CẤU TRÚC CỦA TỰ ĐỒNG CẤU TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG docx

Chơng 6
cấu trúc của tự đồng cấu
trị riêng và véc tơ riêng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Không gian con bất biến
E là một không gian tuyến tính trên trờng K và fL(E,E).
Định nghĩa: Không gian con U E gọi là không gian con bất
biến đối với f, hay f là tự đồng cấu bất biến trên U nếu f(U)U.
Hệ quả : Trên cơ sở W={
1
,
2
, ,
n
} ma trận của tự đồng cấu f
có dạng đờng chéo khi và chỉ khi các không gian con
L{
1
},L{
2
}, ,L{
n
} đều là không gian con bất biến của f.
Giả sử trên một cơ sở đã cho tự đồng cấu f có ma trận A, nếu
ta tìm đợc một cơ sở W mà trên W ma trận của f có dạng đờng
chéo khi đó ta nói f hay A chéo hoá đợc.
2. Trị riêng và véc tơ riêng
Định nghĩa: Số K gọi là trị riêng của f nếu x của E
sao cho: f(x)= x , x gọi là véc tơ riêng ứng với trị riêng của f.
Nếu f có ma trận A khi đó: A.x=x
và cũng gọi x là véc tơ riêng ứng với trị riêng của ma trận A.

Hệ quả : Gọi L

{x} là không gian con sinh bởi véc tơ riêng
ứng với trị riêng . Khi đó x là véc tơ riêng ứng với trị riêng
của f khi và chỉ khi L

{x} là một không gian con bất biến của f
trên E.
3. Điều kiện để ma trận của tự đồng cấu có dạng đờng chéo
Định lý: Cho E là một không gian tuyến tính hữu hạn chiều
trên trờng K, ma trận của fL{E,E} trên cơ sở W={
1
,
2
, ,
n
}
có dạng đờng chéo khi và chỉ khi
1
,
2
, ,
n
là các véc tơ riêng
223
của f. Khi đó ma trận đờng chéo B của f trên W có các phần tử
trên đờng chéo là các trị riêng tơng ứng:
B=

1
2
0 0
0 0
0 0




n













Hệ quả
1. Cho f có ma trận A, nếu trong E có một cơ sở gồm các véc
tơ riêng của f ứng với các trị riêng
1
,
2

, ,
n
thì: :
det(A)=

=
n
i
i
1


2. K là trị riêng của f khi và chỉ khi Ker(f-I){}
4. Đa thức đặc trng
Giả sử fL{E,E} trên cơ sở I={e
1
, e
2
, , e
n
} có ma trận A.
Nếu x là véc tơ riêng ứng với trị riêng của f thì f(x)=x do đó
Ax=x hay x là nghiệm không tầm thờng của hệ thuần nhất:
(A- I)x=
Hay

=+++
=+++
=+++
0)(

0 )(
0 )(
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa




với ma trận các hệ số là (A- I).
Để hệ có nghiệm không tầm thờng (x) ta phải có:
det((A- I)=

nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa




21
22221
11211
=0
det(A- I) là một đa thức bậc n của , ký hiệu P
A
()=det(A- I):
224
P
A
()=(-1)
n

n
+b
1

n-1
+ +b

n-1
+b
n

Định nghĩa: Nếu A là ma trận của tự đồng cấu f, khi đó đa
thức: P
A
()=det(A- I) gọi là đa thức đặc trng của f hay đa
thức đặc trng của A và phơng trình
P
A
()=det(A- I) =0
gọi là phơng trình đặc trng của chúng.
Hệ quả
1. là trị riêng của A khi và chỉ khi : P
A
()=det(A- I) =0
2. Đa thức đặc trng của f không phụ thuộc vào cơ sở của E,
hay đa thức đặc trng của các ma trận đồng dạng bằng nhau.
det(B- I) = det(A- I)
3. Theo định lý Viet về nghiệm của đa thức ta có:
Vet(A)=

=
n
i
ii
a
1
=

=
n
i
i
1


Chú ý: E là không gian tuyến tính n chiều trên trờng K khi đó:
1. Nếu K là trờng số phức C thì fL(E,E) đa thức đặc trng
của f luôn có đủ n nghiệm kể cả nghiệm bội trên C.
2. Nếu K=R thì chỉ những nghiệm thực của phơng trình
det(A-I) =0
mới là trị riêng của f.
Định lý: Giao của hai không gian con sinh bởi các véc tơ
riêng tơng ứng với hai trị riêng khác nhau của f bằng{}.
Định lý: Nếu K là nghiệm của phơng trình đặc trng det(A-
I)=0 và hạng của (A-I)=r thì có m =n-r véc tơ riêng độc lập
tuyến tính ứng với cùng trị riêng .
Định lý: Giả sử phơng trình đặc trng det(A-I)=0 của ma trận
A có p nghiệm
1
,
2
, ,
p
K và r(A-
i
I)=r
i

