de thi hoc sinh gioi toan tinh phu tho

S GIO DC V O TO
PH TH
K THI CHN HC SINH GII cấp tỉnh
LP 9 THCS NM HC 2009-2010
Mụn Toỏn
Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao
thi cú 01 trang

Câu 1 (4 im)
a) Chứng minh rằng: nếu n là số tự nhiên lẻ thì A=n
3
+ 1 không thể là số chính phơng.
b) Tìm số có hai chữ số sao cho số đó cộng với tích hai chữ số của nó thì bằng bình
phơng của tổng hai chữ số của nó.
Câu 2 (5 im)
a) Giải phơng trình

2008 2010
2009 2010 1x x + =
b) Giải hệ phơng trình

2
2
2
2
2
2
x x y
y y z
z z x

=

=


=

Câu 3 (3 im)
Cho ba số x, y, z thoả mãn:
1 1
1
xy yz
zx
y z x
+ +
+
= =
.
Chứng minh rằng: x = y = z hoặc xyz = 1.
Câu 4 (6 im)
Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định (AB < 2R). Điểm C di động trên cung
lớn AB. Gọi AE và BF là hai đờng cao của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại H. Đờng tròn
tâm H bán kính HC cắt CA, CB lần lợt tại P và Q. Chứng minh rằng khi C thay đổi
a) CH có giá trị không đổi
b) CO

EF
c) Đờng thẳng qua H vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5 (2 im)
Cho các số dơng a, b, c thoả mãn điều kiện:

2 2 2 2 2 2
2010a b b c c a+ + + + + =
. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2
a b c
P
b c c a a b
= + +
+ + +
H v tờn thớ sinh SBD
Chỳ ý: Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm
S GIO DC V O TO PH TH
HNG DN CHM THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 9 THCS
đề dự bị
NM HC 2009-2010
MễN TON
(Hng dn chm thi dự bị có 4 trang)
I. Mt s chỳ ý khi chm bi
Hng dn chm thi di õy da vo li gii s lc ca mt cỏch, khi chm thi giỏm kho cn
bỏm sỏt yờu cu trỡnh by li gii y , chi tit v hp logic.
Thớ sinh lm bi cỏch khỏc vi Hng dn chm m ỳng thỡ t chm cn thng nht cho im
tng ng vi biu im ca Hng dn chm.
im bi thi l tng cỏc im thnh phn khụng lm trũn s.
II. Đáp án và biểu điểm
Câu 1 (4 im)
a) Chứng minh rằng: nếu n là số tự nhiên lẻ thì A=n
3
+ 1 không thể là số chính phơng.

b) Tìm số có hai chữ số sao cho số đó cộng với tích hai chữ số của nó thì bằng bình ph-
ơng của tổng hai chữ số của nó.
P N BIU IM
Ta có
( ) ( )
( )
3 3 2
1 1 2 1 1 1A n n n n n= + = + = + +
0,5 im
Thay n=2k+1 (k

N) ta có
( ) ( )
( )
2
8 1 1 2 2 1 2A k k k k k
= + + + +
0,5 im
Ta thấy A chia cho 4 d 2 ,mà không số chính phơng chia cho 4 d 2
nên A không là số chính phơng
0,5 im
Gọi số phải tìm có dạng
ab
(
( , ;0 10;0 10)a b N a b < < < <
.
0,5 im
Theo giả thiết ta có
2 2
10 ( ) ( 1) (10 )a b ab a b b b a a a+ + = + + =

0,5 im
Ta có
2
10
(10 ) 25
2
a a
a a
+

=
ữ

nên
5b

0,5 im
Thay b lần lợt từ 1 đến 5 ta có
13;63;91ab =
.
1,0 điểm
Câu 2 (5 im)
a) Giải phơng trình

2008 2010
2009 2010 1x x + =
(*)
b) Giải hệ phơng trình

2

2
2
2
2
2
x x y
y y z
z z x

=

=


=

P N BIU IM
Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010
2
a) Ta thấy x
1
=2009; x
2
=2010 là 2 nghiệm của phơng trình
0,5 im
Xét x < 2009 thì
2008 2010
2009 0; 2010 1x x > >
nên VT > 1, PT (*) vô
nghiệm

0,5 im
Xét x > 2010 thì
2008 2010
2009 1; 2010 0x x > >
nên VT > 1, PT (*) vô nghiệm
0,5 im
Xét 2009 < x< 2010 thì
0 2009 1;0 2010 1x x< < < <
0,5 im
nên
2008
2009 2009 2009x x x < =
;
2008
2010 2010 2010x x x < =
VT < 1, PT (*) vô nghiệm.
Vậy PT(*) có 2 nghiệm x
1
=2009;x
2
=2010
0,5 im
b)
( )
2
2
2 2
2 2
2 1 1 (1)
2 (1 ) 1 (2)

