Biến đổi các sóng trọng lực bằng phép quay pdf

7.5. Biến đổi các sóng trọng lực bằng phép quay.
Các sóng trọng lực là thủy tĩnh với qui mô nằm ngang khoảng vài trăm km và
chu kỳ vài giờ, nhưng chúng bị ảnh hưởng bởi hiệu ứng Coriolis và được mô tả bởi các
dao động từng phần và có dạng elip nhiều hơn là dạng đường thẳng trong trường hợp
sóng trọng lực thuần túy. Sự phân cực elip này có thể được biết một cách định tính bằng
sự quan sát, tại đó hiệu ứng Coriolis cản trở sự vận chuyển của các phần tử theo phương
ngang trong một hạt chất lỏng chuyển động quay, nhưng mặt khác lực nổi cản trở sự vận
chuyển của các phần tử theo phương thẳng đứng trong trạng thái khí quyển ổn định.
Trong trường hợp gần đây, lực cản đối lập với hướng chuyển động của các phần tử,
trong khi trước đó, nó vuông góc với vận tốc của các phần tử theo phương ngang.
7.5.1. Các dao động quán tính thuần túy.
Ở phần 3.2.3 đã chỉ ra rằng một phần tử chuyển động theo phương ngang trong
khí quyển đứng yên với tham số Coriolis không đổi biểu diễn một quĩ đạo tròn theo
hướng xoáy nghịch. Suy rộng chuyển động quán tính loại này cho trường hợp dòng
chuyển động trung bình địa chuyển sử dụng các tham số tương tự như sử dụng cho các
dao động lực nổi trong phần 2.7.3.
Nếu giả định dòng chảy ở trạng thái cơ bản với hướng gió địa chuyển là u
g
, và
giả định rằng sự chuyển động của các phần tử không bị xáo trộn bởi trường áp suất, thì
phương trình gần đúng của chuyển động có dạng:
Dt
Dy
ffv
Dt
Du
==
(7.49)
( )
uuf
Dt

Dv
g
−=
(7.50)
Xem xét một phần tử đang chuyển động với sự chuyển động ở trạng thái địa
chuyển cơ bản ở vị trí
0
yy =
. Nếu phần tử này bị di chuyển ra khỏi dòng chuyển động
với khoảng cách là
y
δ
, thì chúng ta có thể thu được vận tốc của nó tại vùng mới bằng
việc lấy tích phân công thức (7.49):
yfyuyyu
g
δδ
+=+ )()(
00
(7.51)
Gió địa chuyển tại
yy
δ
+
0
có thể được tính gần đúng bằng công thức:
1
y
y
u

yuyyu
g
gg
δδ
∂
∂
+=+
)00
()(
(7.52)
Sử dụng (7.51) và (7.52) để ước tính (7.50) tại mực
yy
δ
+
0
y
y
M
fy
y
u
ff
Dt
yD
Dt
Dv
g
∂
∂
∂

−=








∂
∂
−−=
∂
=
δ
2
2
(7.53)
Trong đó, động lượng tuyệt đối
g
ufyM −≡
.
Phương trình này có dạng toán học tương tự như công thức (2.52), phương trình
cho chuyển động của các hạt di chuyển theo phương thẳng đứng trong khí quyển dạng
tầng. Phụ thuộc vào dấu của hệ số bên tay phải của phương trình (7.53), các phần tử sẽ
bị tác động một lực để quay trở lại vị trí ban đầu hoặc sẽ tăng tốc để tiến xa hơn khỏi vị
trí đó. Do vậy hệ số này quyết định tới trạng thái bất ổn định quán tính:
Xem xét một cấu trúc liên quan tới quan tính, sự bất ổn định là kết quả từ sự
thiếu cân bằng giữa gradient áp suất và lực quán tính đối với phần tử bị dời vị trí trong
một xoáy đối xứng qua trục. Ở Bắc Bán Cầu,

