Chương 4: Khảo sát ổn định hệ thống ppt

Chương 4
KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH
HỆ THỐNG
ThS. NGUYỄN XUÂN NGUYÊN
Khảo sát ổn đònh hệ thống
Chương 4
I. Khái niệm về ổn đònh
1. Thế nào là ổn đònh?
Có thể minh hoạ một cách trực quan các trạng
thái của hệ thống như sau:
Không ổn đònh Biên giới ổn đònh Ổn đònh
2. Mối liên hệ giữa ổn đònh và hàm truyền
Xét hệ thống có hàm truyền:
I. Khái niệm về ổn đònh
Ổn đònh là khả năng trở về trạng thái cân bằng của
hệ thống sau khi kết thúc các tác động bên ngoài làm
cho nó rời khỏi trạng thái cân bằng đó.
1
01 1
1
01 1

()
()
()
mm
mm
nn
nn
bs bs b s b
Cs

Gs
Rs as as a s a
−
−
−
−
+
++ +
==
+
++ +
Đònh nghóa:
Ta đặt:
9 Nghiệm phương trình B(s) = 0 gọi là các zero.
Có m zero, ký hiệu là z
i
, i = 1,…,m.
I. Khái niệm về ổn đònh
9 Nghiệm phương trình A(s) = 0 gọi là các cực.
Có n cực, ký hiệu là p
j
, j = 1,…,n.
1
01 1
1
01 1
()
()
mm
mm

nn
nn
Bs bs bs b s b
As as as a s a
−
−
−
−
=+ +++
=+ +++
I. Khái niệm về ổn đònh
Các cực và zero của hàm truyền có thể là thực
hay phức. Vò trí của chúng biểu diễn trên mặt phẳng
phức gọi là giản đồ cực-zero.
Ims
Res
Giản đồ cực-zero
x
x
x
x
O
O
O
x: cực
o: zero
I. Khái niệm về ổn đònh
- Có thể phân tích hàm truyền dưới dạng:
012
012

( )( ) ( )
() .
( )( ) ( )
−
−−
=
−− −
m
n
bszsz sz
Gs
aspsp sp
- Khi tín hiệu vào là hàm nấc thì đáp ứng sẽ là:
()
0
0
1
12
012
( )( ) ( )
1
() (). () . .
()()
(
)
)
.(
n
i
i

m
n
i
bszsz sz
Cs RsGs
sa spsp
Cs
sp
sp
s
=
=+
−
−−
==
−− −
⇒
−
∑
αα
I. Khái niệm về ổn đònh
⇒ Đáp ứng thời gian của hệ thống:
0
1
()
αα
=
=+
∑
i

n
pt
i
i
ct e
Tuỳ theo trò số các cực p
i
, đáp ứng có 3 dạng sau:
 Tất cả các cực có phần thực âm ⇒ Hệ ổn đònh.
 Tồn tại cực có phần thực bằng không, các cực còn lại có
phần thực âm ⇒ Hệ ở biên giới ổn đònh.
 Tồn tại ít nhất một cực có phần thực dương ⇒ Hệ không
ổn đònh.
I. Khái niệm về ổn đònh
c(t)
t
O
α
0
Ổn đònh
c(t)
t
O
α
0
Biên giới ổn đònh
c(t)
t
O
α

0
Không ổn đònh
Kết luận:
Hệ thống ổn đònh nếu
tất cả các cực của hệ đều
có phần thực âm.
I. Khái niệm về ổn đònh
Vì vò trí các cực quyết đònh tính ổn đònh của hệ thống
nên phương trình A(s) = 0 gọi là phương trình đặc trưng,
đa thức A(s) gọi là đa thức đặc trưng của hệ thống.
Đối với hệ hồi tiếp:
⇒ Phương trình đặc trưng là:
1+ G(s)H(S) = 0.
C(s)
G(s)
H(s)
R(s)
II. Tiêu chuẩn ổn đònh đại số
1. Điều kiện cần để ổn đònh
Điều kiện cần để hệ thống ổn đònh là các hệ
số của phương trình đặc trưng phải khác không
và cùng dấu.
sss
ss
ssss
+−+=
++=
++++=
32
3

432
3210
250
45210
⇒
Hệ không ổn đònh
⇒
Hệ không ổn đònh
⇒
Chưa kết luận được
Ví dụ áp dụng
Xét ổn đònh hệ thống tự động có PTĐT sau:
II. Tiêu chuẩn ổn đònh đại số
2. Tiêu chuẩn ổn đònh Routh
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng :
nn
nn
as as a s a
−
−
++++=
1
01 1
0
Để xét ổn đònh, ta lập bảng Routh như sau :
II. Tiêu chuẩn ổn đònh đại số
- Bảng Routh gồm n+1 hàng
- Hàng 1 gồm các hệ số có chỉ số chẵn
- Hàng 2 gồm các hệ số có chỉ số lẻ
- Phần tử hàng i cột j ( i

