BÀI TẬP VI TÍCH PHÂN A2 pot

BÀI TẬP VI TÍCH PHÂN A2
1) Tìm miền xác định của các hàm số:
a) z = x
2
+ y
2
. b)
22
1 yxz −−=
c)
)4ln(1
2222
yxyxz −−+−+=
2) Cho hàm số:
x
y
xyyxf +=),(
. Tìm f(y,x); f(- x, - y);
),1(
x
y
f
3) Cho
xy
yx
yxf
2
),(
22
−
=

. Tính
)
1
,
1
(
yx
f
, f(- x, -y).
Đạo hàm và vi phân
1). Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:
a) z = (sinx)
xy
(sinx > 0) b)
2 2
z ln(x x y )= + +
2). Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau: a)
2 2
x y
z 10
−
=
b)
2 2
xy(x y ) 2
y
z e sin
x
+
= +

3). Cho z = yln(x
2
– y
2
). Chứng minh rằng:
2
1 z 1 z z
x x y y y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
Hàm khả vi và vi phân toàn phần
1) Tìm vi phân của hàm số sau: z = xy
2
2) Tìm vi phân toàn phần của hàm số sau: z = y
x
+ xy, với y > 0.
3) Cho
2 2 2
1
u
x y z
=
+ +
. Tính du.
Ứng dụng của vi phân
Tính gần đúng giá trị của biểu thức:
3
A ln( 1,03 0,98 1)= + −
, A =

2 3
(0,98) (0,03)+
Đạo hàm và vi phân cấp cao:
1). Cho hàm
2
x y
z e
+
=
. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của z.
2). Cho hàm
y
x
z x.e
−
=
. Chứng minh rằng:
2 2
2
z z z z
x 2
x y x y y
 
∂ ∂ ∂ ∂
+ + =
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
3). Tính vi phân toàn phần cấp hai của các hàm số: a) z = ln(x – y) b) z = (x + y)e
x + y

Cực trị của hàm nhiều biến:
1). Tìm cực trị của hàm a) z = x
3
+ 3xy
2
– 30x – 18y. b) z = x
2
+ y
2
+ xy – 3x – 6y
2). Tìm cực trị của hàm số: f(x,y) = 6 – 4x – 3y, với điều kiện x
2
+ y
2
= 1.
TÍCH PHÂN BỘI
1
1). Tính: a)
D
(x y)dxdy+
∫∫
b)
D
xydxdy
∫∫
trong đó D là miền
0 x 1
0 y 1
≤ ≤



≤ ≤

2). Tính
D
(x y)dxdy+
∫∫
, trong đó:
a) D là miền giới hạn bởi các đường y = x, y = 2 – x
2
b) D là miền giới hạn bởi các đường y = 0, y = x
2
và x + y = 2.
3). Tính
2
D
I x ydxdy=
∫∫
với D giới hạn bởi
2
x
y
2
=
, y = 2x
2
, y = 4.
4). Tính
D
xydxdy

∫∫
với D là miền phẳng giới hạn bởi các đường sau:
y = x, y = 3x, y = x
2
, y = 3x
2
. (bằng phương pháp đổi biến).
5). Tính
2 2
x y
D
I e dxdy
+
=
∫∫
với D là miền tròn:
2 2 2
x y R+ ≤
6). Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi:
a) y
2
– 2y = x, x – y = 0 b) đường Axtroit:
2 2 2
3 3 3
x y a+ =

c) Giới hạn bởi:
1 7 1
y x 1; y x 3; y x ; y x 5
3 3 3

= + = − = − + = − +
TÍCH PHÂN BA LỚP
1). Tính
V
(1 x y)dxdydz− −
∫∫∫
,
a) với V là miền được xác định bởi:
0 x 1, 2 y 5, 2 z 4≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
b) với V là miền được xác định bởi: x + y + z = 1 x = 0, y = 0, z = 0.
2). Tính
2 2
V
(x y )dxdydz+
∫∫∫
,
a) với V là miền giới hạn bởi mặt trụ: x
2
+ y
2
= 2x, và các mặt phẳng x = 0, y = 0, z = a.
b) với V là miền giới hạn bởi nữa trên hình vành cầu
2 2 2 2 2
a x y z b≤ + + ≤
, z ≥ 0.
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
1). Tính
AB
I xyds=
∫

, trong đó AB là đường cong xác định bởi x = a(1 – cost), y = asint,
0 t≤ ≤ π
, a > 0.
2). Tính
2
AB
I x ds=
∫
, trong đó AB là cung y = lnx và A(1,0); B(e,1).
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI
1). Tính
¶
2
AB
I (xy 1)dx x ydy= − +
∫
,
2
a) trong đó
¶
AB
được xác định bởi x = cost, y = 2sint, A(1,0); B(0,2).
b) trong đó
¶
AB
được xác định bởi 4x + y
2
= 4, A(1,0); B(0,2).
2). Tính
2

L
I x ydy=
∫
, với L là cung Parabol x = y
2
, từ A(1,-1); B(1,1).
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I
Giải phương trình: 1) x(1 + y
2
)dx – y(1 + x
2
)dy = 0.
2) (x
2
+ 2xy)dx + xydy = 0. 3) y’ – y = xy
5
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II
Giải các phương trình: 1) y’’ – 2y’ + y = x + 1. 2) y’’ – 2y’ - 3y = e
-x
.
3) y’’ – 8y’ + 16y = e
4x
. 4) y’’ + y = 4x.sinx.
5) y’’ – 7y’ + 6y = (1 – x)e
x
6) y’’ – y = e
3x
cosx
3