Đại số tuyến tính ppt

Trần văn minh
Đại số
tuyến tính
Tài liệu toán A1 dùng cho cán bộ,
sinh viên các ngành kỹ thuật và kinh tế
in lần thú ba
nhà xuất bản giao thông vận tải
hà nội- 2004
Đại số tuyến tính là môn toán cơ sở có cấu trúc chặt chẽ và có nhiều ứng dụng cho các ngành kỹ
thuật và kinh tế. Tuy nhiên do tính trừu tợng của nó khi học môn này sinh viên các ngành kỹ thuật
và kinh tế còn gặp nhiều khó khăn.
Để phù hợp cho việc học tập của sinh viên các ngành kỹ thuật và kinh tế, trong tài liệu này chúng
tôi trình bày với những hớng cơ bản sau:
1. Giữ đợc cấu trúc đại số chặt chẽ của môn đại số tuyến tính.
2. Các khái niệm đợc nâng dần từ trực quan để bạn đọc dễ dàng tiếp cận với tính trừu tợng của
môn học. Các ví dụ minh hoạ đợc đa nhiều dới dạng tính toán để giúp các bạn dễ hiểu.
3. Để có thể giúp bạn đọc có thể lập trình cho các bài toán tính toán trong đại số tuyến tính, khi
chứng minh các định lý chúng tôi luôn cố gắng đa vào các tính toán đại số và trình bày dới
dạng thuật toán các chứng minh đó.
Ngoài ra chúng tôi đa vào một phụ lục tổng hợp một số đề kiểm tra hết môn học trong những năm
gần đây của trờng Đại học Giao Thông Vận Tải Hà Nội để các bạn tham khảo, trên cơ sở đó giúp
các bạn hiểu đợc nội dung môn học và dễ dàng làm các bài tập.
1
Chúng tôi xin chân thành cám ơn các sinh viên của trờng đại học Giao Thông Vận Tải Hà Nội đã
có những đóng góp quý báu cho lần tái bản này đợc tốt hơn.
Cuốn sách chắc không tránh khỏi còn những thiếu sót. Chúng tôi mong nhận đợc những ý kiến
đóng góp quý báu của bạn đọc để lần xuất bản sau đợc hoàn thiện hơn. Th góp ý xin gửi về Bộ Môn
Toán Trờng Đại Học Giao Thông Vận Tải Hà Nội
Tác giả
Chơng 1
Mở đầu về một số cấu trúc đại số

1.1 Tập hợp
1. Khái niệm về tập hợp
Cũng nh các khái niệm về điểm và đờng thẳng trong hình học, tập hợp là một khái niệm toán học
cơ bản không định nghĩa. Ta hiểu tập hợp là các vật hay các đối tợng có thể liệt kê ra đợc hoặc có
cùng một tính chất chung nào đó.
Các đối tợng lập nên một tập gọi là phần tử của tập hợp.
Một tập hợp thờng đợc ký hiệu bằng các chữ cái in hoa: A,B,C Còn các phần tử của tập hợp th-
ờng đợc ký hiệu bằng các chữ in thờng: a,b, ,x,y,z Nếu x là phần tử thuộc tập X ta ký hiệu xX,
còn x không là phần tử thuộc tập X ta ký hiệu xX.
Tập A gồm các phần tử x có tính chất p ký hiệu
A={x| p(x)} hay A={x:p(x)}
Ví dụ 1.1:
a. Gọi A là tập các chữ số ảrập: A ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
b. N là tập các số tự nhiên: N={0,1,2, ,n, }.
c. Z là tập các số nguyên: Z={0,+1,-1,+2,-2, }.
d. Q là tập các số hữu tỉ: Q={
q
p
| p,q Z;q0}.
Ví dụ 1.2:
a. P
n
(t)={x(t)=a
0
+a
1
t+ +a
n
t
n

| a
i
R} là tập các đa thức bậc không lớn hơn n với các hệ số thực.
b. C[a,b]={x(t)| x(t) liên tục trên [a,b]}.
2. Tập con của một tập hợp
Nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập X thì ta nói A là tập con của X và ký hiệu:
AX. Hai tập X, Y đợc gọi là bằng nhau nếu XY và YX, ký hiệu X=Y. Một tập hợp không có
phần tử nào gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu .
Ta thấy: A N Z Q và P
n
(t) C[a,b].
Ví dụ 1.3: A={x| x
2
+1=0,xR}=.
3. Các phép toán trên tập hợp
a. Phép hợp
Ta gọi hợp của hai tập A,B là tập hợp, ký hiệu AB, gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai
tập A hoặc B.
AB ={x| xA hoặc xB} (1_1)
b. Phép giao
Giao của hai tập A,B là tập hợp, ký hiệu AB, gồm các phần tử thuộc đồng thời cả A và B.
AB ={x| xA và xB} (1_2)
2
c. Hiệu của hai tập hợp
Hiệu của A và B là tập hợp, ký hiệu A\B, gồm các phần tử thuộc A nhng không thuộc B.
A\B={x| xA, xB} (1_3)
d. Phần bù
Nếu AX thì X\A gọi là phần bù của A trong X, ký hiệu CxA.
Chú ý: Các phép toán hợp và giao có thể suy cho một số tuỳ ý các tập hợp.
e. Các tính chất

Các phép toán của tập hợp có các tính chất sau:
1. Giao hoán AB = BA , AB= BA
2. Kết hợp (AB)C= A(BC)
(AB)C=A(BC)
3. Phân phối A(BC)=(AB)(AC)
A(BC)=(AB)(AC)
4. Công thức De Morgan
X\ (AB)=(X\A) (X\B)
X\ (AB)=(X\A)(X\B)
công thức De Morgan đúng cho một họ tuỳ ý các tập hợp.

