GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH đại học môn toán

NHĨM CỰ MƠN

CẤU TRÚC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
MƠN TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề

Câu 1. (2 điểm): Hàm số và đồ thị.
a. (1 điểm): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. (1 điểm): Bài toán liên quan tới hàm số.
Câu 2. (1 điểm): Lượng giác.
Câu 3. (1 điểm): Phương trình, bất phương trình và hệ đại số.
Câu 4. (1 điểm): Tích phân và các bài tốn liên quan.
Câu 5. (1 điểm): Hình học khơng gian.
Câu 6. (1 điểm): Bài toán bất đẳng thức hoặc giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu
thức đại số.
Câu 7. (1 điểm): Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Câu 8. (1 điểm): Phương pháp tọa độ trong không gian.
Câu 9. (1 điểm): Lựa chọn mở:
1. Giới hạn  Hàm số liên tục
2. Tổ hợp  Xác suất.
3. Mũ và lôgarit.
4. Số phức.
--------------------------Hết--------------------------

 NHẬN XÉT: Như vậy:




Đề thi gồm 70% kiến thức lớp 12 và 30% kiến thức lớp 10 và
lớp 11.

Đề thi gồm 10 câu hỏi nhỏ, mỗi câu nhận được 1 điểm.
Ở mỗi câu để đạt được “Mục đích phân loại học sinh”
thường được thiết kế thành hai phần:
Phần 1: Chuẩn kiến thức.
Phần 2: Chuyên sâu.
Thí dụ: Tính tích phân:
1
1  sin x
I  2
dx
x 1
1
1

1

dx
sin x .dx
 2
 2
x 1
1 x  1
 1  
   
I1

I2

1

Dựa theo các đề thi Toán năm 2012 và 2013 Nhóm Cự Mơn
chia mỗi đề thành ba mức:
Bài tốn mức I: Bao gồm:
 Giải tích 12: Câu 1, câu 4, câu 9.
 Phương pháp tọa độ trong không gian: Câu 8.
 Lượng giác 11: Câu 2.
Bài toán mức II: Bao gồm:
 Hình học khơng gian: Câu 5.
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: Câu 7.
 Đại số 10: Câu 3.
Bài tốn mức III: Câu 6 là khó nhất  Dành cho học sinh giỏi.
Do đó, dựa vào khả năng của bản thân các em học sinh cần
“Xây dựng kế hoạch thực hiện tối ưu”.

THUẬT TOÁN TỐI ƯU GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
MƠN TỐN

ĐỌC ĐỀ LẦN 1: Tiếp nhận thông tin
Xác định mỗi câu hỏi của đề thi thuộc dạng tốn gì ?
Phác thảo ngay hình vẽ của câu 5, câu 7. Và cả câu 8 nếu cần.
ĐỌC ĐỀ LẦN 2: Phân tích thơng tin
Tư duy mỗi câu hỏi kết hợp sử dụng giấy nháp.
 Với câu chắc chắn giải được cần định hình trong đầu cách sẽ diễn đạt nó
vào bài thi.
Thí dụ với câu 1.a (A  2013): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
hàm số:
y = x3 + 3x2 + 3mx  1 khi m = 0.
Cần định hình ngay các bước thực hiện bài toán “Khảo sát và vẽ đồ thị
hàm đa thức bậc ba”.

Thí dụ với câu 1.b (A  2013): Tìm m để hàm số:
y = x3 + 3x2 + 3mx  1 nghịch biến trên khoảng (0; +  ).
Cần định hình ngay các bước thực hiện bài toán “Sự biến thiên của
hàm đa thức bậc ba trên một miền”.
Cụ thể:
 Tính đạo hàm y’.
 Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +  )
 y’ ≤ 0, x(0; +  ) và dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm
Sử dụng kiến thức về tam thức bậc hai hoặc hàm số.

2


Thí dụ với câu 8 (A  2013): Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z  11 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 
2x + 4y  2z  8 = 0. Chứng minh (P) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ tiếp
điểm của (P) và (S).
Cần định hình ngay các bước thực hiện bài tốn “Sự tiếp xúc của mặt
phẳng với mặt cầu”. Cụ thể:
 Xác định thuộc tính của mặt cầu (S) với tâm I bán kính R.
 Khẳng định d(I, (P)) = R, suy ra (P) tiếp xúc với (S).
 Tọa độ tiếp điểm của (P) và (S) là giao điểm của mặt phng (P) vi
đường thẳng (d) ((d) qua I v vuụng góc (P)).
 Với câu chưa chắc chắn giải được cho dù đã biết nó thuộc dạng tốn lớn
nào đó thì cần sử dụng giấy nháp cho một trong các hướng:
Hướng 1: Thực hiện các phép thử.
Thí dụ với câu 2 (A  2013): Giải phương trình:


1  tan x  2 2 sin  x   .

