Tích phân đường, tích phân mặt pot

Chơng 3
Tích phân đờng, tích phân mặt
3.1 tích phân đờng loại một
1. Định nghĩa
Giả sử L là cung phẳng AB có độ dài và hàm số f(M) = f(x,y) xác
định trên AB. Chia cung AB thành n cung nhỏ không dẫm lên nhau
bởi các điểm chia:
A = A
BAAA
n
=,,,,
210

Gọi độ dài cung A
i-1
A
i
(i=
n,1
)là
i
S
, trên mỗi cung A
i-1
A
i
chọn
điểm M
i
(
ii

,
) tuỳ ý. Lập tổng :
I
=
n

=

n
i
iii
Sf
1
),(

Hình 1
Nếu khi cho n

sao cho
0max =
i
S

mà I
n
dần tới giới
hạn I xác định không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách
chọn điểm M
i

thì giới hạn đó gọi là tích phân đờng loại một của
hàm f(x,y) = f(M) lấy theo cung AB, ký hiệu:

=
ABL
dsyxfdsyxf ),(),(
Nh vậy


=

=
n
i
iii
AB
Sfdsyxf
1
0
),(lim),(


Nếu L là đờng cong kín thì ký hiệu :
92

L
dsyxf ),(
Khi tích phân trên tồn tại ta cũng nói hàm f(x,y) khả tích trên L.
Ngời ta chứng minh đợc rằng nếu cung AB trơn (tức là đờng cong
L liên tục và có tiếp tuyến biến thiên liên tục ) và nếu hàm f(x,y)

liên tục trên AB thì tích phân

AB
dsyxf ),(
tồn tại.
Trong tích phân đờng loại một ta không để ý đến chiều lấy tích
phân của cung AB.
Tích phân đờng loại một cũng có các tính chất nh tích phân xác
định.
2. ý nghĩa cơ học
Ta thấy một cung vật chất AB có khối lợng riêng tại mỗi điểm
M(x,y) là f(M) =
),( yx

thì khối lợng của cung AB là

AB
dsyx ),(

.
Khi đó trọng tâm G(x,y) của cung Ab đợc cho bởi công thức:


=
AB
G
dsyxx
m
x ),(
1

,

=
AB
G
dsyxy
m
y ),(
1

Trong đó: m=

AB
dsyx ),(

là khối lợng của cung AB.
3. Tính tích phân đờng loại một
Việc tính tích phân đờng loại một đợc đa về tính tích phân xác
định.
(i) Nếu cung AB đợc cho bởi phơng trình y=y(x), với axb
thì:
ds=
dxxy )('1
2
+
nên ta có:

AB
dsyxf ),(

=
dxxyxyxf
b
a

+ )('1))(,(
2
(1)
(ii) Nếu cung AB cho bởi phơng trình x=x(y), với cyd thì:
ds=
dyyx )('1
2
+
nên ta có:
93

AB
dsyxf ),(
=
dyyxyyxf
d
c

+ )('1)),((
2
(2)
Chú ý: Nếu f(x,y)

1 thì độ dài cung AB là: S=

AB
ds
Ví dụ 3.1:
a. Tính I=


AB
dsxa )(
22
, trong đó AB là cung:
y=a
)0(ln
22
2
abx
xa
a
<

Ta có:
I=


+
b
dx
xa
xa
xa
0

222
22
22
)(
4
1)(
=

+=+
b
b
badxxa
0
3
222
3
)(
b. Tính độ dài cung AB cho bởi phơng trình x=y
2
với A(2,4),
B(2,-4) (Hình 2).
Hình 2
Đặt u=2y và do tích phân hàm chẵn trên miền đối xứng ta đợc:
s=


+=+
2
2
2

2
2
2
41'1 dyydyx
=

+
4
0
2
1 duu
=
)174ln(
2
1
1721ln
2
1
1
2
4
0
22
++=

++++ uuu
u
94
(iii) Nếu cung AB cho bởi phơng trình tham số



=
=
)(
)(
tyy
txx

],[

t
Khi đó công thức vi phân cung là:
ds=
dttytx )(')('
22
+
Nên:

AB
dsyxf ),(
=

+

dtyxtytxf
22
''))(),((
(3)
Ví dụ 3.2: Tính I=

+
AB
dsyx )(
, với AB là cung Axtroit
3
2
3
2
3
2
ayx =+
nằm trong góc phần t thứ nhất (Hình 3).
Hình 3
Tham số hoá ta đợc



=
=
tay
tax
3
3

sin
cos
với
]
2
,0[

t
Ta có
,sincos3)('
2
ttatx =

ttty cossin3)('
2
=
. Suy ra
ttattayx
tt
24224222
cossin9sincos9'' +=+

tt
a
tta cossin
2
3
|cossin3| ==
(vì
]

2
,0[

t
).
Vậy:
95
dttttata
a
I

+=
2
0
33
cossin)sincos(
2
3

=
5
3
5
sin
5
cos
2
3
2
2

0
552
atta
=






+

(iii) Nếu cung AB cho bởi phơng trình trong toạ độ cực:

),(

rr =

],[


Dùng phép chuyển toạ độ:



=
=


sin)(

cos)(
ry
rx
Công thức vi phân cung khi đó là:
ds=

drr
22
'+
Nên:


AB
dsyxf ),(
=

+



drrrrf
22
')sin,cos(
(4)
Ví dụ 3.3: Tính I=

AB
ds
x
y

, với AB là cung của đờng Cácđiôit
(Hình 4):

)cos1(

+= ar
(







3
,0


)
Hình 4
Ta có:
96


+=
3
0
22
'
cos

sin




drr
r
r
I





daa

++

=
3
0
2222
2
sin)cos1(
1
2
cos2
2
cos
2

sin2





da cos22
1
2
cos2
2
cos
2
sin
2
3
0
2
+

=

+=







+=

23
12
ln2)32(2
12
1
14
2
3
1
2
adu
u
a
4. Tích phân đờng loại một trong không gian
Trong không gian nếu cung AB có phơng trình:

=
=
=
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
],[

t
tích phân đờng loại một của hàm f(x,y,z) xác định trên AB đợc tính
theo công thức:
I=

++


dtzyxtztytxf
222
'''))(),(),((
(5)
Nếu khối lợng riêng của cung AB tại điểm M(x,y,z) là
)(M

thì
các toạ độ của trọng tâm G của cung AB cho bởi công thức :

x
G
=

=
AB
G
AB
dsMy
m
ydsMx
m
)(
1
,)(
1

, z
G
=

AB
dsMz
m
)(
1

với m =
dsM
AB

)(

là khối lợng của cung AB.
Ví dụ 3.4: Tính độ dàì của đờng xoắn ốc (Hình 5):
97



20sin
cos






=
=
=
t
ktz
tay
tax
Hình 5
Ta có:
S=
=++

2
0
222
''' dtzyx
=

++


2
0
2222222
cossin dtktata
=

+=+


2
0
222222
2 kadtka
3.2 Tích phân đờng loại hai
1. Định nghĩa
a. Bài toán tính công của một lực biến đổi
Một chất điểm M di chuyển theo một cung phẳng L, trơn từng
khúc, từ A đến B dới tác dụng của lực
)(MFF

=

biến thiên liên tục
dọc theo cung AB. Hãy tính công W của lực đó.
Giả sử véc tơ

F
có các thành phần P(M)=P(x,y) và
Q(M)=Q(x,y). Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia:
A=A
0
,A
1
,A
2
, A
n
=B
98
Nếu cung A
i-1
A
i
đủ nhỏ có thể xem lực

F
không đổi trên cung đó
và bằng
)(
i
MF
với

),(
iii
M

là một điểm tuỳ ý trên cung A
i-1
A
i
.
Xem cung A
i-1
A
i
xấp xỉ nh dây cung A
i-1
A
i
, gọi
ii
yx ,
là các
thành phần của véc tơ
ii
AA
1
, khi đó công
i
W
do lực

F
làm di
chuyển chất điểm di chuyển từ A
i-1
đến A
i
trên L sinh ra xấp xỉ là:
iiiiiiiiii
yQxPAAMFW +=