Hợp Giao

Hiệu Phần bù
f. Tích Đề các của các tập hợp
Định nghĩa 1.1: Cho hai tập X,Y ta gọi tích Đề các của X và Y là tập hợp, ký hiệu XìY gồm các
phần tử sắp thứ tự (x,y) sao cho xX, yY. Nh vậy:
XìY ={(x,y) | xX, yY} (1_4)
Mở rộng cho tích Đề các của n tập hợp ta có:
X
1
ì X
2
ì ìX
n
={(x
1
,x
2
, ,x

n
) | x
i
X
i
(i=
n,1
)}
Khi X
1
= X
2
= = X
n
= X ký hiệu:
X
n
= Xì Xì ìX (Tích n lần X)
Hai phần tử bằng nhau:
Cho (x
1
,x
2
, ,x
n
), (x
1
,x
2
, ,x

n
) X
1
ì X
2
ì ìX
n

Ta định nghĩa:
(x
1
,x
2
, ,x
n
)= (x
1
,x
2
, ,x
n
) x
i
=x
i
(i=
n,1
)
Ví dụ 1.4:
a. Cho X={0,1}, khi đó:

X
2
=XìX={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
3
b. R
n
={(x
1
,x
2
, ,x
n
)|x
i
R (i=
n,1
) }
1.2 ánh xạ
1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1.2: Cho hai tập X,Y, một ánh xạ f từ X vào Y là một quy luật cho ứng mỗi phần tử
xX với một phần tử y=f(x) Y xác định trên Y. Ký hiệu:
f: XY (1_5)
y=f(x) gọi là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f. X gọi là tập nguồn hay miền xác định của f. Với
AX tập:
f(A)={f(x)Y| xA}
gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ f. Khi đó tập f(X) gọi là miền giá trị của f.
Với BY tập:
f
-1
(B)={xX| f(x)B}

gọi là nghịch ảnh của tập B.
Tập {(x,f(x)|xX} XìY gọi là đồ thị của f.
2. Đơn ánh, Toàn ánh, Song ánh
Định nghĩa 1.3: ánh xạ f: XY
- Gọi là đơn ánh nếu từ f(x
1
)=f(x
2
) suy ra x
1
=x
2
.
- Gọi là toàn ánh nếu f(X)=Y.
- Gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Ví dụ 1.5:
(i) f: NN : f(n)=2n+1 là một đơn ánh.
(ii) f: RR
+
: f(x)=x
2
là toàn ánh nhng không là đơn ánh.
(iii) I
x
: XX, I
x
(x)=x là một song ánh trên X và gọi là ánh xạ đồng nhất.
3. Tích các ánh xạ
Định nghĩa 1.4: Cho f: XY và g: YZ là hai ánh xạ, khi
đó h: XZ đợc xác định bởi h(x)=g(f(x)) đợc gọi là tích của hai ánh xạ f và g và viết h=g

o
f.
Định lý 1: Cho hai ánh xạ: f: XY và g: YZ, khi đó:
a. Nếu h=g
o
f là đơn ánh thì f là đơn ánh.
b. Nếu h=g
o
f là toàn ánh thì g là toàn ánh.
Chứng minh:
a. f(x
1
)=f(x
2
) g(f(x
1
))=g(f(x
2
)) h(x
1
)=h(x
2
), nhng do h là đơn ánh nên x
1
=x
2
, do đó f là đơn
ánh.
b. Ta có f(X)Y, do h là toàn ánh nên:
Z=h(X)=g(f(X)) g(Y) Z

Vậy g(Y)=Z hay g là toàn ánh.
4. ánh xạ ngợc và điều kiện tồn tại
Định lý 2: Nếu f: XY là một song ánh thì tồn tại duy nhất một ánh xạ g: YX sao cho g
o
f
=I
x
và f
o
g= I
y
. Khi đó g đợc gọi là ánh xạ ngợc của f, ký hiệu g=f
-1
và ngợc lại f là ánh xạ ngợc của
g.
Chứng minh: Vì f là toàn ánh nên với mỗi yY tồn tại xX sao cho y=f(x), do f là đơn ánh nên
mỗi x ứng với mỗi y trên là duy nhất. Do vậy ta xác định đợc duy nhất ánh xạ g: YX mà g(y)=x
sao cho f(x)=y. Hiển nhiên
f(g(y))=f(x)=y= I
y

