Giáo trình giải tích 2

TS. VŨ GIA TÊ (Chủ biên)
GIÁO TRÌNH
Giải tích ĩ
NHÀ XUẤT BẢN THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
MỤC LỤC
Lời nói đ ầu 3
CHƯƠNG 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM số NHĨÈU BIÉN SÓ

11
1.1. Các khái niệm chung 11
1.1.1. Không gian n chiều
11
1.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến số 14
1.1.3. Miền xác định của hàm nhiều biến s ố
14
1.1.4. Ý nghĩa hình học của hàm hai biến số
16
1.1.5. Giới hạn của hàm số nhiều biến số 19
1.1.6. Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

22
1.2. Đạo hàm và vi phân 24
1.2.1. Đạo hàm riêng 24
1.2.2. Vi phân toàn phần 26
1.2.3. Đạo hàm riêng cấp cao
31
1.2.4. Vi phân cấp cao 33
1.2.5. Đạo hàm riêng của hàm số h ợ p

.

34
1.2.6. Vi phân của hàm hợp
37
1.2.7. Đạo hàm của hàm số ẩn 38
1.2.8. Đạo hàm theo hướng Građiên 44
1.3. Công thức Taylor 48
1.4. Cực trị của hàm nhiều biến 49
1.4.1. Cực trị 49
1.4.2. Cưc tri có điều kiên 53
1.4.3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhấi cua hàm số
trong miền đónsi 60
Tóm tắt nội dung 63
Bài tập 68
CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI 74
2.1. Tích phân phụ thuộc tham số 74
2.1.1. Tích phân-xác định phụ thuộc tham số 74
2.1.2. Tích phân suy rộnạ phụ thuộc tham số 80
2.2. Tích phân bội hai (Tích phân kép)

86
2.2.1. Bài toán mở đầu 86
2.2.2. Định nghĩa tích phân kép 88
2.2.3. Điều kiện kha tích
89
2.2.4. Tính chất của tích phân kép 89
2.3. Tính tích phân kép 90
2.3.1. Công thức tính tích phân kép trong tọa độ Đề-các

90
2.3.2. Công thức tính tích phân kép trong tọa độ cực

99
2.4. Tích phân bội ba (Tích phân 3 lóp)

106
2.4.1. Bài toán mở đầu: rinh khối lượng vật thể
106
2.4.2. Định nghĩa tích phân bội ba

107
2.5. Tính tích phân bội ba
108
2.5.1. Công thức tính tích phân bội ba trong tọa độ Đe-các 108
2.5.2. Công thức tính tích phân bội ba trong tọa độ trụ

114
2.5.3. Công ihức tỉnh tích phân bội ba trong tọa độ cầu

117
2.6. Một vài ứng dụng co học của tích phân bội 121
2.6.1. Tính khối lượng 121
2.6.2, Xác định trọnẹ tâ m 122
2.6.3. Mô men quán tính 123
Tóm tắt nội dimọ, 131
Bài tập 138
CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN M ẶT 142
3.1. Tích phân đưÒTig loại m ột

142
3.1.1. Định nghĩa tích phân đường loại m ột

142
3.1.2. Công thức tính tích phân đường loại m ột

144
3.2. Tích phân đưòng loại hai 150
3.2.1. Bài toán mở đầu: Tính công của lực biến đổi 150
3.2.2. Định nghĩa tích phân đường loại h ai

151
3.2.3. Công thức tính tích phân đường loại h a i

153
3.3. Công thức Grin (Green) 156
3.4. Định lý bốn mệnh đề tương đưoTig

162
3.5. Tích phân mặt loại một 170
3.5.1. Định nghĩa tích phân mặt loại m ột 170
3.5.2. Công thức tính tích phân mặt loại m ột
171
3.6. Tích phân mặt loại hai
176
3.6.1. Mặt định hướng
176
3.6.2. Định nghĩa tích phân mặt loại hai

