TUYỂN CHỌN CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC VÀ CÁC ĐỀ THI THỬ ĐH

Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009

PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ℑ1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xc định trên (a,b)
1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)<f(x
2
).
2) f gim trên (a,b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1

)>f(x
2
).
3) x
0
∈(a,b) được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tạ đó f’(x) không nh hay bằng 0.
II. Định lý:
1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b]và có đạo hàm trên khong (a,b) thì tồn
tại một điểm c∈(a,b) sao cho
( ) ( )
( ) ( ) '( ).( ) '( )
f b f a
f b f a f c b a hay f c
b a
−
− = − =
−
2) Cho hàm số f có đạo hàm trên khong (a,b).
• Nếu f’(x)>0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b).
• Nếu f’(x)<0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a,b).
(Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý vẫn còn đúng).
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hàm số
3 2
3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − +
.
a) Kho st hàm số khi m=1.
b) Xc định m để hàm số đồng biến trên tập xc định.
c) Định m để hàm số gim trên (1,4).
Bài 2: Cho hàm số

2
2y x x= −
a) Tính y’’(1)
b) Xét tính đơn điệu của hàm số.
Bài 3: Cho hàm số
1
2
mx
y
x m
−
=
+
a) Kho st và vẽ đồ thị khi m=2.
b) Xc định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1.
c) Chng minh rằng với mỗi gi trị m hàm số luôn đồng biến trên khong xc định của nó.
Bài 4: Chng minh rằng
a) x > sinx ∀x ∈ (-π/2,π/2).
b)
1
2 x R
x
e x
+
≥ + ∀ ∈
.
c)
x>1
ln
x

e
x
≥ ∀
.
Bài 5 : Chng minh phương trình sau có đúng một nghiệm :
5 3
2 1 0x x x− + − =

ℑ2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xc định trên (a,b) và điểm x
0
∈(a,b) .
• Điểm x
0
được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x
0

ta có f(x) < f(x
0
) (x ≠ x
0
).
• Điểm x
0
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm
x
0
ta có f(x)>f(x
0

) (x ≠ x
0
).
2. Điều kiện để hàm số có cực trị:
Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x
0
∈(a,b) và đạt cực trị tại điểm đó thì
f’(x) = 0.
Định lí 1:
Gi sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x
0
(có thể trừ tại x
0
)
a) Nếu f’(x
0
) > 0 trên khong (x
0
; x
0
); f’(x) < 0 trên khong (x
0
; x
0
+ δ) thì x
0
là một điểm cực đại của
hàm số f(x).
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 1
Chuyên đề 1 :

Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
b) Nếu f’(x) <0 trên khong (x
0
- δ; x
0
) ; f’(x) > 0 trên khong (x
0
; δ+ x
0
) thì x
0
là một điểm cực tiểu của
hàm số f(x).
Nói một cch vắn tắt: Nếu khi x đi qua x
0
, đạo hàm đổi dấu thì điểm x
0
là điểm cực trị.
Định lí 2. Gi sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x
0
và f’(x
0
) = 0, f''(x
o
) ≠ 0 thì x
o
là một
điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa
1) Nếu f”(x

0
) > 0 thì x
0
là điểm cực tiểu.
2) Nếu f”(x
0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại.
Nói cch khc:
1) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) > 0 ⇒ x
0
là điểm cực tiểu.
2) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) < 0 ⇒ x
0
là điểm cực đại.
B . CÁC BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hàm số
4 2
2 2 1y x mx m= − + − +
(1)
a) Kho st và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3.

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1).
Bài 2: Cho hàm số
2
2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
a) Kho st hàm số khi m=-1.
b) Xc định m để hàm số có hai cực trị.
Bài 3: Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23
−++−=
a)Kho st hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C).
b) Xc định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm
cực trị đó.
c) Định m để hàm số tăng trên khong (1;∞).
Bài 4: Cho hàm số
2 2
2 1x kx k
y
x k
− + +
=
−

với tham số k.
1)Kho st sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1
2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) có hệ số góc a. Biện luận theo a số giao điểm của (C)
và (d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A.
3)Chng minh với mọi k đồ thị luôn có cực đại, cực tiểu và tổng tung độ của chúng bằng 0.
Bài 5: Định m để hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x= − + − + +
đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 6: Cho hàm số
2
1
x x m
y
x
− +
=
+
Xc định m sao cho hàm số.
a) Có cực trị.
b) Có hai cực trị và hai gi trị cực trị tri dấu nhau.
Bài 7: Cho hàm số
3 2
( ) 3x 3 x+3m-4y f x x m= = − + −
a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m.
b) Chng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất c cc tiếp tuyến của đồ thị
hàm số

ℑ3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xc định trên D
Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x M
x D f x M
∀ ∈ ≤
∃ ∈ =
(ký hiệu M=maxf(x) )
Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x m
x D f x m
∀ ∈ ≥
∃ ∈ =
(ký hiệu m=minf(x) )
2) Cch tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
+ Lập bng biến thiên của hàm số trên (a,b)
+ Nếu trên bng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì gi trị cực đại (cực
tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b)
3) Cch tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 2
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
+ Tìm cc điểm tới hạn x

1
,x
2
, , x
n
của f(x) trên [a,b].
+ Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), , f(x
n
), f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong cc số trên
[ , ]
[ , ]
max ( ) ; min ( )
a b
a b
M f x m f x= =
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1:Tìm gi trị lớn nhất và gi trị nhỏ nhất của cc hàm số:
a)
3 2
2 3 1y x x= + −
trên [-2;-1/2] ; [1,3).
b)
2
4y x x= + −
.

c)
3
4
2sinx- sin
3
y x=
trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ)
d)
2 os2x+4sinxy c=
x∈[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ)
e)
2
3 2y x x= − +
trên đoạn [-10,10].
Bài 2: Tìm gi trị lớn nhất và gi trị nhỏ nhất của hàm số
2
y= x 1 3x 6x 9 + + − + +
trên đoạn[-1,3].
Bài 3: Chng minh rằng
2
2
6 3
2
7 2
x
x x
+
≤ ≤
+ +
với mọi gi trị x.

góc bé nhất.
ℑ4. TIỆM CẬN
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Tiệm cận đng:
Nếu
0
lim ( )
x x
f x
→
= ∞
thì đường thẳng (d) có phương trình x= x
0
là tiệm cân đng của đồ thị (C).
2) Tiệm cận ngang:
Nếu
0
lim ( )
x
f x y
→∞
=
thì đường thẳng (d) có phương trình y= x
0
là tiệm cân ngang của đồ thị (C).
3) Tiệm cận xiên:
Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là một tiệm cận của đồ thị (C) là
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x

→+∞
− =

hoặc
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→−∞
− =
hoặc
lim[ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→∞
− =
.
4) Cch tìm cc hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b.
x
( )
lim b= lim[ ( ) ax]
x
f x
a f x
x
→∞ →∞
= −
.
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1:
1. Kho st hàm số .

2
4 5
2
x x
y
x
− + −
=
−
2. Xc định m để đồ thị hàm số
2 2
( 4) 4 5
2
x m x m m
y
x m
− − − + − −
=
+ −
có cc tiệm cận trùng với cc tiệm
cận của đồ thị hàm số kho st trên. (TN-THPT 02-03/3đ)
Bài 2: Tìm cc tiệm cận của đồ thị hàm số
a)
2
1y x= −
b)
3
2
1
1

x x
y
x
+ +
=
−
c)
2
3 1
1 2
x x
y
x
+ +
=
−
.d)
2
2
1
3 2 5
x x
y
x x
+ +
=
− −
PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ
Các bước khảo sát hàm số :
Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ

1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Chiều biến thiên, cực
- Tính lồi lõm, điểm uốn,
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Chiều biến thiên, cực
- Giới hạn, tiệm cận
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 3
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
- Giới hạn
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị - Giá trị đặt biệt - Đồ thị
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị
- Giá trị đặt biệt - Đồ thị
Sự khác biệt : Hàm đa thc không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
 Các dạng đồ thị hàm số:
 Hàm số bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
 Hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
 Hàm số nhất biến :

)bcad(
dcx
bax
y 0≠−
+
+
=
 Hàm số hữu tỷ (2/1) :
2
1 1
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
(tử, mẫu không có nghiệm chung, )
Phần III: ÔN TẬP CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được kho st
+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox.
Các bước giải
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 4
x
y
O
•
I
x

y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ?
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ?
x

y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ?
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biếnDạng 1: hsố đồng biến
x
O
I
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
Dạng 2: hàm số không có cực trị
x
y

O
•
I
x
y
O
•
I
Dạng 1: hàm số có cực trị
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) và dùng 1 trong 3 bng sau:
Bước : Dựa vào đồ thị ta có bng biện luận:
Ví dụ 1:
1. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x
−
= m ( dùng bng 1)
2. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x−
= 3m -2 ( dùng bng 2)
3. Biện luận phương trình
3 2
1

3
x x
−
=
3 2
1
3
m m−
( dùng bng 3)
Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay.
Học sinh cần nhớ và vận dụng thành thạo cc công thc:
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b)
→ Ta sử dụng công thc
b
a
S f x dx=
∫
( )
(I)
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]
→ Ta sử dụng công thc
b
a
S f x g x dx
= −
∫
( ) ( )
(II)

• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox.
→ Ta dùng công thc
[ ]
2
b
a
V f x dx
π
=
∫
( )
(III)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y), trục Oy và 2 đường thẳng y = a, y = b ( a <
b), khi (H’) quay quanh Oy.
→ Ta dùng công thc
[ ]
2
=
∫
b
a
V g y dy( )
π
(IV)
Đặc biệt hóa trong các trường hợp khi cần thiết hoặc phù hợp với một đề bài cụ thể, đồng thời nắm được các bước cơ bản
khi giải dạng toán này:
 Khi cần tính diện tích 1 hình phẳng:
 Nắm cc dấu hiệu để biết sử dụng công thc (I) hay (II) (có hay không có Ox).
 Xc định được cận dưới a và cận trên b (nếu chưa có thì biết đi tìm).

 Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu của biểu thc f(x)/[a;b]. (hay dấu của f(x) – g(x) /[a;b]).
 Biết cc bước trình bày bài gii và tính đúng kết qu.
 Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay:
 Nắm cc dấu hiệu để biết sử dụng công thc (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay quanh Oy)
 Xc định cc cận trên, cận dưới và tính đúng kết qu.
Ví dụ 4: (trích đp n kì thi THPT không phân ban 2006 )
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cc hàm số y = e
x
, y = 2 và đường thẳng x = 1.
Gii: (0,75 đ)
Ta có: e
x
= 2 ⇔ x = ln2
Diện tích hình phẳng cần tìm S =
( )
1 1
ln2 ln2
2 2
x x
e dx e dx− = −
∫ ∫
(0,25 đ)
=
( )
1
ln2
2 ( 2) (2 2ln 2) 2ln 2 4
x
e x e e− = − − − = + −
(đvdt) (0,25đ

+ 0,25đ)
Ví dụ 5: ( trích đp n kì thi THPT phân ban 2006)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x
3
– 3x
2
và trục Ox.

Gii:
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 5
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm.
Từ đồ thị ta có:
3 3
3 2 3 2
0 0
3 ( 3 )S x x dx x x dx= − + = − +
∫ ∫

3
4
3
0
4
x
x
 
= − +
 ÷

 
= 27/4 ( đvdt)
Bài tập : (cho dạng 1 và dạng 2)
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
– mx + m + 2. có đồ thị là (Cm)
a) Kho st hàm số khi m = 3.
b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
x
3
– 3x – k +1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3.
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
– 2x
2
– (m - 1)x + m = 0
a) Xc định m để hàm số có cực trị.
b) Kho st hàm số trên. Gọi đồ thị là (C).
c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C)
và đoạn OA.
Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)
2
(x –1)
2
a) Kho st và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình :
(x
2
– 1)

2
– 2n + 1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 4: Cho hàm số
mx
mxm
y
−
+−
=
)1(
(m khc 0) và có đồ thị là (Cm)
a) Kho st và vẽ đồ thị (C
2
).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
2
), tiệm cận ngang của nó và cc đường thẳng x = 3, x
= 4.
Bài 5: Cho hàm số
1
2
+
+−
=
x
xx
y
a) Kho st và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết pttt của (C) tại cc giao điểm của (C) với trục hoành.

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 6: Cho hàm số
4
4
2
−
+−
=
mx
mxx
y
a) Kho st và vẽ đồ thị (C
2
).
b) Dùng đồ thị (C
2
) gii và biện luận phương trình :
x
2
– 2(k + 1)x + 4(k + 1) = 0.
c) Tính diện tích hình phẳng của hình (H) giới hạn bởi: (C
2
), trục Ox, trục Oy, và đường thẳng x
= 1.
d)* Tính thể tích hình tròn xoay do (H) quay 1 vòng xung quanh Ox tạo ra.
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cc đường cong :
y =
2
4
1

x
; y =
xx 3
2
1
2
+−
.
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x
2
+ y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể
tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox.
Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi cc đường: y = x
2
và y =
x
quay quanh Ox.
Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 6
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
Số giao diểm của hai đường cong (C
1
) y= f(x) và (C
2
) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoànhđộ
giao điểm f(x) = g(x) (1)
Ví dụ Cho hàm số
1
1

−
+
=
x
x
y
và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong.
Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình
1
1
1
−=
−
+
mx
x
x
(điều kiện x khác
1)
0)2(
2
=+−⇔ xmmx
0))2(( =+−⇔ mmxx
+Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt đường cong tại một
điểm
+Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và
x =
2m
m
+

. Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt
(chú ý cả hai nghiệm đều khác 1)
Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm.
+ m
≠
0 và m
≠
- 2 có hai giao điểm.
B ÀI TậP:
Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C):
3 2
2
3 2
x x
y x
= + −
và đường thẳng (T):
13 1
( )
12 2
y m x
− = +
.
KQ: 1 giao điểm ( m ≤
27
12
−
), 3 giao điểm ( m >
27
12

−
)
Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số
3 4
1
x
y
x
+
=
−
. KQ: -28 < a ≤ 0
Dạng 4: Cực trị của hàm số
 Yêu cầu đối với học sinh :

Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:

Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0)
→
không có cực trị hoặc có 2 cực trị.

Hàm số bậc 4 dạng : y = ax
4
+ bx

2
+ c (a
≠
0)
→
có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.

Hàm số nhất biến dạng:
ax+b
cx+d
=y

→
chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.

Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng:
2
ax bx c
y
a 'x b'
+ +
=
+

→
không có cực trị hoặc có 2 cưc trị.

Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x
0

∈
(a;b)
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x
0
thì hàm số có cực trị tại x = x
0
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’(x) đổi dấu từ + → – khi x qua x
0
thì hàm số có cực tiểu tại x = x
0
.
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’(x) đổi dấu từ – → + khi x qua x
0
thì hàm số có cực đại tại x = x
0
.
(Điều này vẫn đúng khi hsố không có đạo hàm tại x
0
nhưng hàm số có xc định tại đó).
 Hoặc:
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’’(x) ≠ 0 thì hàm số có cực trị tại x = x
0

.
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’’(x) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x
0
.
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’’(x) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x
0
.
Bài tập:1 Định tham số m để:
i) Hàm số y =
3 2
1
( 6) 1
3
x mx m x
+ + + −
có cực đại và cực tiểu.Kết qu: m < - 2 hay m > 3
2i)Hsố y =
2
2
1
x mx
mx
+ −
−
có cực trị. Kết qu: - 1 < m < 1
3i) Hàm số y = 2x

3
– 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x
1
, x
2
và khi đó x
2
– x
1
không phụ
thuộc tham số m. Kết qu : ∀m và x
2
– x
1
= 1
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 7
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
Bài 2: Hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Gi sử M
1
(x
1
;y
1

), M
2
(x
2
;y
2
) là 2 điểm cực trị của
đồ thị hàm số. Chng minh rằng :
1 2
1 2 1 2
( )( 1)
y y
x x x x
−
− −
= 2.Kết qu : m < 1
Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số?
Yêu cầu học sinh nắm được các bước trình bày bài giải các dạng bài toán sau:
Bài ton 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M
0
(x
0
;y
0
) ∈ (C).
 Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y
0
= f’(x
0
)

( )
0
x x−
hay y – y
0
= k(x – x
0
) (*)
 Bước 2: Tìm cc thành phần chưa có x
0
, y
0
, f’(x
0
) thay vào (*). Rút gọn ta có kết qu
Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(x
A
;y
A
)
 Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:
y – y
A
= k(x – x
A
) (1)
 Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( )
'( )
A A

f x k x x y
f x k
= − +


=

 Bước 3: Gii tìm k và thay vào (1). Ta có kết qu.
Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) )
C1:  Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k ⇒ ⇒ x = x
0
( hoành độ tiếp điểm)
 Bước 2: Tìm y
0
và thay vào dạng y = k(x – x
0
) + y
0
. ta có kết qu
C2: Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong đó m là tham số chưa biết)
 Bước 2: Lập và gii hệ pt:
( )
'( )
f x kx m
f x k
= +


=


⇒ k = ? thay vào (**). Ta có kết qu
Bài tập về PTTT của đồ thị (C ):
Bài 1: Cho hàm số y = x
2
– 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0
a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B
b) CMR cc tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau.
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
– m – 1, có đồ thị (C).
a) Tìm cc điểm cố định của (Cm).
b) Lập pttt tại cc điểm cố định đó.
Bài 3: Cho hàm số y = -x
4
+ 2mx
2
– 2m + 1. Tìm m để cc tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau
Bài 4: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại cc giao điểm với
trục tung và trục hoành

Bài 5: Cho hàm số y =
2
ax -2
2
x
x
+
−
. Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại cc giao điểm
với trục tung và trục hoành.
Bài 6: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5)
Bài 7: Viết pttt của đồ thị hàm số y =
2
2 2
1
x x
x
+ +
+
đi qua B(1;0)
Bài 8) Cho hàm số y = x
3
– 3x. Lập cc Pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số

Bài 9) Cho hàm số y = 2x
3
– 3x
2
+ 5. Lập Pttt kẻ từ A(
19
12
;4)
Bài 10) Cho hàm số y = 2x
3
+ 3x
2
– 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao
cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O.
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP
Bài 1) Cho hàm số
x
mx)m(x
y
+−+
=
2
2
, m là tham số, có đồ thị là (Cm)
1) Kho st và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Với gi trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có 2 giao điểm phân biệt A và B. Trong trường hợp
đó, tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB.
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2.
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 8
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12

Th By, 07 Thng Ba 2009
Bài 2) Cho hàm số
2
54
2
−
+−
=
x
mmxx
y
, có đồ thị là (Cm)
1) Kho st sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2) Tìm tất c gi trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm phân biệt đối xng nhau qua
O.
Bài 3) Cho cc đường: y = x
2
– 2x + 2, y = x
2
+ 4x + 5 và y = 1.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cc đường trên.
Bài 4) 1. Kho st sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
)1x(2
3x4x2
2
−
−−
2. Định m để ptrình : 2x
2
– 4x – 3 + 2m|x - 1| = 0 có 2 nghiêm phân biệt.