(i=1, ,p). Nếu: (n-
r
1
)+(n-r
2
)+ +(n-r
p
)=n thì trong E có hệ cơ sở gồm n véc tơ riêng
của A và khi đó ma trận A có thể chéo hoá trên K.
Chú ý: Phơng trình đặc trng det(A-I)=0 có thể có đủ n
nghiệm (kể cả nghiệm kép) trên K nhng nếu
(n-r
1
)+(n-r
2
)+ +(n-r
p
)<n
thì sẽ không tồn tại hệ cơ sở gồm n véc tơ riêng do vậy ma trận
A không thể chéo hoá.
225
Hệ quả: Nếu =0 là nghiệm của phơng trình đặc trng thì
Ker(f){} và véc tơ riêng tơng ứng là x bất kỳ thuộc Ker(f).
5. Thuật toán chéo hoá ma trận
1. Giải phơng trình đặc trng det(A-
i
I)= .
Giả sử phơng trình đặc trng có các nghiệm
1
,

2
, ,
p
, và
i
(i=1,2, p) là nghiệm bội n
i
trên K.
Nếu số các nghiệm, kể cả nghiệm bội n
1
+n
2
+ +n
p
<n thì A
không thể chéo hoá đợc trên K.
2. Nếu n
1
+n
2
+ +n
p
=n với i=1,2, ,p lần lợt tính
r(A-
i
I)= r
i
Nếu (n-r
1
)+ +(n-r

p
)<n không thể chéo hoá đợc ma trận A.
Nếu (n- r
1
)+(n- r
2
)+ +(n- r
p
)=n lần lợt giải p hệ thuần nhất
(A-
i
I).x= (i=1,2, ,p)
tìm nghiệm cơ sở của chúng.
Mỗi họ nghiệm cơ sở của (A-
i
I).x= là tập các véc tơ riêng
ứng với cùng trị riêng
i
. Tập hợp các nghiệm cơ sở thu đợc
chính là tập các véc tơ riêng của A làm thành một cơ sở của E.
Gọi ma trận đã đợc chéo hoá là B, ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở
ban đầu sang cơ sở gồm các véc tơ riêng là T ta có:
B=T
-1
AT
Đó là công thức chuyển cơ sở của ánh xạ f có ma trận A trên cơ
sở ban đầu sang cơ sở gồm các véc tơ riêng của f.
B. Bài tập
1. Tìm trị riêng và véc tơ riêng của các ma trận sau
a.

2 1
1 2






b.
3 4
5 2






c.
0
0
a
a






2. Trong R
3

cho ánh xạ: f(x,y,z)=(z,y,x)
a. Không giải phơng trình đặc trng, tìm các không gian con
bất biến của f.
b. Chứng tỏ ma trận của f có thể chéo hoá đợc, tìm ma trận
chéo hoá.
3.Tìm các không gian con bất biến của tự đồng cấu
a. f(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=(x
1
+2x
2
, 2x
1
+x
2
,x
3
-x
4
, x
3
+x
4

)
b. f(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=(x
1
+2x
2
, 2x
1
+x
2
,x
3
+x
4
, x
3
+x
4
)
226
c. f(x
1
,x

2
,x
3
,x
4
)=(x
1
+3x
2
, 3x
1
+x
2
,x
3
+x
4
, x
3
-x
4
)
4. Tính các trị riêng, kiểm tra công thức tính det(A) và Vet(A)
của ma trận bằng định nghĩa và công thức tính qua các trị riêng.
A=

12000
21000
00310
00121
00013
5. Tìm trị riêng và véc tơ riêng của các ma trận trên R
a.
2 2 3
0 1 0
0 0 1

b.
1 2 3
0 1 0
0 0 2










c.
0 2 3
0 1 0
0 0 2

d.
1 1 0
1 2 1
1 0 1











e.
1 3 4
4 7 8
6 7 7

f.













132412
101910
6127
g.
2 1 2
5 3 3
1 0 2

h.
0 1 0
4 4 0
2 1 2












i.
4 5 2
5 7 3
6 9 4

6. Tìm các trị riêng và các véc tơ riêng
a.














0100
2300
0011

0012
b.
1 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1













c.
3 1 0 0
1 1 0 0
3 0 5 3
4 1 3 1

d.














0001
0010
0100
1000
227
e.

