:=s;//Queue chỉ chứa s
Bước 2: Lặp cho tới khi Queue rỗng:
u := pop;//lấy u khỏi hàng đợi
Trang 20
free[u]:= false;
Xét ∀v ∈V: nếu v chưa được thăm:
Free[v] = false;//đánh dấu đã thăm
Trace[v] = u;
Push(v);//đẩy v vào hàng đợi, chờ được thăm
Bước 3: Truy vết tìm đường đi hoặc thông báo không thấy đường.
6.2.3. Độ phức tạp tính toán của thuật toán DFS và BFS
Quá trình tìm kiếm trên đồ thị bắt đầu từ một đỉnh có thể thăm tất cả các
đỉnh còn lại, khi đó cách biểu diễn đồ thị [xem 3 – tập 1] có ảnh hưởng lớn tới
chi phí về thời gian thực hiện giải thuật:
Trong trường hợp ta biểu diễn đồ thị bằng danh sách kề, cả hai thuật toán
BFS và DFS đều có độ phức tạp tính toán là O(n + m) = O(max(n, m)). Đây là
cách cài đặt tốt nhất. Nếu ta biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề thì độ phức tạp tính
toán trong trường hợp này là O(n + n
2
) = O(n

2
). Nếu ta biểu diễn đồ thị bằng
danh sách cạnh, thao tác duyệt những đỉnh kề với đỉnh u sẽ dẫn tới việc phải
duyệt qua toàn bộ danh sách cạnh, đây là cài đặt tồi nhất, nó có độ phức tạp tính
toán là O(n.m).
6.3. Bài toán tìm đường đi ngắn nhất trên đồ thị có trọng số
6.3.1. Phát biểu bài toán
Khái niệm đồ thị có trọng số: Đồ thị có trọng số là một bộ ba G = (V, E,
w) trong đó, G = (V, E) là đồ thị, w là hàm được định nghĩa:
)(
:
ewe
REw

→
Bài toán đó phát biểu dưới dạng tổng quát như sau: Cho đồ thị có trọng số
G = (V, E,w) là đồ thị không có chu trình âm.
Yêu cầu: Hãy tìm một đường đi ngắn nhất (tổng trọng số qua các đỉnh
trên đường đi) từ đỉnh xuất phát s ∈ V đến đỉnh đích t ∈ V.
Trang 21
Nếu như đồ thị có chu trình âm (chu trình với độ dài âm) thì khoảng cách
giữa một số cặp đỉnh nào đó có thể không xác định, bởi vì bằng cách đi vòng
theo chu trình này một số lần đủ lớn, ta có thể chỉ ra đường đi giữa hai đỉnh nào
đó trong chu trình này nhỏ hơn bất kỳ một số cho trước nào. Trong trường hợp
như vậy, có thể đặt vấn đề tìm đường đi cơ bản (đường đi không có đỉnh lặp lại)
ngắn nhất. Vấn đề đó là một vấn đề hết sức phức tạp mà ta sẽ không bàn tới ở
đây.
Dưới đây, chúng tôi giới thiệu hai thuật toán giải bài toán này là thuật
toán Ford – Bellman và thuật toán Dijkstra.
6.3.2. Giới thiệu thuật toán Ford - Bellman