178
3.6.3. Công thức tính tích phân mặt loại hai

.
181
3.7. Công thức Stokes
185
3.8. Công thức Gauss - Ostrogradski 190
Tóm tắt nội dung 196
Bài tậ p 201
CHƯƠNG 4. LÝ THI YÉT I RIỈÒNC
207
4.1. Các đặc trưng của truòng vô hưóng 207
4.1.1. Mặt mức >
207
4.1.2. Građiên (Gradient)
208
4.2. Các đặc trưng của trưòng véc to'

209
4.2. ]. Đường dòng 209
4.2.2. Thông ỉu’ợri£ của trirờne \'éc t ơ
210
4.2.3. Đive (Divergence. độ phân kỷ)

210
4.2.4. Hoàn lư u 211
4.2.5. Rôta (Rotation. véc tơ xoáy) 212
4.3. Một số trường đặc biệt
213
4.3.1. Trường thế 213
4.3.2. Trường ống
216

4.3.3. Trường điều hoà 219
4.3.4. Toán tử Haminton 222
4.4. Hệ tọa độ cong trực giao 223
4.4.1. Định nghĩa hệ tọa độ cong trực giao

223
4.4.2. Liên hệ giữa tọa độ Đề-các và hệ tọa độ
cong trực g ia o 224
4.4.3. Các đặc trưng CLÌa tnrờng trong hệ tọa độ
cong trực giao 225
Tóm tắt nội dung 230
Bải tập 232
CHƯƠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 235
5.1, PhưoTig trình vi phân cấp 1 236
5.1.1. C’ác khái niệm ca ban 237
5.1.2. Các PTVP cấp iTiột thưcrníí o ặ p 239
5.2. Khái quát về phưoìig trình vi phân cấp hai

252
5.2.1. Các khái niệm cơ ban
252
5.2.2. Các p rv p cấp hai aiain cấp được
253
5.3. Phuong trình vi phân tuyến tính cấp hai

256
5.3.1. Tính chai nghiệm cua PTVP tuNốn tính thuần nhất

258
5.3.2. Tính chấl nghiệm cua PTVP tu\'ến tính khône

thuần nhất 263
5.4. Phương trình vi phân tuyến tính
cấp hai có hệ số hằng số
267
5.4.1. Các dạna nghiệm cua phương trinh vi phân
tuyến tính thuần nhất
267
5.4.2. Phươna pháp tìm nahiệm riêna cua PTVP
tuyên tính khônti thuân nhâi 269
5.5. Hệ phưong trình vi phân cấp một

280
5.5.1. Các khái niệm cơ ban
280
5.5.2. Phương pháp tích phân

281
5.6. Hệ phưong trình vi phân tuyến tính cấp niột
có hệ số hang số 286
5.6.1. Dịnh nghía 286
5.6.2. PhưcTng pháp tìm níihiệm
286
Tóm tắt nội dung 292
Bài tập 299
•
Đáp sổ và gợi ý 305
Hướng dẫn tra cứu 321
Tài liệu tham khả o 326
Chương 1

PHÉP TÍNH VI PHÂN
HÀM SỐ NHIỀU BIẾN số
Phép tính vi phân hàm số nhiều biến sổ là sự mở rộng một cách tự
nhiên và cần thiết cùa phép tính vi phân hàm số một biến số. Các bài
toán thực tế thường xuất hiện sự phụ thuộc một biến số vào hai biến số
hoặc nhiều hơn, chẳng hạn nhiệt độ T cùa một chất lỏng biến đổi theo
độ sâu z và thời gian t theo công thức T = e^'z, nhiệt lượng tỏa ra trên
dây dẫn phụ thuộc vào điện trở của dây. cường độ của dòng và thời
gian dẫn điện theo công thức ợ = 0,24/?/“/, v.v Vỉ vậy, khảo sát
hàm số nhiều biến số vừa mane tinh tống quái vừa mang tính thực
tiễn. Đe học tốt chưong này. ngoài việc nắm vững các phép tính đạo
hàm của hàm một biến số. rmười học phải có các kiến thức về hình
học không gian (xem [2 ]).
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CHUNG
1.1.1. Không gian n chiều
1. Ta đã biết mỗi điểm trong không gian 3 chiều được đặc trưng
hoàn toàn bởi bộ 3 số (x, y, z) được gọi là 3 tọa độ Đe-các: X là hoành
độ, y là tung độ và z là cao độ.
Tổng quát như sau: Mỗi bộ có thứ tự n số thực (X|,X2, ,X„) được
gọi là một điểm n chiều. Kí hiệu M(X|,X,