),(),().(
1

Nếu các cung A
i-1
A
i
(i=
n,1
) đều khá nhỏ công W của lực

F
trên
toàn cung AB sẽ xấp xỉ là:
W=

=
+
n

i
iiiiii
yQxP
1
),(),(


Chuyển qua giới hạn khi
n
, sao cho max
0
i
x
, max
0
i
y
ta sẽ đợc giá trị đúng của công W.
b. Định nghĩa tích phân đờng loại hai
Cho hai hàm P(x,y) và Q(x,y) xác định trên cung AB. Chia tuỳ ý
cung AB thành n cung nhỏ không dẫm lên nhau bởi các điểm chia:
A=A
0
,A
1
,A
2
, A
n
=B

Gọi hình chiếu của véc tơ
ii
AA
1
trên các trục toạ độ tơng ứng là
ii
yx ,
; và
),(
iii
M

là một điểm tuỳ ý trên cung A
i-1
A
i
. Nếu khi
n
, sao cho max
0
i
x
, max
0
i
y
mà
I
n
=

=
+
n
i
iiiiii
yQxP
1
),(),(

dần tới một giới hạn xác định I không phụ thuộc cách chia cung AB
và cách chọn các điêm M
i
trên cung A
i-1
A
i
thì giới hạn đó đợc gọi là
tích phân đờng loại hai của hai hàm P(x,y) và Q(x,y) trên cung AB
và đợc ký hiệu là:
I=

+
AB
dyyxQdxyxP ),(),(
Ngời ta chứng minh đợc rằng nếu cung AB trơn và nếu các hàm
P(x,y) và Q(x,y) liên tục trên AB thì tích phân đờng loại hai tồn tại.
Chú ý:
99
1. Vì các hình chiếu

ii
yx ,
có dấu phụ thuộc chiều của véc tơ
ii
AA
1
nên tích phân đờng loại hai phụ thuộc chiều lấy tích phân của
cung AB.

+
AB
dyyxQdxyxP ),(),(
=

+
BA
dyyxQdxyxP ),(),(
2. Nếu đờng lấy tích phân là một đờng cong kín L, ta quy ớc
chiều dơng trên L là chiều sao cho một ngời đi dọc theo L, theo
chiều đó sẽ thấy miền giới hạn bởi L ở về bên trái. Ta thờng ký hiệu
tích phân đờng dọc theo đờng cong kín L theo chiều dơng là:

+
+
L
dyyxQdxyxP ),(),(
Tích phân đờng loại hai cũng có các tính chất nh tích phân xác
định.
2. Tính tích phân đờng loại hai
Giả sử AB là một cung trơn, các hàm P(x,y) và Q(x,y) liên tục

trên AB tích phân đờng loại hai cũng đợc đa về tích phân xác định.
(i) Nếu cung AB cho bởi phơng trình y=y(x), axb thì ta có:
I=

+
AB
dyyxQdxyxP ),(),(
=
[ ]

+
b
a
dxxyyxQyxP )('),(),(
(6)
Nếu cung AB cho bởi phơng trình x=x(y), cyd thì ta có:
I=

+
AB
dyyxQdxyxP ),(),(
=
[ ]

+
d
c
dyyxQyxyxP ),()('),(
(7)
Ví dụ 3.5: Tính I=

++
L
dxyx )(
2
2xydy
a. L là cung đi từ A(1,1) đến B(1,-1) theo đờng x=y
2
(Hình 6a).
b. L là đờng gấp khúc OPA với A(2,2), P(2,0) (Hình 6b).
100
Hình 6a Hình 6b
Giải:
a. Coi x là hàm ta có: dx=2ydy nên:
I=
0
1
1
2
3
6]22)[(
4
1
1
3
1
1
322
=

==++


ydyydyyyyy
b. I =
xydydxyxxydydxyx
PAOP
2)(2)(
22
+++++

Trên OP: y=0 nên dy=0, ta có:

2
0
2
2
2)(
2
2
0
2
===++

x
xdxxydydxyx
OP
Trên PA: x = 2 nên dx = 0, ta có:
8
0

2
242)(
2
2
0
2
===++

yydyxydydxyx
PA
Vậy I=
10822)(
2
=+=++

xydydxyx
OPA
(ii) Nếu cung AB cho bởi phơng trình tham số



=
=
)(
)(
tyy
txx

],[

t
Khi đó:
I=

+
AB
dyyxQdxyxP ),(),(
=
[ ]

+


dttytytxQtxtytxP )('))(),(()('))(),((
(8)
Ví dụ 3.6: Tính I=

+

L
ydxxdy
, với L là đờng Elip (Hình 7):

1
2
2
2
2
=+
b

y
a
x
101
Hình 7
Phơng trình tham số của L là:
)20(
sin
cos





=
=
t
tby
tax
Do đó:
I=

==+


2
0
2
0
2)sin.sincos.cos( abdtabdttatbtbta

(iii) Nếu cung AB cho bởi phơng trình trong toạ độ cực:

),(

rr =

],[


Dùng phép chuyển toạ độ:



=
=


sin)(
cos)(
ry
rx
Ta có:
I=

+
AB
dyyxQdxyxP ),(),(
=

)sincos')(sin,cos([ rrrrP


drrrrQ )]cossin')(sin,cos( ++
(9)
3. Liên hệ giữa tích phân đờng loại một và loại hai
Gọi

là góc giữa tiếp tuyến dơng MT (chiều tăng theo độ dài
cung s) với Ox thì dx=cos ds, dy=sin ds, với ds là vi phân cung.
102
Hình 8
Giả sử cung AB có phơng trình y=f(x), khi đó:

+=+
AB
x
AB
dxyQPQdyPdx ]'.[
=

+

+
+
+
AB
x
x
x
x
dxf
f
f
Q
f
P
2
22
'1
'1
'
.
'1
1
.
=

+
AB

dsQP )sincos(

(10)
Đây là công thức liên hệ giữa tích phân đờng loại một và loại hai.
4. Công thức Green
Xét đờng cong kín L, là biên của miền hữu hạn D, ta có công
thức liên hệ giữa tích phân hai lớp và tích phân đờng loại hai bằng
định lý sau.
Định lý 1: Nếu các hàm P(x,y),Q(x,y) liên tục đồng thời các đạo
hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong miền hữu hạn D thì:

+
+=





LD
QdyPdxdxdy
y
P
x
Q
)(
(11)
với L là biên của miền D, tích phân lấy theo chiều dơng.
Công thức (11) đợc gọi là công thức Green.
Hình 9
Chứng minh:

103
Giả sử D là miền đơn liên (hình 4) và mọi đờng thẳng song song
với các toạ độ cắt L nhiều nhất tại hai điểm. Giả sử:
y = y
1
(x) là phơng trình cung AnB
y = y
2
(x) là phơng trình cung AmB
Theo cách tính tích phân hai lớp ta có
I =
[ ]

=


=


b
a
xy
xy
b
aD
dxxyxPxyxPdy
y
P
dxdxdy
y

P
))(,())(,(
12
)(
)(
2
1
Sử dụng công thức tính tích phân đờng ta có:
I=
[ ]
=

b
a
dxxyxPxyxP ))(,())(,(
12

+
=+
LBnAAmB
PdxPdxPdx
Tơng tự ta có:

+
=


LD
Qdydxdy
x

Q
Vậy :


+
+=





LD
QdyPdxdxdy
y
P
x
Q
)(
Nếu D là miền đa liên ( hình 10). Ta chia D thành một số miền
nhỏ không dẫm lên nhau mà biên của chúng thoả mãn các tính chất
đã nêu. Vì hai tích phân đờng loại hai của cùng một hàm dọc theo
cùng một đờng cong với cận lấy tích phân ngợc chiều nhau thì hai
tích phân nay triệt tiêu nhau nên áp dụng công thức Green cho từng
miền nhỏ rồi cộng lại. ta vẫn đợc công thức đã cho.
Hình 10
Chú ý: Nếu trong công thức (11) lấy P = -y, Q= x, thì
104

