Biến đổi đồng nhất pdf

Chuyên đề 1: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT
Các ví dụ và phương pháp giải
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a.
( ) ( )
11
22
+−+
axxa
b.
nn
xxx
−+−
+
3
1
.
Giải:
a. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung
( ) ( )
11
22
+−+
axxa
=
xxaaax
−−+
22
( ) ( ) ( )( )
1
−−=−−−=

axaxaxaxax
b. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
nn
xxx
−+−
+
3
1
.
( )
( )
11
3
−+−=
xxx
n
( )
( )
( ) ( )
( )
[ ]
( )
( )
11
111111
12
22
+++−=
+++−=−+++−=
++

nnn
nn
xxxx
xxxxxxxxx
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a. x
8
+ 3x
4
+ 4.
b. x
6
- x
4
- 2x
3
+ 2x
2
.
Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức
x
8
+ 3x
4
+ 4 = (x
8
+ 4x
4
+ 4)- x

4
= (x
4
+ 2)
2
- (x
2
)
2

= (x
4
- x
2
+ 2)(x
4
+ x
2
+ 2)
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng hằng
đẳng thức
x
6
- x
4
- 2x
3
+ 2x
2
= x

2
(x
4
- x
2
- 2x +2)
( ) ( )
[ ]
( )
( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
221
11111
1212
2
2
2
22
2
2
2
22
2242
++−=
++−=−+−=
+−++−=

xxxx
xxxxxx
xxxxx
Ví dụ 3:
Phân tích đa thức thành nhân tử :
a.
abcbccbaccaabba 42442
222222
−+−+−+
b.
200720062007
24
+++
xxx
Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi nhóm thích hợp:
abcbccbaccaabba 42442
222222
−+−+−+

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( )( )( )
cacbba
cbccbababccacabba
babcbacbaacbaab
abcbccbacabccaabba

abcbccbaccaa bba
−−+=
−−−+=−+−+=
+−+++−+=
=−+−+−−+=
−+−+−+
22
222222
222222
224242
42442
2
2
222222
222222
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
20072062007
24
+++ xxx
( )
( )
( ) ( )
( )( )
20071
1200711
200720072007
22
22
24
+−++=

+++++−=
+++−=
xxxx
xxxxxx
xxxx
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a.
abccba 3
333
−++
b.
( )
333
3
cbacba
−−−++
.
Giải: Sử dụng các hằng đẳng thức
( )
( )
abbababa
−++=+
2233
( ) ( )
[ ]
abbaba 3
2
−++=
( ) ( )
baabba
+−+=

3
3
.Do đó:
=−++
abccba 3
333
( )
[ ]
( )
abcbaabcba 33
3
3
−+−++=
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
cabcabcbacba
cbaabccbabacba
−−−++++=
++−++−+++=
222
2
2
3
b.
( ) ( )
[ ]
( )

3
3
3
333
3
cbacbacbacba
+−−++=−−−++
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
( )
( )( )( )
bacacbcabcabacb
cbcbcbacbaacbacb
+++=++++=
+−+−+++++++=
33333
2
222
2
Ví dụ 5: Cho a + b + c = 0.
Chứng minh rằng :a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc.

Giải: Vì a + b + c = 0
( ) ( )
abccbaabccba
cbaabbacba
303
3
333333
3333
3
=++⇒=−++⇒
−=+++⇒−=+⇒
Ví dụ 6: Cho 4a
2
+ b
2
= 5ab, và 2a > b > 0. Tính
22
4 ba
ab
P
−
=
Giải: Biến đổi 4a
2
+ b
2
= 5ab
⇔
4a
2

+ b
2
- 5ab = 0
⇔
( 4a - b)(a - b) = 0
⇔
a = b.
Do đó
3
1
34
2
2
22
==
−
=
a
a
ba
ab
P
Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu:
1;0 =++=++
c
z
b
y
a
x

z
c
y
b
x
a
thì
1;
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
Giải:
000 =++⇒=
++
⇒=++ cxybxzayz
xyz
cxybxzayz
z
c
y

b
x
a
1
1.2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=++⇒
=
++
+++=






++⇒=++

c
z
b
y
a
x
abc
cxybxzayz
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
Bài tập vận dụng - Tự luyện
1. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a.
12