Và
g(f(x))=g(y)=x= I
x
1.3 Sơ lợc về logic mệnh đề
4
1. Mệnh đề
Mệnh đề là một câu phản ánh một điều đúng hoặc sai, nhng không đồng thời vừa đúng vừa sai.
Ta thờng dùng các chữ cái a,b,c, để chỉ các mệnh đề.
Ví dụ 1.6:

a= Các điểm trên đờng tròn cách đều tâm.
b= Các điểm trên Elip cách đều gốc toạ độ.
Ta thấy a là mệnh đề đúng, còn b là mệnh đề sai.
Nếu p là mệnh đề đúng ta nói p có giá trị đúng, nếu q là mệnh đề sai ta nói q có giá trị sai. Thay
cho đúng và sai ta quy ớc giá trị của mệnh đề đúng bằng 1, giá trị của mệnh đề sai bằng 0.
Mệnh đề có giá trị thay đổi gọi là các biến mệnh đề. Nh vậy một biến mệnh đề chỉ nhận một trong
hai giá trị hoặc 1 hoặc 0.
Ví dụ 1.7:
p= Tam giác ABC có hai góc bằng nhau. Khi đó:
P=



cangiactamlakhongABC
cangiactamlaABC
0
1
2. Các phép toán logic
a. Phép phủ định
Phủ định của mệnh đề p là mệnh đề, ký hiệu p, với:
p=
1 0
0 1
khi p
khi p
=
=

c. Phép tuyển
Tuyển của hai mệnh đề p,q là mệnh đề, ký hiệu p

q, với:
p

q



==
laiconhoptruongcac
qvapkhi
1
000
c. Phép hội
Hội của hai mệnh đề p,q là mệnh đề, ký hiệu pq, với:
p q =



==
laiconhoptruongcac
qvapkhi
0
111
d. Phép kéo theo
Mệnh đề p kéo theo q là mệnh đề, ký hiệu p q, với:
pq=

==
laiconhoptruongcac
qvapkhi
1
010
e. Phép tơng đơng
Mệnh đề p tơng đơng q, ký hiệu pq, có nghĩa: pq qp
3. Các lợng từ với mọi và tồn tại
a. Hàm mệnh đề
Cho một tập X, một ánh xạ P:X{0,1} đợc gọi là một hàm mệnh đề xác định trên tập X. Ký hiệu
p=p(x). Nh vậy ứng với mỗi xX xác định một mệnh đề p(x).
Ví dụ 1.8: P(x):R {0,1}: x
2
-2x+1=0 . Khi đó:
p=




=
10
11
xkhi
xkhi
Ví dụ 1.9: Các phép toán lôgíc là các hàm mệnh đề sau:
Phép phủ định là hàm: P:{0,1}{0,1} với P(0)=1, P(1)=0.
Các phép tuyển, hội, kéo theo, tơng đơng, tơng ứng là các ánh xạ từ X
2

={0,1}
2
{0,1} đợc cho
bởi bảng sau:
x y xy xy xy xy
0 0 0 0 1 1
5
0 1 1 0 1 0
1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1
b. Miền đúng của hàm mệnh đề
Ta gọi tập Ep(x)={xX| p(x)=1} là miền đúng của hàm mệnh đề p(x). Hai hàm mệnh đề p(x) và
q(x) cùng xác định trên X đợc gọi là tơng đơng nếu Ep(x)=Eq(x) , ký hiệu: p(x)q(x).
Ví dụ 1.10: P(x)= x
2
-3x+2 0, khi đó Ep(x)=[1,2].
c. Lợng từ
Cho T(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập X. Khi đó:
(i) Mệnh đề (xX) T(x) (đọc là với mọi x thuộc X, T(x)) là một mệnh đề chỉ đúng nếu
ET(x)=X và đợc gọi là lợng từ phổ biến.
(ii) Mệnh đề (xX) T(x) (đọc là tồn tại x thuộc X, T(x)) là một mệnh đề chỉ đúng nếu
ET(x) và gọi là lợng từ tồn tại.
Ví dụ 1.11:
a=(x[1,2] ): x
2
- 3x+20.
b=(x R): x
2
- 3x+20.
là các mệnh đề đúng.

d. Phủ định của các lợng từ
(xX) T(x)= (xX) T(x)
( xX) T(x)=(xX) T(x)
1.4 Quan hệ
1. Quan hệ
Định nghĩa 1.5: Cho tập X, ta nói R là một quan hệ hai ngôi trên X nếu R XìX. Với x,yX ta
nói x có quan hệ với y nếu (x,y)R và viết xRy.
Định nghĩa 1.6: Ta nói quan hệ hai ngôi R trên X:
(i) Có tính phản xạ nếu xX, ta đều có xRx.
(ii) Có tính đối xứng nếu x,yX mà xRy thì yRx.
(iii) Có tính bắc cầu nếu xRy và yRz thì xRz.
(iv) Có tính phản đối xứng nếu với x,y mà đồng thời có
xRy và yRx thì x=y
Ví dụ 1.12: Trên tập các số nguyên dơng Z
+
, xét quan hệ R nh sau: xRy x