Bài 5 : Cho hàm số
1
3
+
+
=
x
x
y
gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho
a) Kho st và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm cc điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên
c) Chng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xc định m
để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất
d) Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được hai tiếp
tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ
e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhnh của đồ thị (C) sao cho khong cch giửa chúng bé nhất
f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J chng minh rằng S là
trung điểm của IJ
g) Với gi trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C)
Bài 6:Cho hàm số
)4()1(
2
xxy −−=
a) Kho st và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Chng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xng
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5)
d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau
e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:
3 2

6 9 4 0x x x m− + − − =
Bài 7: Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23
−++−=
a)Kho st và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C)
b) Xc định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm
cực trị đó
c) Định m để hàm số tăng trên khong (1;∞)
Bài 8 : Cho hàm số
3 2
5
- 2
3
= + +y x x x
a) Kho st và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x
3
-6x
2
-5x+m=0.
c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.
d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
f) Chng minh rằng đồ thị có tâm đối xng.


§1. NGUYÊN HÀM:
Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ
( )

a,b a 0∈ & ≠¡
:
dx x C
= +
∫
1
ln
dx
ax b C
ax b a
= + +
+
∫
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 9
Chuyên đề 2 :
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
( )
1
1
1
,
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −

+
∫
x x
e dx e C
= +
∫
sin cosxdx x C
= − +
∫
1
ax ax
e dx e C
a
= +
∫
cos sinxdx x C
= +
∫
1
sin cosaxdx ax C
a
= − +
∫
2
2
,
cos
dx
tgx C x k
x

π
π
= + ≠ +
∫
1
cos sinaxdx ax C
a
= +
∫
2
cot ,
sin
dx
gx C x k
x
π
= − + ≠
∫
2
1
2
,
cos
dx
tgx C x k
ax a
π
π
= + ≠ +
∫

( )
0ln ,
dx
x C x
x
= + ≠
∫
2
1
cot ,
sin
dx
gax C x k
ax a
π
= − + ≠
∫
Bài tập:
Ghi nhớ:
− Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của cc nguyên hàm của
những hàm số thành phần.
− Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của cc
nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phi biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của
những hàm số tìm được nguyên hàm.
Áp Dụng: Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng cách biến đổi và sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản
1.
4
x dx
∫

2.
(3 1)x dx−
∫
3.
2
(3 6 1)x x dx+ −
∫
4.
4 2
( 5)x x dx− −
∫
5.
2
3
2
(3 1)x dx
x
+ −
∫
6.
2
3
( 3 1)x x x dx+ − −
∫
7.
2
(3 6 )
x
x x e dx+ −
∫

8.
( 5.3 )
x x
e dx−
∫
9.
(3sinx-5cos 1)x dx−
∫
10.
2
7
(3sinx+2cos )
os
x dx
c x
−
∫
11.
2
(2 )
os
x
x
e
e dx
c x
−
+
∫
12.

2 5x dx+
∫
13.
3 8x
e dx
−
∫
14.
1
1 5
dx
x−
∫
15.
2
7
x
x
dx
∫
16.
1
7 5
dx
x −
∫
17.
sin 5xdx
∫
18.

cos(4 2 )x dx−
∫
19.
2
sin 3xdx
∫
20.
2
cos (1 7 )x dx−
∫
21.
sinx sin5xdx
∫
22.
sinxcos3xdx
∫
23.
cos2xcos3xdx
∫
24.
7
sin .cosx xdx
∫
25.
tan5xdx
∫
26.
2
tan xdx
∫

27.
1
( 1)
dx
x x +
∫
28.
2
1
4
dx
x −
∫
29.
2
1
5 4
dx
x x− +
∫
30.
2
1
3 7 10
dx
x x+ −
∫
31.
2
1

9 7 2
dx
x x+ −
∫
32.
sin
1 5cos
x
dx
x+
∫
33.
sin
cos
x
e xdx
∫
Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
1.
7
(2 )x x dx−
∫
(đặt t= 2-x) 2.
3 4x xdx−
∫
(đặt
4 3t x= −
) 3.
2
1 1

sin dx
x x
∫
(đặt
1
t
x
=
)
4.
2
ln x
dx
x
∫
(đặt
lnt x=
) 5.
2 3 3
3x x dx+
∫
( đặt t= 3+x
3
) 6.
1
x x
dx
e e
−
−

∫
(đặt
x
t e=
)
7.
2 2
(1 )
x
dx
x+
∫
(đặt t=1+x
2
) 8.
3 2
2x x dx+
∫
(đặt t=1+x
2
) 9.
sin(ln )x
dx
x
∫
(đặt t=lnx)
Bài 3. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:
i)
(3 1)sinx xdx+
∫

2i)
(2 3)cosx xdx+
∫
3i)
(3 5 )cos
2
x
x dx−
∫
4i)
2
(1 )sinx xdx−
∫

5i)
(2 3)
x
x e dx−
∫
6i)
2
( 4 1)
x
x x e dx− +
∫
7i)
(2 1)
x
x e dx
−

+
∫
8i)
sin
x
e xdx
∫
(2 3)
x
x e dx−
∫
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 10
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
9i)
2
( 4 1)
x
x x e dx− +
∫
10i)
(2 1)
x
x e dx
−
+
∫
11i)
sin
x

e xdx
∫
12i)
3
ln x
dx
x
∫
13i)
ln(1 )x x dx−
∫
14i)
2
lnx xdx
∫
15i)
2
1
sin
x
dx
x
+
∫
Bài 4: Cho hai hàm số
( )
1 1
2
2 4
sinF x x x

= +
;
( )
2
cosf x x=
.
a. Chng minh rằng
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
G x
biết rằng
0
4
G
π
 
=
 ÷
 
.
Bài 5: Cho hàm số
( )
4 4
2 3cos cos cos

cos sin
x x x
f x
x x
+ +
=
−
.
Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
f x
biết rằng
( )
F
π π
=
.
Bài 6: Cho hàm số
( )
2
2 4cos cosf x x x
=
. Tìm hàm số
( )
G x
biết rằng
( ) ( )

G x f x
′′
=
và
( )
29 1
0
144 12 32
;G G
π
 
= − = −
 ÷
 
.
Bài 7: Cho hàm số
( )
8 2 4sin cos cos cosf x x x x x
=
.
a. Gii phương trình
( ) ( )
0f x f x
′′
+ =
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số

( )
f x
biết rằng đồ thị của hàm số
( )
F x
đi qua điểm
0
8
;M
π
 
−
 ÷
 
.
Bài 8: Biết rằng hàm số
( )
1
sin
cos
x
F x
x
=
+
là nguyên hàm của
( )
f x
. Hãy tìm cc gi trị của
x

sao cho
( ) ( )
0f x f x
′
− =
.
Bài 9: Cho hàm số
x
y xe=
.
a. Tính
y
′
và
( )
2y
′
.
b. Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2007
x
f x x e
= +
.
Bài 10: Cho hàm số
( )
sin
x
f x e x

=
. Chng minh rằng hàm số
( ) ( )
f x f x
′ ′′
−
là nguyên hàm của hàm số
( )
2 f x
.
Bài 11: Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
3 2
2
3 3 1
2 1
x x x
f x
x x
+ + −
=
+ +
,biết rằng
( )
1
1
3

F =
. (Đề thi tốt nghiệp
trung học phổ thông năm 2003)
§2. TÍCH PHÂN :
1). Định nghĩa:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
2). Bài tập:
 Ghi nhớ:
− Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phi biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc
hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta
phi thực hiện phép chia tử cho mẫu.
− Nếu hàm số dưới dấu tích phân có cha dấu gi trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phi xét dấu biểu thc nằm
trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu
thc nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Bài 1: Tính cc tích phân sau đây:
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 11
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
a.
4
0
2cos cosx xdx

π
∫
b.
4
cos sinx x dx
π
π
+
∫
c.
21
1
2 3
2
x x
dx
x
−
+ +
+
∫
d.
2
2
1
lnx x
e
dx
x
+

∫
Bài 2: Cho hàm số
( )
2
1
x
f x
x
=
+
và hàm số
( )
2
1lnF x x
= +
.
a. Chng minh rằng
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
. b. Áp dụng câu a. tính
1
2
0
1
xdx
x
+

∫
.
Bài 3: Cho hàm số
( )
2
2ln lnf x x x x x
= −
. a. Tính
( )
f x
′
. b. Áp dụng câu a. tính
2
1
ln
e
xdx
∫
.
Bài 4: Biết hàm số
( )
cos sin
cos sin
x x
F x
x x
−
=
+
là một nguyên hàm của

( )
f x
. Hãy tính :
( )
4
0
f x dx
π
′
∫
.
Bài 5: Tính các tích phân sau:
1.
∫
3
2
1
1
dx
x
. 2.
∫
+
2
1
2
3
2
dx
x

x
3.
∫
−
−
π
π
dxxx ).cos3sin2(
4.
∫
2
4
2
.
sin
1
π
π
dx
x
. 5.
4
4 4
0
(cos sin )x x dx
π
−
∫
6.
∫

6
0
.4sin.sin
π
dxxx
7.
∫
π
0
.3cos.2sin dxxx
. 8.
0
6
cos3 .cos5x xdx
π
−
∫
9.
∫
π
0
2
.sin dxx
.
10.
4
6
cot xdx
π
π

∫
11.
3
2
0
tan xdx
π
∫
12.
2
0
1
3 7
dx
x +
∫
13.
2
1
1
( 4)
dx
x x −
∫
14.
0
2
1
1
2 5 3

dx
x x
−
− −
∫
15.
0
2
1
4 3
6 5
x
dx
x x
−
+
− +
∫
16.
2
1
3 1
1
x
dx
x
−
+
∫
17.

