Chương 3: Nội suy và xấp xỉ hàm số doc

1
Chương 3
Chương 3
Nội suy và xấp xỉ
Nội suy và xấp xỉ
hàm số
hàm số
2
3.1. Số gia hữu hạn
3.1. Số gia hữu hạn
Cho giá trị của hàm số ƒ(x) tại các điểm mốc
Là …,
1. Số gia hữu hạn tiến
- Số gia hữu hạn tiến bậc 1 của hàm ƒ(x) tại điểm x là

mmmiihxx
i
, ,1,0, ,,,
0
−−=+=
),(
m
xf
−
),(
1+−m
xf
),(
m
xf
)()()( xfhxfxf

−+=∆
3
-
Số gia hữu hạn tiến bậc 2 và bậc cao hơn:
……………………………………………………….
k=1,2,…
)()(2)2(
)()()()2(
)()()(
2
xfhxfhxf
xfhxfhxfhxf
xfhxfxf
++−+=
++−+−+=
∆−+∆=∆
)()1( ))2((
!2
)1(
))1(()(
)()()(
)1()1(
xfhkxf
kk
hkxkfkhxf
xfhxfxf
k
kkk
−++−+
−

+−+−+=
∆−+∆=∆
−−
4
Hoặc
là một số (hệ số binôm)
))(()1(
)1.3()()1()(
0
0
hikxf
i
k
ihxf
i
k
xf
k
i
i
k
i
ikk
−+









−=
+








−=∆
∑
∑
=
=
−








i
k
,1
0

=








k
,
1
k
k
=








, ,
!2
)1(
2
−
=









kk
k
ki
i
ikkkk
i
k
≤
+−−−
=








,
!
)1) (2)(1(
5
2. Số gia hữu hạn lùi

Số gia hữu hạn lùi bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm ƒ(x) tại
điểm x
………………………………………………………………
)2()(2)(
)()()(
)()()(
2
hxfhxfxf
hxfxfxf
hxfxfxf
−+−−=
−∇−∇=∇
−−=∇
)()1(
)2.3(),)(()1()(
0
0
ihxf
i
k
hikxf
i
k
xf
k
i
i
k
i
ikk

−








−=
−−








−=∇
∑
∑
=
=
−
6
3. Số gia hữu hạn trung tâm
Số gia hữu hạn trung tâm bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm
ƒ(x) tại điểm x
……………………………………………………

)()(2)(
)2/()2/()(
)2/()2/()(
2
hxfxfhxf
hxfhxfxf
hxfhxfxf
−+−+=
−−+=
−−+=
δδδ
δ
)4.3()
2
()()(
)3.3(),)2/(()1()(
0
h
k
xfkhxfxf
hikxf
i
k
xf
kkk
k
i
ikk
+=+∇=∆⇒
−+









−=
∑
=
−
δ
δ
7
3.2. Các bảng số gia
3.2. Các bảng số gia
Bảng số gia hữu hạn tiến
8
Bảng số gia hữu hạn lùi
Bảng số gia hữu hạn lùi
9
10
3.3. Các phương pháp nội suy
3.3. Các phương pháp nội suy
1. Nội suy với mốc cách đều
xét cách biểu diễn một đa thức theo số gia hữu hạn
•
Nếu thay cho việc dùng biến x khi các mốc cách đều ta dùng biến
•

Thì các mốc được thay thế
bằng u = -m , -m+1, … , 0 , 1 , … , m
ii
xxh
h
xx
u −=
−
=
+1
0
,
11
Nội suy Gregory-Newton tiến
Nội suy Gregory-Newton tiến
Ta dùng một loại đa thức được gọi là đa thức giai
thừa
),1) (2)(1(

),1(
,
,1
][
]2[
]1[
]0[
+−−−=
−=
=
=

kuuuuu
uuu
uu
u
k
12
Khi đó, theo định nghĩa (3.1), số gia hữu hạn tiến bậc 1 của u[k]
Tương tự

][][
)1(
kkk
uuu
−+=∆
]1[
][]1[
)1()1(
−
−
=
+−−+=
k
kk
ku
ukuuu
!
)1(
][
]2[][2
ku

ukku
kk
kk
=∆
−=∆
−
13
14
15
•
Nếu |ƒ
(N+1)
(x)|<M
1
, M
1
là một số dương đủ nhỏ thì công thức nội
suy Gregory-Newton tiến với sai số E
N
là
∀
∆
i
y
0
= ∆
i
P
N
(x

0
), i =0, 1, 2, …, N
•
y
j
= P
N
(x
j
) = ƒ(x
j
) , j = 0, 1, 2, …, N, x
0
< ξ < x
N
•
Tại điểm x = x
0
+ ph
)!1(
)(
!
)1(]1[1
,
0
0
][
+
=
+

∆
=
+++
=
∑
N
fuh
E
E
i
yu
y
NNN
N
N
N
i
ii
ξ
0
0
3
0
2
00
!
)1) (2)(1(

!3
)2)(1(

!2
)1(
)(
y
N
Npppp
y
ppp
y
pp
ypyxP
N
N
∆
+−−−
++
∆
−−
+∆
−
+∆+=
16
Nội suy Gregory-Newton lùi
Nội suy Gregory-Newton lùi
Ta dùng một loại đa thức được gọi là đa thức giai
thừa
),1) (2)(1(

),1(
,

,1
][
]2[
]1[
]0[
−+++=
+=
=
=
kuuuuu
uuu
uu
u
k
17
Khi đó, theo định nghĩa (3.2), số gia hữu hạn lui bậc 1 của u
[k]
Tương tự
Ta nhận thấy
u
1
= u
[1]
,
u
2
= u(u+1)-u = u
[2]
- u
[1]

