Đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội châu, NA

Sở GD&ĐT Nghệ An
Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10
trờng thpt chuyên phan bội châu
năm học 2009 - 2010
Môn thi: toán
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1: (3.5 điểm)
a. Giải phơng trình

3 3
2 7 3x x+ + =
b. Giải hệ phơng trình
3
3
8
2 3
6
2
x
y
x
y

+ =




=

Bài 2: (1.0 điểm)
Tìm số thực a để phơng trình sau có nghiệm nguyên
2
2 0x ax a + + =
.
Bài 3: (2.0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có đờng phân giác trong BE (E thuộc AC). Đ-
ờng tròn đờng kính AB cắt BE, BC lần lợt tại M, N (khác B). Đờng thẳng AM cắt BC
tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK.
Bài 4: (1.5 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh
BC. Đờng tròn đờng kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N
khác C). Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
cắt đờng thẳng AO lần lợt tại I và K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp đợc một đ-
ờng tròn và tứ giác BICK là hình bình hành.
Bài 5: (2.0 điểm)
a. Bên trong đờng tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn
hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam
giác ABC.
b. Cho a, b, c là các số thực dơng thay đổi thỏa mãn:
3a b c+ + =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
2 2 2
P
ab bc ca
a b c
a b b c c a
+ +

= + + +
+ +
Hết
Họ và tên thí sinh SBD
* Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu.
* Giám thị không giải thích gì thêm.
Hớng dẫn chấm thi
Bản hớng dẫn chấm gồm 03 trang
Nội dung đáp án Điểm
Bài 1 3,5 đ
a
2,0đ

3 3
2 7 3x x+ + =
( )
3 3 3 3
2 7 3 2. 7 2 7 27x x x x x x + + + + + + =
0.50đ
3
9 9. ( 2)(7 ) 27x x + + =
0.25đ
Đề thi chính thức
3
( 2)(7 ) 2x x + =
0.25đ
( 2)(7 ) 8x x + =
0.25đ
2
5 6 0x x =

0.25đ
1
6
x
x
=



=

( thỏa mãn ) 0.50đ
b
1,50đ
Đặt
2
z
y
=
0.25đ
Hệ đã cho trở thành
3
3
2 3
2 3
x z
z x

+ =

+ =


0.25đ
( )
3 3
3 x z z x =
0,25đ
( )
( )
2 2
3 0x z x xz z + + + =
0,25đ
x z =
(vì
2 2
3 0, ,x xz z x z+ + + >
). 0,25đ
Từ đó ta có phơng trình:
3
1
3 2 0
2
x
x x
x
=

=

=

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:
( )
( , ) ( 1; 2), 2,1x y =
0,25đ
Bài 2:
1,0 đ
Điều kiện để phơng trình có nghiệm:
2
0 4 8 0a a
(*). 0,25đ
Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm nguyên của phơng trình đã cho ( giả sử x
1
x
2
).
Theo định lý Viet:
1 2
1 2 1 2
1 2
. 2
. 2
x x a
x x x x

x x a
+ =

=

= +

0,25đ
1 2
( 1)( 1) 3x x =
1
2
1 3
1 1
x
x
=



=

hoặc
1
2
1 1
1 3
x
x
=

=

(do x
1
- 1 x
2
-1)
1
2
4
2
x
x
=



=

hoặc
1
2
0
2
x
x
=

=

Suy ra a = 6 hoặc a = -2 (thỏa mãn (*) )
0,25đ
Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,25đ
Bài 3:
2,0 đ

Vì BE là phân giác góc
ã
ABC
nên
ã
ã
ẳ
ẳ
ABM MBC AM MN= =
0,25đ

ã
ã
MAE MAN =
(1) 0,50đ
Vì M, N thuộc đờng tròn đờng
kính AB nên
ã
ã
0

90AMB ANB= =

0,25đ



ã
ã
0
90ANK AME= =
, kết hợp
với (1) ta có tam giác AME đồng
dạng với tam giác ANK
0,50đ

AN AK
AM AE
=
0,25đ
AN.AE = AM.AK (đpcm)
0,25đ
Bài 4:
1,5 đ
Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên
ã
ã
ANM AIM=
Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên
ã
ã

ANM ABC=

ã
ã
AIM ABC =
.Suy ra tứ giác BOIM nội tiếp
0,25đ
Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI
đồng dạng với tam giác AOB

. .
AM AI
AI AO AM AB
AO AB
= =
(1)
0,25đ
Gọi E, F là giao điểm của đờng thẳng AO
với (O) (E nằm giữa A, O).
Chứng minh tơng tự (1) ta đợc:
AM.AB = AE.AF
= (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R)
= AO
2
- R
2
= 3R
2
0,25đ
AI.AO = 3R

2

2 2
3 3 3
2 2 2
R R R R
AI OI
AO R
= = = =
(2)
0,25đ
Tam giác AOB và tam giác COK đồng dạng nên
OA.OK = OB.OC = R
2
2 2
2 2
R R R
OK
OA R
= = =
(3)
0,25đ
Từ (2), (3) suy ra OI = OK
Suy ra O là trung điểm IK, mà O là trung điểm của BC
Vì vậy BICK là hình bình hành
0,25đ
Bài 5:
2,0 đ
a,
1,0 đ

Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC.
Không mất tính tổng quát, giả sử A và O
nằm về 2 phía của đờng thẳng BC
0,25đ
Suy ra đoạn AO cắt đờng thẳng BC tại K.
Kẻ AH vuông góc với BC tại H.
0,25đ
Suy ra AH AK < AO <1 suy ra AH < 1
0,25đ
Suy ra
. 2.1
1
2 2
ABC
AH BC
S

= < =
(mâu thuẫn với
giả thiết). Suy ra điều phải chứng minh.
0,25đ
b, 1,0đ
Ta có: 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) = (a + b + c)(a
2

+ b
2
+ c
2
)
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ a
2
b + b
2
c + c
2
a + ab
2
+ bc
2
+ ca
2

0,25đ
mà a
3
+ ab
2

2a
2
b (áp dụng BĐT Côsi )
b
3
+ bc
2


2b
2
c
c
3
+ ca
2


2c
2
a
Suy ra 3(a
2
+ b
2
+ c
2
)

3(a
2
b + b
2
c + c
2
a) > 0
0,25đ
Suy ra
2 2 2
2 2 2
P
ab bc ca
a b c
a b c
+ +
+ + +
+ +
2 2 2
2 2 2
2 2 2
9 ( )
P
2( )
a b c
a b c
a b c
+ +
+ + +
+ +

0,25đ
Đặt t = a
2
+ b
2
+ c
2
, ta chứng minh đợc t

3.
Suy ra
9 9 1 3 1
3 4
2 2 2 2 2 2 2
t t t
P t
t t

+ = + + + =
P 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4
0,25đ
Nếu thí sinh giải cách khác đúng của mỗi câu thì vẫn cho tối đa điểm của
câu đó
K