Đề ôn tập toán 11 số 31

WWW.VNMATH.COM
Đề số 31
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x x
x
2
1
2
lim
1
→
− −
−
b)
x
x
x
3
7 1
lim
3
+
→
−
−

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm
x
0
3=
:
x x
khi x
f x
x
x khi x
2
5 6
3
( )
3
2 1 3

− +

>
=

−

+ ≤

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x x
2

1= +
b)
y
x
2
3
(2 5)
=
+
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy,
SA =
a 2
.
a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
b) Chứng minh rằng: (SAC)
⊥
(SBD) .
3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
II. Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau:
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Tính giới hạn:
n n
1 1 1
lim
1.2 2.3 ( 1)
 
+ + +
 ÷
+
 

.
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
f x x x( ) .tan=
. Tính
f
4
π
 
′′
 ÷
 
.
b) Cho hàm số
x
y
x
1
1
−
=
+
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành
độ x = – 2.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:
u u
u u
4 2
5 3

72
144

− =

− =

.
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số
f x x x( ) 3( 1)cos= +
. Tính
f
2
π
 
′′
 ÷
 
.
b) Cho hàm số
x
y
x
1
1
−
=
+
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến

song song với d:
x
y
2
2
−
=
.
Hết
1
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
WWW.VNMATH.COM
Đề số 31
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Câu Ý Nội dung Điểm
1 a)
x x
x x x x
x x
2
1 1
2 ( 1)( 2)
lim lim
1 1
→ →
− − − − +
=
− −

0,50
x
x
1
lim( 2) 3
→
= − − = −
0,50
b)
Tính
3
7 1
lim
3
x
x
x
+
→
−
−
. Viết được
x
x
x
x
x x x
3
3
lim( 3) 0

lim(7 1) 20 0
3 3 3 0
+
+
→
→
+

− =


− = >


→ ⇔ > ⇔ − >


0,75
3
7 1
lim
3
x
x
x
+
→
−
⇒ = +∞
−

0,25
2
x x
khi x
f x
x
x khi x
2
5 6
3
( )
3
2 1 3

− +

>
=

−

+ ≤

x x
f x x f
3 3
lim ( ) lim(2 1) (3) 7
− −
→ →
= + = =

0,50
x x x
x x
f x x
x
2
3 3 3
5 6
lim ( ) lim lim( 2) 1
3
+ + +
→ → →
− +
= = − =
−
0,25
⇒
hàm số không liên tục tại x = 3 0,25
3 a)
2
2 2
2
1 ' 1
1
x
y x x y x
x
= + ⇒ = + +
+
0,50

2
2
2 1
'
1
x
y
x
+
=
+
0,50
b)
x
y y
x x
2 4
3 12(2 5)
'
(2 5) (2 5)
− +
= ⇒ =
+ +
0,50
y
x
3
12
'
(2 5)

⇒ = −
+
0,50
4
0,25
a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
SA AB
SA ABCD
SA AD
( )

⊥
⊥ ⇒ ⇒

⊥

các tam giác SAD và SAB đều vuông tại A
0,25
CD AD
CD SD SDC
CD SA

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ∆

⊥

vuông tại D
0,25
2

BC AB
BC SB SBC
BC SA

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ∆

⊥

vuông tại B 0,25
b) Chứng minh rằng: (SAC)
⊥
(SBD) .
BD AC
BD SAC
BD SA
( )

⊥
⇒ ⊥

⊥

0,50
BD SBD BD SAC SAC SBD( ), ( ) ( ) ( )⊂ ⊥ ⇒ ⊥
0,50
c) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
SA ABCD( )⊥ ⇒
hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC
0,25

⇒
·
·
·
SC ABCD SC AC SCA( ,( )) ( , )
ϕ
= = =
0,25
SAC∆
vuông tại A nên , AC =
( )
·
0
2, 2 45a SA a gt SCA
ϕ
= ⇒ = =
0,50
5a
( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
1.2 2.3 3.4 2 2 3 1 1
1
n n n
n n
     
+ + + = − + − + − = −
 ÷  ÷  ÷
+ +
+

     
0,50
1 1 1 1
lim lim 1 1
1.2 2.3 ( 1) 1n n n
   
+ + + = − =
 ÷  ÷
+ +
 
 
0,50
6a a)
f x x x( ) .tan=
x
f x x f x x x x x x x x
x
2 2
2
( ) tan ( ) tan (1 tan ) tan tan
cos
′ ′
= + ⇒ = + + = + +
0,25
Tìm được
f x x x x x x
2 2 2
"( ) 1 tan tan 2 tan (1 tan ) 1= + + + + +
0,25
Rút gọn

f x x x x
2
"( ) 2(1 tan )(1 tan )= + +
0,25
Tình được
f " 2(1 1) 1 4
4 4
π π
π
   
= + + = +
 ÷  ÷
   
0,25
b)
Cho hàm số
x
y
x
1
1
−
=
+
(C). Viết PTTT của (C) tại điểm có hoành độ x = – 2.
Tọa độ tiếp điểm
0 0
2 3x y= − ⇒ =
0,25
y

x
2
2
'
( 1)
= ⇒
+
hệ số góc tiếp tuyến là k = f ′(–2) = 2 0,50
Phuơng trình tiếp tuyến là y = 2x +7 0,25
5b
u u
u u
4 2
5 3
72
144

− =

− =

⇔
u q u q
u q u q
3
1 1
4 2
1 1
72 (1)
144 (2)


− =


− =


0,25
Dễ thấy
u q q
u q q
u q q
2
1
1
2 2
1
( 1) 72
0, 0 2
( 1) 144

− =

≠ ≠ ⇒ ⇒ =

− =


0,50
1

12u⇒ =
0,25
6b a)
f x x x( ) 3( 1)cos= +
⇒
f x x x( ) 3cos 3( 1)sinx
′
= − +
0,25
f x x x x x( ) 3sin 3cos 3( 1)cos
′′
= − − − +
=
x x x x3(sin .cos 2cos )− + +
0,50
" 3
2
f
π
 
= −
 ÷
 
0,25
b)

x
y
x
1

1
−
=
+
⇒
y
x
2
2
( 1)
′
=
+
0,25
Vì TT song song với d:
x
y
2
2
−
=
nên TT có hệ số góc là k =
1
2
0,25
3
Gọi
x y
0 0
( ; )

là toạ độ của tiếp điểm ⇒
x
x
x x
02
0
2
0 0
3
2 1
( 1) 4
2
( 1) 1

= −
= ⇔ + = ⇔

+ =


Với
x y PTTT y x
0 0
3 2 : 2 8= − ⇒ = ⇒ = +
0,25
Với
x y PTTT y x
0 0
1 0 : 2 2= ⇒ = ⇒ = −
0,25

4