f
có giá trị dương, dòng chảy quán tính
ổn định với xoáy tuyệt đối của dòng cơ bản
yM ∂∂ /
có giá trị dương. Tuy nhiên, tại
Nam Bán Cầu, sự ổn định quán tính lại đòi hỏi xoáy tuyệt đối có giá trị âm. Qua theo
dõi các hệ thống qui mô synop vùng ngoại nhiệt đới, dòng chảy luôn luôn đạt trạng thái
ổn định quán tính, mặc dù tính chất trung lập thường xuất hiện tại vùng dịch chuyển của
xoáy nghịch trong dòng xiết ở mực trên cao. Sự xuất hiện của độ bất ổn định quán tính
trên một vùng rộng lớn sẽ gây ra sự chuyển động bất ổn định quán tính ngay lập tức, sẽ
làm xáo trộn chất lỏng xung quanh như sự xáo trộn đối lưu theo phương thẳng đứng và
làm giảm sự dịch chuyển cho đến khi xoáy tuyệt đối
f
đạt trở lại giá trị dương. (Điều
này giải thích tại sao sự dịch chuyển của xoáy nghịch không xảy ra trên một phạm vị
rộng lớn tùy ý). Độ bất ổn định quán tính sẽ được xem xét nhiều hơn trong phần 9.3.
7.5.2. Sóng trọng lực quán tính.
2
Khi dòng chảy đạt cả sự ổn định quán tính và sự ổn định trọng lực, sự dịch
chuyển của các phần tử sẽ bị cản trở sự quay và nổi. Kết quả là các dao động này được
gọi là sóng trọng lực quán tính. Mối quan hệ phân tán của các sóng này có thể được
phân tích khi sử dụng các biến trong phương pháp phần tử được áp dụng ở phần 7.4.
Chúng ta hãy xem xét sự dao động của các phần tử dọc theo đường xiên trong mặt
phẳng (y, z) được chỉ ra trên hình 7.11. Với sự chuyển động theo phương thẳng đứng
z
∂
, thành phần lực nổi tương ứng với độ nghiêng của dao động của các phần tử là
αδ
cos
2

zN−
, và với sự chuyển động theo phương kinh tuyến
y∂
, thành phần lực
Coriolis tương ứng với độ nghiêng của quĩ đạo của các phần tử
αδ
sin
2
yf−
, trong đó
giả định rằng dòng chảy địa chuyển cơ bản nằm trong một vĩ độ không đổi. Do đó,
phương trình dao động điều hòa cho các phần tử ở công thức (7.24) được biến đổi thành:
Trong đó:
s∂
là sự dịch chuyển trở lại của các phần tử bị xáo trộn.
Tần số thích hợp cho mối quan hệ phân tán này là:
Hình 7.11: quĩ đạo chuyển động của các phần tử trong mặt phẳng kinh tuyến của sóng
trọng lực quán tính.
3
Từ tổng
22
fN >
(7.56) chỉ ra rằng tần số của sóng trọng lực quán tính phải nằm
trong khoảng
Nvf ≤≤
. Tần số xấp xỉ N khi quĩ đạo nghiêng gần như thẳng đứng, và
xấp xỉ
f
khi quĩ đạo nghiêng gần như nằm ngang. Trong điều kiện ở tầng đối lưu giữa,
các chu kì của sóng trọng lực quán tính xấp xỉ trong khoảng từ 12 phút tới 15h. Tuy