2
2
0
2 5 1
3
x x
dx
x
+ −
−
∫
18.
0
sin
6
x
dx
π
∫
19.
3
0
2x dx−
∫
20.
4
2
0
4 3x x dx− +
∫

21.
2
0
1 sin 2xdx
π
−
∫
22.
2
sin
3
x
dx
π
π
−
∫
§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
1). Công thức tổng quát:
( ) ( ) ( )
.
b
a
f x x dx f t dt
β
α
ϕ ϕ
′
=
 

 
∫ ∫
Công thc trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế tri. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của
( )
f x
ϕ
 
 
(hàm số theo biến là
( )
x
ϕ
) với đạo hàm của hàm
( )
x
ϕ
. Áp dụng công thc trên vào cc trường hợp thường gặp, ta có
cch đặt cụ thể như sau:
a). TH1:
( )
sin .cosf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
sint x=

→ hoặc
sint p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
sin
n
t p x q= +
nếu như biểu thc
sinp x q+
nằm trong
n
.
b). TH2:
( )
cos .sinf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
cost x=

→ hoặc
cost p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc

cos
n
t p x q= +
nếu như biểu thc
cosp x q+
nằm trong
n
.
c). TH3:
( )
1
ln .f x dx
x
β
α
∫
.
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 12
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
→ Đặt
lnt x=

→ hoặc
lnt p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc

ln
n
t p x q= +
nếu như biểu thc
lnp x q+
nằm trong dấu
n
.
d). TH4:
( )
2
1
β
α
∫
tan .
cos
f x dx
x
.
→ Đặt
=
tant x

→ hoặc
= +tant p x q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +tan
n
t p x q
nếu như biểu thc
ptgx q+
nằm trong dấu
n
.
e). TH5:
( )
2
1
β
α
∫
.
sin
f cotx dx
x
.
→ Đặt
=t cotx

→ hoặc
= +t pcotx q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +
n
t pcotx q
nếu như biểu thc
pcotgx q+
nằm trong
n
.
2). Bài tập:
Bài 1: Tính cc tích phân sau đây:
a.
( )
6
3
0
2 1
cos
sin
xdx
x
π
+
∫
b.
2
3
6 1cos sinx xdx
π
π

+
∫
c.
( )
1
3 2ln
e
dx
x x
+
∫
d.
19
2
3
0
8
xdx
x +
∫
Bài 2: Tính cc tích phân sau đây:
a.
( )
1
2
0
2
4 5
x dx
x x

−
− +
∫
b.
2
4
2
0
cos
tgx
e dx
x
π
∫
c.
( )
2
2
6
3 1cot sin
dx
gx x
π
π
+
∫
d.
4
2 1
1

x
dx
e x
+
∫
Bài 3: Tính cc tích phân sau đây:
a.
3
3
0
cos
tgxdx
x
π
∫
b.
2
2 3
6
sin cosx xdx
π
π
∫
c.
6
4 4
0
2sin
cos sin
xdx

x x
π
−
∫
d.
( )
4
2
0
2cos
sin cos
xdx
x x
π
+
∫
Bài 4: Tính cc tích phân sau đây:
a.
3
3
4
0
sin
cos
xdx
x
π
∫
b.
3

2 3
0
1x x dx
+
∫
c.
6
0
2
2 1
sin
sin
xdx
x
π
+
∫
d.
4
3
6
dx
tgx tg x
π
π
+
∫
Bài 5: Tính cc tích phân sau đây: ( Tổng hợp)
1
dx

x
∫
+
3
3
0
2
1
1
(HD: x=tant) 2.
dx
x
∫
+
3
3
2
9
1
(HD: x=3tant) 3
dxx
∫
−
−
−
2
1
1
2
1

(HD: x=sint)
4.
dxx
∫
−
4
1
2
16
( HD: x=4sint) 5.
dxxx
∫
−
2
1
22
4
(HD: x=2sint) 6.
dx
xx
∫
−
++
0
1
2
22
1
(HD:đặt x+1=tant)
7.

)0(
1
3
0
22
>
−
∫
adx
xa
a
(HD: x=asint) 8.
0
sin 4
1 sin
x
dx
x
π
+
∫
(
x t
π
= −
)
Bài 6: Tính cc tích phân sau đây: ( Tổng hợp)
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 13
Ti liu tham kho ụn tp TNPTTH Toỏn 12
Th By, 07 Thng Ba 2009

1.


1
0
2009
)1( dxxx
(t=1-x) 2.

+
1
0
32 dxxx

( 2 3)t x= +
3.

+
1
0
2
1dxxx
2
( 1)t x= +
4. 4.
dxxx
2
1
0
3

1


2
( 1 )t x=
5.

+
6
0
sin31cos

dxxx

( 1 3sin )t x= +
6.
dx
x
x
e

+
1
ln1
(t=lnx) 7.
dx
x
x
e

+
1
ln32
( 2 3ln )t x= +
8.
dxx
x
x
e

+
1
ln
ln31

( 1 3ln )t x= +
9.
dx
x
x

+
1
0
15

( 5 1)t x= +
10.
dx
x

x

+
+
2
0
3
13
1

3
( 3 1)t x= +
11


2
1
1
dx
e
e
x
x
.
( 1)
x
t e=
12.
ln8
ln3

1
x
e dx+


( 1)
x
t e= +
` 13.
dx
x
e
x

+
4
1
2
2tan
cos

(t=tanx+2)
Đ4. TNH TCH PHN BNG PHNG PHP TNG PHN:
1). Cụng thc tng quỏt:
( )
b b
b
a
a a
uv dx uv vu dx

=

hay
( )
b b
b
a
a a
udv uv vdu
=

(1)
2). Cỏc bc thc hin:
Bc 1:
( ) ( ) ( )
ẹaởt
( ) ( ) (nguyeõn haứm)
u u x du u x dx ẹaùo haứm
dv v x dx v v x

= =




= =

Bc 2: Th vo cụng thc (1).
Bc 3: Tớnh

( )
b
a
uv
v suy ngh tỡm cch tớnh tip
b
a
vdu


(tớch phõn ny cú th tớnh bng nh ngha hoc i bin s hoc tớch phõn tng phn tựy tng bi ton c th m
ta phi xem xột).
3). Cỏc dng tớch phõn tớnh bng phng phỏp tng phn:
Tớch phõn tng phn thng c p dng tớnh cc tớch phõn cú dng nh sau:
a). Dng 1:
( ) ( )
.
b
a
p x q x dx

Trong ú
( )
p x
l hm s a thc, cũn
( )
q x
l hm
sin ( )x

hoc
cos ( )x

.
Trong trng hp ny ta t:
( )
( )
u p x
dv q x dx
=

=

Ghi nh :
Trong trng hp ny nu t ngc li thỡ khi th vo cụng thc ta c
b
a
vdu

phc tp hn
b
a
udv

ban u.
b). Dng 2:
( ) ( )
.
b
a

p x q x dx

Trong ú
( )
p x
l hm s a thc, cũn
( )
q x
l hm logarit.
Trong trng hp ny ta t:
( )
( )
u q x
dv p x dx
=

=

Ghi nh: Trong trng hp ny nu t ngc li thỡ ta gp khú khn khi suy ra
v
t
dv
.
4). Bi tp:
Bi 1: Tớnh cc tớch phõn sau õy:
Nguyn Phi Trng T Ton Tin THPT NGUYN KHUYN 14
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
a.
( )

0
2 1 sinx xdx
π
+
∫
b.
( )
2
0
2 cosx x xdx
π
+
∫
c.
4
2
0
cosx xdx
π
∫
d.
4
2
0
cos
xdx
x
π
∫
e.

( )
1
2
2
0
1
x
x e dx
+
∫
f.
1
0
3 2
x
x
dx
e
−
∫
g.
1
0
3 2( )
x
x dx
−
∫
h.
( )

1
2
0
x
x e dx+
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
3
2
1
3 1 lnx x dx
+
∫
b.
( )
1
0
1lnx x dx
+
∫
c.
2
1
ln
e
xdx
∫
d.

( )
1
2
0
1lnx x dx
+
∫
Bài 3. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:
1.
xdxx sin)2(
2
0
∫
+
π
2.
xdxx cos)1(
2
0
∫
−
π
3.
xdxx 3sin
2
0
∫
π
4.
dx

x
x
2
cos)1(
∫
−
+
π
π
5.
dxex
x2
1
0
∫
6.
dxexx
2
1
0
2
)13(
∫
+−
7.
xdxe
x
cos
2
0

∫
π
8.
dxex
x2
0
sin
∫
π
9.
∫
e
xdx
1
ln
10.
∫
+
1
0
)3ln( dxx

11.
∫
e
xdx
1
ln
12.
∫

−
−
0
1
)31ln( dxx
13.
∫
e
dxx
1
2
)(ln
14.
∫
−
e
dxxx
1
)ln2(
15.
∫
+
2
0
2
cos
1
π
dx
x

x

16.
xdxe
x
2sin
2
sin
2
4
∫
π
π
17.
∫
e
dxxx
1
23
)(ln
18.
dxxcos
4
0
∫
19.
∫
+
e
e

dx
x
x
1
2
)1(
ln
20.
dxe
x
∫
4
0
.
§5. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN:
Tính cc tích phân sau đây:
a.
( )
2
2
6
1 cos
sin
x dx
x
π
π
−
∫
b.

