Đề thi và đáp án HSG Toán 9

PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO
TRƯỜNG THCS TAM ĐẢO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 2
NĂM HỌC 2009-2010
Môn:Toán
Thời gian:150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1:(2đ)
a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho mỗi số n+26 và n-11 đều là lập phương
của một số tự nhiên.
b) Cho các số x,y,z thay đổi thỏa mãn
1
222
=++ zyx
.Hãy tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
( ) ( ) ( )
][
2
1
2
2
2
2
2
2
yxzxzyzyxzxyzxyP −+−+−+++=
Câu 2: (1.5đ)
Cho ba số nguyên x,y,z thỏa mãn điều kiện
6zyx ++

.
Chứng minh rằng
( )( )( )
62 xyzxzzyyxM −+++=
Câu 3:(1.5đ) Please solve math and writing answers in English.
Solution equation :
( )
2
1311121 xxxxx −+−+−=+++
Câu 4:(1.5đ)
Nếu một hình vuông và một tam giác có cùng diện tích thì hình nào có chu vi lớn
hơn?Tại sao?
Câu 5:(1.5đ)
Cho tứ giác lồi ABCD.Trên hai cạnh AB,CD lần lượt lấy hai điểm E,F sao cho
DF
CF
BE
AE
=
.Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của đoạn EF thì AC
chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Câu 6:(2đ)
Cho đường tròn (O;R) cố định.Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O;R) vè hai tiếp
tuyến MA và MB đến đường tròn (O;R).Đường trung trực của đường kính BC cắt đường
thẳng AC tại K.
a) CMR: MK=R
b) M chạy trên đường nào nếu tam giác AMB luôn đều.

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO

TRƯỜNG THCS TAM ĐẢO

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 2
NĂM HỌC 2009-2010
Môn:Toán
Thời gian:150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu Nội dung trình bày Điểm
Câu 1:
a)
( )
( )
3737*),(
11
26
2233
3
3
=++−⇒=−⇒∈



=−
=+
babababaNba
bn
an
Do
2 2 2 2
0, 0;a b a ab b a ab b a b− > + + > + + > −

và 37 là SNT nên
38
3
4
37
1
22
=⇒



=
=
⇒



=++
=−
n
b
a
baba
ba
c) Từ
1;1;11
222222
≤≤≤⇒=++ zyxzyx
.
Từ đó suy ra

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )





−≤−
−≤−
−≤−
22
2
22
2
22
2
yxyxz
xzxzy
zyzyx
Do vậy
( ) ( ) ( )
1][
2
1
222
222
=++=−+−+−+++≤ zyxxzzyyxzxyzxyP
Dấu “=” xảy ra khi
3

3
±=== zyx
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 2: Ta có:
( )( )( ) ( )
( ) ( )
333222
2 zyxzyxzyxxyzxzzyyxM ++−++++=−+++=
Mặt khác
Zn ∈∀
thì
6
3
nn −
nên từ
66
333
 zyxzyx ++⇒++
.Do đó
6M
0.75
0.75
Câu 3:
Conditions determined:

11 ≤≤− x
. Set



−=
+=
xv
xu
1
1
.
Equation becomes:
uvvvuu 32
22
++−=+
0)12)(( =+−−⇔ vuvu
+) With
u v=
Setting back, we are
0x
=
+) With
2 1v u
= +
Setting back, we are
24
25
x
−

=
.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 4: Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác,h
a
là chiều cao tương ứng với
cạnh a,m là độ dài cạnh hình vuông.
Ta có:
aaa
hcbhchb 2; ≥+⇒≥≥
.Do đó
0.25
0.5
mmhahacba
a
i
a
44.2.2.2.2
2
cos
==≥+≥++
Vậy tam giác có chu vi lớn hơn.
0.5
0.25
Câu 5: Gọi D’,E’,B’,F’ lần lượt là hình chiếu của D,E,B,F lên AC
( )

'' '' FFEEgcgFIFIEE =⇒∆=∆
.
EE’//BB’
AB
AE
BB
EE
=⇒
'
'
FF’//DD’
CD
CF
DD
FF
=⇒
'
'
Mặt khác:
CD
CF
AB
AE
DF
CF
BE
AE
=⇒=
.Do đó ta có BB’=DD’ => đpcm.
0.25

0.25
0.25
0.25
0.5
Câu 6:
a)
OCKOKA
ˆ
90
ˆ
0
−=

OCKMOAOMA
ˆ
90
ˆ
90
ˆ
00
−=−=
OMACKA
ˆˆ
=⇒
nên tứ giác AKMO nội tiếp được
0
90
ˆ
ˆ
==⇒ OAMOKM

,do đó tứ giác KOBM là hình
chữ nhật nên
MK=OB=R.
b)
.30
ˆ
60
ˆ
00
=⇒= OMABMA
nên tam giác AMO là nửa tam giác đều
đường cao AM nên MO=2.AO=2R không đổi,Do đó M chạy trên đường
tròn (O,2R).
1
1