Thuật toán Ford-Bellman có thể phát biểu rất đơn giản:
Với đỉnh xuất phát S. Gọi d(v) là khoảng cách từ S tới v.
Ban đầu d(S) được khởi gán bằng 0 còn các d(v) với v ≠ S được khởi gán
bằng +∞.
Sau đó ta tối ưu hoá dần các d(v) như sau: Xét mọi cặp đỉnh u, v của đồ
thị, nếu có một cặp đỉnh u, v mà d(v) > d(u) + c(u, v) thì ta đặt lại d(v) := d(u) +
c(u, v). Tức là nếu độ dài đường đi từ S tới v lại lớn hơn tổng độ dài đường đi từ
S tới u cộng với chi phí đi từ u tới v thì ta sẽ huỷ bỏ đường đi từ S tới v đang có
và coi đường đi từ S tới v chính là đường đi từ S tới u sau đó đi tiếp từ u tới v.
Chú ý rằng ta đặt c[u, v] = +∞ nếu (u, v) không là cung. Thuật toán sẽ kết thúc
khi không thể tối ưu thêm bất kỳ một nhãn d[v] nào nữa.
Tính dừng của thuật toán:
Tại bước lặp 0: Bước khởi tạo d(S) = 0; d(v) := +∞ với v ≠ S: thì dãy d(v)
chính là độ dài đường đi ngắn nhất từ S tới v đi qua không quá 0 cạnh
Giả sử tại bước lặp thứ i, d(v) bằng độ dài đường đi ngắn nhất từ S tới v
qua không quá i cạnh, thì do tính chất: đường đi từ S tới v qua không quá i + 1
Trang 22
cạnh sẽ phải thành lập bằng cách: lấy một đường đi từ S tới một đỉnh u nào đó
qua không quá i cạnh, rồi đi tiếp tới v bằng cung (u, v). Nên độ dài đường đi
ngắn nhất từ S tới v qua không quá i + 1 cạnh sẽ được tính bằng giá trị nhỏ nhất
trong các giá trị: (Nguyên lý tối ưu Bellman)
Độ dài đường đi ngắn nhất từ S tới v qua không quá i cạnh
Độ dài đường đi ngắn nhất từ S tới u qua không quá i cạnh cộng với trọng
số cạnh (u, v) (∀u)
Nên sau bước lặp tối ưu các d(v) bằng công thức d(v)
bước i+1
= min(d(v)
bước i
,
d(u)

bước i
+ c(u, v)) thì các d(v) sẽ bằng độ dài đường đi ngắn nhất từ S tới v qua
không quá i + 1 cạnh.
Sau bước lặp tối ưu thứ n - 1, ta có d(v) = độ dài đường đi ngắn nhất từ S
tới v qua không quá n - 1 cạnh. Vì đồ thị không có chu trình âm nên sẽ có một
đường đi ngắn nhất từ S tới v là đường đi cơ bản (qua không quá n - 1 cạnh).
Tức là d(v) sẽ là độ dài đường đi ngắn nhất từ S tới v.
Vậy thì số bước lặp tối ưu hoá sẽ không quá n - 1 bước. Nếu mỗi bước
ta mô tả dưới dạng:
for u := 1 to n do
for v := 1 to n do
d(v) := min(d(v), d(u) + c(u, v));
Thì do sự tối ưu bắc cầu (dùng d(u) tối ưu d(v) rồi lại có thể dùng d(v) tối
ưu d(w) nữa ) nên chỉ làm tốc độ tối ưu nhãn d(v) tăng nhanh lên chứ không
thể giảm đi được.
6.2.3. Giới thiệu thuật toán thuật toán Dijkstra
Thuật toán Dijkstra (E.Dijkstra - 1959) có thể mô tả như sau:
Bước 1: Khởi tạo
Trang 23
Với đỉnh v ∈ V, gọi nhãn d[v] là độ dài đường đi ngắn nhất từ s tới v. Ta
sẽ tính các d[v]. Ban đầu d[v] được khởi gán bằng w[s, v]. Nhãn của mỗi đỉnh
có hai trạng thái tự do hay cố định, nhãn tự do có nghĩa là có thể còn tối ưu hơn
được nữa và nhãn cố định tức là d[v] đã bằng độ dài đường đi ngắn nhất từ s tới
v nên không thể tối ưu thêm. Để làm điều này ta có thể sử dụng kỹ thuật đánh
dấu: Free[v] = TRUE hay FALSE tuỳ theo d[v] tự do hay cố định. Ban đầu các
nhãn đều tự do.
Bước 2: Lặp
Cố định nhãn: Chọn trong các đỉnh có nhãn tự do, lấy ra đỉnh u là đỉnh có
d[u] nhỏ nhất, và cố định nhãn đỉnh u.
Sửa nhãn: Dùng đỉnh u, xét tất cả những đỉnh v và sửa lại các d[v] theo