2
−−
xx
b.
158
2
++
xx
c.
166
2
−−
xx
d.
3
23
++−
xxx
2. Phân tích đa thức thành nhân tử :
( ) ( )
152
2
2
2
−−−−
xxxx
.
3. Phân tích đa thức thành nhân tử
1.(a - x)y
3

- (a - y)x
3
+ (x - y)a
3
.
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc.
3.x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz.
4. Tìm x,y thỏa mãn: x
2
+ 4y
2
+ z
2
= 2x + 12y - 4z - 14.
5. Cho a +| b + c + d = 0.
Chứng minh rằng a
3
+ b

3
+ c
3
+ d
3
= 3(c + d)( ab + cd).
6. Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì :
2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
).
7. Chứng minh rằng với x,y nguyên thì :
A = y
4
+ (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
là số chính phương.
8. Biết a - b = 7. Tính giá trị của biểu thức sau:
( ) ( ) ( )
1311
22
+−−+−−+

baababbbaa
9. Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời:





=++
=++
=++
1
1
1
333
222
zyx
zyx
zyx
. Hãy
tính giá trị biếu thức
P =
( ) ( ) ( )
1997917
111
−+−+−
zyx
.
10.
a.Tính
2222222

10110099 4321
+−++−+−
.
b.Cho a + b + c = 9 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 53.
Tính ab + bc + ca.
11.Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện
x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0.
Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1)
2005
+ (y - 1)
2006
+
(z+1)
2007
12.Cho 3 số a,b,c thỏa điều kiện :
cbacba ++
=++
1111
.
Tính Q = (a
25
+ b
25
)(b

3
+ c
3
)(c
2008
- a
2008
).
==========o0o==========
HƯỚNG DẪN:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a.
( )( )
3412
2
+−=−−
xxxx
b.
( )( )
53158
2
++=++
xxxx
c.
( )( )
82166
2
−+=−−
xxxx
d.

( )
( )
3213
223
+−+=++−
xxxxxx
2. Phân tích đa thức thành nhân tử :
( ) ( ) ( )( )
35152
222
2
2
+−−−=−−−−
xxxxxxxx
.
3. Phân tích đa thức thành nhân tử
1.(a - x)y
3
- (a - y)x
3
+ (x-y)a
3
( )( )( )( )
ayxayaxyx
++−−−=
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc
( )( )( )
accbba
+++=
3.x

2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz
( )( )( )
xzzyyx
+++
4. x
2
+ 4y
2
+ z
2
= 2x + 12y - 4z - 14
( ) ( ) ( )
222
2|321
−+−+−⇔
zyx
5. Từ a + b + c + d = 0
( ) ( )
33

dcba
+−=+⇒
Biến đổi tiếp ta
được :a
3
+ b
3
+ c
3
+ d
3
= 3(c + d)( ab + cd).
6. Nếu x + y + z = 0 thì :
( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
222
222555
222555
222222333
333
2
*;622
3

3
3
zyxxyzzxyzxyxyz
zyxxyzzxyzxyxyzzyx
zyxxyzzxyzxyxyzzyx
zyxxyzzyxzyx
xyzzyx
++=++−
++=++−++⇔
++=++−++⇔
++=++++
⇒=++
Như
ng:
( ) ( )
222
2
20 zyxzxyzxyxyzzyx ++=++−⇒=++
(**)
Thay (**) vào (*) ta được:
2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2

+ z
2
).
7. Với x,y nguyên thì :
A = y
4
+ (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
( )
2
22
55 yxyx
++=

8. Biến đổi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11311
2
22
+−−=+−−+−−+
bababaababbbaa
9. Từ



=++
=++
1
1
333
zyx

zyx
( ) ( )( )( )
xzzyyxzyxzyx
+++=−−−++⇒
3
333
3





=+
=+
=+
0
0
0
xz
zy
yx

2
−=⇒
P
10.
a. Sử dụng hằng đẳng thức a
2
- b
2

; S -=5151
b. Sử dụng hằng đẳng thức (a + b + c)
2
; P = 14
11. Từ giả thiết suy ra: x
2
+ y
2
+ z
2
= 0 suy ra : x = y = z = 0;S = 0

12. Từ:
cbacba ++
=++
1111
. : (a + b)(b + c)(c + a) = 0
Tính được Q = 0
==========o0o==========