4

 Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình.
 Phương trình có chứa tang và sin nên định hướng chuyển về
dạng chỉ chứa sinx và cosx, cụ thể ta sử dụng các công thức:
si n x
si n x  cos x
tan x 
 1  tan x 
;
cos x
cos x


2 sin  x    sin x  cos x.
4

 Suy ra, nhân tử chung là (sinx + cosx) để chuyển phương trình về
dạng tích.
Thí dụ với câu 4 (A  2013): Tính tích phân:
2 2
x 1
I   2 ln x.dx.
x
1
 Ta có biến đổi:
2
1 

I   1  2  ln x.dx.

x 
1
2

 Đây là tích phân cơ bản dạng I   f (x) ln x.dx nên sẽ sử dụng
1

phương pháp tích phân từng phần:
 u  ln x

1  .


dv  1  2  dx

 x 

3


Hướng 2: Thực hiện các phép phân tích để định hướng.
Thí dụ với câu 5 (A  2013): Cho hình chóp
S
S.ABC có đáy là tam giác vng tại A,

ABC  300 , SBC là tam giác đều cạnh a và
C
mặt bên SBC vng góc với đáy. Tính theo a
thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng
H

cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
B
I
 Hồn thiện hình vẽ trong lần đọc đầu tiên.
A
 Với H là hình chiếu vng góc của S trên BC thì:
1
1
V  SH.SABC  SH.AB.AC.
3
6
 Với yêu cầu về khoảng cách, ta có:
d(C, SAB) CB
CB

 d(C, SAB) 
.d(H, SAB) = 2HK,
d(H, SAB) CH
CH
trong đó K là hình chiếu của H trên (SAB).
Thí dụ với câu 7 (A  2013): Trong mặt y
phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng
M
() : x  y  0. Đường trịn (C) có bán
kính R = 10 cắt (  ) tại hai điểm A và B

A
H

sao cho AB = 4 2 . Tiếp tuyến của (C) tại

I
B
A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy. O
x
Viết phương trình đường trịn (C).
 Hồn thiện hình vẽ trong lần đọc đầu tiên.
 Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại M thuộc tia Oy nên
M(0; c) với c > 0.
 Viết phương trình tham số đường thẳng (MI), suy ra tọa độ I.
 Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vng tính MH, IH rồi
so sánh với cơng thức tính khoảng cách từ một điểm tới một
đường thẳng.
Thí dụ với câu 9 (A  2013): Gọi S là tập hợp tất cả số tự
nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các số 1; 2; 3; 4; 5;
6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S,
tính xác suất để số được chọn là số chẵn.
 Gọi số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt là:
abc, a, b, c  1; 2;3; 4;5;6;7 .
a Đếm số phần tử của S: n số.
b. Đếm số chẵn gồm 3 chữ số phân biệt: n0 số.
4


Khi đó:
n0
.
n
 Với câu chưa định hướng được cách giải thì bỏ qua sau khi đã thuộc được
nội dung của nó.
P

ĐỌC ĐỀ LẦN 3: Hồn thiện và xây dựng kế hoạch thực hiện
Đọc chậm từ trên xuống, kiểm tra lại tính đúng đắn cho những câu chắc chắn
giải được. Cơng việc này sẽ giúp các em học sinh loại bỏ được những suy nghĩ
chủ quan hoặc thiếu sót khơng đáng có hoặc một cách giải tốt hơn.
Với câu chưa chưa định hướng được cách giải trong lần đọc thứ hai, rất có thể
trong lần đọc này các em sẽ phát hiện ra được ý tưởng để giải nó. Nếu được như
vậy hãy ghi ngay ra nháp, cịn khơng thì tiếp tục bỏ qua.
Thí dụ với câu 3 (A  2013): Giải hệ phương trình:

 x  1  4 x  1  y4  2  y

, (x, y  ).
 2
2
x  2x(y  1)  y  6y  1  0

 Đặt điều kiện có nghĩa cho hệ phương trình.
 Đây là hệ phương trình khơng mẫu mực có chứa căn bậc hai và bậc bốn.

 x  1  4 x  1  y4  2  y
(1)

.
 2
2
x  y  1  2xy  2x  6y  1  0 (2)

 Theo kinh nghiệm thì (1) được giải bằng phương pháp hàm số cịn (2)
được giải bằng phép phân tích đa thức.

Như vậy, với mỗi câu hỏi thường thì các em cần sử dụng phương pháp phân
tích để chia nhỏ thành bốn phần.
Với cách trình bày nháp như trên, ta có kế hoạch thực hiện theo thứ tự:
Câu 1  Câu 8  Câu 2  Câu 4  Câu 5  Câu 7  Câu 9
Câu 3  Câu 6
THỰC HIỆN 1
Ghi lời giải chi tiết các câu theo kế hoạch vào giấy thi.
Trong thời gian này các em học sinh cần tập trung cao độ và đừng băn khoăn
về những câu chưa giải được. Tuy nhiên, do đã ghi nhận được nôi dung của câu
hỏi vào não bộ và phương thức hoạt động đa nhiệm của nó nên hồn tồn có thể
xảy ra trường hợp các em chợt nhận ra rằng nó thuộc một dạng tốn đã gặp hoặc
có một phương pháp để tháo gỡ dần. Nếu được như vậy, hãy nghi nhận ngay ra
phần nháp tương ứng rồi tiếp tục quay lại với bài thi.
5


Cần loại bỏ suy nghĩ phải giải được đến cùng mới ghi vào giấy thi, bởi điểm
được chấm theo thang 0.25, tức là đúng đến đâu các em sẽ nhận được điểm đến
đó. Do vậy, cần giữ vững lập trường với kế hoạch đã vạch ra và khi gặp khó hãy
để cách dịng rồi thực hiện tiếp.
Thí dụ với câu 5.b: “Tính d(C, (SAB))” nếu chưa giải được thì cách khoảng
10 dòng rồi thực hiện tiếp câu 7.
KIỂM ĐỊNH VÀ HỒN THIỆN
Đọc cẩn thận lại bài thi để kiểm định.
Hồn thiện phần để cách dịng nếu có thể.
Thí dụ với câu 3 (A  2013): Ta tiếp tục:
 Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng:
x  1  4 x  1  y4  2  y





x 1  4 x 1 

y

4

 1  1  4  y 4  1  1

 f(x) = f(y4 + 1),
với f (t)  t  1  4 t  1 là hàm đồng biến trên [1; +).
Suy ra:
x = y4 + 1.
Thay (*) vào (2), ta được:
f(y) = 0  Giá trị y  Giá trị x.
Kết luận nghiệm cho hệ phương trình.