,
u
3
= u(u+1)(u+2) + 3u(u+1) + u
= u
[3]
-3 u
[2]
+ u
[1]

][][][
)1(
kkk
uuu
−−=∇
]1[
]1[]1[
)1()1(
−
−−
=
−−−+=
k
kk
ku
uuuku
!
)1(
][

]2[][2
ku
ukku
kk
kk
=∇
−=∇
−
18
]0[]1[
1
]1[
1
][
0
)( ucucucucxP
NN
NN
N
++++=
−
−
NNN
NN
N
cccccxP =++++=
−
− ]0[]1[
1
]1[

1
][
00
00 00)(
10
]0[
1
]2[
1
]1[
0
)(
)1()(
−
−
−−
=∇⇒
++−+=∇
NN
N
NN
N
cxP
ucucNuNcxP
0
2
]3[
1
]2[
0

2
!)(

12 )1)(2()1()(
cNxP
cucNNucNNxP
N
N
N
NN
N
=∇
××++−−+−=∇
−
−−
Tức là u
k
có thể biểu diễn thành một đa thức của các đa thức
giai thừa u
[i]
, i = 1, 2, …, k và do
P
N
(x) = P
N
(x
0
+ uh)
Là một đa thức bậc N của u
[i]

, cho nên ta có thể viết
Tính c
0
, c
1
,…,c
N
:
Tại thời điểm x=x
0
hay u=0 ta tính P
N
(x)
và ∇
k
P
N
(x)
19
⇒
Như vậy:
0
0
2
0
2
10
0
!
)(

!2
)(
,)(
,)(
c
N
xP
c
xP
cxP
cxP
N
N
N
N
NN
NN
=
∇
=
∇
=∇
=
−
−
∑
=
∇
=

+∇++
∇
=
N
i
i
N
i
NN
N
N
N
N
i
uxP
xP
hay
xPuxPu
N
xP
xP
N
0
][
0
0
]1[
0
][
0

!
)(
)(
)()(
!
)(
)(
20
•
Nếu |ƒ
(N+1)
(x)|<M
1
, M
1
là một số dương đủ nhỏ thì công thức nội
suy Gregory-Newton lui với sai số E
N
là
∀
∇
i
y
0
= ∇
i
P
N
(x
0

), i =0, 1, 2, …, N
•
y
j
= P
N
(x
j
) = ƒ(x
j
) , j = 0, 1, 2, …, N, x
0
< ξ < x
N
•
Tại điểm x = x
0
+ ph
)!1(
)(
!
)1(]1[1
,
0
0
][
+
=
+
∇

=
+++
=
∑
N
fuh
E
E
i
yu
y
NNN
N
N
N
i
ii
ξ
N
N
NNNNN
y
N
Npppp
y
ppp
y
pp
ypyxP
∇

+−−−
++
∇
−−
+∇
−
+∇+=
!
)1) (2)(1(

!3
)2)(1(
!2
)1(
)(
32
21
Nội suy Gauss
Nội suy Gauss
•
Gauss tiến:
•
Nếu số hạng cuối cùng là (u+k-1)
[2k]
δ
2k
y
o
/(2k)! thì sai số là:
•

Nếu số hạng cuối là thì sai số là

!2
)1(
2)!12(
)1(

!6
)2(
2!5
)2(
!4
)1(
2!3
)1(
!22
0
2
]2[
1
12
]12[
0
6
]6[
1
5
]5[
0
4

]4[
1
3
]3[
0
2
]2[
1
]1[
0
+








−+
+
+
−+
++









+
+
+
+








+
+
+
+








++=
−
−
y

k
kuy
k
ku
y
uyu
y
uyu
y
uy
uyy
k
k
k
k
δδδδ
δδδδ
)!12(
)()(
)12(12]12[
12
+
+
=
+++
+
k
fhku
E
kkk

k
ξ
)!2(
)()1(
)2(2]2[
2
k
fhku
E
kkk
k
ξ
−+
=
2)!12(
)1(
1
12
]12[
y
k
ku
k
k
−
−
+
−+
δ
22

•
Gauss lùi
Nếu số hạng cuối cùng là thì sai số là:
Nếu số hạng cuối là thì sai số là

)!12(
)(
)!2(
)(

!5
)2(
!4
)2(
!3
)1(
!2
)1(
)(
2/1
12
]12[
0
2
]2[
2/1
5
]5[
0
4

]4[
2/1
3
]3[
0
2
]2[
2/1
]1[
0
]0[
+








+
+
+
+
++









+
+
+
+








+
+
+
++=
−
+
+
−
−−
y
k
ku
y
k
ku

y
u
y
u
y
u
y
u
yuyuy
k
k
k
k
δδδδ
δδδ
2/1
12
]12[
)!12(
)(
−
+
+
+
+
y
k
ku
k
k

δ
))!1(2(
)()(
))1(2()1(2)]1(2[
)1(2
+
+
=
+++
+
k
fhku
E
kkk
k
ξ
0
2
]2[
)!2(
)(
y
k
ku
k
k
δ
+
)!12(
)()1(

)12(12]12[
12
+
−+
=
+++
+
k
fhku
E
kkk
k
ξ
23
2. Nội suy với mốc không cách đều
Nội suy Lagrange
Trên đoạn a≤x≤b cho một lưới các điểm chia (điểm nút) x
i
, i = 0,
1, 2, …, n:
a ≤ x
0
, x
1
, x
2
, …, x
n
≤ b
tại các nút x

i
cho giá trị của hàm số y = f(x) là y
i
= f(x
i
),
i = 0, 1, 2, …, n
24
25