1,1 =
∂

∂
−=
∂
∂
x
Q
y
P

¸p dông c«ng thøc Green ta cã:
S
D
=
∫∫
D
dxdy
∫
+
−
L
ydxxdy
2
1
(12)
Lµ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch miÒn D dïng tÝch ph©n ®êng.
VÝ dô 3.7: TÝnh
I=
∫
+
−++

L
x
dyxy
y
y
dxye )2
sin
()(
2
2
L lµ ®êng trßn x
2
+y
2
=2y (H×nh 11).
H×nh 11
Ta cã:
P=
2
2
ye
x
+
,
y
y
P
2=
∂
∂

; Q=
xy
y
y
2
sin
−
,
y
x
Q
2−=
∂
∂
x
2
+y
2
-2y=x
2
+(y-1)
2
=1, nªn:
I=
∫∫ ∫∫
−=









∂
∂
−
∂
∂
D D
ydxdydxdy
y
P
x
Q
4

ChuyÓn sang to¹ ®é cùc ta cã:
I=
∫ ∫
+−
π
ϕϕ
2
0
1
0
)sin1(4 rdrrd
=
∫ ∫∫ ∫

−=−−
ππ
πϕϕϕ
2
0
1
0
2
2
0
1
0
4sin44 drrdrdrd
105
VÝ dô 3.8: TÝnh I=
∫
+
+
−++
L
yx
dyyxdxyx
22
)()(
, trong ®ã L lµ ®êng
trßn x
2
+y
2
=a

2
(H×nh 12).
H×nh 12
V× hµm díi dÊu tÝch ph©n kh«ng x¸c ®Þnh trªn miÒn D nªn cha ¸p
dông ®îc Green.
Víi (x,y)
∈
L ta cã x
2
+y
2
=a
2
nªn:
I=
∫ ∫
+ +
−++=
−++
L L
dyyxdxyx
aa
dyyxdxyx
)()(
1)()(
22
¸p dông Green ta ®îc:
I=
∫∫
−=−=−−

D
a
a
dxdy
a
ππ
2
2
)11(
1
2
22
VÝ dô 3.9: TÝnh diÖn tÝch elÝp (H×nh 13):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
H×nh 13
106
Phơng trình tham số của elíp là:



=

=
tby
tax
sin
cos
do đó:
S =
[ ]
abdtabdttatbtbta


==

2
0
2
0
2
1
)sin(sincos.cos
2
1
Chú ý: Nếu L là đờng cong không kín, ta có thể bổ sung cho nó
thành đờng cong kín rồi áp dụng Green. Khi đó tích phân đờng
bằng hiệu của tích phân kép áp dụng công thức Green trên miền kín
trừ đi tích phân đờng trên đoạn đờng cong bổ sung.
Ví dụ 3.10: Tính
I=

++++

L
y
dyxxyeydxyarctgxx )2()(
222
L là nửa trên của elip
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
, lấy theo chiều ngợc chiều kim
đồng hồ.
Ta có:
P=
22
yarctgxx +
,
y
y
P
2=


; Q=

xxyey
y
++

2
2
,
12 +=


y
x
Q
Bổ sung đoạn thẳng nối A(-a,0), B(a,0) ta có:
I=

++++

D AB
y
dyxxyeydxyarctgxxdxdy )2()(
222
Vì D là nửa elip nên

=
D
abdxdy

2
1

. AB là đoạn thẳng có ph-
ơng trình y=0 nên dy=0, thay y=0 và dy=0 vào tích phân đờng ta đ-
ợc:

=++++


AB
y
dyxxyeydxyarctgxx )2()(
222


=
a
a
arctgxdxx 0
2
Vậy I=
ab

2
1
.
5. Định lý bốn mệnh đề tơng đơng
Ta thấy tích phân đờng loại hai không những phụ thuộc vào hai
điểm A,B mà còn phụ thuộc vào đờng cong lấy tích phân. Dới đây
107
chúng ta sẽ đa ra điều kiện để tích phân đờng chỉ phụ thuộc điểm
A,B mà không phụ thuộc đờng cong lấy tích phân nối hai điểm A,B.