y ( x chia hết cho
y).
Ta thấy R là quan hệ có các tính chất: phản xạ, bắc cầu và phản xứng nhng không có tính đối
xứng.
2. Quan hệ tơng đơng
Định nghĩa 1.7: Một quan hệ hai ngôi R trên X đợc gọi là quan hệ tơng đơng nếu R có tính phản
xạ ,đối xứng và bắc cầu. Nếu R là quan hệ tơng đơng và xRy thì ký hiệu xy. Nh vậy một quan hệ
là tơng đơng thì:
+ xx xX
+ xy yx
+ xy, yz xz
Ví dụ 1.13: Trên tập Z các số nguyên, n là một số nguyên dơng xét quan hệ: xRyx-y chia hết
cho n. Ta thấy quan hệ này là quan hệ tơng đơng và gọi là quan hệ đồng d modulo n trên Z. Nếu

xy ta ký hiệu xy(mod n).
3. Quan hệ thứ tự
6
Định nghĩa 1.8: Một quan hệ hai ngôi trên X đợc gọi là quan hệ thứ tự nếu R có tính phản xạ,
phản đối xứng và bắc cầu. Nếu R là quan hệ thứ tự và xRy thì ký hiệu xy, nh vậy một quan hệ là
quan hệ thứ tự thì:
+ xx xX
+ Nếu xy, yx thì x=y
+ xy, yz xz
Nếu quan hệ thứ tự thoả mãn điều kiện: x,yX hoặc xy hoặc yx thì ta gọi nó là quan hệ thứ
tự toàn phần hay X là tập đợc sắp thứ tự toàn phần.
Ví dụ 1.14: Các tập N, Z,và tập Q các số hữu tỷ với quan hệ là các tập đợc sắp thứ tự toàn phần.
1.5 Trờng số phức
1. Trờng số hữu tỷ Q và trờng số thực R
Tập số thực R và tập các số hữu tỷ Q với phép cộng và phép nhân hai số có tính chất sau, gọi là
tính chất trờng:
Tính chất trờng: Với bất kỳ hai số a, b có duy nhất số a+b gọi là tổng của chúng, và có duy nhất
số ab gọi là tích của chúng. Hơn nữa các mệnh đề sau đây là đúng:
(i) Luật giao hoán:
a+b=b+a, ab=ba
(ii) Luật kết hợp
(a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc)
(iii) Luật phân bố
a(b+c)=ab+ac
(iv) Tồn tại phần tử không: Tồn tại duy nhất số 0 có tính chất, với mọi số x:
x+0=0+x=x
Ta gọi số 0 là phần tử trung hòa của phép cộng.
(v) Tồn tại phần tử đơn vị: Tồn tại duy nhất số 1 có tính chất, với mọi số x:
1.x=x
Ta gọi số 1 là phần tử trung hòa của phép nhân.

(vi) Tồn tại số đối: Với mỗi số x, có duy nhất số x, với tính chất: x+(-x)=0
(vii) Tồn tại số nghịch đảo: Với mỗi số x khác 0, có duy nhất số
x
1
, gọi là nghịch đảo của x, có
tính chất:
x






x
1
=1
Do tính chất trờng, ta nói tập số thực R và tập các số hữu tỷ Q với phép cộng (+) và nhân (ì) tạo
thành một trờng, gọi là trờng số thực R và trờng số hữu tỷ Q, ký hiệu R(+,ì) và (Q,+,ì) .
Vì Q,R là các tập đợc sắp thứ tự toàn phần nên ta cũng nói trờng hữu tỷ (Q,+,ì) và trờng số thực
R(+,ì) là trờng sắp thứ tự.
2. Số phức
Phơng trình:
x
2
+1=0 hay x
2
=-1 (1_6)
Không có nghiệm trong trờng số thực (R,+ ,ì) vì vậy cần mở rộng trờng số thực thành một trờng
rộng hơn để phơng trình trên có nghiệm, hay trên trờng đó có thể lấy căn bậc chẵn một số âm.
Theo gợi ý của phép khai căn, ngời ta đa vào một ký hiệu mới i, để trong trờng đợc mở rộng i

2
=-
1. Ký hiệu mới i là một số mới, gọi là đơn vị ảo (còn số 1 gọi là đơn vị thực), khi đó phơng trình
(1_6) có hai nghiệm: x=i và x=-i
Nếu xét phơng trình
(x-a)
2
+b
2
=0 hay (x-a)
2
=-b
2
khi đó nghiệm của phơng trình trên trờng mới có dạng:
x=a+bi và x=a-bi
7
Các số dạng z=a+ib trong đó a,b là các số thực, gọi là các số phức dạng chuẩn tắc, a gọi là phần
thực, ký hiệu a=Rez, b gọi là phần ảo, ký hiệu b=Imz.
Ký hiệu C là tập các số phức:
C={z=a+iba,bR} (1_7)
3. Các phép toán trên tập số phức
a. Tổng và tích hai số phức
Định nghĩa 1.12: Với z=a+ib, w=c+idC ta gọi:
(i) Tổng:
z+w= (a+b)+i(c+d) (1_8)
(ii) Tích:
z.w=(a+ib).(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc) (1_9)
Dễ dàng kiểm tra phép cộng, và nhân các số phức có tính giao hoán, kết hợp, và phép nhân phân
phối với phép cộng.
Chú ý:

1. Mỗi phần tử aR đợc xem là phần tử a+i.0C nên R là một tập con của C.
Do đó phần tử 0=0+0i cũng là phần tử không của C.
2. Hai số phức bằng nhau
a+ib=c+id a=c và b=d.
3. Đơn vị ảo i=0+i, số thuần ảo ib=0+ib
4. Hiển nhiên ta có
i
2
=(0+i)(0+i)=-1.
5. Với mọi số thực và z=a+ib thì
z=a+i b
Do đó với mỗi số phức z=a+ib thì 1.z=1(a+ib)=z, hay số 1 cũng là phần tử đơn vị của phép nhân.
6. Hiệu hai số phức
Ta định nghĩa:
z-w=z+(-1).w=(a-c)+i(b-d)
Do đó với mỗi số phức z=a+ib thì phần tử đối z=-a-ib.
c. Số phức liên hợp
Nếu z=a+ib thì số phức
z
=a-ib gọi là số phức liên hợp của z.
Hiển nhiên ta có:
+
z w z w+ = +
+
z w z w. .=
+ z.
z
=(a+ib).(a-ib)= a
2
+b

2
(1_10)
là một số thực dơng.
+ z+
z
=(a+ib)+(a-ib)=2a=2Rez
+ z -
z
=(a+ib)-(a-ib)=2ib=2i Imz
d. Phép chia số phức
Cho z=a+ib, w=c+id với (a,b)(0,0), khi đó ta có:

22
.
11
ba
iba
zz
z
ibaz
+

==
+
=
2222
ba
b
i
ba

a
+

+
=

Do đó:

222222
))((
.
.
ba
bcad
i
ba
bdac
ba
ibaidc
zz
zw
z
w
+

+
+
+
=
+

+
==
(1_11)
Ví dụ 1.5: Tính:

i
ii
21
)21)(32(
+
+
=
i
i
21
8
+
+
=
5
)21)(8( ii +
=
i
5
17
5
6

Định lý 3: Tập C các số phức với phép cộng (1_8) và phép nhân (1_9) là một trờng, gọi là trờng
số phức.

Chứng minh:
8
Thật vậy theo trên ta có:
+ Phép cộng, và nhân các số phức có tính giao hoán, kết hợp, và phép nhân phân phối với phép
cộng.
+ Phép cộng có phần tử không là số 0, phần tử đối của z=a+ib là -z=-a-ib.
+ Phép nhân co phần tử đơn vị là số 1 và z=a+ib0 thì phần tử nghịch đảo là:
2222
1
ba
b
i
ba
a
z
+

+
=

Vậy (C,+,.) là một trờng.
Chú ý: Ta thấy việc thực hiện các phép toán cơ bản trên trờng số phức cũng giống nh thực hiện
các biểu thức số học với chú ý: i
2
=-1.
4. Biểu diễn hình học của số phức
Ta thấy giữa số phức z=a+ib và cặp số thực (a,b) có tơng ứng một-một, nên ta có thể biểu diễn tập
C các số phức bởi:
C={z=(a,b)a,bR} (1_12)
Z=(a,b) gọi là dạng đại số của z=a+ib.

Xét hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy trong mặt phẳng. Theo (1_12), mỗi số phức z=(a,b) đợc
biểu diễn tơng ứng bởi một điểm M(a,b), hay biểu diễn của tập các số phức chính là mặt phẳng tọa
độ nên ta gọi mặt phẳng tọa độ là mặt phẳng phức.
Các số thực a=(a,0) đợc biểu diễn trên trục thực Ox. Các số ảo ib=(0,b) đợc biểu diễn trên trục ảo
Oy. Nh vậy a,b đợc xem nh toạ độ của số phức (a,b) trên các trục toạ độ. Khi đó điểm gốc toạ độ O
biểu diễn số phức (0,0). Hai số phức z(a,b) và
z
(a,-b) đối xứng qua Ox.
Giả sử cho z=(a,b) tơng ứng với M(a,b), w=(c,d) tơng ứng với N(c,d). Lập các véc tơ
OM

=(a,b)
và
ON

=(c,d) khi đó ta có:
z+w=
OQ OM ON

= +
Và với số thực ta có:
z= (a,b)=
OM

Nh vậy cộng các số phức tơng ứng với cộng các véc tơ với điểm gốc O và điểm ngọn là điểm biểu
diễn của số phức trên mặt phẳng, nhân một số thực với một số phức là nhân số thực đó với véc tơ
biểu diễn số phức.
y
b z=(a,b)
r

x
O a


z
=(a,-b)
Hình 1
5. Dạng lợng giác của số phức
a. Môdun và acgumen của số phức
Giả sử z=a+ib và M(a,b) là điểm biểu diễn của nó trên mặt phẳng. Nếu (a,b) (0,0) khi đó véc tơ
OM

