BD vi phan- công cụ tìm tích phân

Một số bí quyết tìm nguyên hàm và tích phân
TS. Lê Thống Nhất.
Rất nhiều bạn khá khó khăn khi tìm nguyên hàm và tích phân mà nguyên nhân chính là
thường không biết sử dụng phép biến đổi vi phân. Các bạn hãy đọc bài viết này và tự rèn
luyện theo hướng dẫn, chắc chắn các bạn sẽ thấy: tìm nguyên hàm và tích phân thật là
không đáng ngại.
Định nghĩa: Vi phân của hàm số y = f(x) là biểu thức f’(x). d(x). Nếu ký hiệu dy hay
d[f(x)] là vi phân của y hay f(x) thì dy = f’(x) .dx hay d[f(x)] = f’(x) . dx.
Chú ý: Nhiều bạn hiểu sai là: để tính vi phân f(x), ta tính f’(x) và viết thêm dx, sẽ có f’(x)
dx. Thực ra không phải là “viết thêm” mà là “nhân với”, nghĩa là f’(x) nhân với d(x), viết
f’(x) . dx.
Các vi phân cơ bản:
1)
( )
( )
1
d u 1 .u .du
α+ α
= α +
2) d (sin u) = cos u . du
3) d (cos u) = - sin u du 4) d (tg u) =
2
du
cos u
5) d (cotg u) =
2
du
sin u
−
6) d (e
u

) = e
u
. du
7) d (ln
u
) =
du
u
; d(ln u) =
du
u
. 8)
( )
d u v du dvα + β = α + β
9) d ( u + c) = du với c là hằng số.
Các phép biến đổi vi phân cơ bản:
1)
1
u
u .du d
1
α+
α
 
=
 ÷
α +
 
2) cos u .du = d(sin u)
3) sin u . du = d (-cos u) 4)

2
du
d(tgu)
cos u
=
5)
2
du
d( cotgu)
sin u
= −
6) e
u
.du = d(e
u
)
7)
du
d(ln | u |)
u
=
Các thí dụ luyện phép biến đổi vi phân.
Thí dụ 1: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?
1
1.
x dx
2. (x + 2)
5
. dx 3. cosx . sin
4

x . dx
Giải:
1.
1
3 3
1
1
2
2 2
2
x 2x 2x
x dx x .dx d d d C
1
3 3
1
2
+
 
   
 ÷
 ÷  ÷
= = = = +
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
+
   
 

2. (x + 2)

5
. dx = ( x + 2)
5
.d(x +2) =
( ) ( )
6 6
x 2 x 2
d d C
6 6
   
+ +
= +
   
   
   
3. cosx . sin
4
x . dx = sin
4
x . d(sin x) =
5 5
sin x sin x
d d C
5 5
   
= +
   
   
Thí dụ 2: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?
1.

x 1
.dx
x
+
 
 ÷
 
2. (2x + 1) (x
2
+ x + 1) . dx
3.
cosx- sinx
.dx
sinx + cosx
 
 ÷
 
4.
2
xdx
x 1+
Giải:
1.
x 1
.dx
x
+
 
 ÷
 

=
1 1
2 2
1
x .dx x x .dx
x
−
 
 
+ = +
 ÷
 ÷
 
 
=
3
1 1 1
2
2 2 2
2x
x dx x .dx d d 2x
3
−
 
 
 ÷
+ = +
 ÷
 ÷
 

 
=
3
1
2
2
2x
d 2x C
3
 
 ÷
+ +
 ÷
 
2. (2x + 1) (x
2
+ x + 1) . dx = (x
2
+ x + 1).d (x
2
+ x + 1)
=
( )
2
2
x x 1
d
2
 
+ +

 
 
 
=
( )
2
2
x x 1
d C
2
 
+ +
+ 
 
 
Lưu ý: d (x
2
+ x + 1) = (2x +1) . dx
2
3.
( )
2
2 2
2 2
d x 1
x.dx 1 1 1
d ln(x 1) d ln(x 1) C
x 1 2 x 1 2 2
+
 

= = + = + +
 
 
 
+ +
 
Lưu ý: d(x
2
+ 1) = 2x . dx hay x . dx =
1
2
d(x
2
+ 1)
Thí dụ 3: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?
1.
3
x.dx
(x 1)+
2.
2
dx
x 3x 2− +
3.
dx
x.ln x
Giải:
1.
3
x.dx

(x 1)+
=
( ) ( )
( )
3
x 1 1 d x 1
x 1
+ − +
+
= (x + 1)
-2
. d(x + 1) – (x + 1)
-3
. d(x + 1)
=
( ) ( )
1 2
x 1 x 1
d d
1 2
− −
   