(*)

THỰC HIỆN PHẦN TỐN KHĨ
Với dạng tốn chưa được tiếp cận bao giờ trong đề thi, các em đừng vội dừng
bút mà hãy nghĩ tới phương pháp đánh giá hoặc giải ngược.
Thí dụ với câu 6 (A  2013): Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn:
(a  c)(b  c)  4c2 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
32a 3
32b3
a 2  b2

P


.
(b  3c)3 (a  3c)3
c
 Với giả thiết là các biểu thức đối xứng của a, b còn c là trung gian nên
a
b
định hướng chuyển đổi về hai ẩn x  , y  , (x, y  0).
c
c
 Khi đó:
 a  b 
(a + c)(b + c) = 4c2    1   1  4   x  1 y  1  4
 c  c 
 (x + y) + xy = 3  xy = 3  (x + y)  3  S.

6


  a  3  b 3 
a 2  b2
P  32 
 
 
c2
 b  3c   a  3c  



2
2
  a / c 3  b / c  3 
a b
 32 
 
     
c c
 b / c  3   a / c  3  



 x 3  y 3 
2
2
 32 
 
  x y .
 y  3   x  3  


Trong đó:

x 2  y2 

(x  y)2
xy
 x 2  y2 
.
2

2

3

3

 x 
3
x
1
1
1 1  x 
 33
. .
,

  
  .
16 (y  3)
64 64  y  3 
 y  3  64 64
3

 y 
tương tự cho 
 .
 x 3
Từ đó, suy ra:
 x
y 

xy
P  6

2
2
 (y  3) (x  3) 

 S2  5S  6  S
S
 6
 2  3S 
 5.

2
2
 2S  12 
Bài tốn được chuyển về tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số biến S  2.
Thí dụ với câu 6: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:
a2014 + b2014 + c2014 = 3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a5 + b5 + c5.
Bài tốn có tính đối xứng nên ta tìm cách xuất hiện a5 từ a2014.
Cụ thể:
a 5  2014  a 2014 

5

 2014 a 2014...  a 2014  1 ...  1
 

5 so a 2014



2009 so 1


1  2014
 a ...  a 2014  1...  
 
 1
2014  5 so a 2014  2009 so 1 


1

 5a 2014  2009  .
2014

Tương tự, cho b2014, c2014.
7


Thí dụ với câu 6 (A  2012): Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện:
x + y + z = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P3

xy

3

yz

3

zx

 6x 2  6y 2  6z 2 .

Trước tiên, các em học sinh cần nhận thấy rằng P gồm hai phần với ba nhân
tử có tính ®èi xøng lµ 3 x  y  3 y  z  3 z  x , 6x 2 6y 2 6z 2 .
Từ đó, định hướng biến đổi:
Với 6x2 + 6y2 + 6z2 cần đưa vỊ d¹ng (x  y)2 + (y  z)2 + (z  x)2, cơ thĨ :
x  y2 + y  z2 + z  x2 = (x  y)2 + (y  z)2 + (z  x)2
= 3(x2 + y2 + z2)  (x + y + z)2 = 3(x2 + y2 + z2)
2
2
2
2
2
2
 6x + 6y + 6z = 2(x  y + y  z + z x ),
Và bằng việc Sử dụng bất đẳng thức cơ bản a + b a + b ta
chứng minh ngay được:



2

2

xy yz zx 2 xy yz zx

2

.

Tới đây, ta nhận được ba cặp dạng (3t t), t 0 trong P.
Xét hàm sè f(t) = 3t  t trªn tËp D = [0; + ) ta cã:
f'(t) = 3t.ln3  1 > 0, t D Hàm số đồng biến trên D
f(t) f(0) = 1.
t
Bất đẳng thức cần chøng minh lµ 3 ≥ t + 1, t ≥ 0.
Từ định hướng trên ta sẽ hình thành được các bước cần thực hiện để
nhận được PMin = 3.



NHểM C MÔN

CÁC CHỦ ĐỀ LUYỆN ÔN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH
ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
MƠN TỐN

Câu 1. Hàm số và đồ thị
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
 Hàm đa thức bậc ba (H1).
 Hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phương (H2).
 Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất (H3).
b. Bài toán liên quan tới hàm số.