=(a,b) đợc xác định bởi các yếu tố sau:
(i) Độ dài:
r= |
OM

|=
a b
2 2
+
(1_13)
Đó là một số thực dơng. Độ dài r đợc gọi là môdun của số phức z và đợc ký hiệu bởi | z |
(ii) Góc định hớng
=(Ox,
OM

) (1_14)

9
tạo bởi tia Ox và
OM

. Góc đợc xác định sai kém nhau một bội nguyên của 2 và đợc gọi là
acgumen của số phức z, ký hiệu bởi Arg(z). Nếu 0



2

ta ký hiệu =arg(z) và gọi là phần chính
của acgumen.
Hiển nhiên | z | có các tính chất:
(i) | z | 0 zC và | z |=0 z=(0,0)
(ii) | z+w | | z | + | w | (z,wC)
(iii) | k.z | = | k | | z | (kR,zC)
(iv) | | z |- | w | | | z - w| (z,wC)
(v) | z | = |
z
| (zC)
Ví dụ 1.16: Với z=x+iy, tìm biểu diễn hình học của tập các số phức: | z - 1|
2
-
2z
2
+4xyi=5
Ta có
| z - 1|
2

-2z
2
+4xyi=|(x-1)+yi|
2
-2(x+yi)
2
+4xyi=5
(x-1)
2
+y
2
-2(x
2
+2xyi-y
2
)+4xyi=3y
2
-x
2
-2x-1+2=5
3y
2
-(x+1)
2
=3
Hay:
y
2
-
3

)1(
2
+x
=1
Đó là phơng trình của một hypebol.
b. Dạng lợng giác của số phức
Cho z=a+ib với (a,b) (0,0) ta có:
cos =
a
a b
2 2
+
, sin =
b
a b
2 2
+
(1_15)
Khi đó có thể viết:
z =(a+ib)=








+
+

+
+
2222
22
ba
b
i
ba
a
ba
=
a b
2 2
+
(cos+i sin) (1_16)
= | z | (cos+isin) (1_17)
gọi là dạng lợng giác của số phức.
Chú ý: Từ (1_15) ta có
a
b
tg =

với sin cùng dấu với b.
Ví dụ 1.17:
z=1+i
3
=

+
2
3
2
1
2 i
=2 (cos

3
+i sin

3
)
6. Luỹ thừa bậc n của số phức
Giả sử dới dạng lợng giác ta có:
z = | z | (cos +i sin), y= | y | (cos +i sin)
Khi đó:
z.y= | z |.( cos +i sin). | y | (cos+i sin)
= | z | | y | [(cos cos-sin sin)+i(sincos+cos sin)]
= | z | | y | [ cos(+) + i sin( +)] (1_18)

z
y
z
y

=
[ cos(-) + i sin( -)] (1_19)
Trong (1_18) thay y bởi z ta có:
z.z=z
2
= | z |
2
[ cos(2) + i sin(2)]
Do đó ta có công thức tính luỹ thừa bậc n của số phức:
z
n
=( | z | [ cos + i sin])
n
= | z |
n
[ cosn + i. sinn] (1-20)
10
Từ (1_20) ta có:
(i)
( )
n
n
zz =
(1_21)
(ii) (cos + i sin)
n
=cosn + i sinn (1_22)
với n nguyên dơng tuỳ ý, và do phép chia (1_19) nó cũng đúng với n nguyên tuỳ ý.
Công thức (1_22) gọi là công thức Moivrie.
Ký hiệu: e

i

= cos + i sin công thức Moivrie trở thành:
(e
i

)
n
= e
in

(nZ) (1_23)
Khi đó với y0 ta có:
z= | z | e
i

và y=| y | e
i


z
n
= | z |
n
e
in

,
z
y

z
y
=
e
i(



)
Ví dụ 1.18: Tính z=(1+i
3
)
7
+(1-i
3
)
7
Đặt
w=(1+i
3
)
7
=
2
1
2
3
2
7
+

i
=2
7
(cos

3
+i sin

3
)
7
=2
7
cos sin

7
3
7
3

+






i
v=
w
=(1 - i
3
)
7
=2
7
cos sin
7
3
7
3

i
Khi đó:
z=w+v=2
7
.2 cos
7
3

=2
7
2cos(2+

3
)= 2
7
Ví dụ 1.19: Khai triển cos3x và sin3x theo các luỹ thừa của cosx và sinx.
Ta có:
cos3x+i sin3x=(cosx+i sinx)
3
=cos
3
x+3cosx i
2
sin
2
x+3cos

2
x.i.sinx+i
3
sin
3
x
= cos
3
x-3cosx sin
2
x+3i.cos
2
xsinx-i sin
3
x
Cho phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo ta đợc:
cos3x= cos
3
x-3cosx sin
2
x, sin3x=3cos
2
xsinx-sin
3
x
7. Căn bậc n của số phức
Cho số phức z, căn bậc n của z là một số phức y mà y
n
=z.
+ Nếu z=0 khi đó y=0.