1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
− −
− −
− −












f.
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1













7. T×m c¸c kh«ng gian con bÊt biÕn cña tù ®ång cÊu sau
a. f(x
1
, x
2
, , x
n
) = (x
1
, 2x
2
, , nx
n
)
b. f(x
1
, x
2
, , x
n
) = (x
1
, 2
2

x
2
, , n
2
x
n
)
c. f(x
1
, x
2
, x
3
,x
4
) = (x
1
, x
2
+ x
3
, x
3
+ x
4
, x
2
+ x
3
)

8. T×m ma trËn T vµ ma trËn chÐo B mµ B=T
-1
AT trªn C cña
c¸c ma trËn A sau
a. A=
cos sin
sin cos
ϕ ϕ
ϕ ϕ
−






b. A=
0 0 1
1 0 0
0 1 0











c. A=
3 0
3 0
0 0 4
−










i
i
9. T×m c¸c trÞ riªng cña c¸c ma trËn
a.
0
0
0
0
x x x
y x x
y y x
y y y

















b.
a a a
a a a
a a a
n
n n
1 2
1 1
2 3 1

−












c. A=










++
−−−−
−−+
16226
62345

26534
ii
iii
iii

10. T×m c¸c kh«ng gian con cña R
3
mµ bÊt biÕn trong phÐp
biÕn ®æi tuyÕn tÝnh víi ma trËn
a.
4 2 2
2 0 2
1 1 1
−
−










b.











200
010
121
c.
0 0 1
0 1 0
1 0 0










228
11. Chứng tỏ A,B có thể chéo hoá. Tìm đa thức đặc trng của
A,B.
a. A=
0 0
0 0
0 0

a
a
a












b. B=

00 0
00 0

0 00
0 00
1
2
2
1
a
a
a
a

12. Cho f(a
0
+a
1
t+a
2
t
2
)=(a
0

+2a
1
+2a
2
)+(a
1
+a
2
)t+a
2
t
2

Tìm các trị riêng và các véc tơ riêng tơng ứng của f.
13. Đa tự đồng cấu
f(a
0
+a
1
t+a
2
t
2
)=(a
0
+a
2
)+(a
1
-2a

2
)t+(2a
0
-a
1
+a
2
)t
2
về dạng đờng chéo.
14. Trên P
2
(t) cho f(a
0
+a
1
t+a
2
t
2
)=2a
0
+(a
0
+2a
1
)t+(a
0
+a
1

+2a
2
)t
2
a. Chứng tỏ f là một tự đồng cấu.
b. Lập ma trận của f trên cơ sở {1,t,t
2
}, f có chéo hoá đ-
ợc không?
15. Trên P
2
(t) cho f(a
0
+a
1
t+a
2
t
2
)=a
0
+(a
0
+2a
1
)t+(a
1
+3a
2
)t

2
a. Chứng tỏ f là một tự đồng cấu.
b. Lập ma trận của f trên cơ sở {1,t,t
2
}, f có chéo hoá đ-
ợc không? Nếu đợc hãy chéo hoá f.
16. Trên P
2
(t) cho
f(a
0
+a
1
t+a
2
t
2
)=(2a
0
+a
1
)+(a
0
+2a
1
+a
2
)t+(a
1
+2a

2
)t
2
a. Chứng tỏ f là một tự đồng cấu.
b. Lập ma trận của f trên cơ sở {1,t,t
2
}, f có chéo hoá đ-
ợc không? Chéo hoá f và tìm ma trận chuyển cơ sở.
17. Trên P
3
(t) cho
f(a
0
+a
1
t+a
2
t
2
+a
3
t
3
)=2a
0
+(a
0
+2a
1
)t+(a

1
+2a
2
)t
2
+(a
2
+2a
3
)t
3
a. Chứng tỏ f là một tự đồng cấu.
b. Lập ma trận của f trên cơ sở {1,t,t
2
,t
3
}, f có chéo hoá
đợc không?
18. Trên P
3
(t) cho
f(a
0
+a
1
t+a
2
t
2
+a

3
t
3
)=a
0
+(a
0
+2a
1
)t+(a
1
+3a
2
)t
2
+(a
2
+4a
3
)t
3
a. Chứng tỏ f là một tự đồng cấu.
229
b. Lập ma trận của f trên cơ sở {1,t,t
2
,t
3
}, f có chéo hoá
đợc không? Chéo hoá f và tìm ma trận chuyển cơ sở.
19. Chứng minh rằng mọi không gian con bất biến với ánh xạ

không suy biến f thì cũng bất biến với f
-1
.
20. Chứng minh rằng mọi tự đồng cấu f trong không gian
tuyến tính n chiều trên cơ sở e
1
, e
2
, , e
n
có dạng ma trận khối
a.
A B
C







trong đó A là ma trận vuông cấp k<n khi và chỉ khi không gian
con sinh bởi k véc tơ e
1
, e
2
, , e
k
là bất biến đối với f.
b.