 Sự biến thiên của hàm số trên miền D. Khi đó, với hàm số (H1) được
chuyển về dấu tam thức bậc hai hoặc sử dụng phương pháp hàm số.
Thí dụ với câu 1.b (A  2013): Tìm m để hàm số:
y = x3 + 3x2 + 3mx  1 nghịch biến trên khoảng (0; +  ).
8


Đặc biệt lưu ý hàm số (H3) đơn điệu trên D cần xác định trên D, tức là phải
d
có   D.
c
Thí dụ với câu 1.b: Tìm m để hàm số:
x 1
nghịch biến trên khoảng (1; +  ).
y
xm
 Cực trị thỏa mãn điều kiện K (chỉ xảy ra với các hàm số (H1) và
(H2)). Câu hỏi này cần được chia thành hai phần để thực hiện:
Phần 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.
Phần 2: Thiết lập điều kiện K.
Thí dụ với câu 1.b (D  2012): Tìm m để hàm số:
2
2
y  x3  mx 2  2(3m 2  1)x 
3
3
có hai điểm cực trị với hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1x2 + 2(x1 + x2) = 1.
Thí dụ với câu 1.b (B  2013): Tìm m để hàm số:
y = 2x3  3(m + 1)x2 + 6mx
có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vng góc với

đường thẳng y = x + 2.
Thí dụ với câu 1.b (B  2012): Tìm m để hàm số:
y = x3  3mx2 + 3m
có hai điểm cực trị A và B sao cho OAB có diện tích bằng 18.
Thí dụ với câu 1.b (A  2012): Tìm m để hàm số:
y = x4  2(m + 1)x2 + m2
Có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vng.
Thí dụ với câu 1.b (B  2011): Tìm m để hàm số:
y = x4  2(m + 1)x2 + m2
Có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, trong đó O là gốc
tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực
trị còn lại.
 Tiếp tuyến của đồ thị thỏa mãn điều kiện K. Câu hỏi này cần được
chia thành hai phần để thực hiện:
Phần 1: Sử dụng điều kiện K để tìm được tọa độ của tiếp điểm (x0; y0).
Phần 2: Thiết lập phương trình tiếp tuyến:
(d): y = y’(x0)(x  x0) + y0.
9


Hoặc đảo lại:
Phần 1: Giả sử với tiếp điểm M(x0; y0) phương trình tiếp tuyến:
(d): y = y’(x0)(x  x0) + y(x0).
Phần 2: Thiết lập điều kiện K.
Thí dụ với câu 1.b (B  2008): Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số:
(C): y = 4x3  6x2 + 1
biết tiếp tuyến đi qua điểm M(1; 9).
Thí dụ với câu 1.b (D  2010): Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số:

(C): y = x4  x2  6
biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x  6y  6 = 0.
Thí dụ với câu 1.b (A  2009): Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số:
x2
(C) : y 
2x  3
biết tiếp tuyến đó cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và OAB cân tại O.
 Tìm điểm thuộc (d) kẻ được k tiếp tuyến tới đồ thị (C)
Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số:
(C): y = x33x.
Tìm những điểm trên đường thẳng y = 2 từ đó kẻ được ba tiếp
tuyến tới đồ thị (C).
Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số:
(C): y = x42x21.
Tìm những điểm trên trục tung từ đó kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ
thị (C).
Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số:
x 1
(C) : y 
.
x 1
Tìm những điểm trên trục tung từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến
tới đồ thị (C).
 Tính chất tiếp tuyến
Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số:
(C): y = 2x3 + 3x21.
Tìm trên đồ thị điểm mà tại đó hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá trị
nhỏ nhất.
10

Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số:
(C): y = x3 + 4x2 + 4x + 1.
a. Tìm k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị có cùng hệ số
góc k. Gọi các tiếp điểm là A, B.
b. Viết phương trình đường thẳng (AB) theo k.
c. Chứng minh rằng đường thẳng (AB) luôn đi qua một điểm cố
định.
Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số:
(C): y = x42x2 + 2.
Hãy viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại hai
tiếp điểm phân biệt.
Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số (C) và đường thẳng (d):
x 1
và (d) : y = ax + b.
x 1
Tìm điều kiện của a, b để đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) ?
Giả sử điều kiện trên được thỏa mãn. Khi đó (d) cắt hai tiệm
cận của (C) tại A, B và gọi I là giao điểm của hai tiệm cận.
 Chứng tỏ rằng tam giác IAB có diện tích khơng đổi.
 Chứng tỏ rằng trung điểm của AB là tiếp điểm của (d) với (C).
 Khi nào thì khoảng cách từ I đến (d) là lớn nhất ?
(C) : y 

a.
b.

Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số:
x 1

(C) : y 
.
x 1
a. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) đều lập với hai đường
tiệm cận một tam giác có diện tích khơng đổi.
b. Tìm tất cả các điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại đó lập với
hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
 Tương giao của hai đồ thị thỏa mãn điều kiện K. Câu hỏi này cần
được chia thành hai phần để thực hiện:
Phần 1: Tìm điều kiện về giao điểm của hai đồ thị.
Phần 2: Thiết lập điều kiện K.
Thí dụ với câu 1.b (D  2008): Cho hàm số:
(C): y = x3  3x2 + 4.
Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc
k (k > 3) đều cắt đồ thị hàm số (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B
đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
11


Thí dụ với câu 1.b (A  2010): Tìm m để đồ thị hàm số:
(C): y = x3  2x2 + (1  m)x + m
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x3 thỏa
2
2
2
mãn x1  x 2  x 3  4.
Thí dụ với câu 1.b (D  2009): Tìm m để đồ thị hàm số:
(C): y = x4  (3m + 2)x2 + 3m
cắt đường thẳng y = 1 tại bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ
hơn 2.