công thức:
d[v] := min(d[v], d[u] + c[u, v])
Bước lặp sẽ kết thúc khi mà đỉnh đích t được cố định nhãn (tìm được
đường đi ngắn nhất từ s đến t); hoặc tại thao tác cố định nhãn, tất cả các đỉnh tự
do đều có nhãn là +∞ (không tồn tại đường đi).
Có thể đặt câu hỏi, ở thao tác 1, tại sao đỉnh u như vậy được cố định nhãn,
giả sử d[u] còn có thể tối ưu thêm được nữa thì tất phải có một đỉnh t mang nhãn
tự do sao cho d[u] > d[t] + c[t, u]. Do trọng số c[t, u] không âm nên d[u] > d[t],
trái với cách chọn d[u] là nhỏ nhất. Tất nhiên trong lần lặp đầu tiên thì S là đỉnh
được cố định nhãn do d[s] = 0.
Bước 3: Kết hợp với việc lưu vết đường đi trên từng bước sửa nhãn, thông
báo đường đi ngắn nhất tìm được hoặc cho biết không tồn tại đường đi (d[t] =
+∞). Có thể mô tả ngắn gọn thuật toán bằng giả mã như sau:
Bước 1: d[s] = 0 ; d[v] = +∞ (∀v ∈ V\{s}); u = s;
Bước 2: Lặp nếu u ≠ t (với u ∉ S)
Trang 24
2.1. Nếu d[v] > d[u] + c[u,v] thì
d[v] = min{d[v], d[u] + c[u, v]}
trace[v]=u (với v ∉ S - tập các đỉnh đã tối ưu)
2.2 Chọn v có d[v] nhỏ nhất //v=0 không có đường
2.3 Nếu v ≠ 0 thì thêm v vào S; u = v
Bước 3: In ra đường đi tối ưu từ s đến t hoặc thông báo
vô nghiệm.
6.3.4. Độ phức tạp
Nếu đồ thị có nhiều đỉnh, ít cạnh, ta có thể sử dụng danh sách kề kèm
trọng số để biểu diễn đồ thị, tuy nhiên tốc độ của thuật toán Dijkstra vẫn khá
chậm vì trong trường hợp xấu nhất, nó cần n lần cố định nhãn và mỗi lần tìm
đỉnh để cố định nhãn sẽ mất một đoạn chương trình với độ phức tạp O(n). Vậy
độ phức tạp của thuật toán Dijkstra là O(n
2

). Để tăng tốc độ, người ta thường sử
dụng cấu trúc dữ liệu Heap để lưu các đỉnh chưa cố định nhãn. Heap ở đây là
một cây nhị phân hoàn chỉnh thoả mãn: Nếu u là đỉnh lưu ở nút cha và v là đỉnh
lưu ở nút con thì d[u] ≤ d[v] (Đỉnh r lưu ở gốc Heap là đỉnh có d[r] nhỏ nhất).
6.4. Các thuật toán tìm kiếm trên cây khung
6.4.1. Bài toán cây khung
Khái niệm cây khung: Cho đồ thị G = (V, E) vô hướng, liên thông và T =
(V,E’) là một đồ thị con của G (E’ ⊆ E). Khi đó, T được gọi là cây khung (cây
bao trùm) nếu T liên thông và không có chu trình đơn
Cho G = (V, E, w) là đồ thị vô hướng liên thông có trọng số, với một cây
khung T của G, ta gọi trọng số của cây T là tổng trọng số các cạnh trong T.
Yêu cầu: Trong số các cây khung của G, chỉ ra cây khung có trọng số nhỏ
nhất.
Trang 25
Cây khung như vậy được gọi là cây khung nhỏ nhất của đồ thị, và bài toán
đó gọi là bài toán xây dựng cây khung nhỏ nhất. Dưới đây ta sẽ xét một trong
hai thuật toán thông dụng để giải bài toán cây khung nhỏ nhất của đơn đồ thị vô
hướng có trọng số.
6.4.2. Giới thiệu thuật toán Prim
Một trong hai thuật toán quan trọng để giải bài toán tìm cây khung nhỏ
nhất là thuật toán Prim. Thuật toán đó có thể phát biểu hình thức như sau:
Đơn đồ thị vô hướng G = (V, E,w). Xét cây T trong G và một đỉnh v, gọi
khoảng cách từ v tới T là trọng số nhỏ nhất trong số các cạnh nối v với một đỉnh
nào đó trong T:
d[v] = min{w[u, v]  u∈T}
Ban đầu khởi tạo cây T chỉ gồm có mỗi đỉnh {1}. Sau đó cứ chọn trong số
các đỉnh ngoài T ra một đỉnh gần T nhất, kết nạp đỉnh đó vào T đồng thời kết
nạp luôn cả cạnh tạo ra khoảng cách gần nhất đó. Cứ làm như vậy cho tới khi:
Hoặc đã kết nạp được tất cả n đỉnh thì ta có T là cây khung nhỏ nhất
Hoặc chưa kết nạp được hết n đỉnh nhưng mọi đỉnh ngoài T đều có