+ Nếu z 0 và z= | z | (cos+i sin)
Giả sử y=| y|(cos +i sin), khi đó theo công thức Moivrie:
| y |
n
= | z | , cosn = cos, sinn= sin
Từ đó
+ | y |=
z
n
(1_24)
+ n =+2k hay =

+ 2k
n
(k=0, ,n-1) (1-25)
Nh vậy có n giá trị phân biệt y sao cho y
n
=z. Các số y đợc biểu diễn bởi các điểm là đỉnh của đa
giác đều nội tiếp tâm O bán kính r=
z
n
Ví dụ 1.20: Tính
3
1
trên C.
Ta có :
1=cos0+i sin0
Hay r=1,

=0, nên 3 giá trị của

3
1
là:
x
0
=1, x
1
=cos
3
2

+ i sin
3
2

, x
2
= cos
3
4

+ i sin
3
4

11
Ví dụ 1.21: Tính
i125
Cách1: Đặt
i125

=x+iy , bình phơng hai vế đợc:
5-12i=x
2
+2ixy-y
2
Cho phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo đợc hệ:




=
=
6
5
22
xy
yx

Hệ cho nghiệm:



=
=
2
3
y
x
và

=
=
2
3
y
x
Vậy
i125
=(3-2i)
Cách 2: Ta biến đổi

i125
=
)23()23(4129
2
iii ==
8. Nghiệm của đa thức trên trờng số phức
Ngời ta đã chứng minh đợc mệnh đề sau
Mệnh đề: Đa thức
P
n
(x)=x
n
+a
1
x
n-1
+a

2
x
n-2
+ +a
n
(1_26)
Trong đó a
1
,a
2
, ,a
n
là các số thực hoặc phức luôn có n nghiệm trên trờng số phức C, kể cả nghiệm
bội.
Hệ quả 2: Mọi đa thức bậc n
P
n
(x)= a
0
x
n
+a
1
x
n-1
+a
2
x
n-2
+ +a

n
luôn phân tích đợc thành tích của các nhị thức
P
n
(x)=a
0
(x-x
1
)(x-x
2
) (x-x
n
)
Trong đó x
i
là các số phức có thể trùng nhau và là nghiệm của phơng trình P
n
(x)=0.
Hệ quả 3: Nếu
P
n
(x)= a
0
x
n
+a
1
x
n-1
+a

2
x
n-2
+ +a
n
là đa thức với các hệ số thực (a
0
,a
1
, ,a
n
R) khi đó:
(i) Nếu số phức z là nghiệm của đa thức thì
z
cũng là nghiệm của đa thức.
(ii) P
n
(x) luôn phân tích đợc thành tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai
P
n
(x)=a
0
(x
2
+b
1
x+c
1
) (x
2

+b
m
x+c
m
)(x-x
1
) (x-x
n-2m
)
Trong đó a
0
,a
1
, ,a
n
, b
1
, ,b
m
,c
1
, ,c
m
,x
1
, ,x
n-2m
là các số thực.
Ví dụ 1.22: Tìm nghiệm của phơng trình x
3

-i=0.
Giải: Do i=
cos sin

2 2
+ i
nên phơng trình x
3
=i có các nghiệm:
x
k
=
cos sin




2
2
3
2
2
3
+
+
+k
i
k
(k=0,1,2)
Vậy các nghiệm là

x
0
=
cos sin

6 6
+ i

x
1
=
cos sin
5
6
5
6

+ i
x
2
x
1
x
x
2
=
cos sin
3
2
3

2

+ i

Ta thấy các nghiệm của phơng trình Hình 3
không là liên hợp của nhau.
Ví dụ 1.23: Phân tích đa thức:
P(x)=x
4
-6x
3
+9x
2
+100
thành tích của các nhị thức và tam thức bậc hai với các hệ số thực.
Ta có:
12
x
4
-6x
3
+9x
2
=-100
Hay: (x
2
-3x)
2
=-100
x

2
-3x10i=0
Phơng trình:
x
2
-3x+10i=0
có =9-40i=(5-4i)
2
nên có các nghiệm:
i
i
x 24
2
453
1
=
+
=
;
i
i
x 21
2
453
2
+=
+
=
Do vế phải là đa thức với các hệ số thực nên các liên hợp cũng là nghiệm, vậy các nghiệm còn lại
là:

ixx 24
13
+==
,
ixx 21
24
==
Với z=a+ib, dễ dàng kiểm tra đợc:
(x-z)(x-
z
)=x
2
-2Rez.x+z
z
=x
2
-2ax+a
2
+b
2
Nên ta có:
x
4
-6x
3
+9x
2
+100=(x
2

-8x+20)(x
2
+2x+5)
Bài tập chơng 1
1. Chứng minh rằng
a. A\B= AB
b. Nếu AB ,CD thì ACBD
2. Cho A,B,C là các tập tuỳ ý, chứng minh các đẳng thức sau:
a. A\(A\B)= AB
b. A(B\C)= (AB)\( AC)
c. A(B\A)= AB
3. Tìm mối liên hệ giữa các tập sau:
A={ xR: x
2
+2x >1} và B={ xR: x>
2
- 1}
4. Chứng tỏ rằng các ánh xạ sau là đơn ánh nhng không là toàn ánh
a. f(x)=
3 2
2
x
x
+
+
b. f(x)=
2 1
2
x
x