Thí dụ với câu 1.b (D  2011): Tìm m để đồ thị hàm số:
2x  1
(C) : y 
x 1
cắt đường thẳng y = mx + 2m + 1 tại hai điểm A và B sao cho
khoảng cách từ A và B đến trục hồnh bằng nhau.
Thí dụ với câu 1.b (B  2010): Tìm m để đồ thị hàm số:
2x  1
(C) : y 
x 1
cắt đường thẳng y = 2x + m tại hai điểm A và B sao cho OAB
có diện tích bằng 3.
Thí dụ với câu 1.b (A  2011): Tìm m để đồ thị hàm số:
x  1
(C) : y 
2x  1
cắt đường thẳng y = x + m tại hai điểm A và B. Gọi k1, k2 lần lượt
là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để k1 + k2
đạt giá trị lớn nhất.
 Biến đổi đồ thị
Thí dụ với câu 1.b (B  2009): Cho hàm số:
(C): y = 2x4  4x2.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2
2
2. Với giá trị nào của m phương trình x x  2 = m có đúng 6
nghiệm phân biệt.
 Điểm và đồ thị
Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số:
(Cm) : y = (m + 1)x32(m1)xm + 1

Chứng minh rằng đồ thị hàm số (Cm) luôn đi qua ba điểm cố định,
và ba điểm đó cùng nằm trên một đường thẳng.
12


Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số:
(Cm): y = x33mx2 + 3(m21)x + 1m2.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm
phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số:
(C): y = 2x33x2 + 1.
Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C) qua gốc O.
Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số:
(C): y = x42x2 + 1.
Tìm phương trình đường cong đốii xứng với (C) qua gốc O.
Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số:
(C): y =

x 1
.
x 1

Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C) qua gốc O.
Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số:
(C) : y =
a.
b.

x 2
.

x2

Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C) qua đường
thẳng y = 3.
Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C) qua đường
thẳng y = 1x.

 Khoảng cách
Thí dụ với câu 1.b: Cho hàm số:
2x  1
(C) : y 
.
x 1
a. Tìm trên đồ thị những điểm cách đều hai trục tọa độ.
b. Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng
hai lần khoảng cách từ M đến Oy.
c. Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm
cận nhỏ nhất.
d. Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến giao
điểm của hai đường tiệm cận nhỏ nhất.
e. Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ
dài AB ngắn nhất.

Câu 2. Lượng giác.
 Phương trình lượng giác cơ bản.
 Phương trình bậc cao với một hàm số lượng giác.
13


 Phương trình bậc nhất với sin và cos cùng dạng mở rộng

a.sinx + b.cosx = c.

a.sin x  b.cos x  a 2  b2 .sin y.
a.sin x  b.cos x  a 2  b2 .cos y.
a.sin x  b.cos x  c.sin y  d.cos y, a 2  b 2  c 2  d 2 .
Thí dụ với câu 2 (B  2009): Giải phương trình :
sin x  cos x.sin 2x  3 cos 3x  2(cos 4x  sin 3 x).
Thí dụ với câu 2 (D  2009): Giải phương trình :
3 cos 5x  2sin 3x.cos 2x  sin x  0.
Thí dụ với câu 2 (A  2009): Giải phương trình :
1  2 sin x  cos x  3.
1  2 sin x 1  sin x 
 Phương trình đối xứng
a.sin x.cos x  b(sin x  cos x)  c.
 Phương trình đẳng cấp
Thí dụ với câu 2: Giải phương trình :



cos x  8sin 3  x   .
6

 Phương trình chuyển về dạng tích.
Thí dụ với câu 2 (D  2013): Giải phương trình :
sin 3x  cos 2 x  sin x  0
Thí dụ với câu 2 (B  2013): Giải phương trình :

sin 5x  2cos 2 x  1.
Thí dụ với câu 2 (A  2013): Giải phương trình :



1  tan x  2 2 sin  x   .
4


Câu 3. Phương trình, bất phương trình và hệ đại số.
Thí dụ với câu 3 (A  2013): Giải hệ phương trình :
 x 1  4 x 1  y4  2  y

(x, y  R).
 2
x  2 x( y  1)  y 2  6 y  1  0


14


Thí dụ với câu 3 (B  2013): Giải hệ phương trình :
2x 2  y 2  3xy  3x  2y  1  0

, (x, y   ).
 2
2
4x  y  x  4  2x  y  x  4y

Thí dụ với câu 3 (D  2012): Giải hệ phương trình :
 xy  x  2  0
, (x, y   ).
 3
2

2
2
2x  x y  x  y  2xy  y  0
Thí dụ với câu 3 (A  2012): Giải hệ phương trình :

 x 3  3x 2  9x  22  y3  3y 2  9y

, (x, y  ).
 2
1
2
x  y  x  y 

2
Thí dụ với câu 3 (A  2011): Giải hệ phương trình :

5x 2 y  4xy 2  3y3  2(x  y)  0

, (x, y  ).

2
2
2
 xy(x  y )  2  (x  y)

Thí dụ với câu 3 (D  2006): Giải phương trình :
2x  1  x 2  3x  1  0, x  .

Thí dụ với câu 3 (B  2010): Giải phương trình :
3x  1  6  x  3x 2  14x  8  0, x  .

Thí dụ với câu 3 (B  2011): Giải phương trình :

3 2  x  6 2  x  4 4  x 2  10  3x, (x  ).
Thí dụ với câu 3 (A  2009): Giải phương trình :
2 3 3x  2  3 6  5x  8  0, (x   ).

Thí dụ với câu 3 (D  2002): Giải bất phương trình :

x

2

 3x  2x 2  3x  2  0, x  .

Thí dụ với câu 3 (B  2012): Giải bất phương trình :

x  1  x 2  4x  1  3 x, (x  ).
Thí dụ với câu 3 (A  2005): Giải bất phương trình :
5x  1  x  1  2x  4, x  .

Thí dụ với câu 3 (A  2010): Giải bất phương trình :
x x
1  2  x 2  x  1

 1, x  .