A
B








trong đó A là ma trận vuông cấp k<n khi và chỉ khi không gian
con sinh bởi k véc tơ e
1
, e
2
, , e
k
và không gian con sinh bởi n-k
véc tơ e
k+1
, e
k+2
, , e
n
là bất biến đối với f.
21. Cho E là không gian các đa thức bậc n trên trờng hữu tỉ
Q. f:EE là phép lấy đạo hàm của đa thức. Tìm đa thức đặc trng
của f, ma trận của f có chéo hoá đợc không?
22. Chứng minh rằng ma trận vuông A giao hoán đợc với mọi
ma trận cùng cấp có thể chéo hoá đợc.

23. Với mỗi ma trận vuông A cấp n chứng minh rằng A và
chuyển vị A
T
có cùng đa thức đặc trng do đó có cùng các trị
riêng.
24. Với mỗi ma trận vuông A chứng minh rằng
a. det(A)=0 khi và chỉ khi 0 là một trị riêng của A.
b. det(A)0 khi và chỉ khi mọi trị riêng của A đều khác
không.
c. Nếu det(A)0 và là một trị riêng của A thì

1
là trị
riêng của A
-1
.
d. Det(A)=

=
n
i
i
1

(
i
(i=1,2, ,n) là các trị riêng của A).
230
e. Vet(A)=

=
n
i
i
1

(
i
(i=1,2, ,n) là các trị riêng của A).
25. Với mỗi trị riêng của ma trận vuông A cấp n, và mỗi số
nguyên dơng k, chứng minh rằng
k
là trị riêng của ma trận A
k
.
Hơn nữa, nếu u thuộc R
n
là véc tơ riêng của A ứng với trị riêng
thì u cũng là trị riêng của A
k
ứng với trị riêng
k
.
26. Ma trận vuông A gọi là luỹ linh nếu và chỉ nếu A
k
= với
số nguyên dơng k nào đó. Chứng minh rằng trị riêng của ma trận
luỹ linh A bằng 0.
27. Gọi P
n

là không gian mọi đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc
bằng n. Xác định Trị riêng và véc tơ riêng của các ánh xạ sau
đây
a. f: x(t)x(t)
b. f: x(t) t.x(t)
với x(t)=a
0
+a
1
t+ +a
n
t
n

28. Cho D=








B
A


trong đó A,B là các ma trận vuông.
Chứng minh rằng mọi trị riêng của A,B đều là trị riêng của D.
29. Trên không gian M

2x2
=














=
dc
ba
A
cho
f(A)=

+++++
+
dcbacba
baa
a. Chứng tỏ f là một tự đồng cấu trên M
2x2
.
b. Tìm ma trận của f, f có chéo hoá đợc không?
30. Trên không gian M
2x2
cho
f(A)=








+++++
+
dcbacba
baa
43
2
a. Tìm ma trận của f.
b. f có chéo hoá đợc không? Nếu đợc hãy chéo hoá ma trận
của f.
231

31. Chứng minh rằng nếu f có n trị riêng khác nhau
1
,
2
, ,
n
ứng với n véc tơ riêng
1
,
2
, ,
n
, gọi Ei=L{
i
} (i=1,2, ,n) khi
đó: E=E1 E2 En là tổng trực tiếp của các không gian
con bất biến một chiều, và mọi xE đều có duy nhất các biểu
diễn:
x=x
1

1
+x
2

2
+ +x
n

n

=(x
1
,x
2
, ,x
n
)
f(x)=
1
x
1

1
+
2
x
2

2
+ +
n
x
n

n
=(
1
x
1
,

2
x
2
, ,
n
x
n
)
C. Lời giải, hớng dẫn hoặc đáp số
1. a.
1
=1 u
1
=(1,-1)
2
=3 u
2
=(1,1)
b.
1
=7 u
1
=(1,1)
2
=-2 u
2
=(-4,5)
c.
1
=ia u

1
=(1,i)
2
=-ia u
2
=(1,-i)
2.a. Ta thấy trên cơ sở chính tắc f có ma trận:
A=
0 0 1
0 1 0
1 0 0










Xét cơ sở
1
=
1
0
1

2
=











1
0
1

3
=
0
1
0

Khi đó ta có: A
1
=
1
A
2
=-
2
A
3
=
3
Chứng tỏ
E1=L{
1
}, E2=L{
2
},E3=L{
3
}

là các không gian con bất biến của f. Vậy các không gian con
bất biến của f là:
L{
1
},L{
2
},L{
3
}, L{
1
,
2
}, L{
1
,
3
},L{
2
,
3
}
b. Vì r(A)=3 trên cơ sở W{
1
,
2
,
3
} f có ma trận đờng
chéo: B-=
1 0 0

0 1 0
0 0 1











3.a. Trên cơ sở chính tắc f có ma trận:
A=

1100
1100
0012
0021
232
Det(A-I)=








11
11
.
12
21
={(1-)
2
-4}{(1-)
2
+1}=0
Có các nghiệm
1
=-1,
2
=3 với các véc tơ riêng tơng ứng:

1
=















0
0
1
1

2
=

0
0
1
1
, trên c.s
1
=

0
0
1
1

2
=














0
0
1
1
e
3
=

0
1
0
0
e
4
=

1
0
0
0
f có ma trận B=
















1100
1100
0030
0001

nên các không gian con bất biến của f là:

L{
1
},L{
2
}, L{e
3
,e
4
}, L{
1
,
2
}, L{
1
,e
3
,e
4
}, L{
2
,e
3
,e
4
}.
b. Ma trận của f là: A=

1100
1100
0012
0021
, có các trị riêng:
1
1
=

,
3
2
=

,
0
3
=

,

2
4
=

. Với các véc tơ riêng tơng
ứng:
















=
0
0
1
1
1

,

=
0
0
1
1
2

,

=
1
1
0
0
3

,

=
1
1
0
0
4

Mọi không gian con sinh bởi họ bất kỳ các véc tơ riêng trên đều
là không gian con bất biến.
233
c. Ma trận của f là: A=














1100
1100

0013
0031
có các trị riêng là:
2
1
=

,
4
2
=

,
2
3
=

,
2
4
=

. Với các véc tơ riêng t-
ơng ứng:

=
0
0
1
1
1

,

=
0
0
1
1
2

,
















=
1

21
0
0
3

,















+
=
1
21
0
0
4

Mọi không gian con sinh bởi họ bất kỳ các véc tơ riêng trên đều

là không gian con bất biến.
4. Ta có phơng trình đặc trng
det(A- I)=






310
121
013




12
21
=-(
3
-8
2
+19-12){(1-)
2
-4}=0
ta có các trị riêng là:
1
=1,
2
=3 bội 2,

3
=4,
4
=-1 và:
det(A)=1.3
2
.4.(-1)=-36 và Vet(A)=10
5. a. Phơng trình đặc trng
det(A-I)=






100
010
322
=(2-)(1-)
2
=0
có 2 nghiệm
1
=2,
2
=1 bội hai trên R.
Với
1
=2 ma trận A-2I có hạng r=2 nên hệ thuần nhất
0 2 3

0 1 0
0 0 1












x
x
x
1
2
3

=
0
0
0










có nghiệm cơ sở: u
1
=
1
0
0

234
Với
2
=1 ma trận A-I có hạng r=1 nên hệ thuần nhất

1 2 3
0 0 0
0 0 0










x
x
x
1
2
3

=
0
0
0










có nghiệm cơ sở: u
2
=
2
1
0

u
3
=
3
0
1











đó là hai véc tơ riêng ứng với cùng trị riêng
2
=1
Gọi B là ma trận chéo, T là ma trận chuyển cơ sở, ta có:
B=
2 0 0
0 1 0
0 0 1

T=












100
010
321
và B=T
1
AT
b. Phơng trình đặc trng

det(A-I)=






200
010
321
=(2-)(1-)
2
=0
có 2 nghiệm
1
=2,
2
=1 bội hai trên R.
Với
1
=2 ma trận A-2I có hạng r=2 nên hệ thuần nhất

1 2 3
0 1 0
0 0 0
x
x
x
1
2
3










=
0
0
0

có nghiệm cơ sở: u
1
=












3
0
1

Với
2
=1 ma trận A-I có hạng r=2 nên hệ thuần nhất
0 2 3

0 0 0
0 0 1










x
x
x
1
2
3










=
0

0
0










có nghiệm cơ sở: u
2
=
1
0
0











đó là véc tơ riêng ứng với trị riêng

2
=1. Vì chỉ có hai véc tơ
riêng độc lập tuyến tính nên không chéo hoá đợc A.
c. Phơng trình đặc trng
det(A-I)=






200
010
32
=- (2-)(1-)=0
235
có 3 nghiệm
1
=0,
2
=1,
3
=2 trên R.
Với
1
=0 ma trận A-0I có hạng r=2 nên hệ thuần nhất
0 2 3
0 1 0
0 0 2

x
x
x
1
2
3










=
0
0
0

có nghiệm cơ sở: u
1
=
1
0
0










đó là véc tơ riêng ứng với trị riêng
1
=0
Với
2

=1 ma trận A-I có hạng r=2 nên hệ thuần nhất












1 2 3
0 0 0
0 0 1
x
x
x
1
2
3

=
0
0
0










có nghiệm cơ sở: u
2
=










0

1
2
Với
3
=2 ma trận A-2I có hạng r=2 nên hệ thuần nhất












2 2 3
0 1 0
0 0 0
x
x
x
1
2
3

=
0
0
0










có nghiệm cơ sở: u
3
=

2
0
3

đó là véc tơ riêng ứng với trị riêng
3
=2.
Ma trận chéo B và ma trận chuyển cơ sở T là:
B=
0 0 0
0 1 0
0 0 2










