de thi hoc sinh giôi toan tinh phu tho

S GIO DC V O TO
PH TH
K THI CHN HC SINH GII cấp tỉnh
LP 9 thcs NM HC 2009-2010
Mụn Toỏn
Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao
thi cú 01 trang

Câu 1 (4 im)
a) Chứng minh rằng A = (2
n
- 1)(2
n
+ 1) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.
b) Tìm số các số nguyên n sao cho B = n
2
n + 13 là số chính phơng ?
Câu 2 (5 im)
a) Giải phơng trình

2 2
2 3 2 2 4 3x x x x + = +

b) Giải hệ phơng trình

2 2
2 2
1
3 11
x y xy
x y xy

=

+ = +

Câu 3 (3 im)
Cho ba số x, y, z thoả mãn:

x y z 2010
1 1 1 1
x y z 2010
+ + =



+ + =


.
Tính giá trị của biểu thức:
( ) ( ) ( )
2007 2007 2009 2009 2011 2011
P x y y z z x= + + +

Câu 4 (6 im)
Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định, AB =
2R
. Điểm P di động trên dây AB
(P khác A và B). Gọi (C; R
1

) là đờng tròn đi qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) tại A,
(D; R
2
) là đờng tròn đi qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) tại B. Hai đờng tròn (C; R
1
)
và (D; R
2
) cắt nhau tại điểm thứ hai M.
a) Trong trờng hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM//CD và 4
điểm C, D, O, M cùng thuộc một đờng tròn.
b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đờng tròn cố định và
đờng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định N.
c) Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất ? diện tích tam giác AMB lớn nhất?
Câu 5 (2 im)
Cho các số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 670. Chứng minh rằng

2 2 2
1
2010 2010 2010
x y z
x yz y zx z xy x y z
+ +
+ + + + +
Hết
Họ và tên thí sinh SBD
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
S GIO DC V O TO PH TH
CHNH THC
HNG DN CHM THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 9 THCS

NM HC 2009-2010
MễN TON
(Hng dn chm thi chớnh thc cú 6 trang)
I. Mt s chỳ ý khi chm bi
Hng dn chm thi di õy da vo li gii s lc ca mt cỏch, khi chm thi giỏm kho cn
bỏm sỏt yờu cu trỡnh by li gii y , chi tit v hp logic.
Thớ sinh lm bi cỏch khỏc vi Hng dn chm m ỳng thỡ t chm cn thng nht cho im
tng ng vi biu im ca Hng dn chm.
im bi thi l tng cỏc im thnh phn khụng lm trũn s.
II. Đáp án và biểu điểm
Câu 1 (4 im)
a) Chứng minh rằng A = (2
n
- 1)(2
n
+ 1) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.
b) Tìm số các số nguyên n sao cho B = n
2
n + 13 là số chính phơng ?
P N BIU IM
a) Theo giả thiết n là số tự nhiên nên: 2
n
1, 2
n
, 2
n
+ 1 là 3 số tự nhiên liên
tiếp.
0,5 im
Vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên

(2
n
- 1).2
n
.(2
n
+ 1) chia hết cho 3
0,5 im
Mặt khác (2
n
, 3) = 1 nên
( ) ( )
2 1 2 1
n n
+
chia hết cho 3
Vậy A chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n
0,5 im
b) Ta thấy B là số chính phơng

4B là số chính phơng
Đặt 4B = k
2
(k

N) thì 4B = 4n
2
4n + 52 = k
2

(2n-1-k)(2n-1+k) =-51
1,0 im
Vì 2n-1+k

2n-1-k nên ta có các hệ
2 1 1
(1)
2 1 51
n k
n k
+ =


=


2 1 3
(2)
2 1 17
n k
n k
+ =


=


2 1 51
(3)

2 1 1
n k
n k
+ =


=


2 1 17
(4)
2 1 3
n k
n k
+ =


=

0,5 im
Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta tìm đợc n = -12, n =-3, n =13, n =4
Vậy các số nguyên cần tìm là n


{ }
12; 3;4;13
1,0 im
Câu 2 (5 im)
a) Giải phơng trình

2 2
2 3 2 2 4 3x x x x + = +

b) Giải hệ phơng trình

2 2
2 2
1
3 11
x y xy
x y xy

=

+ = +

P N BIU IM
Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010
2
a) Ta có:
( )
2
2
2 4 3 2 1 1 1x x x + = +
nên tập xác định của phơng trình là R
0,5 im
Phơng trình đã cho tơng đơng với