15

Câu 4. Tích phân và các bài tốn liên quan.
 Tích phân sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.
 Tích phân sử dụng phương pháp đổi biến dạng 1.
 Tích phân sử dụng phương pháp đổi biến dạng 2.
 Tích phân sử dụng phương pháp đổi biến dạng 3.
 Tích phân sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
 Sử dụng tích phân tính diện tích và thể tích.

 Lưu ý: Mỗi tích phân I trong đề thi thường được phân tích I = I1 + I2 với I1, I2
được tính theo phương pháp khác nhau.
Thí dụ với câu 4 (D  2013): Tính tích phân:
1
(x  1) 2
I 2
dx.
x 1
0
Thí dụ với câu 4 (B  2013): Tính tích phân:
1

I   x 2  x 2 dx.
0

Thí dụ với câu 4 (A  2013): Tính tích phân:
2 2
x 1
I   2 ln x dx.
x
1
Thí dụ với câu 4 (D  2012): Tính tích phân:

/ 4

I

 x(1  sin 2x)dx.
0

Thí dụ với câu 4 (B  2012): Tính tích phân:
1
x 3 .dx
I 4
.
x  3x 2  2
0
Thí dụ với câu 4 (A  2012): Tính tích phân:
3

1  ln(x  1)
dx.
x2
1

I

 Diện tích hình phẳng.
Thí dụ với câu 4 (A  2007): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x.
 Thể tích.
Thí dụ với câu 4 (B  2007): Cho hình phẳng H giới hạn bởi các
đường y = x.lnx, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối trịn xoay tạo

thành khi quay hình H quanh trục Ox.
16


Câu 5. Hình học khơng gian.
 Thể tích.
 Khoảng cách và góc.
 Bài tốn định tính và định lượng.

 Lưu ý: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa trong khơng gian Oxyz để giải.
Thí dụ với câu 5 (D  2013): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD

là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, BAD  1200 , M

là trung điểm cạnh BC và SMA  450 . Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).
Thí dụ với câu 5 (B  2013): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vng cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng
vng góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tính của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Thí dụ với câu 5 (A  2013): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam

giác vng tại A, ABC  300 , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên
SBC vng góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và
khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Thí dụ với câu 5 (D  2012): Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có
đáy là hình vng, tam giác A’AC vng cân, A’C = a. Tính thể tích
khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD’) theo a.
Thí dụ với câu 5 (B  2012): Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với
SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm A trên cạnh

SC. Chứng minh SC vương góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích
khối chóp S.ABH theo a.
Thí dụ với câu 5 (A  2012): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam
giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng (ABC) là
điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC
và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Câu 6. Bài toán bất đẳng thức hoặc giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu
thức đại số.
 Sử dụng bất đẳng thức Côsi.
 Sử dụng đạo hàm.

 Lưu ý: Các em học sinh cần sử dụng phương pháp đánh giá để nhận định.
Thí dụ với câu 6 (D  2012): Cho các số thực x, y thoả mãn :
(x  4)2 + (y  4)2 + 2xy  32.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy  1)(x + y  2).
17


Thí dụ với câu 6 (D  2013): Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn
điều kiện xy  y  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
xy
x  2y
P

.
2
2
6  x  y

x  xy  3y
Thí dụ với câu 6 (B  2013): Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức:
4
9
P

.
a 2  b 2  c2  4 (a  b) (a  2c)(b  2c)
Thí dụ với câu 6 (A  2013): Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
điều kiện (a  c)(b  c)  4c2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P

32a 3
32b3
a 2  b2


.
(b  3c)3 (a  3c)3
c

Thí dụ với câu 6 (B  2012): Cho các số thực x, y, z thoả mãn các
điều kiện x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức P = x5 + y5 + z5.
Thí dụ với câu 6 (A  2012): Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều
kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P3

xy

3

yz

3

zx

 6x 2  6y2  6z 2 .

Câu 7. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
 Bài tốn về điểm.
 Bài tốn về phương trình đường thẳng, đường tròn, elip.

 Lưu ý: Các em học sinh cần tìm được chìa khóa cho mỗi bài tốn.
Thí dụ với câu 7.a (D  2013): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,
 9 3
cho tam giác ABC có điểm M   ;  là trung điểm của cạnh AB,
 2 2
điểm H(2; 4) và điểm I(1; 1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và
tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C.
Thí dụ với câu 7.a (B  2013): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,
cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vng góc với nhau và
AD = 3BC. Đường thẳng BD có phương trình x + 2y – 6 = 0 và tam
giác ABD có trực tâm là H (3; 2). Tìm tọa độ các đỉnh C và D.
Thí dụ với câu 7.a (A  2013): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,
cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng (d) :
18

2x  y  5  0 và A(4;8) . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là
hình chiếu vng góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ các
điểm B và C, biết rằng N(5;-4).
Thí dụ với câu 7.b (D  2013): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,
cho đường tròn (C): ( x  1) 2  ( y  1) 2  4 và đường thẳng  : y  3  0
. Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các đỉnh N và P
thuộc  , đỉnh M và trung điểm của cạnh MN thuộc (C). Tìm tọa độ
điểm P.
Thí dụ với câu 7.b (B  2013): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,
 17 1 
cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là H  ;   ,
 5 5
chân đường phân giác trong của góc A là D (5; 3) và trung điểm của
cạnh AB là M (0; 1). Tìm tọa độ đỉnh C.
Thí dụ với câu 7.b (A  2013): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,
cho đường thẳng () : x  y  0. Đường trịn (C) có bán kính R = 10
cắt  tại hai điểm A và B sao cho AB = 4 2 . Tiếp tuyến của (C) tại
A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình đường
trịn (C).