( )
2
2
1
ln
x
x x e dx
x
+
∫
c.
( )
2
2
2
6
2cot sin
sin
g x x dx
x
π
π
+
∫
d.
2
0
2
3 1
sin

cos
x xdx
x
π
 
+
 ÷
+
 
∫

e.
2
0
1
sin cos
cos
x xdx
x
π
+
∫
f.
1
2
0
1 1
2
x
xdx

x e
 
−
 ÷
+
 
∫
g.
0
2
2 2
2 3
cos cos
sin
x xdx
x
π
 
+
 ÷
+
 
∫
h.
1
2
0
3 1lnx x dx
+
∫

§6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:
1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
: ; : ; ;C y f x C y g x x a x b= = = =

(trong đó hai đường thẳng
;x a x b= =
có thể thiếu một hoặc c hai).
a). Công thức:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −
∫
(2)
b). Các bước thực hiện:
• Bước1: Nếu hai đường
,x a x b= =
đề bài cho thiếu một hoặc c hai thì gii phương trình
( ) ( )
f x g x=
(PTHĐGĐ của
( )
1
C
và
( )
2

C
để tìm.
• Bước 2: Áp dụng công thc (2).
• Bước 3: Rút gọn biểu thc
( ) ( )
f x g x−
, sau đó xét dấu của hiệu này.
• Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và p dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
c). Chú ý: Nếu bài ton này được cho chung trong bài kho st hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ sẽ dễ
dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ,
( )
1
C
nằm trên
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )
0f x g x− ≥
,
và
( )
1
C
nằm dưới
( )
2
C
thì hiệu

( ) ( )
0f x g x− ≤
.
2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1:
• Bước 1: Vẽ hình (không cần phi kho st).
• Bước 2: Chia hình cần tính thành cc hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tích bằng công thc (2).
• Bước 3: Dùng công thc (2) tính diện tích cc hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất c cc hình nhỏ.
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 15
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
3). Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox:

( ) ( )
: ; ; ;C y f x Ox x a x b
= = =
(trong đó hai đường thẳng
;x a x b= =
có thể thiếu một hoặc c hai).
a). Công thức:
( )
2
b
a
V f x dx
π
=  
 
∫
(3)
b). Các bước thực hiện:

• Bước 1: Nếu hai đường
,x a x b= =
đề bài cho thiếu một hoặc c hai thì gii phương trình
( )
0f x
=
(PTHĐGĐ của
( )
C
và trục Ox) để tìm.
• Bước 2: Áp dụng công thc (3).
4). Bài tập:
ÁP Dụng 01:
Bài i. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
1.
1, 0, 0, 3y x y x x= − = = =
2.
2
3 4, 0, 1, 3y x x y x x= + − = = − =
3.
3 2
5 4 , 0, 1, 3y x x x y x x= − + = = − =
4.
3
sin , 0, 0,
2
y x y x x
π
= = = =
5.

x
os , 0, ,
2 2
y c y x x
π
π
= = = − =
6.
2 1
, 0, 0, 1
x
y e y x x
+
= = = =
7.
2
2
, 0, 0, 2
x
y xe y x x
+
= = = =
8.
2
1
ln , 0, ,y x y x x e
e
= = = =
9.
2 3

sin cos , 0, 0,
2
y x x y x x
π
= = = =
10.
2
ln , 0, 1,y x x y x x e= = = =
Bài 2i. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
1.
2
, 4 4 , 0, 3y x x y x x x= − = − = =
2.
2
, 2 0y x x y= − + + =
3.
2 2
5, 3 7y x x y x x= + − = − + +
4.
( 1)( 2)( 3), 0y x x x y= − + − =
5.
, 1, 2
x
y e y x= = =
6. (C):
2
2 2y x x= − +
và cc tiếp tuyến của (C) đi qua
3
( , 1)

2
A −
7. (C):
3 2
3 6 2y x x x= + − +
và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1; 8.
sin , cos , 0,y x y x x x
π
= = = =
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
2
6 5
2 1
:
x x
C y
x
− +
=
−
và trục Ox.
Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( ) ( )
2
3:C y x x= −
và trục Ox.
Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
4 2

:C y x x
= −
và trục Ox.
Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
3
3 1:C y x x
= − +
và đường thẳng
3:d y =
.
Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi cc đường:
( )
2
2 2
1
:
x x
C y
x
+ +
=
+
; đường tiệm cận xiên của
( )
C
; Ox;
1x e= −
.
Bài 6: Cho đường cong

( )
3 2
3 4:C y x x x
= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến
d
của
( )
C
tại gốc tọa độ O. Từ
đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
và
d
.
Bài 7: Cho parabol
( )
2
6 5:P y x x
= − +
.
a. Viết phương trình cc tiếp tuyến của
( )
P
tại cc giao điểm của
( )
P
với trục Ox.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

( )
P
và cc tiếp tuyến nói ở câu a.
Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi cc đường:
( )
:C y x
=
;
2:d y x
= −
và trục Ox.
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 16
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol
( )
2
4:P y x
=
và đường thẳng
2 4:d y x= −
.
Bài 10: Cho parabol
( )
2
4:P y x=
.
a. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
P

tại điểm tung độ bằng 4.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi cc đường:
( )
P
, trục Ox và tiếp tuyến nói ở câu a.
Bài 11: Cho đường cong
( )
2 1
1
:
x
C y
x
+
=
+
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi cc đường:
( )
; ;C Ox Oy
. Tính thể
tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 12: Cho đường cong
( )
4 2
:C y x x= −
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
và trục Ox. Tính thể tích
của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.

Bài 13. Tính thể tich của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D được tạo bởi các đường sau khi quay xung quanh trục Ox.
1.
2
3 , 0y x x y= − =
2.
2
, 3y x y x= =
3.
3
1, 0, 0, 1y x y x x= + = = =
4.
4
5 ,y x y
x
= − =
5.
sin , 0, 0,
2
y x y x x
π
= = = =
6.
, 0, 0, 1
x
y xe y x x= = = =
7.
ln , 0, 1,y x x y x x e= = = =
8.
4 4
cos sin , 0, 0,

2
y x x y x x
π
= + = = =


A. HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:
I. Qui tắc cộng – qui tắc nhân: (Phép đếm)
 Qui tắc cộng: Nếu có m
1
cch thực hiện công việc H
1
, m
2
cch thực hiện công việc H
2
, …, m
n
cch thực hiện công việc H
n
(cch thực hiện H
i
không trùng với bất kỳ cch thực hiện công việc H
j
nào, với i
≠
j; i, j = 1, 2, …, n) thì có m
1
+ m
2

+ … +
m
n
cch thực hiện một trong các công việc H
1
, H
2,
…, H
n
.
 Qui tắc nhân: Nếu có m
1
cch thực hiện công việc H
1
, m
2
cch thực hiện công việc H
2
, …, m
n
cch thực hiện công việc H
n
(cch thực hiện H
i
không trùng với bất kỳ cch thực hiện công việc H
j
nào, với i
≠
j; i, j = 1, 2, …, n) thì có m
1

.m
2
…m
n
cch
thực hiện Tất cả các công việc H
1
, H
2,
…, H
n
.
II. Hon vị: Cho tập A có n phần tử (n
≥
1). Mỗi cch sắp th tự n phần tử của tập A được gọi là một hon vị của n
phần tử của A.
Số cc hon vị của n phần tử là: P
n
= n!
 n! = 1.2…(n – 1).n
 Qui ước: 0! = 1
III. Chỉnh hợp: Cho tập A có n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1
≤
k
≤
n) phần tử khác nhau, sắp thứ tự của A được gọi là
một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
Số cc chỉnh hợp chập k của n phần tử là:
k
n

n
A
n k
=
−
!
( )!
Có thể tính
k
n
k thõa sè
A n n n n k( 1)( 2) ( 1)= − − − +
1 4 4 442 4 4 4 43

Ví dụ:
2
100
100.99 9900A = =
 Chú ý: Chỉnh hợp chập n của n phần tử là hon vị của n phần tử.
III. Tổ hợp: Cho tập A có n phần tử. Mỗi bộ gồm k (0
≤
k
≤
n) phần tử khác nhau (không chú ý đến tính thứ tự)
của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (với k = 0 ta qui ước bộ rỗng không có phần tử nào).
Số cc tổ hợp chập k của n phần tử là:
k
k
n
n

A
n
C
k n k k
= =
−
!
!( )! !

k n k
n n
C C
−
=

o n
n n
C C 1= =

1 n 1
n n
C C n
−
= =
IV. Nhị thc NIUTƠN:
n n n k n k k n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
− −
+ = + + + + +

0 1 1
( )
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 17
Chuyên đề 3 :
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
n
n k n k k
n
k
a b C a b
−
=
+ =
∑
0
( )

 Dùng my tính bỏ túi để tính bằng cch sử dụng cc phím nPr, nCr.
♠ Một số chú ý:
 Số cc số hạng của công thc bằng n + 1.
 Tổng cc số mũ của a và b trong mỗi số hạng của nhị thc là n.
 Số hạng tổng qut là
k n k k
k n
T C a b
−
+
=
1

(số hạng th k + 1)

0 1
2
k n n
n n n n
C C C C
+ + + + + =
 Cc nhị thc thường dùng:

0 1
(1 )
n k k n n
n n n n
x C C x C x C x
+ = + + + + +
.