khoảng cách tới T là +∞. Khi đó đồ thị đã cho không liên thông, ta thông báo
việc tìm cây khung thất bại.
Về mặt kỹ thuật cài đặt, ta có thể làm như sau:
Sử dụng mảng đánh dấu Free. Free[v] = TRUE nếu như đỉnh v chưa bị kết
nạp vào T.
Gọi d[v] là khoảng cách từ v tới T. Ban đầu khởi tạo d[1] = 0 còn d[2] =
d[3] = = d[n] = +∞. Tại mỗi bước chọn đỉnh đưa vào T, ta sẽ chọn đỉnh u nào
ngoài T và có d[u] nhỏ nhất. Khi kết nạp u vào T rồi thì rõ ràng các nhãn d[v] sẽ
thay đổi: d[v]mới := min(d[v]cũ, v[u, v]). Vấn đề chỉ có vậy (chương trình rất
giống thuật toán Dijkstra, chỉ khác ở công thức tối ưu nhãn).
Trang 26
Có thể mô tả thuật toán Prim bằng đoạn giả mã sau:
Bước 1: Khởi tạo: T = {s} d[s] = 0, u = s (s - đỉnh xuất phát)
d[v]=+∞(v ∉ T)
Bước 2: Lặp N-1 lần (N số đỉnh của đồ thị):
2.1 Cập nhật các đỉnh kề với u ở ngoài T
Nếu d[v] > w[u,v]
trace[v] = u, d[v] = w[u,v]
2.2 Chọn v (v ∉ T) mà d[v] nhỏ nhất
Nếu d[v] = +∞ đến bước 3
2.3 Kết nạp v vào T, u = v
Bước 3: In ra cây khung hoặc thông báo vô nghiệm.
6.4.3. Giới thiệu thuật toán Kruskal
Thuật toán Kruskal dựa trên mô hình xây dựng cây khung bằng thuật toán
hợp nhất [xxx], chỉ có điều thuật toán không phải xét các cạnh với thứ tự tuỳ ý
mà xét các cạnh theo thứ tự đã sắp xếp: Với đồ thị vô hướng G = (V, E) có n
đỉnh. Khởi tạo cây T ban đầu không có cạnh nào. Xét tất cả các cạnh của đồ thị
từ cạnh có trọng số nhỏ đến cạnh có trọng số lớn, nếu việc thêm cạnh đó vào T
không tạo thành chu trình đơn trong T thì kết nạp thêm cạnh đó vào T. Cứ làm
như vậy cho tới khi:

Hoặc đã kết nạp được n - 1 cạnh vào trong T thì ta được T là cây khung
nhỏ nhất
Hoặc chưa kết nạp đủ n - 1 cạnh nhưng hễ cứ kết nạp thêm một cạnh bất
kỳ trong số các cạnh còn lại thì sẽ tạo thành chu trình đơn. Trong trường hợp
này đồ thị G là không liên thông, việc tìm kiếm cây khung thất bại.
Như vậy có hai vấn đề quan trọng khi cài đặt thuật toán Kruskal:
Thứ nhất, làm thế nào để xét được các cạnh từ cạnh có trọng số nhỏ tới
cạnh có trọng số lớn. Ta có thể thực hiện bằng cách sắp xếp danh sách cạnh theo
thứ tự không giảm của trọng số, sau đó duyệt từ đầu tới cuối danh sách cạnh.
Trang 27