5. Chứng tỏ các ánh xạ sau là toàn ánh nhng không là đơn ánh.
a. f(x)=
x
x
3
2
1
1
+
+
b. f(x)=
2 3 3
2
2
x x
x


6. Chứng tỏ các ánh xạ sau là song ánh
a. f(x)= 2x+1 b. f(x)=
x x
x
3
2
4 1
1
+ +
+

7. Cho f:XY,A,BX, chứng minh rằng:
a. f(AB)= f(A)f(B) b. f(AB)f(A)f(B)
8. Chứng minh rằng tích đề các của tập hợp có tính phân phối với phép hợp và giao hai tập hợp
a. Ax(BC)=(AxB)(AxC) b.Ax(BC)=(AxB)(AxC)
9. Cho mệnh đề P(x)= x
2
-5x+6>0
a. Tìm Ep(x).
b. Tìm tập X để mệnh đề (xX, P(x)) là mệnh đề sai.
c. Tìm tập X để mệnh đề (xX,P(x)) là mệnh đề đúng.
10. Cho E={0,1}, tìm tập E
3
.
11. Cho f:RR xác định bởi biểu thức: f(x)= x
2
+4x-5 xR. Hãy tìm f(1), f(A), f
-1
(A) với A={
xR: -2x2}
12. Cho Z là tập các số nguyên và a,b,c,dZ mà ad-bc=1. Xét ánh xạ f: Z
2
Z
2
với
f(x,y)=(ax+by,cx+dy). Chứng tỏ f là một song ánh, hãy viết công thức của f
-1
.
13
13. Thực hiện các phép tính
a.

i
ii
21
)2)(53(
+
+
b.
i
ii
32
)3)(23(

+
c.
i
ii

+
4
)2)(31(
d.
1
1
+

i
i
e.
i125
f.

i31+
g.
3
3
)33( i+
h.
4
4
)33( i+

i.
4
4
)35( i+
k.
8
8
)55( i+
14. Đa các số phức về dạng lợng giác
a. 3+3i b. 2-2i c. -cos30
o
+i.sin30
o

d.
1
1+ i
e. 4+4i
15. Tính
a.

( )
( )
1
1
+

i
i
n
n
b.
(cos sin )
(cos sin )


+

i
i
n
n
c. (1+cos + i sin)
n

16. Giải các phơng trình
a. z
2
+5z+8=0 b. z
2
-2(-2+3i)z+4-12i=0

c. z
4
-z
2
-2=0 d. (z
2
+1)
2
+5(z
2
+1)+6=0
17. Biểu diễn qua sinx và cosx
a. cos5x b. cos8x c. sin6x d. sin7x
18. Cho z=x+yi biểu diễn hình học của tập các số phức sau
a.
12
2
=+ xyizzz
b.
2221
2
=+ yizzzz
c.
221
2
2
=+ xyizz
d.
11
2

2
=+ xyizz
19. Phân tích đa thức x
5
-1 ra thừa số là các đa thức bậc nhất, bậc hai với thừa số thực.
20. Phân tích các đa thức sau thành tích của các nhị thức và tam thức
a. x
3
-2x+1 b. x
4
+1
c. x
4
-2x
2
+2 d. x
5
+1
21. Chứng minh rằng nếu số phức z=a+ib là nghiệm của đa thức với các hệ số thực
P
n
(x)= a
0
x
n
+a
1
x
n-1
+a

2
x
n-2
+ +a
n
=0
thì số phức liên hợp
z
=a-bi cũng là nghiệm của P
n
(x).
22. Tìm các số thực a,b,c biết phơng trình:
x
3
+a x
2
+b x+c=0
a. Có các nghiệm là x=1 và x=1+i
b. Có các nghiệm là x=2 và x=1+2i.
23.a. Chứng minh rằng đa thức P
n
(z) chia cho z-z
0
có số d bằng P
n
(z
0
).
b. Biết đa thức P
n

(z) chia cho z-i có số d là i, chia cho z+i có số d là 1+i. Tìm số d của P
n
(z)
chia cho z
2
+1.
24.Trong các số phức z thoả mãn điều kiện
333 =+ iz
hãy tìm số phức z
0
có acgumen d-
ơng nhỏ nhất.
25. Chứng minh rằng công thức Viet về nghiệm của tam thức bậc hai vẫn đúng trên trờng số phức
C.
26. Tìm nghiệm của phơng trình
x
4
+3x
3
+11x
2
+11x+14=0
biết x=
2
7
2
1
i+
là nghiệm.
27. Chứng tỏ x=

2
11
2
1
i+
là nghiệm của phơng trình
x
4
+3x
3
+10x
2
+11x+15=0
14
Tìm tất cả các nghiệm của phơng trình.
28. Tìm các số thực a,b,c để phơng trình sau nhận 1, 2 là nghiệm:
(1+i.a)x
4
+(2a+i.b)x
3
-(5+i.c)x
2
+(b+i.c)x+4+i.a=0
15