Định lý 2: Giả sử các hàm P(x,y), Q(x,y) liên tục đồng thời với
các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong miền kín, đơn liên D
nào đó. Khi đó bốn mệnh đề sau là tơng đơng:
(i)
Dyx
x
Q
y
P



=


),(
2 (ii)
DLQdyPdx
L
=+

0
(iii)

+
AB
QdyPdx
không phụ thuộc vào hình dạng đờng cong lấy tích phân mà chỉ phụ
thuộc vào A, B với mọi cung AB thuộc miền D.
(iv) Biểu thức Pdx+Qdy là vi phân toàn phần của hàm u=u(x,y)

nào đó xác định trên D:
Pdx+Qdy = du(x,y)
Dyx ),(
Chứng minh: Ta chứng minh định lý theo sơ đồ :
(i)
)()()()( iiviiiii
(i)(ii) Giả sử L là đờng cong kín nằm trọn trong miền D, L là
biên của miền D
1
D
áp dụng công thức Green ta có:
0)(
1
=





=+

+
dxdy
y
P
x
Q
QdyPdx
DL
(ii)(iii) Giả sử cung AmB và AnB là hai đờng cong bất kỳ nối

hai đầu mút A và B. Từ 2. ta có:

+++=+=
BmAAnBAmBnA
QdyPdxQdyPdxQdyPdx0
Nên

+=+=+
AmBBmAAnB
QdyPdxQdyPdxQdyPdx
tức là tích phân

+
AB
QdyPdx
chỉ phụ thuộc vào hai điểm đầu A, B
mà không phụ thuộc vào hình dạng đờng cong lấy tích phân.
(iii)(iv) Lấy một điểm cố định A(x
0
, y
0
)
D
và M(x,y) là điểm
bất kỳ thuộc D. Do (iii) trên D ta xác định đợc một hàm số:
108
u(x,y)=

+
AM

QdyPdx
Tích phân ở vế phải chỉ phụ thuộc vào điểm M.
Xét hình chữ nhật ABMC với B(x,y
0
) và C(x
0
,y).

Hình 14
Vì tích phân không phụ thuộc đờng nối A, M nên ta có:
u(x,y)=

+++
AB BM
QdyPdxQdyPdx
==

+++
AC CM
QdyPdxQdyPdx
Vì trên đờng nằm ngang ta có dy=0, trên đờng thẳng đứng ta có
dx=0, do đó ta có:
u(x,y)=

+
x
x
y
y
dyyxQdxyxP

0 0
),(),(
0
=

+
y
y
x
x
dxyxPdyyxQ
0 0
),(),(
0
Lấy các đạo hàm riêng của u(x,y) theo x, y, sử dụng định lý đạo
hàm theo cận trên và chú ý rằng khi lấy đạo hàm theo x thì coi y là
hằng số và ngợc lại, ta có:
),( yxP
x
u
=


,
),( yxQ
y
u
=

Nh vậy ta có đẳng thức : Pdx+Qdy = du(x,y)
(iv)(i) Giả sử công thức (iv) thoả mãn. Khi đó:
109
),( yxP
x
u
=


,
),( yxQ
y
u
=



xy
u
x
Q
yx
u
y
P


=

=


22
,

Theo định lý schwarc các đạo hàm chữ nhật bằng nhau, suy ra:
x
Q
y
P


=


Hệ quả: Nếu hai hàm P(x,y), Q(x,y) thoả mãn điều kiện
x
Q
y
P


=


(x,y)D thì:
(i) u(x,y) =

CdyyxQdxyxP
y
y
x
x
++

00
),(),(
0

hoặc u(x,y)
CdyyxQdxyxP
y
y
x
x
++=

00
),(),(
0
, (x
0
,y
0
)D
(ii)
)()( AuBuQdyPdx
AB

=+

dọc theo mọi cung AB
D
Ví dụ 3.11: Cho hai hàm:
P = -
2222
,
yx
x
Q
yx
y
+
=
+
Tính I =