0 1
(1 ) ( 1) ( 1)
n k k k n n n
n n n n
x C C x C x C x
− = − + + − + + −
.
B. H ƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP:
I. Cc bài ton dùng phép đếm, chỉnh hợp, tổ hợp:
 Hướng dẫn học sinh phân tích kỹ đề bài xem đối tượng cần tìm phi thực hiện theo bao nhiêu bước, bộ gồm bao nhiêu phần
tử, khc nhau hay không cần khc nhau, có th tự hay không kể th tự, có ràng buộc thêm điều kiện đối với phần tử nào không?
 Một số ví dụ:

 Từ cc chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên (chữ số đầu tiên khc 0)
a) Số tự nhiên có bốn chữ số?
b) Số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khc nhau?
c) Số tự nhiên chẵn gồm bốn chữ số đôi một khc nhau?
 a) Muốn lập một số tự nhiên gồm bốn chữ số ta cần thực hiện tất c bốn công việc (chọn chữ số từ cc chữ số đã cho
xếp vào bốn vị trí
1 2 3 4
a a a a
), do số gồm bốn chữ số không yêu cầu gì về điều kiện khc nhau nên ta dùng qui tắc nhân để
gii.
 a) và b) phân tích theo phương php tương tự như trên. Phân tích thêm câu c) có thể dùng phần bù để gii.
 Cho năm điểm (trong đó không có bộ ba điểm nào thẳng hàng). Từ năm điểm đã cho có thể xc định
được bao nhiêu:
a) Đoạn thẳng?
b) Vectơ khc vectơ – không?
 Mỗi đoạn thẳng được xc định bởi một bộ gồm hai phần tử khc nhau không kể th tự nên mỗi tổ hợp chập 2 của 5
điểm đã cho xc định một đoạn thẳng.
 Mỗi vectơ được xc định bởi một bộ gồm hai phần tử khc nhau có th tự nên mỗi chỉnh hợp chập 2 của 5 điểm
đã cho xc định một véctơ.
 Phân tích sự giống nhau và khc nhau ở hai câu trong bài .
 Trong một chi đoàn có 25 đoàn viên. Hỏi có bao nhiêu cch chọn một Ban chấp hành gồm một bí thư, một
phó bí thư và ba uỷ viên? (mỗi đoàn viên chỉ đm nhiệm nhiều nhất một chc vụ).
 Muốn chọn một Ban chấp hành ta phi thực hiện tất c ba công việc: CV1–chọn một bí thư, CV2–chọn một phó bí
thư, CV3–chọn ba uỷ viên.
CV1: Chọn một đoàn viên trong 25 đoàn viên làm bí thư
→
có 25 cch thực hiện công việc 1.
CV2: Chọn một đoàn viên trong 24 đoàn viên còn lại làm phó bí thư
→
có 24 cch thực hiện công việc 2.

CV3: Chọn ba đoàn viên (không kể th tự) trong 23 đoàn viên còn lại làm ba uỷ viên
→
mỗi tổ hợp chập 3 của
23 phần tử là một cch chọn.
Do phi thực hiện tất c cc công việc CV1, CV2, CV3 nên ta dùng qui tắc nhân tìm đp số.(Có thể dùng chỉnh hợp để
tìm số cch chọn bí thư và phó bí thư)
 Từ cc chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có by chữ số trong đó chữ số 2 có mặt ba lần,
cc chữ số khc có mặt nhiều nhất một lần?
 Có ba viên bi màu đỏ giống nhau và năm viên bi màu xanh có bn kính khc nhau. người ta muốn xếp ba viên bi đỏ
và bốn trong cc viên bi xanh vào một hàng có by ô (mỗi ô xếp một viên). Hỏi có bao nhiêu cch xếp?
 Sau khi cho học sinh phân tích và gii bài ton  đến đp số là
3 4
7 5
C A
, nêu thêm bài ton  có cch gii hoàn toàn tương tự để
rèn luyện thêm kh năng phân tích đề, xây dựng chương trình gii cho học sinh.
 Trong một số bài ton có thể dùng phần bù để gii. Nhất là cc bài ton có cc từ “ít nhất”, “nhiều nhất”…
II. Cc bài ton về giai thừa:
Từ cc ví dụ cụ thể như: 10! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 = 8!9.10 hay
10! 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 8! 9.10
8! 1.2.3.4.5.6.7.8 8!
= =
tổng qut thành cc công thc như: n! = (n – 1)!n (với n
≥
1); n! = (n – 2)!(n
– 1)n (với n
≥
2) …
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 18
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12

Th By, 07 Thng Ba 2009
Cho học sinh gii cc bài tập như:
 Gin ước
7 !4! 8! 9!
B
10! 3!5! 2!7 !
 
= −
 ÷
 
 Rút gọn:
2
6!(n 1 ) ( n 1 )!
A .
( n 2 )! ( n 1 )( n n )
+ −
=
− − +
III. Cc bài ton gii phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có cha
k
n
A
và
k
n
C
:
 Hướng dẫn kỹ cch đặt điều kiện:
+ Đối với
k

n
A
điều kiện là:
k,n
1 k n
∈


≤ ≤

¥
+ Đối với
k
n
C
điều kiện là:
k,n
0 k n
∈


≤ ≤

¥
 Khai triển đúng công thc trong trường hợp cụ thể k là gì, n là gì.
IV. Cc bài ton về nhị thc NIUTƠN:
 Bài ton về khai triển nhị thc (a + b)
n
:
 Yêu cầu học sinh viết nhị thc dưới dạng:

0 1 1
( )
n n n k n k k n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
− −
+ = + + + + +
 Hướng dẫn học sinh dùng my tính bỏ túi để tính
k
n
C
từ đó đi đến kết qu.
 Cc bài ton về tính số hạng, hệ số cần viết đúng số hạng tổng qut
k n k k
n
C a b
−
sau đó khai thc gi thiết tìm k, n
→
kết
qu.
 Tính tổng, chng minh…:
 Qua cc bài ton cần tập cho học sinh pht hiện ra cc qui luật chung của cc số hạng, kết hợp với cc kiến thc khc như
đạo hàm, tích phân …tìm ra chương trình gii.
 Ví dụ: Tính tổng:
2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 2 1 2 1
S C C C C

2 3 n 1
+
− − −
= + + + +
+
(n nguyên dương)
 Hướng dẫn học sinh tìm ra qui luật với số hạng tổng qut là:
k 1 k 1
k
n
2 1
C
k 1 k 1
+ +
 
−
 ÷
+ +
 
=
2
k 1
k
n
1
x
C
k 1
+
+

từ đó dẫn đến tính S =
2
n
1
(1 x ) dx+
∫
.
Tuy nhiên, trong cc đề thi thường kết hợp nhiều dạng, nhiều kiểu nên cần ghép cc dạng ton, nhiều kiến thc từ dễ đến khó trong
một bài ôn tập giúp học sinh rèn tư duy, tìm ra qui luật, qui lạ về quen…
C. M ỘT SỐ BÀI TẬ P:
1) Cho cc chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ cc chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên (chữ số đầu tiên khc 0)
a) Gồm có năm chữ số.
b) Gồm năm chữ số khc nhau.
c) Gồm năm chữ số khc nhau và là số lẻ.
d) Gồm năm chữ số khc nhau và là số chẵn.
e) Gồm năm chữ số khc nhau bắt đầu bằng chữ số 2.
f) Gồm năm chữ số khc nhau và không bắt đầu bởi 23.
g) Gồm năm chữ số khc nhau trong đó nhất thiết phi có mặt chữ số 1 và chữ số 3.
h) Gồm tm chữ số khc nhau trong đó chữ số 1 có mặt ba lần cc chữ số khc có mặt đúng một lần.
i) Tính tổng tất c cc số tự nhiên ở câu b).
2) Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Gio viên muốn chon bốn học sinh để trực lớp.
Hỏi gio viên có bao nhiêu cch chon nhóm trực, biết rằng:
a) Số nam nữ trong nhóm là tuỳ ý.
b) Trong nhóm phi có hai nam và hai nữ.
c) Trong nhóm phi có ít nhất một nữ.
3) Cho đa gic lồi 12 cạnh. Hỏi:
a) Đa gic có bao nhiêu bao nhiêu đường chéo?
b) Có bao nhiêu véctơ khc véctơ–không được tạo thành từ cc đỉnh của đa gic?
c) Có bao nhiêu tam gic được tạo thành từ cc đỉnh của đa gic?
d) Biết rằng ba đường chéo cùng không đi qua một đỉnh thì không đồng qui. Hãy tính số giao điểm (không phi là

đỉnh) của cc đường chéo của đa gic.
4) Có năm tem thư khc nhau và su bì thư cũng khc nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra ba tem thư, ba bì thư và dn ba
tem thư ấy lên ba bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dn một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cch thực hiện?
5) Một tổ gồm mười học sinh trong đó có hai học sinh A và B. Hỏi có bao nhiêu cch xếp tổ học sinh thành một hàng
ngang để tập thể dục, biết rằng A và B phi đng kề nhau?
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 19
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
6) Có năm quyển sch ton khc nhau, bốn quyển sch lý khc nhau và hai quyển sch ho khc nhau. Hỏi có bao nhiêu
cch xếp cc quyển sch đó lên kệ sch sao cho cc quyển sch cùng môn được xếp kề nhau?
7) Gii cc phương trình sau:
a) P
2
.x
2
– P
3
.x = 8. b)
2 1
. 42
x
x x
A C x
−
=
c)
2 2
2