T=

200
010
321
d.
1
=2 u
1
=(1,1,1)
e.
1
=3 u
1
=(1,2,2)
2
=
3
=-1 u
2
=(1,2,1)
f.
1
=
2
=1 u

1
=(2,1,0) u
2
=(-1 ,0 1)
3
=-1 u
3
=(3,5,6)
g.
1
=
2
=
3
=-1 u=(1,1,-1)
h.
1
=
2
=
3
=2 u
1
=(1,2,0) u
2
=(0,0,1)
i.
1
=
2

=0 u
1
=(1,2,3)
3
=1 u
3
=(1,1,1)
6. a. Phơng trình đặc trng có các nghiệm:

2
53
1
+
=

,
2
53
2

=

,
2
173
3
+
=

,

2
173
4

=

Các véc tơ riêng tơng ứng là:
236

1
=

















+

0
0
1
2
51
,
2
=

















+
0
0
1
2

51
,
3
=
















+
0
0
1
2
173
,
4
=

0
0
1
2
173
b.
1
=
2
=0 u
1
=(0,1,0,0) u
2
=(0,0,1,0)

3
=
4
=1 u
3
=(0,0,0,1) u
4
=(1,0,1,0)
c.
1
=
2
=
3
=
4
=2 u
1
=(1,1,-1,0) u
2
=(1,1,0,1)
d.
1
=
2
=1
3
=
4

=-1 u
1
=(0,1,-1,0) u
2
=(1,0,0,-1)
u
3
=(0,1,1,0) u
4
=(1,0,0,1)
e.
1
=-2 u
1
=(1,-1,-1,-1)
2
=2 (bội 3)
u
2
=(1,0,0,1) u
3
=(1,0,1,0) u
3
=(1,1,0,0)
f.
1
=1 (bội 4) u
1
=(0,0,0,1)
7. Tơng ứng f có ma trận là:

A=














n 00

0 20
0 01
B=

2
2
00

0 20
0 01
n
C=














0110
1100
0110
0001

a. f Có các trị riêng là
k
=k (k=
n,1
).
b. f Có các trị riêng là
k
=k
2
(k=
n,1
).Cơ sở chính tắc của R
n
chính là cơ sở gồm các véc tơ riêng. Vậy mọi không gian con
sinh bởi hệ con bất kỳ của hệ cơ sở chính tắc đều là bất biến.
c. Có các trị riêng:
1
=1,
2
=2,
3
=0. Với các véc tơ riêng t-
ơng ứng là:

=
0
0
0
1
1

,

=
1
1
1
0
2

,
















=
1
1
1
0
3

237
Trên cơ sở
1
,
2
,
3
, e
4
f có ma trận:
F=














0000
1000
0020
0001

Vậy các không gian con bất biến là các không gian con sinh bởi
hệ con của {
1
,
2
,
3
} và L{
3
,e
3
}.
8.a. Phơng trình đặc trng
det(A- I)=




cossin
sincos
=
2
- 2 cos . +1=0
có hai nghiệm
1
= cos +i.sin ,
2
= cos - i.sin C.
Với
1

= cos +i.sin hệ phơng trình:




=
=
0.sin sin
0.sin.sin.
yix
yxi


cho véc tơ riêng









=
i
1
1

Với
2

= cos -i.sin hệ phơng trình:




=
=
0.sin sin
0.sin.sin.
yix
yxi


cho véc tơ riêng








=
i
1
1

Vậy B=

+


sincos0
0sin.cos
i
i
T=








ii
11
b. Phơng trình đặc trng:
det(A-.I)=(1- )(
2
++1)=0
có các nghiệm

1
=1,
2
=e=cos(2/3)+i.sin(2/3),
3
=e
2
.
Hiển nhiên trên R không thể chéo hoá đợc A.
Với
1
=1 ma trận( A-
1
.I) có hạng r=2 nên hệ phơng trình













1 0 1
1 1 0
0 1 1

x
x
x
1
2
3










=
0
0
0

có nghiêm cơ sở
1
=










1
1
1
Với
2
=e ma trận (A-
2
.I) có hạng r=2 nên hệ phơng trình
238

e
e
e
0 1
1 0
0 1
x
x
x
1
2
3










=
0
0

0










có nghiêm cơ sở
2
=










2
1
e
e
Với
3

=e
2
ma trận (A-
3
.I) có hạng r=2 nên hệ phơng trình














e
e
e
2
2
2
0 1
1 0
0 1
x
x

x
1
2
3










=
0
0
0










có nghiệm c.s
3

=










4
2
1
e
e
=










e
e
1

2
Ma trận chuyển cơ sở và ma trận của f trong cơ sở mới là
T=
1
1 1 1
1
2
2
e e
e e










B=
1 0 0
0 0
0 0
2
e
e

và B=T
-1
AT
c. B=










200
040
004
T=

100
01
01
i
i
9. a.