2 2
2 4 3 4 2 4 3 3 0x x x x + + + =

Đặt
2
2 4 3 1y x x= +
thì phơng trình đã cho trở thành

2
4 3 0y y + =



1
3
y
y
=


=

(thoả mãn điều kiện)
1,0 im
Với y = 1 ta có
2 2
2 4 3 1 2 4 3 1x x x x + = + =



x = 1
Với y = 3 ta có
2 2

2 4 3 3 2 4 3 9x x x x + = + =



1
3
x
x
=


=

Vậy phơng trình có 3 nghiệm x
1
= 1, x
2
= -1, x
3
=3.
1,0 im
b) Hệ đã cho tơng đơng với

( )
2 2
2 2
11 11
3 11
x xy y
x xy y

+ =


+ =





( )
2 2
2 2 2 2
1
11 3
x xy y
x xy y x xy y

+ =


+ = +





( ) ( )
2 2
1

2 5 3 0
x xy y
x y x y

+ =


+ =


(*)
1,0 im
Từ hệ (*) ta suy ra

2 2
1
2 0
x xy y
x y

+ =

+ =

(I) hoặc
2 2
1
5 3 0
x xy y
x y

+ =

=

(II)
0,5 im
Giải hệ (I) ta tìm đợc (x; y) = ( 2; -1), (-2; 1)
Hệ (II) vô nghiệm
Vặy hệ có nghiệm (x; y) = ( 2; -1), (-2; 1).
1,0 im
Câu 3 (3 im)
Cho ba số x, y, z thoả mãn:

x y z 2010
1 1 1 1
x y z 2010
+ + =



+ + =


Tính giá trị của biểu thức:
( ) ( ) ( )
2007 2007 2009 2009 2011 2011
P x y y z z x= + + +

Đáp án biểu điểm

T giả thiết suy ra x, y, z khác 0 và
1 1 1 1
x y z x y z
+ + =
+ +
0,5 im

1 1 1 1
0
x y z x y z

+ + =
ữ ữ
+ +

( )
x y x y
0
xy z x y z
+ +
+ =
+ +
0,5 điểm
Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010
3
( )
2
1 1
x y 0
xy xz yz z

+ + =
ữ
+ +

0,5 im
( )
( )
2
x y xz yz z xy 0 + + + + =
( )
( )
( )
2
x y xz z yz xy 0

+ + + + =

0,5 im

( ) ( ) ( )
x y z z x y z x 0+ + + + =



( ) ( ) ( )
x y y z z x 0+ + + =
0,5 im

2007 2007 2007 2007

2009 2009 2009 2009
2011 2011 2011 2011
0 0
0 0
0 0
x y x y x y x y
z y y z y z y z
x z z x z x z x

+ = = = + =



+ = = = + =




+ = = = + =


nên P = 0
0,5 im
Câu 4 (6 im)
Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định, AB =
2R
. Điểm P di động trên dây AB
(P khác A và B). Gọi (C; R
1
) là đờng tròn đi qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) tại A,

(D; R
2
) là đờng tròn đi qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) tại B. Hai đờng tròn (C; R
1
)
và (D; R
2
) cắt nhau tại điểm thứ hai M.
a) Trong trờng hợp P không trùng với trung điểm dâyAB, chứng minh OM//CD và 4
điểm C, D, O, M cùng thuộc một đờng tròn.
b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên cung tròn cố định và
đờng thẳng MP luôn đi qua một điểm N cố định.
c) Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất ? diện tích tam giác AMB lớn nhất?
Đáp án
biểu điểm
Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010
4
N
K
H
M
D
C
O
A
B
P
a) Nối CP, PD ta có

ACP,

OAB lần lợt cân tại C, O nên

CPA =

CAP =

OBP do đó CP//OD (1)
Tơng tự

DBP,

OAB lần lợt cân tại D, O nên

DPB =

DBP =

OAB
nên OD//CP (2). Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ODPC là hình bình hành
0,5 im
Gọi CD cắt MP tại H cắt OP tại K thì K là trung điểm của OP
Theo tính chất 2 đờng tròn cắt nhau ta có CD

MP

H là trung điểm MP
Vậy HK//OM, do đó CD//OM
0,5 im
Ta phải xét 2 trờng hợp AP < BP và AP > BP, đáp án chỉ yêu cầu xét 1 trờng

hợp giả sử AP < BP
Vì tứ giác CDOM là hình bình hành nên OC = DP, DP = DM = R
2
nên tứ giác
CDOM là hình thang cân do đó 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đờng tròn
0,5 im
b) Xét tam giác AOB có
:
2 2 2 2
2OA OB R AB+ = =
nên tam giác AOB vuông cân
tại O
Vì 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc 1 đờng tròn (kể cả M trùng O) nên