2 50
x x
A A
+ =
d)
4
x
3 4
x+1
A
24
A 23
x
x
C
−
=
−
8) Gii cc bất phương trình:
a)
3 4
3 1 1
14 .
x
x x
P C A
−
− +
<
b)

3 2
4 5( 1)
x x
A C x
− ≤ −
c)
4 3 2
1 1 2
5
0
4
x x x
C C A
− − −
− − <
d)
1
105 105
8 3
x x
C C
+
<
9) Gii cc hệ phương trình sau:
a)
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y

x x
A C
A C

+ =


− =


b)
1 1
1
: : 6 :5: 3
y y y
x x x
C C C
+ −
+
=
10) Cho khai triển nhị thc:

1
1
1 1 1 1
0 1 1
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n

n n
x x x x
x x x x
n n
n n n n
C C C C
−
−
− − − −
− − − −
−
            
+ = + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷ ÷  ÷  ÷
     
       
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó
3 1
5
n n
C C
=
và số hạng th tư bằng 20n, tìm n và x.
11) Khai triển cc nhị thc:
a) (2x – 1)
6
b) (2x – y)
6
c)
x

x
 
+
 ÷
 
7
1
3
12) Tìm số hạng của khai triển
( )
9
3
3 2+
là một số nguyên.
13) Tìm số hạng không cha x của cc khai triển:
a)
10
1
4
2
x
x
 
−
 ÷
 
b)
7
3
4

1
x
x
 
+
 ÷
 
14) Tìm hệ số của x
8
trong khai triển
5
3
1
n
x
x
 
+
 ÷
 
biết rằng
( )
1
4 3
7 3
n n
n n
C C n
+
+ +

− = +
15) Tính tổng
0 0 1 2 2 6 6
6 6 6 6
3 3 3 3A C C C C= + + + +
.
16) Cho tổng
0 1 2
2 4 2 243
n n
n n n n
S C C C C= + + + + =
. Tìm n.
17) Tính tổng
1 2 3 4 1
2 3 4 ( 1)
n n
n n n n n
S C C C C nC
−
= − + − + + −
(n >2)
18) Tính tổng
1 2
1 1 1
1
2 3 1
n
n n n
S C C C

n
= + + + +
+
.
Vấn đề 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Toạ độ vectơ: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy:
1)
a
= (a
1
; a
2
) <=>
a
= a
1
i


+a
2
j

2) Cho
a
= (a
1
; a
2

) ,
b
= (b
1
; b
2
). Ta có:
a

±
b
= (a
1
±
b
1
; a
2
±
b
2
)
3) Cho
a
= (a
1
; a
2
),
b

= (b
1
; b
2
). Ta có:
a
.
b
= a
1
b
1
+ a
2
b
2
,
a
=
2
2
2
1
aa +
,Cos(
a
,
b
) =
ba

ba
.
.
II. Toạ độ điểm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 20
Chuyên đề 4 :
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
1) M(x
M
;y
M
) <=>
OM
= (x
M
;y
M
)
2) Cho A(x
A
;y
A
), B(x
B
;y
B
). Ta có:
AB
= (x

B
-x
A
; y
B
-y
A
) và AB =
22
)()(
ABAB
yyxx −+−
III. Liên hệ giữa toạ độ hai vectơ vuông góc, cùng phương:
Cho
a
= (a
1
; a
2
),
b
= (b
1
; b
2
). Ta có:
1)
a

⊥

b
<=>
a
.
b
= 0 <=> a
1
b
1
+ a
2
b
2
= 0
2)
a
cùng phương với
b
<=> a
1
b
2
- a
2
b
1
= 0
B. BÀI TẬP:
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho 3 điểm: A(-2;1), B(-1;-2), C(3;-1)
a) Chng minh rằng 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. ; b) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của

∆
ABC
c) Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành Chng tỏ rằng 3 điểm B, G, D thẳng hàng
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho
∆
ABC với: A(2;6), B(-3;-4), C(5;0)
a) Tính chu vi và diện tích
∆
ABC
b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với trục hoành và của đường thẳng AC với trục tung.
c) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp
∆
ABC .
Vấn đề 2: ĐƯỜNG THẲNG
B. BÀI TẬP:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy:
Bài 4: Cho 3 điểm A(-1;3), B(-2;0), C(3;1)
a) Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc và phương trình tổng qut của đường thẳng BC
b) Viết phương trình tổng qut của đường thẳng (∆
1
) qua A và song song với BC
c) Viết phương trình tổng qut của đường thẳng (∆
2
) qua A và vuông góc với BC
Bài 5: Cho 2 đường thẳng: (∆
1
): 2x – 3y + 15= 0 và (∆
2
): x – 12y + 3 = 0
a) Chng tỏ rằng (∆

1
) và (∆
2
) cắt nhau
b) Viết phương trình đường thẳng (d
1
) đi qua giao điểm của (∆
1
),(∆
2
) và đi qua điểm A(2;0)
c) Viết phương trình đường thẳng (d
2
) đi qua giao điểm của (∆
1
),(∆
2
) và vuông góc với đường thẳng (∆
3
):
x – y + 1 = 0
Bài 6: Cho 2 đường thẳng: (∆
1
): x + 2y + 16 = 0 và (∆
2
): x – 3y + 9 = 0
a) Tính góc tạo bởi (∆
1
) và (∆
2

)
b) Tính khong cch từ điểm M(5;3) tới (∆
1
) và (∆
2
)
c) Viết phương trình cc đường phân gic của cc góc hợp bởi (∆
1
)và (∆
2
)
Bài 7: Cho 3 đường thẳng (d
1
), (d
2
), (d
3
) có phương trình lần lượt là y = 0, 3x + 4y –24 = 0, 3x –y + 6 =0. Ba
đường thẳng này cắt nhau tạo thành tam gic ABC.
a) Tính toạ độ cc đỉnh A, B, C
b) Viết phương trình cc đường thẳng cha cc đường cao AA’, BB’, CC’ và tính toạ độ trực tâm H của ∆ABC.
c) So snh góc giữa (d
1
)và (d
2
) với góc giữa (d
2
) và (d
3
)

Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;1), B(4;-3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x -2y -1
= 0 sao cho khong cch từ C đến đường thẳng AB bằng 6. (TS 2004-K.B)
Vấn đề 3: ĐƯỜNG TRÒN
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Phương trình đường tròn
1. Định lý 1: Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b) bn kính R trong hệ toạ độ Oxy là: (x-a)
2
+ (y-b)
2
= R
2
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 21
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
2. Định lý 2: Phương trình x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 với A
2
+B
2
-C>0 là phương trình đường tròn tâm
I(-A;-B), bn kính R =
CBA
−+
22
IV. Phương trình tiếp tuyến:
Cho đường tròn (C): x
2

+ y
2
+ 2Ax+ 2By + C = 0 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M
0
(x
0
;y
0
)
∈
(C) là:
x
o
x + y
o
y + A(x
o
+x)+ B(y
o
+y) + C = 0
B. BÀI TẬP: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy:
Bài 9: Cho đường tròn (C) có phương trình x
2
+y
2
– 4x –2y – 4 = 0
a) Tìm toạ độ tâm I và bn kính R của đường tròn (C)
b) Với gi trị nào của b thì đường thẳng (∆): y = x + b có điểm chung với(C).
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 3x – 4y +1 =0
Bài 10: Cho 3 điểm A(-1;0), B(5;0), C(2;1)

a) Tìm phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A, B, C.
b) Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A
c) Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm D(3;-11)
Bài 11: a) Tìm phương trình đường tròn (C
1
) có tâm I
1
(1;2) và tiếp xúc với trục Ox
b) Tìm phương trình đường tròn (C
2
) có đường kính MN với M(2;
5
+1) và N(6;-
5
+1)
c) Tìm phương trình cc đường tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C
1
) và (C
2
)
d) Tìm phương trình trục đẳng phương của (C
1
) và (C
2
)
Bài 12: Cho hai đường tròn: (C
1
): x
2
+y

2
- 4x +2y –4 =0; (C
2
): x
2
+y
2
- 10x - 6y + 30 =0
a) Xc định tâm và bn kính của (C
1
) và (C
2
). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua tâm của (C
1
) và (C
2
).
b) Chng minh (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài với nhau. Xc định toạ độ tiếp điểm H. Suy ra phương trình tiếp tuyến
chung của (C
1
) và (C
2
) tại H.
(Thi HKI 2004-2005)
Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam gic ABC có A(0;2),
B(-2;-2) và C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của cc cạnh AB và BC.