nghĩa là điểm n
c h i ề u M c ó c á c tọa d ộ .Y| \2

-V„, T ậ p cac (ỉicni M (-V|. V ,

A',,) d ư ợ c
gọi là không gian ơclii (Euclicie) n cliiều va kí hiệu là ÍR
2. Cho MCVị.A,

.v„) e ỈR", N( 1'|. r ) e IR". Nẹười ta gọi
khoảng cách giữa M và N. được kí hiệu b(VÌ d( VI. N) \ à linh thoo côníỉ
thức:í/(Af, N ) - ự( V| - ,V| Ý +

+ (^v,, - r„ )■’ =
V / 1
Tương tự nhu ir(ìn2 R. ỈR“. ÍR' la Iihậii dưọc bãt dăno thức lam
giác trong ÍR". l ức ỉà vói 3 diêm A, B. C’ bầl kỷ troim fR" ta có:
d(A.C)<d{A.B) + d(B.C)
3 . C h o M o (.v[’. :v"

xj;) G R " v à <<; > 0 ,
T ậ p Q p (M f)) ~ 1A /e ỈR": d { M . M ị^) < ::^ị d ượ c íiọi là í lân cận
hoặc lân cận bán kinh c CLia M(| hoặc hình câu mo' lâm M(| bán kính 8
(hình l.la).
4. C ho E c IR". E)iôm M e £'gọi là diêm iroim cua [•: nếu cỏ;
Q,.(/V/)c E. (3/;>0)
Đ iểm N e IR'\gọi ỉà điêm hiên cu:i 1’ HÒLI bất kv’ Q,.(/V/)dcu chứa
những điểm thuộc 1- và đièni khôni4 llíLiộc
Tập E gọi là ni(y IICU niọi đièni cua nó dều là điếm Irorm, gọi là
đóng nếu nó chứa iìiọi dièm bỉèn cua IIÓ. ỉ ập các diênì bicn cua H kí
hiệu ÕE. Tập rí o!'viriiz (hao dóne cua 1 ) cUrọ'c kí hiệu là E và có
£ = £ U ỡ £ (h ìn h l.ia).
5. Tập E gọi !à bị chặn hav eiứi nội nếu như 3R > 0 : E c CỈ/^(0).
6. Tập E gọi là lièn thôni4 nếu mồi cặp diêm M|. Mt trong E đều
được nối với nhau bời một đườnR cong lièn lục nào đỏ nằm trọn troníĩ
12
______________
Ctiáo írình Giai lich 2
Chicơng ỉ. Phép íính vi phân Ììctni sỏ Iilìiéu biên S('i 13

E. Tập liên thôno E gọi là dưn liên ncu nó bị íĩiói hạiì bơi một mặt kín
(một dường cong kín trong fR“;một mặl cone kín trongÍR’) (hình
l.la), Tập liên thông E aọi là đa liên nếu nó bị gii.vi hạn bới từ hai mặt
kín trơ ỉên rời nhau từng đôi một (hình 1. ỉ b).
7. Một tập mỏ' và liên thôns D được gọi là rnicn liên thông D.
Tương ứng ta cũng có miền đơn liên, miền đa liên, iniẻn đóng tùy theo
tập đơn liên, tập đa liên, tập dóna.
a)
b)
Hình /./
Ví dụ 1.1: Xét tính chấi các tập sau tronu ÍR^
^-ị(x ,v): X- +v^ < 4|
ổ = {(1,2), (-1,0), (0.())Ị và R I
Giai:
A là hình tròn tâm 0. bán kính bằne 2: dA lí-V. v ): x' + v" = 4 Ị
là đưò’ng tròn tâm o bán kính hằiig 2; /í = - 4| là hình
tròn kể cả biên.
A, [R" là các tập liên Ihôníỉ; B là tập không lÌLMi thông (gồm 3
điểm ròi rạc).
A, B là các tập giới nội: ỈR ' là tập không giới nội (cả mặt phẳng
Oxy).
A là miền đơn liên; ÍR' là miền không giới nội,
1.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến số
Cho D c IR". Ta oọi inh xạ: /': D ^IR
hay là