+
L
QdyPdx
a. L là cung AB nằm trong góc phần t thứ nhất và không đi qua
gốc toạ độ, với A(1,1), B(2,3).
b. L là đờng cong kín bất kỳ không bao quanh gốc toạ độ và tích
phân lấy theo chiều dơng.
c. L là đờng tròn tâm O(0,0) bán kính R và tích phân lấy theo
chiều dơng.
110
Hình 15
Giải:

Hai hàm P(x,y), Q(x,y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng của
chúng trên mặt phẳng toạ độ R
2
trừ gốc toạ độ O(0,0), ngoài ra
222
22
)( yx
xy
x
Q
y
P
+

=


=


a. Tích phân theo đờng AB không phụ thuộc vào dạng đờng đi
( hình 15), ta có thể lấy theo đờng gấp khúc A(1,1), C(2,1),B(2,3),
khi đó:


+++=+=
AC CBAB
QdyPdxQdyPdxQdyPdxI
Vì AC có phơng trình y=1 nên dy=0, CB có phơng trình x=2 nên
dx=0, do dó:

I=

+=
+
+
+

3
1
2
2
1
2
2
1
2
3
21
4
2
1
1
arctgarctgarctgarctgdy
y
dx
x
b. Nếu đờng cong kín L không bao quanh gốc toạ độ O(0,0), thì
theo định lý bốn mệnh đề tơng đơng ta có :
0=+

L
QdyPdx
c. Nếu L là đờng tròn tâm O(0,0) bán kính R, vì hình tròn giới
hạn bởi đờng L chứa điểm gốc toạ độ, tại đó các hàm P, Q không
xác định, nên các giả thiết của định lý 4 mệnh đề tơng đơng không
thoả mãn nên ta phải tính trực tiếp. Đờng tròn có phơng trình tham
số là x = Rcost, y = Rsint, nên:







+

=+

2
0
22
coscos)cos(sin
dt
R
ttRR
R
tRtR
QdyPdx
L
=

02
2
0
=



dt
Ví dụ 3.12: Tính
111
I=







+
+








+
+

AB
x
yx
dy
dxyx
yx
e )ln(
1
Với A(0,2), B(0,3) (Hình 16).
Ta có:

2
'
)( yx
e
yx
e
yx
e
x
Q
xxx
+

+
=

+
=



2
)(
ln(
1
yx
e
yx
e
yx
yx
e
y
P
xx
x
+

+
=

+








+
=




Vậy
x
Q
y
P


=

nên tích phân không phụ thuộc đờng lấy tích phân.
Ta chọn đờng láy tích phân là đờng gấp khúc A(0,2), C(2,0), B(3,0).
Hình 16
Đờng nối AC có phơng trình y=2-x, nên dy=-dx, đờng nối CB
có phơng trình y=0 nên dy=0 nên ta có:
I=

+++
AC CB
QdyPdxQdyPdx
=







+








2
0
3

2
ln
1
2
1
2ln
2
1
dxx
x
edxe
xx
=


+
3
2
3
2
2
0
lnln.2ln xdxexdee
xxx
112
=


++
3

2
3
2
3
2
2
lnlnln)1(2ln xdxexdxexee
xxx
=
2ln3ln
3


e
6. Tích phân đờng loại hai trong không gian
Giả sử AB là một cung ở trong không gian và P(x,y,z), Q(x,y,z),
R(x,y,z) là ba hàm số xác định trên AB. Bằng cách tơng tự ngời ta
định nghĩa tích phân đờng loại hai:
I =

++
AB
RdzQdyPdx
Nếu cung AB cho bởi phơng trình tham số x = x(t); y = y(t), z =
z(t), t
1
2
tt
thì
I =

++
2
1
''
))(),(),(())(),(),(({
t
t
tt
ytztytxQxtztytxP
dtztztytxR
t
}))(),(),((
'
Ví dụ 3.13: Tính I=

++
AB
zdzydyxdx
, trong đó AB là phần đờng
xoáy đinh ốc (Hình 17):
Hình 17
2
0sin
cos