Câu 8. Phương pháp tọa độ trong khơng gian.
 Bài tốn về điểm.
 Bài tốn về phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu.

 Lưu ý: Các em học sinh cần nắm vững các dạng toán cơ bản cùng u cầu cực trị
về góc và khoảng cách.
Thí dụ với câu 8.a (D  2013): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho các điểm A(1; 1; 2), B(0; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z 

1 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của A trên (P). Viết phương
trình mặt phẳng đi qua A, B và vng góc với (P).
Thí dụ với câu 8.a (B  2013): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho điểm A (3; 5; 0) và mặt phẳng (P) : 2x + 3y – z – 7 = 0. Viết
phương trình đường thẳng đi qua A vng góc với (P). Tìm tọa độ
điểm đối xứng của A qua (P).
Thí dụ với câu 8.a (A  2013): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
x  6 y 1 z  2
cho đường thẳng  :
và điểm A(1; 7; 3). Viết


3
2
1
phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vng góc với  . Tìm tọa độ điểm
M thuộc  sao cho AM = 2 30 .
19


Thí dụ với câu 8.b (D  2013): Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho điểm A( 1; 3; 2) và mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + 5 = 0. Tính
khoảng cách từ A đến (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và
song song với (P).
Thí dụ với câu 8.b (B  2013): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho các điểm A(1; 1; 1), B (1;2;3) và đường thẳng
x 1 y  2 z  3
() :



..
2
1
3
Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vng góc với hai đường
thẳng qua AB và .
Thí dụ với câu 8.b (A  2013): Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình:
(P): 2x  3y  z  11  0 và (S) : x 2  y 2  z 2  2x  4y  2z  8  0 .
Chứng minh (P) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S).

Câu 9. Lựa chọn mở:
1. Giới hạn  Hàm số liên tục
 Phương pháp nhân liên hợp.
 Phương pháp gọi hằng số vắng để tách L thành hai giới hạn:
L = L1 + L2 .
Thí dụ: Tính giới hạn:
2 1 x  3 8  x
lim
.
x 0
x
Thí dụ: Tính giới hạn:
4
2x  1  5 x  2
lim
.
x 1
x 1
Thí dụ: Tính giới hạn:

(x 2  2014) 7 1  2x  2014
lim
.
x 0
x
Thí dụ: Tính giới hạn:
x2
lim
.
x 
x2  2
Thí dụ: Tính giới hạn:

lim

x 





x 2  2x  4  x 2  2x  4 .

2. Tổ hợp  Xác suất.
20


 Bài toán đếm số phương án
 Bài toán đếm số các số hình thành từ tập E
 Phương trình, bất phương trình và hệ tổ hợp

 Bài tốn sử dụng nhị thức Niutơn
Thí dụ với câu 9.a (B  2013): Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất
chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4
viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2
viên bi được lấy ra có cùng màu.
Thí dụ với câu 9.a (A  2013): Gọi S là tập hợp tất cả số tự nhiên
gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác
định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để
số được chọn là số chẵn.
Thí dụ với câu 9.a (B  2012): Trong một lớp học gồm có 15 học sinh
nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng
giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.
Thí dụ với câu 9.a (D  2007): Tính hệ số của x5 trong khai triển đa
thức x(1  2x)5 + x2(1 + 3x)10.
Thí dụ với câu 9.a (A  2012): Cho n là số nguyên dương thoả mãn
5C n 1  C 3 . Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Niuton của:
n
n
n

 nx 2 1 
  , x  0.

 14 x 
Thí dụ với câu 9.a (A  2006): Tính hệ số của x26 trong khai triển nhị
n

 1

thức Niutơn  4  x 7  , biết rằng:

x

C1 1  C 2 1  ...  C n 1  220  1.
2n
2n
2n

(n nguyên dương, C k là tổ hợp chập k của n phần tử).
n
Thí dụ với câu 9.a (B  2007): Tính hệ số của x10 trong khai triển nhị
thức Niutơn (2 + x)n, biết rằng:
3n C0  3n 1 C1  3n  2 C2  ...  (1)n C n  2048.
n
n
n
n
(n nguyên dương, C k là tổ hợp chập k của n phần tử).
n
Thí dụ với câu 9.a (A  2008): Cho khai triển:
(1 + 2x)n = a0 + a1x + ...+ anxn,
21


trong đó n  * và các hệ số a0, a1, ..., an thoả mãn hệ thức:
a0 

a1
a
 ...  n  4096 .
2

2n

Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1, ..., an.
Thí dụ với câu 9 (A  2005): Tìm số nguyên dương n sao2n 1
cho:
3
2 C 2n 1
2n C 2n 1
1
2
C 2n 1  2.2 C 2n 1 + 3.2
... + (2n + 1).2
= 2005.
Thí dụ với câu 9.a (B  2008): Chứng minh rằng:
n 1  1
1  1
 k  k 1   k
n  2  Cn 1 Cn 1  C n

(n nguyên dương, C k là tổ hợp chập k của n phần tử).
n
Thí dụ với câu 9.a (A  2007): Chứng minh rằng:

1 1 1 3 1 5
1
22n  1
C2n  C2n  C2n  ...  C2n 1 
.
2n
2

4
6
2n
2n  1
Thí dụ với câu 9 (D  2005): Tính giá trị của biểu thức:
A 4  3A 3
n
M = n 1
(n  1)!
biết rằng C2 1  2C 2  2  2C2 3  C2  4 = 149 (n là số nguyên dương,
n
n
n
n
A k là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và C k là số tổ hợp chập k
n
n
của n phần tử).