X . , f{M)= / ’(X| X'2

là
một hàm số của n biến sò xác định trên D. D được gọi là miền xác

định của hàm số f: A-ị.A',

-V,, là các biến số độc lập. còn u gọi là
biến số phụ thuộc. Với định nehĩa trên, hàm số được cho là một hàm
đơn trị. Sau này chúng ta còn gặp các hàm số đa trị. thường được cho
dưới dạng ẩn.
1.1.3. Miền xác định của hàm nhiều biến số
Người ta quy ước: Nếu cho hàm số u = f(M) mà không nói gì về
miền xác định D của nó thì phai hiểu rằng miền xác định D của hàm
số là tập hợp các điêm M sai') cho biêu thức f(M) có nghĩa.
Miền xác định của hàm số thường là miền liên thông. Sau đây là
một số ví dụ về miên xác định cúa hàm số 2 biến số, 3 biến số.
Ví dụ 1.2: Tìm miền xác định của các hàm sô sau và mô tả hình
hoc các miền đó:
14 Giáo trình Giai í ích 2
I. z = yl-x^b. r ln(.v + y) c. ỉ/=a.
2 _2
__________y
________
7 9 - .v^ - - z
Giải:
a. Miền xác định là tập các điểm (x,v)GlR“sao cho
\ - - yp' >ồ hay x" + \'“ < 1. Đó là hình tròn đóng tâm o bán kính
Chương Ị. Phép tính vi phán hàm sỏ nhiều hiên sô 15
bàng 1 (hình 1.2a). Hình tròn đóng nàv có thc mô tả bởi hệ bất phương
-1 < .V < 1
-yj\ - x~ < V < n/T- X"
trình:
Hình ỉ.2
b. Miền xác định là tập các điếm (.V, v)e ỈR“ thoả mãn: A' + v > 0

hav V > -X . Đó là nửa mặt phăng có biên là đường V - -X (hình 1.2b).
Nửa mặt phẳng này được mô tả bởi hệ bất phương trình:
-oo < J < +00
-X < V < +CO
16 Giáo trình Giái tích 2
c. Miền xác định là tập các điêm (.V. V.z) e R ’ thoả mãn
< 9. Đó là hình cầu mở tâm o bán kính bàng 3 (hình 120).
Hình cầu mở này mô tả bởi hệ bất phưoTìg trình:
- 3 < x < 3
-4 9 -X- <y<<j9-x-
< .< ^ 9 -y v-
1.1.4. Ý nghĩa hình học của hàm hai biến số
Cho hàm 2 biến z = f(x.v) với {x.y)eD. Tập các điểm
{x,y,z) E [R^ với z = f(x.y) được gọi là đồ thị của hàm số đã cho. Như
vậy đồ thị của hàm 2 biến thường là một mặt corm trong không gian 3
chiều Oxyz. Đồ thị của hàm sổ mô tả một cách trực quan hàm số. thể
hiện được ý nghĩa hình học của hàm số. Dưới đây ta xét các mặt cong
đặc biệt và đơn giản, thông dụng trong toán học và ứng dụng.
A. Mặt phẳng
Mặt phang là đồ thị của hàm hai biến luyến tính, nói cách khác
phương trình mặt phẳng có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A~ + B~ + c~ >0 (1.1)
Chẳng hạn c ^ o có 7 = - —(D+/Í.V +z?v). hàm số xác định
trên IR^.
B. Ellipsoid
Ellipsoid là mặt cong, phương trình chính tắc của nó có dạng
(hình 1.3):
( 1.2)
Chương I . Phép tính V! phân hàm sổ nhiều hiến sổ
Đây là hàm hai biên cho dưới dạng không tưÒTio; minh (dạng ãn).