≥
3 ) xác đònh như sau:
i, i,j
ij i ,j
i,
c.c
cc
c
−
−+
−+
−
=−
21 1 1
21
11
Tiêu chuẩn Routh:
Điều kiện cần và đủ để hệ ổn đònh là tất cả
các phần tử ở cột 1 bảng Routh đều dương.
II. Tiêu chuẩn ổn đònh đại số
Ví dụ áp dụng
Xét ổn đònh hệ thống tự động sau:
C(s)
G(s)
H(s)
R(s)
Cho biết các hàm truyền
G(s)
s(s )(s s )
H(s)

s
=
+
++
=
+
2
50
35
1
2
II. Tiêu chuẩn ổn đònh đại số
Bài giải
Phương trình đặc tính của hệ thống:
1+G(s).H(s) = 0
54 3
2
2
61631
50 1
10
352
30 50 0
⇔+ =
++++
⇔ ++ + ++=ss s s s
.
s( s )( s s ) s
Lập bảng Routh:
S

5
11630
S
4
63150
S
3
10.83 21.67 0
S
2
18.99 50
S
1
-6.84
S
0
50
Xem xét
Cột 1 bảng Routh đổi dấu 2
lần nên hệ không ổn đònh.
II. Tiêu chuẩn ổn đònh đại số
CÁC TRƯỜNG HP ĐẶC BIỆT CỦA BẢNG ROUTH
Trường hợp 1
Có một phần tử ở cột 1 là zero, các phần tử khác cùng
hàng với nó khác zero.
Phương pháp: Thay phần tử zero bởi số dương
ε
nhỏ tùy ý.
Ví dụ áp dụng
Xét ổn đònh hệ thống có phương trình đặc trưng:

432
5432
432
22430
224680
24830
++++=
+
++++=
++++=
ssss
sssss
sss
(i)
s
(ii)
(iii)
II. Tiêu chuẩn ổn đònh đại số
Trường hợp 2
Có tất cả các phần tử trên một hàng là zero.
Phương pháp:
Lập đa thức phụ P(s) từ các phần tử của hàng trước đó.
Thay hàng zero bởi các hệ số của đạo hàm đa thức phụ.
Ví dụ áp dụng
Xét ổn đònh hệ thống có phương trình đặc trưng:
543 2
432
5432
54 3 2
26128160

4 7 16 12 0
488740
2244825500
+++ ++=
++++=
+++++=
+
++−−=
(i)
(ii)
(iii)
sss ss
sss s
sssss
ss) ss(i sv
II. Tiêu chuẩn ổn đònh đại số
3. Tiêu chuẩn ổn đònh Hurwitz
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng :
nn
nn
as as a s a
−
−
++++=
1
01 1
0
Để xét ổn đònh, ta lập ma trận Hurwitz như sau :
II. Tiêu chuẩn ổn đònh đại số
Tiêu chuẩn Hurwitz:

Điều kiện cần và đủ để hệ ổn đònh là tất cả các
đònh thức con chứa đường chéo của ma trận đều
dương.
Ví dụ áp dụng
Xét ổn đònh hệ thống có phương trình đặc trưng:
s
3
+ 4s
2
+ 3s + 2 = 0
II. Tiêu chuẩn ổn đònh đại số
Bài giải
Lập ma trận Hurwitz:
H =
420
130
042
Các đònh thức :
∆
1
= 4 > 0
∆
2
= 10 > 0
∆
3
= 20 > 0
⇒ Hệ thống ổn đònh
II. Tiêu chuẩn ổn đònh tần số
1. Tiêu chuẩn ổn đònh Nyquist

Cho hệ thống có sơ đồ khối như dưới đây :
C(s)
G(s)
R(s)
Cho biết đặc tính tần số của hệ hở, bài toán đặt ra
là xét tính ổn đònh của hệ kín.
II. Tiêu chuẩn ổn đònh tần số
Tiêu chuẩn Nyquist:
Hệ kín G
k
(s) sẽ ổn đònh nếu đường cong Nyquist
của hệ hở G(s) bao điểm (-1, j0) một góc k
π
theo
chiều dương khi
ω
thay đổi từ 0 đến +∞.
Trong đó, k là số cực của hệ hở nằm bên phải
mặt phẳng phức.
jQ(ω)
P(ω)
-1
ω = 0
ω →∞
K=1
Hệ ổn đònh
P(ω)
jQ(ω)
-1
ω = 0

ω →∞
K=2
Hệ không ổn đònh
Ví dụ áp dụng
Xét ổn đònh hệ thống có đặc tính tần số hệ hở dưới đây:
II. Tiêu chuẩn ổn đònh tần số
II. Tiêu chuẩn ổn đònh tần số
2. Tiêu chuẩn ổn đònh Bode
Cho hệ thống có sơ đồ khối như dưới đây :
C(s)
G(s)
R(s)
Cho biết đặc tính tần số của hệ hở, bài toán đặt ra
là xét tính ổn đònh của hệ kín.
II. Tiêu chuẩn ổn đònh tần số
Giả sử đặc tính tần số hệ hở biểu diễn dạng biểu đồ
Bode. Ta đònh nghóa các thông số quan trọng sau đây.
# Tần số cắt biên, ω
c
L(
ω
c
) = 0 dB
# Tần số cắt pha, ω
-π
ψ
(
ω
-
π

) = -
π
# Độ dự trữ biên, GM
GM = -L(
ω
-
π
)
# Độ dự trữ pha,
ΦM
Φ
M = 180
0
+
ψ
(
ω
c
)
II. Tiêu chuẩn ổn đònh tần số
Tiêu chuẩn ổn đònh Bode:
Hệ kín G
k
(s) sẽ ổn đònh nếu hệ hở G(s) có độ dự
trữ biên và độ dự trữ pha đều dương.
GM > 0
ΦM > 0
⇒ Hệ kín ổn đònh