2 (1 ) 1 (3)
x x y x y
y y z y z
z z x z x


= =


= =


= =


0,5 im
Từ (1); (2); (3) ta có (1-x)
8
= (1-y)
4
= (1- z)
2
= 1-x
0,5 im
Ta có
( )
8
1 1 0
1 1
1 0 1

x x
x x
x x
= =

=

= =

0,5 im


0
1
x y z
x y z
= = =


= = =

Hệ có hai nghiệm (x; y; z)=(0; 0; 0);(1; 1; 1).
1,0 điểm
Câu 3 (3 im)
Cho ba số x, y, z thoả mãn:
1 1
1
xy yz
zx
y z x

+ +
+
= =
.
Chứng minh rằng: x = y = z hoặc xyz = 1.
Đáp án biểu điểm
Điều kiện x; y; z dơng
Ta có
1 1
1 1 1 1
xy yz
zx
x y z
y z x y z x
+ +
+
= = + = + = +
1,0 im


(1)
(2)
(3)
y z
x y
yz
x y
z x
xy
z x

y z
xz


=





=





=


(*)
1,0im
Nếu x = y = z hệ (*) luôn đúng
0,5 im
Nếu x; y; z đôi một khác nhau, nhân vế với vế của (1); (2); (3) ta có xyz = 1
Vậy x = y = z hoặc xyz = 1
0,5 im
Câu 4 (4 im)
Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định (AB < 2R). Điểm C di động trên cung lớn
AB. Gọi AE và BF là hai đờng cao của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại H. Đờng tròn tâm
H bán kính HC cắt CA, CB lần lợt tại P và Q. Chứng minh rằng khi C thay đổi

a) CH có giá trị không đổi
Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010
3
b) CO

EF
c) Đờng thẳng qua H vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định.
P N BIU IM
x
I
D
K
Q
P
H
F
E
O
A
B
C
a) K ng kính BD ta cú
ABDAABCH ;


AD//HC (1)
Mặt khác
; / / (2)DC CB HA CB DC HA
.
T (1) & (2) suy ra ADCH l hỡnh bỡnh hnh nờn CH = AD

1,0 im
Gi K l trung im AB xột tam giỏc ADB cú OK l ng trung bỡnh nờn
AD = 2.OK ( khụng i). Vậy CH = 2.OK khụng i
1,0 im
Qua C k tip tuyn Cx vi (O) ta cú
CBAxCA =
M t giỏc AFEB ni tip nờn
CBACFE
=
nờn
CFExCA
=
1,0 im
suy ra Cx//EF
M
EFOCOCCx
1,0 im
c) Gọi ng thng k t H vuụng gúc PQ cắt OK tại I
Vì
;; FPCFCPHFEQCECQHE ==
1,0 im
Vy EF // PQ, m
OCHIEFPQHI ////
Mặt khác CH//OI nờn t giỏc OCHI l hỡnh bỡnh hnh suy ra OI = CH (khụng
đi) nờn I c nh
1,0 im
Câu 5 (2 im)
Cho các số dơng a, b, c thoả mãn điều kiện:
2 2 2 2 2 2
2010a b b c c a+ + + + + =

.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010
4

2 2 2
a b c
P
b c c a a b
= + +
+ + +
§¸p ¸n biÓu ®iÓm
Đặt
2010;;
222222
=++⇒+=+=+= zyxabzacycbx
0,5 điểm
Ta cã
2 2 2
x b c= +
,
2 2 2
y c a= +
,
2 2 2
z a b= +
nªn
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2( ) ; ; (1)

2 2 2
y z x x z y y x z
x y z a b c a b c
+ − + − + −
+ + = + + ⇒ = = =
Mặt khác
;2)()(2
222
bazbaba +≥⇒+≥+
Tương tự
;2;2 cbxcay +≥+≥
(2)
0,5 điểm
Từ (1) & (2) ta có
( )
)3()(2
111
22
1
22
1
222
222222222






++−









++++=








−+
+
−+
+
−+
≥
zyx
zyx
zyx
z
zxy
y
yzx

x
xzy
P
Ta có
2222
)()(3 zyxzyx ++≥++
nªn tõ (3) suy ra
0,5 điểm
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1005 2
2 .9 2
3 3 2
2 2 2 2
x y z
P x y z x y z
x y z
 
 
+ +
 
≥ + + + + + + − ≥ − =
 
 ÷
 ÷
 
 
 
Giá trị nhỏ nhất của
2
21005

=P
khi x = y = z suy ra a = b = c =
3
21005

0,5 điểm
Hết
Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2009-2010
5
Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2009-2010
6