Hàm số là đa trị (miền xác định cua hàm ấn là hình ellipse). Chăng
hạn, coi z là biến phụ thuộc vào X và y thì miền xác định là ellipse có
/
các bán truc a và b: < 1
b
Khi a = b = c = R tac ó mặt cầu tâm aốc toạ độ và bíin kính là R:
2 2 2
X +_v + z = R
Hình 1.3 Hình 1.4
c. Paraholoíd elliptic
Phương trình chính tắc của paraboloid elliplic có dạng (hình 1.4).
a b
(1.3)
Miền xác định của hàm số trên là Khi a = b tức là phương
trình có dạng: = ứ“z (1-3)’
Mặt cong có phương trình (1.3)’ được gọi là paraboloid tròn
xoay.
8
Giảo trình Giai tích 2
D. M ặt trụ bậc 2
1. Mặt trụ elliptic (hình 1.5) có phương trinh chính tắc:
2 2
X V
(1.4)
2. Mặt trụ hyperbolic (hình 1.6) có phương trình chính tắc:
(1.5)
3. Mặt trụ parabolic (hình 1.7) có phương trình chính tẳc:
= 2px
( 1.6)
E. Mặt nón bậc 2

Phương trình chính tắc của mặt nón có dạng (hình 1.8).
Chưoĩig 7. Phép tính vi phàn hàm số nhiều biển so
1 7
X-
+
a
= 0
(1.7)
1.1.5. Giói hạn của hàm số nhiều biến số
Khái niệm 2,iái hạn của hàm số nhiều biến số cũng được đưa về
khái niệm giới hạn của hàrn một biến số. ơ đây mộl biến số đóng vai trò
là khoáng cách d(M(). M) giũ'a hai điểm M() và M trong không gian ÍR".
Để đcm eian trong cách viết chúno la xét trone không gian 2 chiều !R^.
1. Nói rằna dãy điềm M„(Xn- V|i) dần đến điêm Mo(xo, Yo), kí hiệu
-> M(I khi tt^ o c nêu lim = 0.
Um = Xo
lim v„ = Vo
( 1.8)
2. Cho hàm z = /(x , v) xác định ở lân cận Mo(xo, yo) có thể trừ tại
Mq. Ta nói rằne hàm /( M ) có giới hạn là / khi M(x,y) dần đến
Mo(xo, yo) nếu mọi dãy điểm y„) thuộc lân cận Mo(xq, yo) dần
đến M() ta đều có: lim /( x „ . ) = / .
Người ta thường kí hiệu lim f{M) = /
hav lim f{x,y) = l
(1.9)
Chủ ỷ: Sử dụng ngôn ngừ "s, ỏ'" ta có định nghĩa như sau: Hàm
số f(M) có giới hạn / khi Ả/ nếu;
(V í> 0 ) (3Ỏ’ >0): ũ<d{M(^M )<S^\f{M)-l\<s) (1.10)
Chú ý:
a. Trong định nghĩa trên, khi M phải hiểu là các tọa độ của

M đồng thời dần đến các tọa độ của A/(). Vì vậy người ta còn có tên
gọi là giới hạn bội của hàm nhiều biến.
20
Giáo trình Giái tích 2
b. Tất cả các khái niệm giới hạn vô hạn, hoặc quá trình M ->co;
các tính chất của hàm có siới hạn; các định lý về giới hạn của tổng,
tích, thương đều tương tự như hàm số một biến số.
3. Giới hạn lặp: Cho hàm z = f(x,y) xác định ở lân cận M()(X() Yo),
có thể trừ tại M().
Ta cố định giá trị V ^ Vo khi đó /’(.\ y)là hàm một biến sổ X.
Giả sử tồn tại giới hạn đơn lim / (x, v) = ?(.)')
Neu tồn tại lim g(>’) = / thì ta nói rang / là giới hạn lặp của hàm
.V^Vo
số theo thứ tự X —> Xq, V > ’o và kí hiệu lim lim /'(x,>') = / (1.11)
v ->y„ .v^.vo '■
Sau đây ta đưa ra điều kiện đủ cho sự tồn tại giới hạn lặp.
Định lý 1.1 : Cho hàm z = f(x,y) xác định ở lân cận Mo(X(), yo). có
thể trừ tại M q , thỏa mãn các điều kiện:
a. Tồn tại giới hạn bội lim / ’(x,>') = / (hữu hạn hoặc vô
(^.>-)->(,v„
cùng)
b. Tồn tại giới hạn đơn lim /(x .> ’) = g (v)
Khi đó tồn lại giứi hạn lặp lim lim / = /
Ví dụ 1.3: Tìm các giới hạn:
a. lim ""ĩ' V b. lim c. lim
lim
(,v,v)-KO.O) ^^2 ^2
Giải:
a. Ta có -0
<