+ +
−
   
− −
   
   
=
( )

2
1 1
d C
x 1
2 x 1
 
− +
 
+
+
 
 
2.
2
dx
x 3x 2− +
=
1 1
dx
x 2 x 1
 
−
 ÷
− −
 
=
dx dx
x 2 x 1
−
− −

=
2(x 2) 2(x 1)
x 2 x 1
− −
−
− −
=
[ ]
d ln | x 2| ln | x 1|− − −
=
x 2
d ln C
x 1
−
 
+
 
−
 
3.
( )
[ ]
d ln x
dx
d ln(ln x) C
x.ln x ln x
= = +
Thí dụ 4: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?
1. cos x . cos3x . dx 2. sin
5

x .dx
Giải:
3
1. cos x . cos3x . dx =
( )
1
cos4x+cos2x .dx
2
=
[ ]
1
cos4x.dx+cos2x.dx
2
=
1 1 1
cos4x.d(4x)+ cos2x.d(2x)
2 4 2
 
 
 
=
1 1 1
(sin4x)+ d(sin 2x)
2 4 2
 
 
 
=
1 1
d sin 4x sin 2x C

8 4
 
+ +
 
 
Lưu ý: Các công thức biến đổi tích thành tổng khi gặp tích các hàm số lượng giác.
2. sin
5
x . dx = sin
4
x . sin x . dx = - sin
4
x . d(cosx)
= -(1 – cos
2
x)
2
. d(cosx)
= [ -1 + 2cos
2
x – cos
4
x] .d(cosx)
= -d (cosx) + 2cos
2
x .d(cosx) – cos
4
x . d(cosx)
=
3 5

2 1
d cosx + cos x- cos x+C
3 5
 
−
 
 
Thí dụ dưới đây sẽ sử dụng nhiều sau này:
Thí dụ 5: Tính.
1.
2
d ln x k x
 
+ +
 
2.
x a
d ln
x b
−
 
 
−
 
Giải:
1.
2
d ln x k x
 
+ +

 
=
( )
2
2
d x k x
x k x
+ +
+ +
=
2 2
1 x
. 1 .dx
x k x x k
 
+
 
+ + +
 
=
2
dx
x k+
Lưu ý:
2
dx
x k+
=
2
d ln | x k x |

 
+ +
 
4
2.
2
x a
d
x a x b a b (a b).dx
x b
d ln . .dx
x a
x b x a (x b) (x a)(x b)
x b
−
 
 ÷
− − − −
 
−
 
= = =
 
−
− − − − −
 
−
Lưu ý: Nếu
a b≠
thì

dx 1 x a
d ln
(x a)(x b) a b x b
−
 
=
 
− − − −
 
Thí dụ 6: Biểu thức sau đây là vi phân của hàm số nào?
1.
2
dx
x 2x 3− −
2.
2
dx
x 2x 3+ +
Giải.
1.
2
dx
x 2x 3− −
=
dx
(x 1)(x 3)+ −
=
1 1 1
.dx
4 x 3 x 1

 
−
 ÷
− +
 
=
( )
d x 3
1 2(x 1)
4 x 3 x 1
−
 
+
−
 
− +
 
=
1 x 3
d ln
4 x 1
−
 
 
+
 
=
1 x 3
d ln C
4 x 1

−
 
+
 
+
 

2.
2
dx
x 2x 3+ +
=
( )
2
dx
x 1 2+ +
=
( )
2
d x 2
(x 1) 2
+
+ +
=
( )
2
d ln x 1 2 (x 1) C
 
+ + + + +
 

 
5
Bài tập tự luyện.
Biểu thức sau đây là vi phân của hàm số nào?
1. (2x + 1)(x
2
+ x + 5)
7
dx 2. sin x . cos
7
x . dx 3.
ln x.dx
x
4. sin
3
x . cos
2
x . dx 5. tgx . dx 6. tg
2
x . dx
7. tg
3
x . dx 8. sin
2
x . dx 9. cos
3
x . dx
10.
2
x x 1

.dx
x
− +
 
 ÷
 
11.
dx
x. x 1+
12.
( )
2
2
3
x .dx
x 1+
13.
2
3
xdx
x 1+
14.
2
dx
x 4x+
15.
2 2
dx
sin x.cos x
16.

2
dx
x 4−
17.
dx
sin 2x
18.
dx
sin x
19.
dx
sin x cosx+
20. (1 + tgx).
2
dx
cos x
21.
4
dx
cos x
22.
4
dx
sin x
23.
x
x
e .dx
e 1+
24.

x
2x
e .dx
e 1+
25.
3
4
x .dx
x 1+

6
Đáp án.
7