=




yyy
xxy
xxx
IA
=
xyy

y
x








0
0
+
xyy
xy
xx








Đặt x làm thừa số chung cho cột n và lấy hàng trên trừ hàng dới
trong định thức hai đợc:

0)()1()(
11
1

=+++=


nn
n
yxDxIA

Ta đợc phơng trình đặc trng:
239

0)()()(
1
=+++

xxyxy
nn

Đặt
n
y
x

=
,
k
n
k
k
y

.1
.


=
,
n
k
i
n
k
k


2
sin
2
cos +=
(k=0,1, ,n-1)
b. Đặt
11
'aa =

=

132
11
21




aaa
aaa
aaa
IA
nn
n
=
132
11
21
'

'
'
aaa
aaa
aaa
nn

n

Xét
1
21
')(

+++=
n
nn
xaxaaxP

Gọi x
i
(i=
n,1
) là căn bậc n của 1, do:
x
i
f(x
i
)=a
n
+a
1
x
i
+ +a
n-1
1n

i
x
Ta có:

132
11
21
'

'
'
aaa
aaa
aaa
nn
n

11
2
1
1
21



1 11
n
n
nn
n

xxx
xxx
=f(x
1
) f(x
n
)
11
2
1
1
21



1 11
n
n
nn
n
xxx
xxx
Vậy

= IA

132
11
21
'

'
'
aaa
aaa
aaa
nn
n

=f(x
1
) f(x
n
)=0
khi f(x
1
)=0, ,f(x
n
)=0. Xét f(x
i
)=0 khi đó:
a
1
+a
2
x
i
+ +a
n
1n

i
x
=0
Hay
11
'aa =

=-( a
2
x
i
+ +a
n
1n
i
x
)
Lần kợt thay x
i
(i=
n,1
) ta đợc:
240
1
21


+++=
n
knkk

aaa

,
n
k
i
n
k
k


2
sin
2
cos +=

(k=0,1, ,n-1)
c.
1
=0,
2
=1,
3
=8
10. Các không gian con bất biến là Im(f) và Ker(f) và các
không gian con sinh bởi hệ con bất kỳ các véc tơ riêng của f.
a.L{(2,2,-1)},L{(-1,0,1)},L(1,1,0)},L{(-1,0,1),(1,1,0)},
L{(2,2,-1),(-1,0,1)}, L{(2,2,-1),(1,1,0)}. ker(f)= {}, im(f)=R
3
.

b.L{(1,0,0)},L{(1,0,1},L{(1,0,0),(1,0,1)}
ker(f)={},im(f)=R
3
.
c. L{(1,0,1)}, L{(0,1,0)} L{(1,0,-1), L{(1,0,1),(0,1,0)},
L{1,0,1),(1,0,-1)}, L{0,1,0),1,0,-1)}, ker(f)= {}, im(f)=R
3
.
11. a. Chéo hoá đợc và bằng

















a
a
a
n 1

)1( 00

0 0
0 0
10 b. Chéo hoá đợc và bằng


















k
n
a
a
a
1
1

1
)1( 00

0 0
0 0
k=






+
2
1n
12. f có ma trận A=










100
110
221
Phơng trình

det(A-I)=






100
110
221
= (1-)
3
=0
có nghiệm =1 bội 3 trên R.
241
Với =1 nên hệ thuần nhất











000
100
220

x
x
x
1
2
3










=
0
0
0

cho nghiệm cơ sở: u=










0
0
1

Đó là véc tơ riêng ứng với trị riêng =1.
13. f có ma trận A=












112

210
101
Phơng trình đặc trng






112
210
101
=
0)1(4)1(
3
=

Có các nghiệm
1
=1
2
=-1
3
=3
Các trị riêng và véc tơ riêng tơng ứng là:

1
=1, u
1
=

0
2
1
;
2
=-1, u
2
=











2

2
1
;
3
=3 ,u
3
=











2
2
1
Vậy trên cơ sở
{u
1
=(a
0
+2a
1
t),u
2

=(-a
0
+2a
1
t+2a
2
t
2
),u
3
=(a
0
-2a
1
t+2a
2
t
2
)}
f có dạng đờng chéo
f(b
0
u
1
+b
1
u
2
+b
2

u
3
)=b
0
u
1
-b
1
u
2
+3b
2
u
3

Ma trận chuyển cơ sở và ma trận của f trong cơ sở mới là
T=












220

222
111
B=











300
010
001
14. Ma trận của f là A=










211
021

002
không chéo hoá đợc
242
15. A=










310
021
001
ma trận chéo B=










300
020

001
16. A=










210
121
012
B=













+

2200
0220
002
T=














111
220
111
17. A=

2100
0210
0021
0002
không chéo hoá đợc
18.A=














4100
0310
0021
0001

B=














4000
0300
0020
0001
T=

1111
0123
0026
0006
19. Giả sử U có sơ sở {u
1
, ,u
m
} là không gian con bất biến
của f và f tồn tại f
-1
. Khi đó {f(u
1
), ,f(u
m
)} cũng là một cơ sở
của U. Với mọi yU, khi đó:
y=y
1
f(u
1
)+ +y
m