V
Chuơng I. Phép tính vi phán hàm số nhiều biến sô 21
(Vễ- > 0) (Bớ' = £•:
0 < < ỗ) ( V < Ổ
<
V
Vậy lim
2
X
b. Cho M(x, v )-> 0(0,0) theo đường y = Cx, c == const (hằng
.U'
sô) thì: =
Cx
lim
XV
c
Ox^+y- Ỉ + C^
Điều này chứng tỏ dãy giá trị hàm có giới hạn khác nhau phụ
thuộc vào c. Vậv hàm không có giới hạn.
c.
XJ^
-0
<
V
<
Tương tự a. suy ra limlim
(.v.y)^Ỉ0.0)ự^2^^,:
= 0
Ví du 1.4:
Tìm các giới hạn lặp (x.y) -> (0,0) của các hàm số sau:

rí \ ^ X. rí \ X -y + X^+y^ ^
./( x . v ) = " , b ./(x ,v ) = — c./(x, v) = x s in -
X +v x+ y y
Giải:
XV 0
a. lim lim / (x,}^) = lim !im —r-— r- = lim = 0
y“>o,v-^o V">0.V-^0X H- y V
lim lim fịx,y) = lim lim
vA vA ^ vfì vr
XV
. 0
A ->0.V '-»0
.v~>0 v’-^ 0
X
- f
y x->0 X '
22
Giáo trình Giai tích 2
xy
Tuy nhiên không tồn tại giới hạn bội lim , ^
(.v.V')->(0.0).v + v
- (xem ví dụ
,3c)
v->0 ]'
lim lim f{x,y) - lim lim ^ = lim —
x~>0 v~>0 .Y->0 v->0
x -^ 0 ^ ^ .Y->0 v ->0 X + V' -V ->() X
Từ định lý 1.1. suy ra không có giới hạn bội.
c. lim lim f(x,y) = lim lim X sin — = lim 0 = 0
_V->0 >’^0 -v-^0 y v->0

lim lim f(x,y)= lim lim X sin — không tồn tại
v-^o v->0 .r->0 v-^0 y
Tuy nhiên có giới hạn bội bằng 0 vì Asin-— < x —>0
k h i ( x , 7 ) - > ( 0 , 0 )
1.1.6. Sự liên tục của hàm số nhiều biến số
A. Định nghĩa
1. Hàm sổ f(M) xác định trên miền D và M,, e D. 'ĩa nói rằng
hàm số f(M) liên tục tại Mq nếu lim /(M ) = /(M q)
2. Hàm số f(M) xác định trên miền D. Nói rằng hàm số liên tục
trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm M e D .
3. Hàm số f(M) liên tục trên miền đóne D nếu nó liên tục trên
miền D và liên tục tại mọi điểm N eõD theo nghĩa:
ịịm fiM ) = f{N), M e D .
Chương ỉ. Phép tính vi phán hờm số nhiều hiến số 23
4. Ta đặt = /{x,j 4 /U‘, v„ + A> ) - /'(.Y,). V(,).gọi đó là số
gia toàn phần của hàm sổ tại (xo.Vo). Vậy hàm số f(x.y) liên tục tại
(X(), >'o) nếu như Vo) -> 0 khi ổx -> 0 và Ạv ^ 0.
Tương tự như hàm số một biến số. chúne ta cũnẹ có các phép
tính: tổng, tích, thương, họp các hàm số liên tục.
Ví dụ 1.5: Xét sự liên tục cua các hàm sổ sau:
a. f{x,y)^
b. f{x,y) =
T khi (x,_v)í^(0,0)
X + y-
0 khi ( a%v)==(0.0)
■' ^ ^ , khi (x,_v) ^ (o.o)
X + V
0 khi (x,v) = (0,0)
c. /(x,>^) = cosỊx^-e'"'+ .v vj
Giải:

a. Hàm số liên tục trên ÍR'\(0.0)(xem ví dụ 1.3.b)
b. Hàm số liên tục trên ÍR' (xem ví dụ ! .3.a)
c. Hàm số liên tục trên [R“vi nó là họp cua hai hàm số liên tục
trên IR và trên IR^: cos u và u - X' - e " ' + XV.
B. Tính chấí
Hoàn toàn tương tự như hàm inột biến số ta có các tính chất quan
trọng sau đây:
Định lý 1.2: (Weierstrass) Nếu f{x,y) liên tục trong miền đóng
D giới nội thì nó đạt giá trịlớn nhất và giá trị bé nhất trong miền D
tức là: 3M| e D, 3M2 &D để có bất đẳng thức kép;
/(A f,) < f{M) < f(Mj \ VM € D'
Định lý 1.3: (Bolzano - Cauchy) Nếu f(x.v) liên tục trong miền
liên thông và với bất kỳ Mị e D, M2 e D thì nó dạt mọi eiá trị trung
gian giữa / ( M |) v à f[M 2 )-
Nói riêng n ế u /( M |)./(A /2 )< 0 thì phương trìn h /(M ) = 0
ỉuôn có nghiệm trong D.
1.2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
1.2.1. Đạo hàm riêng
Cho hàm số u = f(x,y) xác định trong miền D và V(,) e D.
Thay y = Yo vào hàm số đã cho sẽ nhận được hàm số một biến số
u = f(x, yo). Nếu hàm số này có đạo hàm tại X() thì đạo hàm đó được
gọi là đạo hàm riêng của f(x, y) đối với X tại Mo(xo, Ỵo) và kí hiệu như
sau:
.du. .
ỡw(xo,jo) , ạ/' ,
< (^0’>’0)^ Ì r ( ^ 0 ’.Vo),
-


, /;(Xo.Vo). ^(Xo,>^o)

õx õx õx
Đặt A^./(X(,,Vo) = /(Xo + Ax,>^o)“ / ( ^ 0’ Vo)^'à gọi đó là số gia
riêng của hàm f(x, y) theo biến X tại (X(), yo), vậy ta có:
t a M Í Ì - A ) (1.12,
dx A.v >() Ax
Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số đối với V tại
Mo(xo, yo)
õf . . . . A /(xo Vo)
^ (x q ,j;o )= lim - 5

(1.12)
tìy Ạv->0 Av
và có các ký hiệu:
K (^0’-Vo), , Vo), , / ; (xo, V',)). ỹ ( a - „ . v„)
õ y d y ■ ở r
24___________________________________________Giáo trình Giải tich 2
Chương 1. Phép tính vi phân hàm sỏ nhiêu hiên sô
__________
25
Chú ỷ:
a. Có thê chuvên toàn bộ các phép tinh đạo hàm của hàm một
biên số; cộng, trừ, nhân. chia, sanu phép tính đạo hàm rièna.
b. Sự tồn tại các đạo hàm riẽna chưa dam báo tính liên tục của
hàm sô. Thật vậv ta xét hàm sô sau:
0 khi.rv = 0
1 khi,vv7í()
Ta có lim
A.x^-0
= 0.
/(ziY ,0)-/(0 .0)