COB =

CMD (1)
0,5 im
Xét

MAB và

MCD có
0,5 im
Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010
5

MAB =

MCD ( cùng bằng

1
2
sđ
ằ
MP
của (C))

MBD =

MDC ( cùng bằng
1
2
sđ
ằ
MP
của D))
nên

MAB đồng dạng với

MCD (g.g)
Vì

MAB đồng dạng với

MCD suy ra

AMB =

COD hay

AMB =

AOB =
0
90

Do AB cố định nên điểm M thuộc đờng tròn tâm I đờng kính AB
0,5 im
Ta có
0
90ACP BDP AOB = = =
nên

AMP =
1
2

ACP =
0
45
(góc nội tiếp và góc ở tâm của (C))

BMP =
1
2

BDP =
0
45

(góc nội tiếp và góc ở tâm của (D))
Do đó MP là phân giác
AMB
0,5 im
Mà

AMB =

AOB =90
0
nên M

đờng tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB
0,5 im
Giả sử MP cắt đờng tròn (I) tại N thì N là trung điểm cung AB không chứa
điểm O nên N cố định
0,5 im
c)

MAP và

BNP có

MPA =

BPN (đđ),

AMP =

PBN (góc nội tiếp

cùng chắn 1 cung) nên

MAP đồng dạng với

BNP (g.g)
0,5 im
Do đó
2
2 2
. .
2 4 2
PA PM PA PB AB R
PM PN PA PB
PN PB
+

= = = =
ữ

(không đổi)
Vậy PM.PN lớn nhất bằng
2
2
R
khi PA = PB hay P là trung điểm dây AB
0,5 im
Vì tam giác AMB vuông tại M nên
( )
2 2
2 2

1 1
.
2 4 4 2
AMB
AB R
S AM BM AM BM= + = =
Diện tích tam giác AMB lớn nhất bằng
2
2
R
khi PA = PB hay P là trung điểm
dây AB
0,5 im
CU 5 (2 im)
Cho các số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 670. Chứng minh rằng

2 2 2
1
2010 2010 2010
x y z
x yz y zx z xy x y z
+ +
+ + + + +
Đáp án biểu điểm
Trớc tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với

a, b, c

R và x, y, z > 0 ta có

( )
2
2 2 2
a b c
a b c
x y z x y z
+ +
+ +
+ +
(*)
Dấu = xảy ra


a b c
x y z
= =
Thật vậy, với a, b

R và x, y > 0 ta có

( )
2
2 2
a b
a b
x y x y
+
+
+
(**)

( )
( ) ( )
2
2 2
a y b x x y xy a b+ + +



( )
2
0bx ay
(luôn đúng)
0,5 im
Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010
6
Dấu = xảy ra


a b
x y
=
áp dụng bất đẳng thức (**) ta có

( ) ( )
2 2
2 2 2 2
a b a b c

a b c c
x y z x y z x y z
+ + +
+ + +
+ + +
Dấu = xảy ra


a b c
x y z
= =
áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

2 2 2
2010 2010 2010
x y z
VT
x yz y zx z xy
= + +
+ + +

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2010 2010 2010
x y z
x x yz y y zx z z xy
= + +
+ + +

( )
( )
2
3 3 3
3 2010
x y z
x y z xyz x y z
+ +

+ + + + +
(1)
Chú ý:
( )
2
2010x x yz +
=
( )
2
1340 0x x xy zx+ + + >
,
( )
2
2010 0y y zx + >
và
( )
2
2010 0z z xy + >
0,5 im
Chứng minh:
( )

( )
3 3 3 2 2 2
3x y z xyz x y z x y z xy yz zx+ + = + + + +

( ) ( ) ( )
2
3x y z x y z xy yz zx

= + + + + + +

(2)
Do đó:
( )
3 3 3
3 2010x y z xyz x y z+ + + + + =

( ) ( ) ( )
2
3 2010x y z x y z xy yz zx

= + + + + + + +

=
( )
3
x y z+ +
(3)
0,5 im
Từ (1) và (3) ta suy ra

( )
( )
2
3
1
x y z
VT
x y z
x y z
+ +
=
+ +
+ +
Dấu = xảy ra

x = y = z =
2010
3
.
0,5 im
Ht
Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010
7
Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2009-2010
8