f(u
m
)=f(y
1
u
1
+ +y
m
u
m
)=f(x)
Nh vậy với mọi yU, x=y
1
u
1
+ +y
m
u
m
U để y=f(x), hay
x=f
-1
(y)U. Vậy f
-1
bất biến trên U.
20. Gọi U=L{e
1
, ,e
k
} và V=L{e

k+1
, ,e
n
}.
a. Nếu f bất biến trên U hiển nhiên ma trận của f có dạng a.
ngợc lại, dễ dàng kiểm tra f(x)=
A B
C







x U.
b. Tơng tự a. kiểm tra cho U và V.
21. Trên cơ sở {1,t, ,t
n
} f có ma trận;
243
A=

0 000
000

0 200
0 010
n
Đa thức đặc trng của f là: p
n+1
()=(-1)
n+1

n+1
. Ma trận của f
không chéo hoá đợc.
22. Cho ma trận vuông A cấp n
A=

nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa




21
22221
11211
xét ma trận

=
0 00

0 00
0 01
1
B
Ta có:
A.B
1
=

0 0

0 0
0 0
1
21
11
n
a
a
a
B
1
.A=














0 00

0 00

11211 n
aaa
Từ A.B
1
=B
1
.A ta có:
),2,(
0
0
1
1
nji
a
a
i
j
=



=
=

Xét ma trận

=
1 00

0 00
0 00
n
B

Ta có: A.B
n
=B
n
.A suy ra
)1,1,(
0
0
=

=
=
nji
a
a
in
nj
244
Do đó ma trận A có dạng:
A=














nn
a
a
a

00

0 0
0 0
22
11
Hay A chéo hoá đợc.
23. Ta có:







=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
IA




21
22221
11211

IA
aaa
aaa
aaa
T
nnnn
n
n




=







21
22212
12111
24. Ta có phơng trình đặc trng:

0


0

0 0
21
2221
11
=



=




nnnn
aaa
aa
a
IA
a. Nếu det(A)=0 hiển nhiên =0 là nghiệm và ngợc lại.
b. Nếu det(A)0 hiển nhiên mọi trị riêng 0 và ngợc lại, vì
nếu có trị riêng =0 thay vào phơng trình ta thấy det(A)=0.
c. Nếu det(A) 0 và 0 là một trị riêng của A. Giả sử x véc
tơ riêng ứng với trị riêng , khi đó: A.x=x, do tồn tại A
-1
nên
có: x=A
-1
x, hay A
-1
x=

x

1
. Vậy

1
là một trị riêng của A
-1
.
d. Nếu A có n trị riêng
i
(i=1,2, ,n), khi đó:
245
B=














n

00

0 0
0 0
2
1
là ma trận đồng dạng của A dó đó p
A
()=p
B
()=

=
n
i
i
1

.
e. áp dụng định lý Viet cho đa thức đặc trng, tổng các nghiệm
của phơng trình đặc trng p()=(-1)
n

n
+b
1

n-1

+ +b
n
=0


=
n
i
i
1

=
0
1
b
b

= Vet(A)
25. A
k
u=A
k-1
(Au)= A
k-1
u= =
k
u
26.Giả sử x là véc tơ riêng ứng với trị riêng , khi đó:
A
k

x=
k
x=x==0.x
Vậy =0.
27. a. Các trị riêng
1
=
2
= =
n+1
=0 véc tơ riêng x=(1,0, ,0)
b.Các trị riêng
1
=0,
2
=1, ,=
n+1
=n các véc tơ riêng là
x
1
=(1,0, ,0), x
2
=t=(0,1,0, ,0), , x
n+1
=t
n
=(0, ,1)
28. Ta có:

IBIAI

B
A
ID




=








= .
=0
Khi và chỉ khi
0= IA

và
0= IB

.
29. Ma trận của f:

1111
0111
0011
0001
không chéo hoá đợc.
246
30. Ma trận của f là

4111
0311
0021
0001
chéo hoá đợc.
31. Vì dim(E)=dim(E1)+ +dim(En)=n và EiEk=(ik)
nên: E=E1 E2 En. Vì {
1
,
2
, ,
n
} là cơ sở của E nên
nếu x=x
1

1
+x
2

2
+ +x
n

n
thì biểu diễn là duy nhất. Ta có:
f(x)=
1
x

1

1
+
2
x
2

2
+ +
n
x
n

n
vì
k
là trị riêng của véc tơ riêng
k
(k=
n,1
).
247