At
lim = 0
Av ->() Ar
Tuy nhiên hàm số khône liên tục tại (0,0) vì hàm sổ không có
giới hạn khi (x.v) dần đen (0.0)
Thật vậy: f
^ \
Hy
= 1 ^ 1 khi n -> co, vv? G N* đồne, thời:
/
■^,0
y
= 0 —> 0 khi n cc, V/? G N
Ví dụ 1.6: Tính dạo hàm riêng tương ứng của các hàm số sau:
a. » = .r\v. /y;(1.2). n;,(Kl)
b. u = x-' {x>0). Ii[.{x.y). Ii[.{x.y)
c. ỉ/= x~2 arctg , v,z), ;/' (x,_v,z), Iií{x.y,z)
Á.
Giải:
a. u'^{x,ỵ) = 3x“ V => 2) = 6
Ii\.(x.y) = x- => 1) = 1
26 Giáo trình Gioi tích 2
b. u[^ = yx^' \ w', = x' Inx
c. (x,y,z) = 2xzarctg—
ú {x,y,z) = x ^ z -
ù. ( x , z) = x'arctg - - x^z — ỉ-y = (arctg - - - r ^ )
7 7 i; 7 u “ 4- T
2
z
1.2.2. Vi phân toàn phần

A. Định nghĩa
1. Cho hàm số u = f(x, y) xác định trong miền D chứa (X(). yo).
Nếu số gia toàn phần của hàm số tại (X(), yo) có dạng:
A/(Xo,j^o) = A.ầx + B A y + a.Ax + ỊiA y (1-13)
trong đó A, B là những số chỉ phụ thuộc vào (X(), yo), còn a, yổ dần
đến 0 khi M ^ M q tức là khi Ax -> 0, Ạy —> 0 thì nói rằng hàm số
f(x, y) khả vi tại Mo, còn biểu thức A.ầx + B A ỵ được gợi là vi phân
toàn phần của hàm số tại M() và kí hiệu là df(\(). yo), hay du(Xo, Yo).
Như vậy: d/(X(Ị,;^o) A.ầx + B A ỵ (1-14)
2. Hàm số u = f(x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả
vi tại mọi điểm của miền D.
B. Điều kiện cần của hàm số khả vi
Định lý 1.4: Nếu f(x, y) khả vi tại (xo, yo) thì liên tục tại đó.
Từ công thức (1.13) suy ra A/(x,),7 o )-> 0 khi Ax->0, Ạ y-^0.
Vậy hàm số liên tục tại (xo, Yo).
Chương 1. Phép tính vi phân hàm sổ nhiều hiến số 27
Định lý 1.5 : Neu f(x, v) khả vi tại (X(|, yn) thì hàm số có các đạo
hàm riêng tại (Xo, yo) và A = V,)). B -
Chứng miĩìh:
Từ (1.13) ta suy ra:
Ax Aj'
Vậy (xo, >0 ) = A, / ' {X(). >•() ) = B .c ông thức (1.14) trở thành:
ởu{xq , ^Vo ) = /,'(xo, yo) Ax + / ; (x„. ) Av (1-14)’
Ví dụ 1.7: Chứng minh rằng hàm sổ z = ịf^ có các đạo hàm
riêng tại (o, o) nhưne không khả vi tại đó.
, , , z (Ax- .0 )-z (0,0) 0 - 0
Giải: Ta có z '(0 ,0)= lim —

-

-= lim

= 0,
A.v->() A-Y A,v^O Ax
tương tự z'^,(0,0) = 0
Giả sử hàm số khả vi tại (o. o) khi đó số ẹia của hàm tại đó có
dạng:
Az = 0.Ar + 0.Ạy + 0 ^Ax' + Ạ)-"
V
suy ra; ịỊÃxÃỹ = OỈ^JAx~ + Ạv‘
ịlAxầy . ' ' '
Ta xét tỉ sô . = Khi Ax = Av 0 thì lỉ sô này dân đên
vô cùng, như vậy mâu thuẫn. Chứng tỏ hàm số không khá vi tại (0,0).
Từ định lý 1.5 và ví dụ 1.7 ta thấy rằng sự tồn tại các đạo hàm
riêng chỉ là điều kiện cần của hàm khả vi chứ không phải là điều kiện
đủ, tính chất nàv khác hẳn hàm một biến số.