Thi HS giỏi toán 12 tt

SỞ GD-ĐT BÌNH ĐỊNH
Đề chính thức
//
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT – Năm học 2008-2009
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút ( không kể phát đề )
Ngày thi: 09 - 11 - 2008
Câu 1: ( 5 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương m, n sao cho:

2 2
2 2
( ) 1
( ) 1
n
m
n
m
n m n
m
m n
− −
=
− +
Câu 2: ( 5 điểm ).
Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
2 2 2 3 3
3
(1 os )(1 os )(1 os ) (1 )
2 2 2 4

A B C
c c c+ + + < +
Câu 3: ( 5 điểm).
Xét dãy số nguyên dương
( )
n
a
, (n=0, 1, 2….) thỏa mãn các điều kiện:
0
2
1 1
1
n n n
a
a a a
− +
=



>


với mọi n= 1, 2, …
a) Chứng minh rằng
n
a n>
với mọi
1n ≥
.

b) Tìm
2
1 2 3
1 1 2 3
lim ( )
x
n
n
n a a a a
→+∞
+ + + +
.
Câu 4: ( 5 điểm).
Cho tam giác ABC với BE, CF là các đường phân giác trong. Các tia EF, FE cắt đường tròn ngoại
tiếp tam giác theo thứ tự tại M , N. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1
.
BM CN AM AN BN CM
+ = + + +
Hết