=
=
=
t
ktz
tay
tax
Ta có:
113
I=

++
2
0
222
]cos.sinsin.cos[


dttkttatta
=
82
22
2
0
2
2

2
0
2



k
t
k
tdtk ==

3.3 Tích phân mặt loại một
1. Định nghĩa
Cho mặt cong S và hàm số f(M) = f(x,y,z) xác định trên S. Chia S
thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau. Gọi tên và diện tích các
mảnh đó là
ii
dniS ),,1(, =
là đờng kính của
i
S
Chọn M
i
(x
i
,y
i
,z
i
) là một điểm tuỳ ý trong

i
S
. Nếu khi n

sao cho max d
i
0
, mà

=

n
i
iiii
Szyxf
1
),,(
dần tới giới hạn I xác định không phụ thuộc cách chia mặt S và
cách chọn điểm M
i
, thì giới hạn đó là tích phân mặt loại một của
hàm f(x,y, z) trên mặt S và ký hiệu là:
I =

S
dSzyxf ),,(
(13)
trong đó S là yếu tố diện tích.
Nguời ta chứng minh đợc rằng nếu mặt trơn S (tức mặt S liên tục
và có pháp tuyến biến thiên liên tục ) và nếu hàm f(x,y,z) liên tục

trên mặt S, thì tồn tại tích phân
dSzyxf
S

),,(
Chú ý:
1. Nếu mặt S có khối lợng riêng tại điểm M(x,y,z) là
),,( zyx

,
thì khối lợng của mặt S bằng :
m =

S
dSzyx ),,(

(14)
2. Diện tích của mặt S là :
S =

S
dS
(15)
114
3. Tích phân mặt loại một có các tính chất giống tính chất của
tích phân hai lớp.
2. Tính tích phân mặt loại một
Giả sử mặt S cho bởi phơng trình z = z(x,y) liên tục và có các
đạo hàm riêng z
''

,
yx
z
liên tục trên mặt S. Gọi D là chiếu của mặt S
trên Oxy, do

dzzdS
yx
22
''1 ++=
nên ta có công thức tính tích
phân mặt loại một:

++=
D
yx
S
dxdyzzzyxfdSzyxf
2'2'
1),,(),,(
(16)
Ví dụ 3.14: Tính I =

++
S
dSxyyx )(
22

với mặt S là phần trên mặt nón z
2

=x
2
+ y
2
cắt bởi trụ x
2
+y
2
=2ax
(Hình 18).
Hình 18
Giải.
Ta có: z =
dxdydSyx 2
22
=+
I =

++
D
dxdyxyyx )(2
22
với
D =
{ }
axyx 2
22
+
Chuyển sang toạ độ cực ta có:
115

I =

+





cos2
0
33
2
2
)sincos(2
a
drrrd
= 4



4
2
2
544
2
23
)sincos(cos2 ada =+


3. Trọng tâm của mặt

Nếu mặt S có khối lợng riêng tại điểm M(x,y,z) là
)(M

thì toạ
độ trọng tâm G của mặt S cho bởi công thức :
x
G
=

=
S
G
S
dSMy
m
ydSMx
m
)(
1
,)(
1

z
G
=

=
SS
dSMmdSMz
m

)(,)(
1

trong đó m là khối lợng của mặt.
3.4 Tích phân mặt loại hai
1. Mặt cong có định hớng
Thông thờng ta gặp những mặt có hai phía. Nếu mặt không kín
nó có phía trên và phía dới, nếu mặt kín nó có phía trong và phía
ngoài. Tại nghững điểm chính quy ta có thể dựng hai véc tơ pháp
tuyến ứng với hai phía của mặt.
Nếu mặt S có phơng trình:
F(x,y,z)=0
Thì một trong hai hớng của nó là














=
z
F

y
F
x
F
FGrad ,,
. đặt:
222
)'()'()'(
zyx
FFFr ++=
Khi đó nó có các cosin chỉ phơng tơng ứng:
( )
=

cos,cos,cos
=
FGrad
FGrad








r
F
r
F

r
F
z
y
x
'
,
'
,
'
(17)
Mặt S trên đó đã xác định một phía bằng cách chỉ rõ véc tơ pháp
tuyến tơng ứng gọi là mặt có định hớng.
116