Viết phương trình đường tròn đi qua cc điểm H, M, N. (TS 2007-K.A).
Vấn đề 4: ELIP VÀ HYPEBOL
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
ELIP HYPEBOL
1) Định nghĩa:
(E) =
{ }
aMFMFM 2
21
=+
F
1
F
2
= 2c, a > c
2) Phương trình chính tắc:
2
2
2
2
b
y
a
x
+
= 1 với b
2
= a
2
– c

2
3) Hình dạng và cc yếu tố:
Cho elip (E):
2
2
2
2
b
y
a
x
+
= 1
a) Hình dạng:
1) Định nghĩa:
(H) =
{ }
aMFMFM 2
21
=−
F
1
F
2
= 2c, c > a
2) Phương trình chính tắc:
2
2
2
2

b
y
a
x
−
= 1 với b
2
= c
2
– a
2
3) Hình dạng và cc yếu tố
Cho Hypebol (H):
2
2
2
2
b
y
a
x
−
= 1
a) Hình dạng:
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 22
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
b) Cc yếu tố:
• A
1

A
2
= 2a: trục lớn
• B
1
B
2
= 2b : trục nhỏ
• Cc đỉnh: A
1
(-a;0),A
2
(a;0),B
1
(0;-b),B
2
(0;b)
• Cc tiêu điểm: F
1
(-C;0), F
2
(C;0)
• Tiêu cự: F
1
F
2
= 2c
• Bn kính qua tiêu của điểm M
)(E∈
:






−=
+=
M
M
x
a
c
aMF
x
a
c
aMF
2
1
• Tâm sai: e =
1<
a
c
• Phương trình đường chuẩn:
(∆
1
): x = -
c
a
e

a
2
−=
; (∆
2
): x =
c
a
e
a
2
=
4) Phương trình tiếp tuyến:
Cho elip (E):
2
2
2
2
b
y
a
x
+
= 1
a) Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M
o
(x
o
;y
o

)
∈ (E) có dạng:
1
2
0
2
0
=+
b
yy
a
xx

b) Đường thẳng (∆): Ax + By

+ C = 0 là tiếp
tuyến của (E) <=> A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2
b) Cc yếu tố
• A
1
A

2
= 2a: trục thực
• B
1
B
2
= 2b : trục o
• Cc đỉnh:A
1
(-a;0), A
2
(a;0)
• Cc tiêu điểm: F
1
(-C;0), F
2
(C;0)
• Tiêu cự: F
1
F
2
= 2c
Bn kính qua tiêu của điểm M
)(H∈
+ x
M
> 0 :






−=
+=
ax
a
c
MF
ax
a
c
MF
M
M
2
1
+ x
M
< 0 :





+−=
−−=
ax
a
c
MF

ax
a
c
MF
M
M
2
1
• Tâm sai: e =
1>
a
c
• Phương trình đường chuẩn:
(∆
1
): x = -
c
a
e
a
2
−=
; (∆
2
): x =
c
a
e
a
2

=
• Phương trình tiệm cận: (d
1
): y = -
x
a
b
; (d
2
): y =
x
a
b
4) Phương trình tiếp tuyến:
Cho Hypebol (H):
2
2
2
2
b
y
a
x
−
= 1
a) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M
o
(x
o
;y

o
) ∈ (H) có
dạng:
1
2
0
2
0
=−
b
yy
a
xx

b) Đường thẳng (∆): Ax + By

+ C = 0 là tiếp tuyến của (H)
<=> A
2
a
2
- B
2
b
2
= C
2
B. BÀI TẬP:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy:
Bài 14: Cho elip (E): 16x

2
+ 25y
2
= 100
a) Tìm toạ độ cc đỉnh, toạ độ cc tiêu điểm, tính tâm sai và tìm phương trình cc đường chuẩn của (E).
b) Tìm tung độ cc điểm thuộc (E) có hoành độ x = 2 và tính khong cch từ điểm đó tới 2 tiêu điểm.
c) Tìm cc gi trị của K để đường thẳng (d): y = x + k có điểm chung với(E).
Bài 15:
a) Viết phương trình chính tắc của elip (E) nhận một tiêu điểm là F
2
(5;0) và có độ dài trục nhỏ 2b =
64
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 23
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
Tìm toạ độ cc đỉnh, tiêu điểm th hai F
1
và tính tâm sai của (E)
b) Tìm toạ độ điểm M ∈ (E) sao cho MF
2
= 2MF
1
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại điểm N









7
158
;3
Bài 16:
a) Viết phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài trục lớn bằng 10, phương trình một đường chuẩn là
4
25
=x
b) Một đường thẳng đi qua một tiêu điểm của (E), vuông góc với trục Ox, cắt (E) tại M và N. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(5;2).
Bài 17: Cho hypebol (H): 24x
2
- 25y
2
= 600
a) Tìm toạ độ cc đỉnh, toạ độ cc tiêu điểm, tính tâm sai và tìm phương trình cc đường chuẩn của (H)
b) Tìm tung độ của điểm thuộc (H) có hoành độ x = 10 và tính khong cch từ điểm đó tới 2 tiêu điểm.
c) Tìm cc gi trị của K để đường thẳng (d): y = Kx - 1 có điểm chung với(H).
Bài 18:
a) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có tâm sai e =
5
và (H) đi qua điểm A (
10
; 6)
b) Tìm phương trình cc đường tiệm cận của (H). Vẽ (H)
c) Chng tỏ rằng tích cc khong cch từ một điểm M tuỳ ý thuộc (H) đến 2 đường tiệm cận của (H) là một số không đổi.
Bài 19:
a) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm F
2

(
5
;0) và phương trình một đường tiệm cận là y = 2x.
b) Tìm phương trình tiếp tuyến (t) của (H) tại điểm M ( 2, -2
3
)
c) Tiếp tuyến (t) của (H) cắt 2 đường tiệm cận của (H) tại P và Q. Chng tỏ rằng M là trung điểm của đoạn thẳng PQ.
Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip(E):
2 2
1
25 16
x y
+ =
có hai tiêu điểm F
1
, F
2
.
1. Cho điểm M(3;m) thuộc (E), hãy viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M khi m > 0.
2. Cho A và B là hai điểm thuộc (E) sao cho AF
1
+ BF
2
= 8. Hãy tính AF
2
+ BF
1
. (TN THPT 2004)
Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hypebol (H) có phương trình
2 2

1
4 5
x y
− =
1. Tìm tọa độ cc tiêu điểm, tọa độ cc đỉnh và viết phương trình cc đường tiệm cận của (H).
2. Viết phương trình cc tiếp tuyến của (H) biết cc tiếp tuyến đó đi qua điểm M(2;1). (TN THPT 2006)
Vấn đề 5: PARABOL
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Định nghĩa:
Trong mặt phẳng cho đường thẳng (∆) cố định và điểm F cố định không thuộc ∆. Tập hợp cc điểm M
của mặt phẳng sao cho M cch đều (∆) và F được gọi là một parabol
• F gọi là tiêu điểm
• (∆) gọi là đường chuẩn của parabol
• Khong cch p từ tiêu điểm đến đường chuẩn gọi là tham số tiêu của parabol
• Với M ∈(P); MF gọi là bn kính qua tiêu của điểm M.
II. Phương trình chính tắc:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) như trong định nghĩa, trong đó chọn F(
2
p
; 0) và (∆): x = -
2
p
Phương trình chính tắc của parabol (P) là: y
2
= 2px
2) Các yếu tố:
• O(0;0) là đỉnh của parabol
• Ox là trục đối xng của parabol
• Bn kính qua tiêu của điểm M ∈ (P): MF =
2

p
+ x
M
IV: Phương trình tiếp tuyến:Cho parabol (P): y
2
= 2px
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 24
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Th By, 07 Thng Ba 2009
a) Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M
0
(x
0
;y
0
) ∈ (P) là : y
0
y = p(x
0
+x)
b) Đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của (P) <=> pB
2
= 2AC
B. BÀI TẬP:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy:
Bài 22: Cho parabol (P) có phương trình chính tắc là y
2
= 12x
a) Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của (P)
b) Một điểm nằm trên (P) có hoành độ x = 2. Hãy tính khong cch từ điểm đó đến tiêu điểm.

c) Qua điểm I (2;0) vẽ một đường thẳng thay đổi cắt (P) tại 2 điểm A và B. Chng minh rằng tích cc khong cch từ A và B
tới trục Ox là một hằng số.
Bài 23:
a) Tìm phương trình chính tắc của parabol (P) có trục đối xng là Ox và tiêu điểm là F (4;0). Viết phương trình đường chuẩn
(∆) của (P)
b) Viết phương trình tiếp tuyến (t) của (P) tại điểm A (1;4), (t) cắt trục Ox tại B. Chng tỏ ∆ ABF cân.
c) Tìm quỹ tích cc điểm M mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
Bài 24: Cho parabol (P): y
2
= 8x
a) Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của (P)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M thuộc (P) có tung độ bằng 4.
c) Gi sử đường thẳng (d) đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ng là x
1
, x
2
Chng minh: AB = x
1
+ x
2
+ 4
(TN THPT 2005)

ℑ1.
TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng:
1). Nếu
1 2 3

a (a ;a ;a )
=
r
và
1 2 3
b (b ;b ;b )
=
r
thì
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
a,b ; ;
b b b b b b
 
 
=
 ÷
 
 ÷
 
r r
2). Vectơ tích có hướng
c a,b
 
=
 
r r r

vuông góc vơi hai vectơ
a
r
và
b
r
.
3).
a,b a b sin(a,b)
 
=
 
r r r r r r
.
4).
ABC
1
S [AB,AC]
2
=
uuur uuur
.
5). V
HộpABCDA’B’C’D’
=
[AB,AC].AA'
uuur uuur uuuur
.
6). V
Tứdiện ABCD =

1
[AB,AC].AD
6
uuur uuur uuur
.
II/. Điều kiện khác:
1).
a
r
và
b
r
cùng phương
1 1
2 2
3 3
a kb
a,b 0 k R : a kb a kb
a kb
=


 
⇔ = ⇔ ∃ ∈ = ⇔ =

 

=

r r r r r

2).
a
r
và
b
r
vuông góc
1 1 2 2 3 3
a.b 0 a .b a .b a .b 0⇔ = ⇔ + + =
r r
Nguyễn Phi Trường Tổ Ton – Tin THPT NGUYỄN KHUYẾN 25
Chuyên đề 5 :