Thí dụ với câu 9.a (D  2008): Tìm số nguyên n thoả mãn hệ thức:
C1  C3  ...  C 2n 1  2048.
2n
2n
2n
(n nguyên dương, C k là tổ hợp chập k của n phần tử).
n
3. Mũ và lôgarit.
 Phương trình, bất phương trình và hệ mũ  lơgarit
Thí dụ với câu 9.b (B  2007): Giải phương trình :



x

 

2 1 



x

2  1  2 2  0.

Thí dụ với câu 9.b (A  2006): Giải phương trình :
3.8x + 4.12x  18x  2.27x = 0.
Thí dụ với câu 9.b (D  2006): Giải phương trình :
2x

2

x

 4.2 x

2

x

 22x  4  0.

22


Thí dụ với câu 9.b (A  2009): Giải phương trình :
log2x  1(2x2 + x  1) + logx + 1(2x  1)2 = 4.
Thí dụ với câu 3 (D  2013): Giải phương trình :
1
2 log 2 x  log 1 1  x  log 2 x  2 x  2 .
2
2









Thí dụ với câu 3 (D  2011): Giải phương trình :
log 2 (8  x 2 )  log 1 1  x  1  x  2  0, (x  ).





2

Thí dụ với câu 9.b (D  2007): Giải phương trình :
1

log 2  4 x  15.2 x  27   2 log 2
 0.
4.2 x  3
Thí dụ với câu 9.b (D  2008): Giải bất phương trình :
log 1
2

x 2  3x  2
 0.
x

Thí dụ với câu 9.b (A  2007): Giải bất phương trình :
2log3(4x  3) + log1/3(2x + 3) ≤ 2.
Thí dụ với câu 9.b (B  2006): Giải bất phương trình :
log5(4x + 144)  4log52 < 1 + log5(2x  2 + 1).
Thí dụ với câu 9.b (B  2008): Giải bất phương trình :

x2  x 
log 0,7  log 6
  0.
x4 


Thí dụ với câu 9.b (B  2013): Giải hệ phương trình :

 x 2  2y  4x  1

.

2 log 3 (x  1)  log 3 (y  1)  0


Thí dụ với câu 9.b (A  2009): Giải hệ phương trình :
log 2 (x 2  y 2 )  1  log 2 (xy)

.
 x 2  xy  y2
3
 81


Thí dụ với câu 9 (B  2005): Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ
phương trình sau có nghiệm duy nhất:
e x  e y  ln(1  x)  ln(1  y)
.

y  x  a
23


Thí dụ với câu 9 (B  2005): Chứng minh rằng với mọi x  R, ta có:
x

x

x

 12 
 15 
 20 
x

x
x
  +   +   3 +4 +5 .
5
4
 3 

Thí dụ với câu 9 (D  2007): Cho 0 < b < a chứng minh rằng:
b

a

 a 1   b 1 
2  a   2  b  .
2  
2 


4. Số phức.
Thí dụ với câu 9.b (B  2011): Tìm phần thực và phần ảo của số
3

 1 i 3 
phức z  
 1 i  .



Thí dụ với câu 9.b (A  2013): Cho số phức z  1  3i . Viết dạng
lượng giác của z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức w  (1  i)z5 .

Thí dụ với câu 9.a (D  2012): Cho số phức z thoả mãn:
2(1  2i)
(2  i)z 
 7  8i.
1 i
Tìm mơđun của số phức w = z + 1 + i.
Thí dụ với câu 9.a (D  2011): Tìm các số phức z, biết:
z  (2  3i)z  1  9i.
2

Thí dụ với câu 9.a (A  2011): Tìm các số phức z, biết z 2  z  z.
Thí dụ với câu 9.a (B  2011): Tìm các số phức z, biết:
5i 3
z
 1  0.
z
Thí dụ với câu 9.b (A  2011): Tìm mơđun của số phức z, biết:
(2z  1)(1  i)  z  1 (1  i)  2  2i.





Thí dụ với câu 9.b (A  2012): Cho số phức z thoả mãn
Tìm mơđun của số phức w = 1 + z + z2.



5 zi
z 1

  2  i.

Thí dụ với câu 9.a (D  2013): Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
z  2z  1
(1  i)(z  i)  2z  2i . Tính mơđun của số phức w 
.
z2
24


Thí dụ với câu 9.a (D  2009): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy,
tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn z  (3  4i) = 2.
Thí dụ với câu 9.b (B  2012): Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của
phương trình z 2  2 3iz  4  0. Viết dạng lượng giác của z1 và z2.
Thí dụ với câu 9.b (D  2012): Giải phương trình:
z 2  3(1  i)z  5i  0 trên tập hợp số phức.
Thí dụ với câu 9.a (A  2009): Gọi z1 và z2 là hai nghiệm của phương
trình z2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A = z12 + z22.
Thí dụ với câu 9.a (B  2009): Tìm số phức thoả mãn:
 z  (2  i)  10

.

 z.z  25


CHÚC CÁC EM HỌC SINH !
Những người học trò đáng mến.
Những người đã và đang miệt mài học tập

vì một tương lai huy hồng hơn,
thành cơng trong mọi dự định tốt đẹp.

25