nhiên, hiệu ứng quay trở nên quan trọng chỉ khi số hạng thứ 2 phía bên phải của phương
trình (7.56) là tương tự với độ lớn của số hạng thứ nhất. Điều này yêu cầu
4222
10/~tan =fN
α
, trong trường hợp này, rõ ràng trong công thức (7.56) thì
Nv
<<
. Do đó, các sóng trọng lực với tần số thấp bị biến đổi đáng kể bởi sự quay của trái đất,
và điều này tác động rất nhỏ tới độ nghiêng của quĩ đạo các phân tử.
Phép lấy đạo hàm các phân tử có thể được kiểm tra lại bằng việc sử dụng các
phương trình động lực học tuyến tính. Tuy nhiên, trong trường hợp này cần phải bao
gồm cả phép quay. Độ nghiêng nhỏ của quĩ đạo các phân tử của các sóng có chu kỳ
tương đối dài bị biến đổi đáng kể bởi phép quay, tại đó qui mô theo phương ngang lớn
hơn nhiều so với qui mô theo phương thẳng đứng trong các sóng này. Do đó, chúng ta
có thể giả định rằng sự chuyển động là cân bằng thủy tĩnh. Nếu thêm giả định, trạng thái
cơ bản là không chuyển động, các phương trình tuyến tính (7.37) - (7.40) được biến đổi:
Mối quan hệ thủy tĩnh trong phương trình (7.59) có thể được sử dụng để loại bỏ
'
θ
trong phương trình (7.61) với trường:
Đặt:
4
Và, thay vào các phương trình (7.57), (7.58) và (7.62), chúng ta nhận được:
Cùng với phương trình (7.60), mối quan hệ phân tán của các sóng thủy tĩnh :
Do các sóng thủy tĩnh phải có
1/)(
222
<<+ mlk
, (7.66) chỉ ra rằng sự truyền

theo phương thẳng đứng có thể xảy ra (m thực), tần số phải thỏa mãn bất đẳng thức
Nvf <<<
. Phương trình (7.66) chỉ là giới hạn (cận) của phương trình (7.56) khi
chúng ta đặt:
điều này là phù hợp với phép xấp xỉ thủy tĩnh.
Nếu hệ trục được chọn để làm cho l=0, thì tỉ số giữa các thành phần theo phương
thẳng đứng với các thành phần theo phương ngang của nhóm tốc độ sẽ được đưa ra bởi
công thức:

Do đó, với việc cố định
v
, các sóng trọng lực quán tính truyền theo phương
ngang gần hơn so với các sóng trọng lực thuần túy. Tuy nhiên, trong các trường hợp sau
này, vector vận tốc nhóm lại được đặt tương ứng với pha hằng số của đường thẳng.
Loại bỏ trong phương trình (7.63) và (7.64) trong trường hợp l=0 với
Từ đó dễ dàng kiểm tra được, nếu là số thực thì chuyển động xáo trộn theo
phương ngang sẽ thỏa mãn mối quan hệ:
5
Để vector vận tốc theo phương ngang quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ
(cùng chiều kim đồng hồ ở Bắc Bán Cầu) theo thời gian. Kết quả là, các phân tử chuyển
động theo quĩ đạo elip trong mặt phẳng trực giao với vector số sóng. Các phương trình
(7.68) chỉ ra rằng vector vận tốc theo phương ngang quay ngược chiều kim đồng hồ với
độ cao của sóng tăng theo hướng năng lượng truyền tới. Các đặc điểm này được mô tả
bởi mặt cắt theo phương thẳng đứng trong hình 7.12. Gió theo phương ngang quay theo
chiều ngược chiều kim đồng hồ với độ cao và thời gian là phương pháp nguyên thủy để
xác định các dao động trọng lực quán tính trong cơ sở dữ liệu khí tượng.
Hình 7.12: Mặt cắt thẳng đứng trong mặt phẳng chứa vector sóng k đưa ra các mối quan
hệ về pha giữa vận tốc, thế năng trái đất, và dao động nhiệt độ trong sóng trọng lực quán
tính lan truyền lên phía trên với m<0, v>0, và f>0 (tại Bắc Bán Cầu). Các đường
nghiêng mảnh biểu thị bề mặt của các pha không đổi (vuông góc với vector sóng) và các

đường mũi tên đậm chỉ hướng của pha truyền. Các đường mũi tên mảnh chỉ trường vận
tốc theo phương thẳng đứng và vùng xáo trộn. Các nhiễu động gió theo phương kinh
tuyến được biểu diễn bằng các mũi tên hướng vào trong bảng (hướng bắc) và hướng ra
phía ngoài (phía nam). Lưu ý rằng nhiễu động vector gió quay theo chiều kim đồng hồ
(ngược chiều kim đồng hồ) theo độ cao.
6
7